新课标高考数学二轮复习专题二数列第2讲数列的性质与求和学案文新人教A版

第2讲 数列的性质与求和[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1， 所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.答案：42．(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． 解：(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1(n ∈N *)． (2)记{a n2n ＋1}的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.[明考情]1．高考对数列性质的考查主要以选择、填空题的形式出现，考查数列的周期性、单调性、数列最值等，难度中等．2．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前n 项和，难度中等偏下．数列的性质(综合型)[典型例题](1)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 020＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝32，a n ＋2a n ＋1＝0，则S n －1S n的最大值与最小值的积为____________．【解析】 (1)因为a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 020＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＋a 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3.(2)因为a n ＋2a n ＋1＝0，所以a n ＋1a n ＝－12，所以等比数列{a n }的公比为－12，因为a 1＝32，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .①当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而减小，则1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤56； ②当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤S n ＜1，故－712≤S n －1S n ＜0.综上，S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712.故S n －1S n 的最大值与最小值的积为56×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝－3572.【答案】 (1)A (2)－3572判断数列的增减性的方法函数法：构造函数，通过判断所构造函数的增减性，即可得出相应数列的增减性． 定义法：利用增减数列的定义判断数列的增减性．作差法：对于数列中任意相邻的两项a n ＋1，a n ，通过作差a n ＋1－a n ，判断其与0的大小，即可判断数列的增减性．作商法：数列的各项非零且同号(同正或同负)，对于数列中任意相邻的两项a n ＋1，a n ，通过作商a n ＋1a n，判断其与1的大小，即可判断数列的增减性． [对点训练]1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选D.因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，所以a 2＝1＋21－2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…，所以a n ＋4＝a n ，又a 1a 2a 3a 4＝1，所以a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝(a 1a 2a 3a 4)504×a 1a 2a 3＝1×2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n取得最大值时，n ＝____________． 解析：当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，所以当a n取得最大值时，n ＝5或6.答案：5或6裂项相消法求和(综合型)[知识整合]裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和．常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k .(3)1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.(4)14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.[典型例题](2019·河北省九校第二次联考)已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .【解】 (1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12得log 2(a 1a 2a 3)＝12，所以a 1a 2a 3＝212. 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝4，所以a 1a 2a 3＝4·4q ·4q 2＝26·q 3＝212， 计算得q ＝4. 所以a n ＝4·4n －1＝4n.(2)由(1)得b n ＝log 24n＝2n ，c n ＝42n ·2（n ＋1）＋4n ＝1n （n ＋1）＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n （n ＋1）的前n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1，设数列{4n}的前n 项和为B n ，则B n ＝4－4n·41－4＝43(4n－1)，所以S n ＝nn ＋1＋43(4n－1)．求解此类题需过“三关”：一是求通项关，即会利用求通项公式的常用方法，求出数列的通项公式；二是巧裂项关，即能将数列的通项公式准确裂项，表示为两项之差的形式；三是消项求和关，即把握消项的规律，求和时正负项相消，准确判断剩余的项是哪几项，从而准确求和．[对点训练](2019·湖南省五市十校联考)已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a n ＋1－23，设b n ＝log 2a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；(3)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4（b n ＋1）（b n ＋3）的前n 项和T n . 解：(1)依题意得a 1＝2，则n ＝1时，S 1＝a 2－23＝a 1，所以a 2＝8. 当n ≥2时，S n －1＝a n －23，则a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－23－a n －23，整理得a n ＋1a n＝4. 又a 2a 1＝4，所以数列{a n }是首项为2，公比为4的等比数列， 所以a n ＝2·4n －1＝22n －1.(2)b n ＝log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1，则b n ＋1－b n ＝2n ＋1－(2n －1)＝2，且b 1＝1，所以数列{b n }是等差数列． (3)由(2)得b n ＝2n －1，所以4（b n ＋1）（b n ＋3）＝42n （2n ＋2）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.错位相减法求和(综合型)[典型例题](2019·郑州市第二次质量预测)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ，若a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)在数列{a n }中，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)①，因为a n ＝S n ＋S n －1②，且a n ＞0，所以①÷②得S n －S n －1＝1(n ≥2)，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公差为1的等差数列， 所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以S n ＝n 2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1，也满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以c n ＝(2n －1)×22n －1，则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1，4T n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1，两式相减得，－3T n ＝2＋2(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)22n ＋1＝2＋2×8（1－22n －2）1－4－(2n －1)22n ＋1＝－103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53－2n 22n ＋1，所以T n ＝（6n －5）22n ＋1＋109.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1，2进行验证．[对点训练]已知{a n }为正项等比数列，a 1＋a 2＝6，a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝log 2a n a n，且{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)依题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝6a 1q 2＝8，则3q 2－4q －4＝0，而q ＞0， 所以q ＝2.于是a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝log 2a n a n ＝n 2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 两式相减得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，所以T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝1－12n －1·121－12－n 2n＝2－n ＋22n.数列与其他知识的交汇问题(交汇型)[典型例题]设数列{a n }的前n 项和是S n ，若点A n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，其中c 是与x 无关的常数，且a 1＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝aa n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．【解】 (1)因为点A n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，所以S n n＝－n ＋c ，所以S n ＝－n 2＋cn .因为a 1＝3，所以c ＝4，所以S n ＝－n 2＋4n ，所以a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5(n ≥2)． 又a 1＝3满足上式，所以a n ＝－2n ＋5(n ≥1)．(2)由(1)知，b n ＝aa n ＝－2a n ＋5＝－2(－2n ＋5)＋5＝4n －5， 所以T n ＝n （b 1＋b n ）2＝2n 2－3n .所以T n 的最小值是T 1＝－1.数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，需构造函数，利用函数知识解决问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．[对点训练]1．设等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 34a 4 000＝12，则3a 2 015＋1a 2 019的最小值为____________．解析：因为等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 34a 4 000＝12， 所以a 2 015a 2 019＝a 34a 4 000＝12.所以3a 2 015＋1a 2 019≥23a 2 015·1a 2 019＝2312＝1， 当且仅当3a 2 015＝1a 2 019，即a 2 015＝6，a 2 019＝2时，等号成立，所以3a 2 015＋1a 2 019的最小值为1.答案：12．已知定义在R 上的函数g (x )是单调递减的奇函数，若g (x )＝f (x )－2，数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋3，n ∈N *，则a 2 019的值为____________．解析：因为g (x )＝f (x )－2，且函数g (x )是定义在R 上的奇函数， 所以g (0)＝0，所以f (0)－2＝0，解得f (0)＝2. 因为函数g (x )＝f (x )－2是定义在R 上的单调递减函数， 所以函数f (x )在R 上是单调递减函数，因为f (a n ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋3，所以a n ＋1＝a na n ＋3，整理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12.因为a 1＝f (0)＝2，所以1a 1＋12＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为1，公比为3的等比数列，所以1a n ＋12＝1×3n －1，即a n ＝22×3n －1－1，所以a 2 019＝22×32 018－1. 答案：22×32 018－1一、选择题1．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1，2，…)，则a 3等于( ) A ．15 B ．10 C ．9D ．5解析：选A.由a 2＝(2－λ)a 1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，所以a 3＝(2×2＋1)×3＝15，故选A.2．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝(－1)n a n (n ∈N *)，则数列{b n }的前50项和为( )A ．49B ．50C ．99D ．100解析：选A.由题意得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，所以数列{b n }的前50项和为－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故选A.3．已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124解析：选C.由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210）1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.故选C.4．已知函数f (x )＝1x （x ＋1），执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A.2 0172 018 B.2 0182 019 C.2 0182 017D.2 0192 018解析：选B.模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019的值， 可得：S ＝11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019.5．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4＝18，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜k ，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23.因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜k ，所以k ≥23.故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选D. 6．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )A.110B.15C.111D.211解析：选C.因为2a 1＋22a 2＋ (2)a n ＝n (n ∈N *)， 所以2a 1＋22a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1(n ≥2)，两式相减得2na n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝111，故选C.二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *)且a 1＝5，则a 8＝________． 解析：数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *)且a 1＝5，令m ＝1，则S n ＋1＝S n＋S 1＝S n ＋5，即S n ＋1－S n ＝5，所以a n ＋1＝5，所以a 8＝5.答案：58．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天织了5尺布，问这女子每天分别织布多少？”根据问题中的条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则该女子所需的天数至少为________天．解析：设该女子第1天织布x 尺，则x （1－25）1－2＝5，解得x ＝531.所以前n 天所织布的尺数为531(2n －1)． 令531(2n －1)≥30，则2n ≥187，又n ∈N *， 故n 的最小值为8.答案：89．已知函数f (x )＝a x ＋1(a ＞0，a ≠1)的图象过点(3，9)．当n ∈N *时，a n ＝1f （n ＋1）－1f （n ）·f （n ＋1），若数列{a n }的前n 项和为62195，则n 的值为____________． 解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为函数f (x )＝a x ＋1(a ＞0，a ≠1)的图象过点(3，9)，所以a 3＋1＝9，所以a ＝2，所以f (x )＝2x＋1，所以a n ＝2n ＋1－1（2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1.因为数列{a n }的前n 项和为62195，所以13－12n ＋1＋1＝62195，解得n ＝5. 答案：5三、解答题10．(2019·重庆市七校联合考试)已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2－dx －3＜0的解集为(－1，3)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2a n ＋12＋a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意知，方程a 1x 2－dx －3＝0的两个根分别为－1和3. 则⎩⎪⎨⎪⎧d a 1＝2－3a 1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以b n ＝2a n ＋12＋a n ＝2n ＋(2n －1)， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝2n ＋1＋n 2－2. 11．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 17＝33，S 7＝49.(1)证明：a 1，a 5，a 41成等比数列；(2)求数列{a n ·3n}的前n 项和T n .解：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 17＝33，S 7＝49，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋16d ＝33，7a 1＋21d ＝49，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.则a 1＝1，a 5＝9，a 41＝81，即a 25＝a 1·a 41.所以a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)由(1)得：a n ·3n ＝(2n －1)·3n ， T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ①，3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1②， ①－②得，－2T n ＝3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1＝3＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3n ＋11－3－(2n －1)·3n ＋1，整理得T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3. 故数列{a n ·3n }的前n 项和为T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12．(2019·安徽省考试试题)已知等差数列{a n }中，a 5－a 3＝4，其前n 项和为S n ，且S 2，S 3－1，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n 4na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 5－a 3＝4，得2d ＝4，d ＝2. 所以S 2＝2a 1＋2，S 3－1＝3a 1＋5，S 4＝4a 1＋12，又S 2，S 3－1，S 4成等比数列，所以(3a 1＋5)2＝(2a 1＋2)(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n 4na n a n ＋1＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17 ＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2n ＋1，n 为偶数－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.。