信息论与编码习题参考答案(全)

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(1)在W4＝011中，接到第一个码字“0”后获得关于a4的信息量I(a4;0)；
(2)在收到“0”的前提下，从第二个码字符号“1”中获取关于a4的信息量I(a4;1/0)；
(3)在收到“01”的前提下，从第三个码字符号“1”中获取关于a4的信息量I(a4;1/01)；
(4)从码字W4＝011中获取关于a4的信息量I(a4;011)。
其中N=2FT,б2X是信号的方差(均值为零),б2N是噪声的方差(均值为零).
再证:单位时间的最大信息传输速率
信息单位/秒
(证明详见p293-p297)
5.12设加性高斯白噪声信道中,信道带宽3kHz,又设{(信号功率+噪声功率)/噪声功率}=10dB.试计算改信道的最大信息传输速率Ct.
解:
5.13在图片传输中,每帧约有2.25×106个像素,为了能很好的重现图像,需分16个量度电平,并假设量度电平等概率分布,试计算每分钟传输一帧图片所需信道的带宽(信噪功率比为30dB).
(2)求信源的极限熵H∞；
(3)求当p=0,p=1时的信息熵，并作出解释。
解:
3.10设某马尔柯夫信源的状态集合S：{S1S2S3}，符号集X：{α1α2α3}。在某状态Si(i=1,2,3)下发发符号αk(k=1,2,3)的概率p(αk/Si) (i=1,2,3; k=1,2,3)标在相应的线段旁,如下图所示.
证明:
3.5试证明：对于有限齐次马氏链，如果存在一个正整数n0≥1，对于一切i，j＝1，2，…，r，都有pij(n0)>0，则对每个j＝1，2，…，r都存在状态极限概率：
(证明详见:p171~175)
3.6设某齐次马氏链的第一步转移概率矩阵为：
试求：
(1)该马氏链的二步转移概率矩阵；
(2)平稳后状态“0”、“1”、“2”的极限概率。
解：
1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率（bit/s）。
解：
1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大2.5倍左右。
(1)求状态极限概率并找出符号的极限概率;
(2)计算信源处在Sj(j=1,2,3)状态下输出符号的条件熵H(X/Sj);
(3)信源的极限熵H∞.
解:
3.12下图所示的二进制对称信道是无记忆信道,其中 ,试写出N=3次扩展无记忆信道的信道矩阵[P].
解:
第五章多维连续信源与信道
5.8设X(ƒ)是时间函数x(t)的频谱,而函数在T1<t<T2区间以为的值均为零.试证:
解：
1.4某一无记忆信源的符号集为｛0，1｝，已知
（1）求符号的平均信息量；
（2）由1000个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”,（1000-m）个“1”）的自信量的表达式；
（3）计算（2）中序列的熵。
解：
1.5设信源X的信源空间为：
求信源熵，并解释为什么H(X)>log6，不满足信源熵的极值性。
解：
2.13把n个二进制对称信道串接起来，每个二进制对称信道的错误传输概率为p(0<p<1)，试证明：整个串接信道的错误传输概率pn=0.5[1-(1-2p)n]。再证明：n→∞时，limI(X0;Xn)=0。信道串接如下图所示：
解：
2.18试求下列各信道矩阵代表的信道的信道容量：
(1)
(2)
(3)
解：
2.19设二进制对称信道的信道矩阵为：
(1)若p(0)=2/3，p(1)=1/3，求H(X)，H(X/Y)，H(Y/X)和I(X;Y)；
(2)求该信道的信道容量及其达到的输入概率分布。
解：
2.20设某信道的信道矩阵为
试求：
(1)该信道的信道容量C；
(2)I(a3;Y)；
(3)I(a2;Y)。
解:
(1)试求信源平稳后状态“0”、“1”、“2”的概率分布p(0)、p(1)、p(2)；
(2)求信源的极限熵H∞；
(3)p取何值时H∞取得最大值。
解：
3.9某一阶马尔柯夫信源的状态转移如下图所示，信源符号集为X：{0,1,2}。试求：
(1)试求信源平稳后状态“0”、“1”、“2”的概率分布p(0)、p(1)、p(2)；
证:
1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
解:
1.9给定一个概率分布 和一个整数m， 。定义 ，证明： 。并说明等式何时成立？
证：
1.10找出两种特殊分布:
p1≥p2≥p3≥…≥pn，p1≥p2≥p3≥…≥pm,使H(p1,p2,p3,…,pn)=H(p1,p2,p3,…,pm)。
解：
1.15两个离散随机变量X和Y，其和为Z＝X＋Y，若X和Y统计独立，求证：
（1）若仅有质点A，求A落入任一方格的平均信息量；
（2）若已知A已落入，求B落入的平均信息量；
（3）若A，B是可辨认的，求A，B落入的平均信息量。
解：
1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中各含有多少信息量？如果你问一位女士，则她的答案中含有多少平均信息量？
(3)信源X和信宿Y的信息熵；
(4)信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)；
(5)接收到消息Y后获得的平均互交信息量I(X;Y)。
解:
2.2某二进制对称信道，其信道矩阵是：
设该信道以1500个二进制符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二进制符号，并设在这消息中p(0)= p(1)=0.5。问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真的传送完。
证明:
3.3试证明离散平稳信源的极限熵：
(证明详见p165-p167)
3.4设随机变量序列(XYZ)是马氏链，且X：{a1,a2,…,ar}，Y：{b1,b2,…,bs},Z:{c1,c2,…,cL}。又设X与Y之间的转移概率为p(bj/ai)(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)；Y与Z之间的转移概率为p(ck/bj)(k=1,2,…,L;j=1,2,…,s)。试证明：X与Z之间的转移概率：
2.21设某信道的信道矩阵为
试求：
(1)该信道的信道容量C；
(2)I(a1;Y)；
(3)I(a2;Y)。
解:
2.22设某信道的信道矩阵为
试该信道的信道容量C；
解:
2.23求下列二个信道的信道容量，并加以比较(其中0<p,q<1,p+q=1)
(1)
(2)
解:
2.27设某信道的信道矩阵为
其中P1,P2，…，PN是N个离散信道的信道矩阵。令C1，C2，…，CN表示N个离散信道的容量。试证明，该信道的容量 比特/符号，且当每个信道i的利用率pi＝2Ci-C(i＝1,2,…,N)时达其容量C。
解:
2.3有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为P[X=0,Y=0]=1/8，P[X=0,Y=1]=3/8，P[X=1,Y=1]=1/8，P[X=1,Y=0]=3/8。定义另一随机变量Z=XY，试计算：
(1)H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ),H(XYZ);
(2)H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ),H(Y/XZ),H(Z/XY);
解:
5.14设电话信号的信息率为5.6×104比特/秒.在一个噪声功率谱为N0=5×10-6mW/Hz,限频F、限输入功率P的高斯信道中传送,若F=4kHz,问无差错传输所需的最小功率P是多少W?若
F→∞则P是多少W?
解:
5.15已知一个高斯信道,输入信噪功率比为3dB,频带为3kHz,求最大可能传送的信息率是多少?若信噪比提高到15dB,求理论上传送同样的信息率所需的频带.
P(x)
1/36
2/36
1/36
(4)信源空间：
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
(5)
1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A和B，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa，Ya）,（Xb，Yb）,但A，B不能同时落入同一方格内。
(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量；
(2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量；
(3)两个点数的各种组合的熵；
(4)两个点数之和的熵；
(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。
解：
(3)信源空间：
X
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
P(X)
1/36
2/36
2/36
量化所以每个像素需要用个亮度每个色彩度需要求下在满足黑白电视系统要个不同色彩度增加xxbpbpxiii18每帧电视图像可以认为是由3105个像素组成所以像素均是独立变化且每像素又取128个不同的亮度电平并设亮度电平是等概出现