注意本试题共五道大题,满分150分,答题时间为3小时,

注意：本试题共 五 道大题，满分150分，答题时间为3小时，所有答案均应
写在由考场发给的专用答题纸上，答在其它地方为无效。

一、填空题
（本大题共8小题，每小题4分，总计32分）

1．设)(xf是连续函数，且)(lim2)(1xfxxfx，则________)(xf
2．已知当0x时，1)1(312ax与1cosx是等价无穷小，则常数
_____a

3．)1)(()(xaxbexfx有无穷间断点0x，有可去间断点1x，则_____a，
________b
4．设函数)(xfy由方程4ln2yxxy所确定，则曲线)(xfy在点)1,1(处的切
线方程是____________
5．设)()()(xaxxfn，其中)(x在点ax的邻域内有1n阶连续导数，求
)()(af
n
为___________

6．函数xdttxF1)12()(（0x）的单调减少区间为
____________

7．设Cxdxxxfarcsin)(，则_______)(1dxxf
8．3242)1(xxxdx为__________
二、选择题（本大题共6小题，每小题4分，总计24分）
1．设xf，xg是恒大于零的可导函数，且0xgxfxgxf，则当
bxa
时，下列结论成立的是（ ）
（A）xgbfbgxf （B）xgafagxf
（C）bgbfxgxf （D）agafxgxf

2．函数2)2)(1()2sin()(xxxxxxf在下列哪一个区间内有界（ ）
（A）)0,1( （B）)1,0( （C）)2,1( （D）)3,2(
3．设函数)(xf在ax处可导，则函数)(xf在ax处不可导的充分条件是（ ）
（A）0)(af且0)(af （B）0)(af且0)(af
（C）0)(af且0)(af （D）0)(af且0)(af
4．设)x(f在]b,a[上连续，且0)b(f,0)a(f，则下列结论中错误的是（ ）
（A）至少存在一点)b,a(x0使得)a(f)x(f0
（B）至少存在一点)b,a(x0使得)b(f)x(f0
（C）至少存在一点)b,a(x0使得0)x(f0
（D）至少存在一点)b,a(x0使得0)x(f0
5．设有三元函数1ezlnyxyxz，根据隐函数存在定理，存在)1,1,0(的一个
邻域，在此邻域内该方程（ ）
（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐含数)y,x(zz

（B）可确定两个具有连续偏导数的隐含数)y,x(zz，)z,x(yy
（C）可确定两个具有连续偏导数的隐含数)y,x(zz，)z,y(xx
（D）可确定两个具有连续偏导数的隐含数)z,y(xx，)z,x(yy
6．二元函数0 ,0 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(处（ ）
（A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在
（C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在

三、解答题（本大题共6小题，每小题12分，总计72分）
1．设),2,1()(21,0,011nxaxxxannn，证明nnxlim存在，并求

n
nx

lim
。

2．描绘曲线2)3(361xxy的图形。
3．设)(xf具有一、二阶导数，0)1()0(ff，且2)(max10xfx，证明
16)(min10xf
x
。

4．设变换ayxvyxu2可把方程0622222yzyxzxz简化为02vuz，其中z具
有二阶连续偏导数，求常数a。
5．设0,0,2),(22yxyxyxD，]1[22yx表示不超过221yx的

最大整数，计算二重积分Ddxdyyxxy]1[22。
6．在以1为半径的均匀半球拼上一个底半径为1，高为h的均匀圆柱体，并使
圆柱体的底圆与半球底圆重合，问h为多大时，拼得的整个物体的重心恰好在
半球的球心上。

四、解答题（12分）（本大题共2小题，任选一题，如果两题都作答，则以第一题计分）
1．计算Sdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf]),,([]),,(2[]),,([,其中

),,(zyxf为连续函数，S为平面1zyx
在第四卦限部分的上侧。
2．设),(),,(yxvyxu在区域1:22yxD上具有连续的偏导数，在D的边界曲
线C上),(,),(,1),(yxfyyxvyxujuiv， jyvxviyuxuyxg)()(),(
求Ddxdygf。

五、解答题（
10分）（本大题共2小题，任选一题，如果两题都作答，则以第一题计

分）

1．证明：若1nna，1nnb都收敛，且nnnbca（,2,1n），则1nnc收敛。

2．证明：函数xxf1)(在)1,0(内非一致连续。