2011级数学与应用数学专业点集拓扑学试卷(2).doc
什么是拓扑空间
什么是拓扑空间拓扑空间是数学中的一个重要概念，它是集合论和点集拓扑学的基础。
拓扑空间的概念是由法国数学家弗雷歇在20世纪初提出的，它是对集合中元素之间的关系进行抽象和研究的数学结构。
一、拓扑空间的定义拓扑空间是一个有序对(T, τ)，其中T是一个非空集合，τ是T的一个子集族，满足以下三个条件：1. T和空集∅都属于τ；2. τ中的任意个集合的交集仍然属于τ；3. τ中的有限个集合的并集仍然属于τ。
在拓扑空间中，集合T的元素被称为点，τ中的元素被称为开集。
开集是拓扑空间中最基本的概念，它描述了点与点之间的邻近关系。
二、拓扑空间的性质1. 开集性质：在拓扑空间中，开集具有以下性质：(1) 空集和全集都是开集；(2) 任意个开集的交集仍然是开集；(3) 有限个开集的并集仍然是开集。
2. 邻域性质：在拓扑空间中，每个点都有一个邻域，邻域是包含该点的开集。
3. 连通性质：在拓扑空间中，如果任意两点之间都存在一条连续的曲线，那么该空间被称为连通空间。
4. 紧致性质：在拓扑空间中，如果任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么该空间被称为紧致空间。
5. Hausdorff性质：在拓扑空间中，如果任意两点都存在不相交的邻域，那么该空间被称为Hausdorff空间。
三、拓扑空间的例子1. 实数集上的拓扑空间：在实数集上定义开区间为开集，可以构成一个拓扑空间。
2. 离散拓扑空间：对于任意集合T，将T的所有子集都定义为开集，可以构成一个拓扑空间。
3. 序拓扑空间：对于有序集合T，定义开区间(a, b)为开集，可以构成一个拓扑空间。
4. 有限补拓扑空间：对于集合T，定义开集为T的子集和T的有限补集，可以构成一个拓扑空间。
四、拓扑空间的应用拓扑空间在数学中有广泛的应用，尤其在几何学、分析学和代数学中起着重要的作用。
1. 几何学中的拓扑空间：拓扑空间可以用来描述几何对象的形状和结构，如欧几里得空间、流形等。
2. 分析学中的拓扑空间：拓扑空间可以用来定义连续函数、收敛性和极限等概念，是分析学的基础。
集合的拓扑与连续性
集合的拓扑与连续性在数学中，拓扑学是研究集合的性质和关系的学科。
它关注集合中元素之间的连续性和相互接近的性质。
在本文中，我们将探讨拓扑学中集合的拓扑性质以及连续性的概念。
1. 拓扑空间的定义拓扑学中最基本的概念就是拓扑空间。
一个拓扑空间由一个集合和集合上定义的拓扑结构组成。
拓扑结构是由集合中的开集构成的，它满足以下三个条件：1) 空集和整个集合为开集；2) 有限个开集的交集仍为开集；3) 任意个开集的并集仍为开集。
2. 拓扑基与拓扑生成给定一个拓扑空间，我们可以通过拓扑基或生成元素来描述这个空间中的开集。
拓扑基是指一组开集，它们的任意非空交集都可以表示成其他开集的并集。
而拓扑生成则是通过集合中的元素生成出所有可能的开集。
拓扑生成是通过开集运算得到一组拓扑基。
3. 连续映射在拓扑学中，映射的连续性是一个重要的概念。
给定两个拓扑空间A和B，一个从A到B的映射f被称为连续的，如果对于B中的任意开集V，f的原像f^(-1)(V)在A中也是开集。
换句话说，连续映射保持了集合中元素的连续性。
4. 连通性连通性是拓扑学中研究的一个重要性质。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能表示成两个非空的、不相交的开集的并集。
换句话说，连通空间中的任意两点都可以通过连续映射相互连接。
当一个拓扑空间被表示为连通空间时，它被称为连通的。
5. 紧致性在拓扑学中，紧致性是另一个重要的概念。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限的子覆盖。
也就是说，从一个空间中选择任意多个开集作为覆盖，总能从这个集合中选取有限个开集来覆盖整个空间。
结语通过以上对集合的拓扑与连续性的讨论，我们可以看到拓扑学在数学中扮演着重要的角色。
它不仅仅是一门学科，更是用来描述现实世界中各种现象和关系的有力工具。
无论是在纯数学领域还是应用数学领域，拓扑学的概念和方法都发挥着重要的作用。
通过深入研究和应用拓扑学的相关理论，我们能够更好地理解和描述集合之间的连接性与连续性。
点集拓扑学(第一章1.1)
1736年欧拉 解决七桥问题
哥尼斯堡 七桥问题 四色问题 Euler示性数
1976年9月四
Mö bius带
色问题得到解决
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。 十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河
岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步
一天有人提出：能不能每座桥 都只走一遍，最后又回到原来的
位置。
这个问题看起来很简单, 有很有趣的问题吸引了大家. 很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看
来要得到一个明确理想的答案还不那么容易
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1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家 欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出
了解答。
他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点， 而把七座桥看 作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一 笔就把这个图形画出来。 经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一 遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的 图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。
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和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、
提炼和解决，提高他们的数学素养。
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教学目标
掌握拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、
性质。掌握连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。 掌握几个重要的拓扑性质的可积性、可商性和遗传性。
教学要点
拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性 质。连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。几个重
数学中的拓扑学分支
数学中的拓扑学分支数学是一门广泛而深奥的学科，涵盖了许多分支和领域。
其中，拓扑学作为数学的一个重要分支，主要研究集合和空间的性质及其之间的映射关系。
在本文中，我们将深入探讨数学中拓扑学的几个分支，包括点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学。
一、点集拓扑学点集拓扑学是拓扑学的最基础、最基本的分支，它研究的是点集及其子集的性质。
在点集拓扑学中，我们关注的是集合中的点及其之间的关系，而不考虑度量和距离。
通过引入开集、闭集、连通性等概念，点集拓扑学研究了集合的性质，如连通性、紧致性、分离性等。
例如，欧几里得空间中的开集是指任意一点存在一个足够小的邻域，使得该邻域中的所有点仍然属于该集合。
闭集则是指集合包含了所有其极限点。
通过对开集和闭集的研究，我们可以推导出许多重要的性质，如集合的交、并、差运算、闭包、内部等。
二、代数拓扑学代数拓扑学是拓扑学中的另一个重要分支，它结合了拓扑学和代数学的方法和思想，研究了在拓扑空间上定义的代数结构。
代数拓扑学的研究内容主要包括群论、环论、域论等代数结构与拓扑空间之间的关系。
代数拓扑学的一个重要应用是同伦论，它是研究拓扑空间中连续变形的方法。
同伦论通过引入同伦等价的概念，研究了拓扑空间之间的变形和形状不变性。
例如，同伦论可以用来研究环面和球面是否同胚，即它们是否具有相同的形状。
三、微分拓扑学微分拓扑学是拓扑学中应用最广泛的分支之一，它结合了微积分和拓扑学的知识，研究了光滑流形和向量场等对象的性质。
微分拓扑学主要关注的是流形及其上的微分结构和微分同胚。
光滑流形是一个具有光滑结构的拓扑空间，它可以用来描述现实世界中的各种物理现象。
微分拓扑学通过引入切空间、切丛和微分同胚等概念，研究了流形的性质，如维度、切空间的结构、流形的切向量场等。
微分拓扑学的一个重要结果是斯托克斯定理，它建立了微分形式在流形上的积分与边界的关系，是微分几何和微分拓扑学的基础。
总结起来，数学中的拓扑学分支涵盖了点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学三个重要方向。
《点集拓扑学》课件
映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质 的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它提供了一 个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来 说，如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的，那么这 个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集，或者 将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在 研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆 盖都有有限子覆盖，则称该空间 是紧致的分离公理可以推导出紧致性，反 之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最 基础的空间，它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数是一种定义在 点集上的复值函数。点集拓扑学为理 解波函数的性质和行为提供了重要的 理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题，如涡旋的 形成和演化，需要用到点集拓扑的知 识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方 法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明，对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同 胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它指出对于一个可微分的 闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续 映射和同胚映射的性质时非常有用，特别是在处理一些复杂的几何问题时。
数学中的拓扑学原理
数学中的拓扑学原理拓扑学是数学领域中的一个分支，研究空间和映射的性质。
它涉及到一些重要的原理和概念，如连通性、紧致性、同伦等。
本文将介绍数学中的拓扑学原理，并对其应用进行讨论。
1. 拓扑空间拓扑学研究的基础是拓扑空间。
拓扑空间是一个集合，其中定义了一些性质，如开集、闭集、邻域等。
拓扑空间的定义使得我们能够讨论集合的连续性和相似性。
2. 连续性与同胚在拓扑学中，我们关注的一个重要概念是连续性。
给定两个拓扑空间，一个映射被称为连续的，如果原空间中开集的逆映射是目标空间中的开集。
同胚是一种特殊的映射，它在原空间和目标空间之间建立了一种一对一和映射，并且在连续性方面保持不变。
3. 连通性在拓扑学中，连通性是一个重要的性质。
一个拓扑空间是连通的，如果不存在将其分为两个非空且不相交的开子集的方法。
连通性在描述空间的完整性和连续性方面起着关键作用。
4. 紧致性紧致性是拓扑学中的另一个重要概念，它描述了一个空间中的点的有限覆盖。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果对于该空间的任意开覆盖存在有限子覆盖。
紧致性与连通性相似，经常被用来研究空间的性质。
5. 同伦与同伦等价同伦是拓扑学中的一个重要概念，它描述了两个映射之间的连续变形。
具体而言，如果存在一个连续映射将一个映射变形为另一个映射，则这两个映射是同伦的。
同伦等价是同伦关系的一种等价关系，它将拓扑空间划分为了同伦等价类。
6. 欧几里得空间和流形欧几里得空间是拓扑学中最基本的空间之一。
流形是一种更加一般化的拓扑空间，它通过局部和全局的拓扑性质来定义。
流形在现代几何学和物理学中有广泛的应用。
7. 应用拓扑学在数学和其他领域中有广泛的应用。
在数学中，它被应用于代数拓扑学、微分几何学、动力系统等领域。
在物理学中，拓扑学被应用于凝聚态物理、高能物理等研究中。
此外，拓扑学在计算机科学和数据分析中也有重要的应用。
总结：通过介绍拓扑学的原理和应用，我们了解了拓扑空间的基本概念，如连续性、同胚等，以及连通性、紧致性与同伦的重要性。
2011级高等数学I(2)试卷(A)
】
(3) 设 是圆锥体 x 2 y 2 z 1 整个表面的外侧, 则 xy 2 dydz 3 yz 2 dzdx ( zx 2 z 3 )dxdy 等于 (A)
2
.
(B)
3
.
(C)
6
.
(D)
10
.
【
】
考试形式开卷（ ）、闭卷（√）开课教研室 大学数学部
(2) 计算二重积分 ( x2 y 2 3 y 4)d , 其中 D 是单位圆 x 2 y 2 1.
D
【
】
(2) 已知点 A(1,0,1), B(3, 2, 2), 则函数 u ln x y 2 z 2 在点 A 处沿方向 AB 的方向导数为 3 1 (A) . (B) 1. (C) . (D) 0. 【 2 2
(5) 幂级数
本题 得分
n n x 的收敛区间是 n n 1 2
二、单项选择题(每小题 4 分, 共 20 分)
x2 z 2 1 (1) 曲线 4 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 5 y0 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 (A) 1. (B) 1. 4 5 4 5 ( x y )2 z 2 x 2 ( y z )2 (C) 1. (D) 1. 4 5 4 5
命题教师 命题组
命题时间 2012-5-28
第1页 共3页
使用学期 11-12-2
总张数
3
教研室主任审核签字
d
江
1 (3) 求抛物面壳 z ( x 2 y 2 ) (0 z 1) 的质量, 此壳的面密度为 z. 2
拓扑学的基本概念与拓扑空间
拓扑学的基本概念与拓扑空间拓扑学是数学的一个分支，研究的对象是空间的性质与结构，而不关注其度量或形状。
拓扑学的基本概念包括拓扑空间、连续映射、开集、闭集等，它们构成了拓扑学的基础。
一、拓扑空间的定义与基本性质拓扑空间是拓扑学中最基本的概念之一。
一个集合X，若其满足以下三个条件，则称X是一个拓扑空间：1. X本身与空集∅是开集；2. 任意多个开集的交集仍是开集；3. 有限多个开集的并集仍是开集。
在拓扑空间中，我们可以定义许多重要的概念和性质。
例如，连续映射是拓扑空间之间的一种映射，它在保持点与点之间的接近程度方面具有重要作用。
连续映射的定义是：若拓扑空间X和Y上的一个映射f满足对于任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X上的开集，则称f是一个连续映射。
二、开集与闭集在拓扑学中，开集和闭集是两个基本的概念。
开集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含的每个点都是该空间中的一个内点。
闭集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含了该空间中的所有边界点。
开集和闭集具有一些基本的性质：1. 空集∅和整个拓扑空间X既是开集又是闭集；2. 有限个开集的并集是开集，有限个闭集的交集是闭集；3. 任意多个开集的交集是开集，任意多个闭集的并集是闭集。
三、拓扑基与拓扑生成拓扑基和拓扑生成是拓扑学中用于描述拓扑空间性质的重要工具。
拓扑基是指拓扑空间中的一个子集合，满足以下两个条件：1. 拓扑基中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U和任意元素x∈U，存在一个拓扑基中的元素B，使得x∈B且B⊆U。
通过拓扑基，我们可以用更简洁的方式描述拓扑空间中的开集。
拓扑基的定义有助于我们研究拓扑空间的性质和结构。
拓扑生成是指通过给定的拓扑生成集合，来定义拓扑空间中的开集。
拓扑生成集合是一个集合，满足以下两个条件：1. 拓扑生成集合中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U，其包含的点都属于拓扑生成集合中的某个元素。
拓扑基和拓扑生成的引入，使得我们可以根据拓扑空间的结构特点和需要，选择不同的刻画方式，方便地研究和构造拓扑空间。
熊金城点集拓扑讲义
熊金城点集拓扑讲义一、引言点集拓扑学是现代数学的一个重要分支。
它的研究对象是一般的拓扑空间，即是由不同类型的点及其之间的关系组成的空间。
它是抽象代数学的一部分。
它探索的是空间的本质结构，不仅仅考虑空间的代数性质，而是将空间中多样的几何性质整合起来，从而揭示空间的整体性质。
点集拓扑可由简单形式的集合拓扑展开，进而发展为更为深奥和复杂的分支，如流形、纤维丛等。
点集拓扑学具有广泛的应用，如在物理、化学、计算机科学、天文学等领域均有涉及。
二、定义与基本概念点集拓扑学的基本对象是拓扑空间，其定义如下：定义1.1 拓扑空间设X是一个集合，T是X的一个子集族，若其满足以下三个条件：1. X及空集∅∈T；2. T的任意（包括可数无穷）并集仍属于T；3. T的有限交仍属于T，则称X配以集合族T为一拓扑空间，简称拓扑空间（topological space）。
通常我们将配以不同拓扑的同一集合视为不同的拓扑空间，即称(X,T1)和(X,T2)为不同的拓扑空间。
给定拓扑空间(X,T)，若S⊆X，则S处在S所在空间的拓扑子集上，此时称(X,yS,T|S)为子拓扑。
定义1.3 闭集、开集给定拓扑空间(X,T)，S是X的一个子集，如果S的补集S′∈T，那么称S是X的一个闭集；如果S∈T，那么称S是开集。
由于0和整个集合X本身总是开集，因而称它们是平凡开集；空集是闭集，其余闭集就是其余集合的开集的补集。
设A是拓扑空间X的一个子集，x是X的一个点，若对于任何包含x的开集U，有U∩A≠∅，那么称x是A的极限点（accumulation point）。
若A的闭包为X，那么称A在X中是稠密的（dense），也就是说，任何不属于A的X 的点，它都是A的极限点。
三、连通性和紧性连通性和紧性是点集拓扑的两个最为基本的概念。
连通性考虑了空间内元素之间的连通情况，紧性则关注空间的内部有多少信息。
定义2.1 连通性设X是拓扑空间，若对于任意的开集A∈T，它的对立集X-A也是连通的，那么称X是连通的（connected）。
拓扑学基本概念及应用
拓扑学基本概念及应用拓扑学是数学的一个分支领域，研究的是空间中的性质和结构，而不关注物体的度量和形状。
它通过定义和研究拓扑空间、连通性、收敛性等概念，帮助我们理解空间的特性，并在各个学科领域中得到广泛应用。
本文将介绍拓扑学的基本概念以及其在不同领域中的应用。
一、拓扑学基本概念1. 拓扑空间拓扑空间是指一个集合，以及定义在该集合上的一族子集，满足三个基本性质：空集和全集都是其中的元素；有限个子集的交集和并集仍然是其中的元素；集合和空集都是其中的元素时，集合的补集也是其中的元素。
2. 连通性连通性是指一个拓扑空间中不存在将其分为两个非空且不相交的开子集的方式。
如果一个拓扑空间是连通的，那么其内部所有的点都是连通的，即可以用一条曲线将其上的任意两点连起来。
3. 收敛性拓扑学中的收敛性是指对于拓扑空间中的序列，如果存在某个点，这个序列中的所有点都趋近于该点，那么该序列就是收敛的。
二、拓扑学的应用1. 图论图论是拓扑学的一个重要应用领域。
在图论中，研究的是由节点和边构成的图的性质和结构。
拓扑学的概念可以帮助我们理解和分析图的连通性、欧拉路径、哈密顿路径等问题，并在网络分析、社交网络、路由算法等领域中得到广泛应用。
2. 网络分析与数据挖掘在网络分析和数据挖掘领域，拓扑学的概念被应用于理解和研究复杂网络的结构和性质。
通过分析网络中节点之间的关系，可以揭示出网络的层次结构、群体聚类、信息传播等特性，为网络安全、社交媒体分析、市场营销等提供决策支持。
3. 电路设计在电路设计中，拓扑学的概念被用于分析和优化电路的布线结构。
通过考虑电路中各个组件的相互连通性和距离，可以设计出更高效、更可靠的电路布线方案，提高电路的性能和稳定性。
4. 数据结构与计算几何拓扑学的概念也被应用于数据结构和计算几何领域。
通过定义和分析空间中的开集、闭集、连通性等概念，可以设计出高效的数据结构和算法，解决诸如最近点问题、凸包问题等计算几何中的难题。
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湘 南 学 院
2012 学年度第 二 学期数学与应用数学专业
本科层次2011级期末课程 点集拓扑学 试题
课程代码：03029032 考核方式：闭卷 考试时量： 120分钟 试卷类型：B
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 合分人 复查人
应得分 40 20 40 100
实得分
一、填空：（每小空4,分共计40分）
1根据DeMorgan律，则)(1iniAB=
2.设关系 )},(),,(),,{(fbeadaR，则R的定义域为
3.设},,,{dcbaX，关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(ddcddcccbbabbaaaR，则商集
RX/
= .
4.2121},2,1{},b,{XXXXaX设到2X的投射2p为
5.设x是拓扑空间X的一点，U是X一个子集，U为x的邻域的定义为 .
6.设X是拓扑空间，XA，则A的导集的定义是_____________________.
7.设YXf:是拓扑空间X到Y的一一映射，f为同胚映射的定义是____________.
8.),(TX设是一个拓扑空间，XA，xXx则,是A的边界点的定义为
9.设X是拓扑空间，X是连通空间的定义为 .
10.道路连通的定义是 .
二、判断题:(每小题2分，共计20分)
1.拓扑空间的一个开集族是它的一个基 ( )
2.拓扑空间的任一收敛序列只有唯一极限 ( )
3. 设Y是拓扑空间),(X的一个子集，则集族Y是Y的一个拓扑 ( )
4.拓扑空间X的子空间Y的子集A闭包等于A在X中的闭包与Y的交集 ( )
5.设 21,XX是两个拓扑空间，21XX是积空间，21,XBXA则)(BABA ( )
6.两个连续映射的积一定是连续映射 （ ）
7.离散空间的商空间一定是离散空间 （ ）
8.连通空间的连续映射的像集一定是连通集 （ ）
9.实数空间R不满足第一可数性公理 （ ）
10.连通空间一定是道路连通空间 （ ）
三、证明题:(每小题10分，共计40分)
1.试证明：每一度量空间都满足第一可数性公理.
得分 阅卷人 复查人
得分 阅卷人 复查人
系
专
业
层
次
年
级
班
级
学
号
姓
名
考
场
得分 阅卷人 复查人
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2.试证明：满足第二可数性公理的空间的任一子空间是满足第二可数性公理空间
3.试证明：每一个可分度量空间都满足第二可数性公理
4. 设X是一个拓扑空间，C是它的一个连通分支，试证明：
（1）C是一个连通子集（2）C是一个闭集.
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