初高中衔接乘法公式
初高中衔接知识专题乘法公式
初高中衔接知识专题乘法公式
先来看今天的知识点：
乘法公式：
1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b
2.
2. 立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b
3.
3. 立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
4. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
5. 完全立方公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
这些公式可以用多项式乘多项式的方法，通过计算获得，亲爱的同学，你可以把这些公式作为练习，自己计算一下.
记忆这些公式时，要注意以下几点：
第一：要注意公式中有负号时，负号所处的位置.
第二：完全平方公式展开后，每一项的次数都是2，如果某一项里面有两个字母，它的系数也是2，如： 2ab；如果某一项是单独一个字母的平方，它的系数是1，如： a2.
完全立方公式与此类似.
有“负号”的那个完全立方公式，展开后，如果某一项含有b的奇数次方，这一项的符号就是“负号”. 如： -3a2b，因为它含有b的一次方，所以它的符号是“负号”.
千万不要小看上面的这两道例题哦，它们不但经常会出现在初中的一些探究题中，而且可以作为最基本的模型，在高中的好多知识模块中都能用到. 亲爱的同学，你一定要好好琢磨这两道例题的特点和解法，最好能自己再做一遍.。
初升高衔接乘法公式与因式分解
一、公式法(立方和、立方差公式)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
2．一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1x c1)(a2 x c2 ) a1a2 x2 (a1c2 a2c1 )x c1c2 ．
反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2 x c2 )
两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x3
(2) 0.125 27b3
解 : (1) 8 x3 23 x3 (2 x)(4 2x x2 ).
(2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b2 ).
分解因式：x3 9x 8
解法3：原式=9x3 8x3-9x 8 =9x3-9x 8x3 8 =9x(x 1)(x 1) 8(x 1)(x2 x 1) =(x 1)(x2 x 8)
解法4：原式=x3 x2 x2 9x 8 =x（2 x-1)+(x-8)(x-1) =（x-1)(x2 x 8)
(x 1)(x 6)
练习应用： （1）x2 3x 2 （2） x2 2x 15 （3） x 2 + x 20
初高中数学乘法公式补充
初高中数学公式的衔接【知识梳理】：常用的乘法公式有:【乘法分配律】【和的平方公式】【差的平方公式】【平方差公式】【和的立方公式】【差的立方公式】【立方和公式】【立方差公式】一、乘法公式与多项式1-1多项式的乘法【二项式相乘公式】如下图，一个长为，宽为的长方形，其面积为，也等于四个长方形的面积和，即。
cabdacbcbdad我们也可利用分配律来展开的乘积而得到下列的公式：【公式1】在应用上，a、b、c及d可为数字或任何文字符号。
【范例1】利用公式1展开下列各式：(1) (2) (3)【解】 (1)(2)(3)在上例的第(2)题中，的x2项(或称二次项)系数为1，x项(或称一次项)系数为5，常数项为6，其中最高次项为二次，所以称为x的二次多项式，并简称为一元二次式。
在第(3)题中，有x、y两个变量，其中6x2、xy和y2都是二次项。
因此，它的最高次项为二次，所以称它为x和y的二次多项式，并简称为二元二次式。
【类题练习1】展开下列各式：(1) (2)二项式相乘公式也常运用于来简化数的计算过程，例如：求123279127121123121127279的值。
我们观察到123279与123121有公因子123；127121与127279有公因子127，所以123279127121123121127279123279123121127279127121123(279121)127(279121)(279121)(123127)400250100000。
【范例2】展开下列各式：(1)(2)【解】 利用分配律：(1)(2)【范例3】 分别求的展开式中，、、和的系数。
【解】 利用分配律做展开运算时，只需要观察两式中，两项次数的和等于所要求次数，则其系数乘积的总和即为所求，因此的系数为 ；的系数为 ；的系数为 ；的系数为 。
【类题练习2】分别求的展开式中，、、、的系数。
【重点整理】1. 【二项式相乘公式】，其中a、b、c及d可为数字或任何文字符号。
初高中数学衔接材料之二乘法公式和因式分解的公式法
初高中数学衔接材料之二 乘法公式和因式分解的公式法一.乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．二．因式分解的公式法（1）平方差公式 22()()a b a b a b -+-＝；（2）完全平方公式 2222()a ab b a b ±+±＝．（3）立方和公式 3322()()a b a b a ab b ++-+＝；（4）立方差公式 3322()()a b a b a ab b --++＝；（5）三数和平方公式 22222()()a b c ab bc ac a b c +++++++＝；（6）两数和立方公式 3223333()a a b ab b a b ++++＝；（7）两数差立方公式 3223333()a a b ab b a b -+--＝．三．典型例题例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； （3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 例3 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+.例4分解因式：(1) 38x + (2) 30.12527b -例5分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -例6.例7.四．练习题1、代数式x 4－81,x 2－9,x 2－6x ＋9的公因式为（ ）A 、x +3B 、（x +3）2C 、x －3D 、x 2+92、若9x 2－m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m=（ ）A 、12B 、24C 、±12D 、±243、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（ ）A 、3或28B 、3和－28C 、－23和14D 、－23和－144、下列变形是因式分解的是（ ）A 、x 2+x －1=（x +1）（x －1）+x ,B 、（3a 2－b 2）2=9a 4－6a 2b 2＋b 4C 、x 4－1=（x 2+1）（x +1）（x －1）,D 、3x 2+3x =3x 2（1+x 1）5、若81－k x 4=（9+ 4x 2）（3+2x ）（3－2x ）,则k 的值为（ ）A 、1B 、4C 、8D 、166、下列多项式不能用完全平方公式分解的是（ ）A 、91a 2+32ab ＋b 2 B 、a 2－6a ＋36 C 、－4x 2+12x y －9y 2D 、x 2+x ＋41 7、在有理数范围内把y 9－y 分解因式，设结果中因式的个数为n,则n=（），A 、3，B 、4C 、5D 、68、下列多项式不含因式a+b 的是（ ）A 、a 2－2ab ＋b 2B 、a 2－b 2C 、a 2+b 2D 、（a+b ）49、下列分解因式错误的是（ ）A 、4x 2－12x y+9y 2=（2x +3y ）2,B 、3x 2y+6x y 2+3y 3=3y （x 2+2x y+y 2）=3y （x +y ）2C 、5x 2－125y 4=5（x －y 2）（x +y 2）D 、－81x 2+y 2=－（9x －y ）（9x +y ）10、下列分解因式正确的是（ ）A 、（x －3）2－y 2=x 2－6x +9－y 2,B 、a 2－9b 2=（a+9b ）（a －9b ）C 、4x 6－1=（2x 3+1）（2x 3－1）,D 、2x y －x 2－y 2=（x －y ）211：分解因式：⑴22)(4)(n m n m --+；⑵ 36)(12)(2+---n m n m ⑶22914942y x xy -- ⑷22222)(624b a b a +-12.分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++--- .⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m .⑷ 63244914b b a a +-⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a 13.已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 14.已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值.15. 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。
初高中数学衔接预习教材(共19讲)：第1节 乘法公式
第1讲 乘法公式我们在初中学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=_____________________ （2）完全平方公式：（a ±b ）2=_____________________进入高中之后，我们将面临更多更复杂的运算。
我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：（3）立方和公式 22()()a b a ab b +-+=________________________； （4）立方差公式 22()()a b a ab b -++=________________________； （5）三数和平方公式 2()a b c ++=________________________； （6）两数和立方公式 3()a b += ________________________； （7）两数差立方公式 3()a b -= ________________________． 【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x - （3）2(21)x y ++【例3】 已知7,12x y xy +==，求22x y +的值【例4】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x+．【例5】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x-．【例6】 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数 2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（ ）A ．120B ．60C ．30D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是 4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是 5．()()22_________a b a b +--= ()222__________a b a b +=+- 6．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1）3(3)()27x x -=- （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+ （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=（7）221111()()9432a b a b -=+ （8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ) 8．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________．9．已知2310x x -+=，求3313x x++的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)nn x x x x --++++=_________________1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+ （4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+- （7）1132a b - （8）424ab ac bc -- 7． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b - 8．解：2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x∴-=-．（1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x=-++=-⨯+=-．9．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x+-++=++-+=-+=10．11n x +-。
2024–2025学年初升高数学衔接及预备知识(全国)衔接点01 乘法公式(解析版)
衔接点01乘法公式1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简3、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简4、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用1、初中知识再现（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；注意公式的正逆应用.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+（3）高频应用方式：①222()2x y x y xy+=+-②222()2x y x y xy+=-+③22()()4x y x y xy+=-+④22()()4x y x y xy-=+-⑤2222()()2()x y x y x y ++-=+⑥22()()4x y x y xy+--=2、高中相关知识（1）立方和公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+（2）立方差公式：3322()()x y x y x xy y -=-++（3）两数和立方公式：33223()33x y x x y xy y +=+++过程：32223223()()()()(2)33x y x y x y x y x xy y x x y xy y +=++=+++=+++（4）两数差立方公式：33223()33x y x x y xy y -=-+-过程：32223223()()()()(2)33x y x y x y x y x xy y x x y xy y +=++=+++=+++（5）三数和平方公式：2222()2()x y z x y z xy yz xz ++=+++++过程：2222222()(())()2()2()x y z x y z x y x y z z x y z xy yz xz ++=++=++++=+++++对点特训一：平方差公式的应用典型例题例题1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的宽为2x y -，长为2x y +，则这个长方形的面积是（）A．224x y -B．224x y +C．222x y -D．222x y +【答案】A【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积公式进行计算即可．【详解】解：由长方形的面积公式可得，22(2)(2)4x y x y x y +-=-．故选：A ．例题2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（）A．()()m n n m +-B．()()m n m n +--C．()()m n n m --D．()()m n n m ++【答案】A【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．【详解】解：A．()()22m n n m n m +-=-，能用平方差公式计算，因此选项A 符合题意；B．()()()2m n m n m n +--=-+，能用完全公式计算，因此选项B 不符合题意；C．()()()2m n n m m n --=--，能用完全公式计算，因此选项C 不符合题意；D．()()()2m n n m m n ++=+，能用完全公式计算，因此选项D 不符合题意；故选：A例题3．（2023·浙江丽水·模拟预测）先化简，再求值：()()()2422121x x x --+-，其中=1x -．【答案】1617,33x -+【分析】本题考查整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，再合并同类项，最后将x 的值代入化简后的式子计算即可．利用平方差公式，单项式乘多项式计算，然后进行加减运算可得化简结果，最后代值求解即可．【详解】解：(2)(2)(1)a a a a +-+-224a a a =-+-4a =-，将2024=a 代入原式202442020=-=．对点特训二：完全平方公式的应用典型例题例题1．（2023·广西南宁·模拟预测）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知6a b +=，8ab =，求2a +2b 的值．”可以这样解：将完全平方公式222()2a b a ab b +=++变形得到2a 222()262820b a b ab +=+-=-⨯=．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形BHEC 周长为16，15BHEC S =长方形，则ABCD CEFG S S +正方形正方形的值是（）A．34B．31C．64D．94【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键．由题意知，()216a b +=，15ab =，根据()2222ABCD CEFG a b a b ab S S =+++=-正方形正方形，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()216a b +=，15ab =，解得，8a b +=，∴()22222821534ABCD CEFG a b S b S a b a =+=+=+--⨯=正方形正方形，故选：A．例题2．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）若()()222023202526x x -+-=，则()22024x -的值是（）A．4B．8C．12D．16【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式()222a b a ab b ±=±+，熟练运用整体思想是解题的关键．设2024x a -=，(1)任选材料中一种方法解答：若()()22108124x x -+-=，求()(10x -(2)如图1，长方形ABCD 空地，15AB =米，12BC =米，在中间长方形度相同，设该宽度为x 米，则长方形EFGH 中，EF =米，FG =米（用含(3)在（2）的条件下，如图2，以长方形EFGH 四边为直径在形外做半圆，的面积为30平方米，求种花的面积．（结果保留π）【答案】(1)60-对点特训三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用【答案】（1）33+a b ，33a b -；（2）6；（3）14；（4）198【分析】（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；【详解】解：（1）()()22+-+a b a ab b =322223a ab ab a b ab b -++-+=33+a b ()()22a b a ab b -++=322223a ab ab a b ab b ++---=33a b -，故答案为：33+a b ，33a b -；（2）22a b +=()22a b ab-+=2221+⨯=6；（3）33a b -=()()22a b a ab b -++=()()23a b a b ab ⎡⎤--+⎣⎦=()22231⨯+⨯=14；（4）66a b +=()()224224a b a a b b +-+=()()22222223a b ab a b a b ⎡⎤⎡⎤-++-⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()()2222163+⨯-=198【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．2．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b +++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【分析】根据已知条件中的公式分解即可．【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b 6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【点睛】本题考查了因式分解−运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读理解题：拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把3234x x -+分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成()()32133x x +--，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：原式()()()()()32213311311x x x x x x x =+--=+-+-+-()()()()22113312x x x x x x =+-+-+=+-公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+，()()3322a b a b a ab b -=-++A．()()a b a b +--B．()()b m m b -+-C．()()x b x b --D．()()x a x a +-【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，根据平方差公式的形式：()()22a b a b a b +-=-，逐项判断即可．【详解】A、()()()()a b a b a b a b +--=-++，该选项不符合题意；B、()()()()b m m b m b m b -+-=--，该选项不符合题意；C、该选项不符合题意；D、()()x a x a +-符号平方差公式，该选项符合题意．故选：D3．（23-24八年级上·贵州黔南·阶段练习）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）A．()2222a b a ab b +=++B．()2222a b a ab b -=-+C．()()22a b a b a b -=+-D．()()2222a b a b a ab b +-=--【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案．【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为22a b -；图乙中阴影部分面积为一个长为a b +，宽为a b -的长方形面积，即为()()a b a b +-；∵图甲和图乙中阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：C．4．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A．()()11a a --B．()()22a a -+-C．()()a b a b -+-D．()()a b a b +-+【答案】D【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．【详解】解：A、()()()()1111a a a a --=---，不能用平方差公式计算，不符合题意；B、()()22a a -+-，不能用平方差公式计算，不符合题意；C、()()()()a b a b a b a b -+-=---，不能用平方差公式计算，不符合题意；D、()()()()a b a b a b a b +-+=-+-，能用平方差公式计算，符合题意；故选D．5．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．()()11a a -+B．()()a b a b ---+C．()()22a b b a+-D．()()x y x y +--【答案】D【分析】此题主要考查了乘法公式，根据乘法公式进行计算即可得到结论．【详解】解：A．()()2111a a a -+=-，故能用平方差公式计算，不符合题意；B．()()()2222a b a b a b a b ---+=--=-，故能用平方差公式计算，不符合题意；C．()()()2222242a b b a b a b a +=---=，故能用平方差公式计算，不符合题意；D．()()()()2222222x x xy y x xy y x y x y y =-=-+++-=---+-，故不能用平方差公式计算，符合题意．故选：D．6．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）多项式291x +加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式不能是（）A．6xB．6x -C．3x ±D．6x±【答案】C【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：多项式291x +加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式可以是6x ±,不能是3x ±,故选：C．7．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）若多项式216x mx ++是完全平方式，则m 的值为（）A．16B．4C．8±D．16±【答案】C【分析】本题考查完全平方式．根据2164=可确定m 是4的2±倍即可．【详解】222164x mx x mx ++=++ 248m ∴=±⨯=±．(1)观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是202220231a b m m ∴+=-+-=-，22(2022)(2023)2023m m -+-= ，222023a b ∴+=，1a b +=- ，2()1a b ∴+=，2221a ab b ∴++=，202321ab ∴+=，22022ab ∴=-，1011ab ∴=-，(2022)(2023)1011m m ∴--=-，(2022)(2023)m m ∴--的值为1011-．。
【初升高数学衔接教材讲义系列】第01章 乘法公式与因式分解(解析版)
第1章 乘法公式与因式分解【知识衔接】————初中知识回顾————1．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．2．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，初中课本涉及到的常用方法主要有：提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），因式分解与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．————高中知识链接————我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：学-科网证明：3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．【经典题型】初中经典题型1．如果，那么代数式的值是（）A．6 B．2 C．-2 D．-6【答案】A【点睛】本题考查了代数式求值，涉及到单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项等，利用整体代入思想进行解题是关键．2．若n满足（n-2011）2+（2012-n）2=1,则（2012-n）（n-2011）等于（）A．－1 B．0 C．D．1【答案】B【解析】分析：首先设a=n－2011，b=2012－n，然后根据完全平方公式得出ab的值，从而得出答案．详解：设a=n－2011，b=2012－n，∴a+b=1，，∴∴ab=1，即(n－2011)(2012－n)=1，故选B．【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是得出两个代数式的和为1，这是一个隐含条件． 3．已知：，则代数式的值是______．【答案】8【解析】分析：先将所求式子化简，然后将a 2+a ＝4整体代入计算即可求答案． 详解：＝＝，∵，∴原式＝4+4＝8． 故答案为：8．【点睛】本题考查了整式的加减运算、整体思想．正确进行计算，并利用整体思想将式子的值直接代入是解题的关键．4．已知x 2﹣2x ﹣1=0．求代数式（x ﹣1）2+x （x ﹣4）+（x ﹣2）（x+2）的值． 【答案】0【解析】分析：根据整式的运算法则即可求出答案． 详解：原式=x 2-2x-1+x 2-4x+x 2-4 =3x 2-6x-3 ∵x 2-2x-1=0∴原式=3（x 2-2x-1）=0【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 5．把下列各式分解因式：（1）224y x - （2）338y x -（2）22312123xy y x x +- （4）2232n mn m -+（5）b b a a 44222+-- （6）2222ab axy ay ax --+6．把下列各式因式分解：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．【解析】（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1来表示（如图2所示）． （2）由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图5）．7．求证：四个连续正整数3,2,1,+++n n n n （其中n 表示正整数）的积与1的和是完全平方数． 证明：（方法一）由题意，1)]2)(1)][(3([1)3)(2)(1(++++=++++n n n n n n n n2222222)13(1)3(2)3(1]2)3)[((3(++=++++=++++=n n n n n n n n n n－1－2 x x 图1－1 －21 1图2－2 61 1图3－ay －byx x图4－1 1x y图5所以得证．说明：将n n 32+看成整体进行配方即可．（方法二）由题意得，161161)3)(2)(1(234++++=++++n n n n n n n n 要证明上式是完全平方数，只要证明上式等于一个式子的平方． 令上式22)1(++=an n ，从而求得3=a ，所以得证．高中经典题型1．计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．2．已知)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定c b a ,,的值． 解：由题设，得)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--bc y c b x c b y xy x +-+++--=)3()23(37622比较对应项系数，得⎪⎩⎪⎨⎧==-=+a bc c b c b 131423，所以⎪⎩⎪⎨⎧===144c b a ．3．把2105ax ay by bx -+-分解因式．【解析】把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试． 4．把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．【解析】按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明：由此例可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用． 5．把22x y ax ay -++分解因式．【解析】把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +．22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+6．把2222428x xy y z ++-分解因式．【解析】先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．学科！网22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-说明：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是2．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是 3．()()22_________a b a b +--= ()222__________a b a b +=+-4．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 5．把下列各式因式分解(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x -- 6．把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++————再战高中题 —— 能力提升————B 组1．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1）3(3)()27x x -=-； （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+； （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=2．运用立方和与立方差公式计算：（1）2(3)(39)y y y +-+ （2）224224()()x y x x y y -++ 3．计算： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．若112x y -=，则33x xy y x xy y+---的值为( ) A ．35B ．35-C ．53-D ．535．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 6．已知2310x x -+=，求3313x x++的值．7．展开3(2)x -8．计算(1)(2)(3)x x x ---9．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 10．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x + (4) 32113121x x x -+-(5) 3223428x xy x y y --+11．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值． 12．证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n -+能被120整除． 13．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．第1章 乘法公式与因式分解答案1．乘法公式答案A 组1．6± 2．16 3．4ab ； 2ab 4．1695．(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-，∴ 276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．6．(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-．B 组1．（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+（4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+-2．（1）327y - （2）66x y -3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b - 4． D5．解：2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x∴-=-． （1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=； （2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x=-++=-⨯+=-．6．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x+-++=++-+=-+=7．326116x x x -+-8．43210355024x x x x -+-+ 9．444222222222x y z x y x z y z ---+++10．22()(),(42)(2),(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ 2(1)(3)(7),(2)(2)x x x x y x y ----+． 11．28312．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++13． 322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++。
衔接：第1节+乘法公式
【目标导读】1. 通过多项式的乘法推导出乘法公式；2. 掌握乘法公式，并能熟练运用。
【情景引入】我们已经学习了一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．学习高中数学还需要其它乘法公式，掌握这些公式后，将大大简化有关运算。
请大家思考下面的问题. 【问题导思】问题1 类比上面有关公式，计算下面的式子： （1）()3b a +.（2）()3a b -.问题2 （1）计算()()22b ab a b a +-+， （2）()()22a b a ab b -++.问题3 类比上面有关公式， 计算()2c b a ++.1. 乘法公式：（1）平方差公式 （2）完全平方公式 （3）两数和立方公式 （4）两数差立方公式 （5）立方和公式 （6）立方差公式 （7）三数和平方公式 【例题精析】【例1】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x - （3）2(21)x y ++解：（1）332(1)331x x x x +=+++ （2）332(23)8365427x x x x -=-+-（3）222(21)[(2)1](2)2(2)1x y x y x y x y ++=++=++++22444x xy y x =+++21y ++.【例2】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)164)(2)(2(24++-+a a a a（3）22222))(2(y xy x y xy x +-++ （4）()()()()111122+++--+x x x x x x解：（1）原式=333644m m +=+（2）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a（3）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=（4）原式＝16-x说明：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【例3】（1）已知7,12x y xy +==，求22x y +的值；（2）已知13x x +=，求221x x+的值； 解：（1）∵7,12x y xy +==，∴2222()2721225x y x y xy +=+-=-⨯=说明：常用配方法：()2222a b a b ab +=+-，()2222a b a b ab +=-+．（2）13x x +=，所以222211()2327x x x x+=+-=-=． 说明：（1）本题若先从方程13x x+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算． 引申探究1. 求331x x +的值. 2. 已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x-． 解：1.32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x+=+-+=++-=-=2.2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x∴-=-．（1）222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)3(111)36x x x x=-++=-⨯+=-．说明：本题若先从方程2310x x +-=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．【巩固练习】1.填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： （1）3(3)()27x x -=-； （2）3(23)()827x x +=+； （3）26(2)()8x x +=+； （4）3(32)()278a a -=-；（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=；（7）221111()()9432a b a b -=+；（8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ).解：（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+ （4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+- （7）1132a b -（8）424ab ac bc --2．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是 6± 3．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（B ）A ．120B ．60C ．30D ．15 4．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （A ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数 5. 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．6．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x-=____________．解：2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x∴-=-．（1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x=-++=-⨯+=-．。
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初高中衔接乘法公式(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2初高中数学衔接教材乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=（2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+(2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a（4）22222))(2(y xy x y xy x +-++【例4】已知2310x x -+=，求331xx +的值．3例5 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=解法二：原式=例6 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数4第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。
（2）=+-652x x __________________________________________________。
（3）=++652x x __________________________________________________。
（4）=--652x x __________________________________________________。
（5）()=++-a x a x 12______________________________________________。
（6）=+-18112x x __________________________________________________。
（7）=++2762x x __________________________________________________。
（8）=+-91242m m _____________________________________________。
（9）=-+2675x x ___________________________________ _______。
（10）=-+22612y xy x ___________________________________________。
2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x （5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ）A 、只有（1）（2）B 、只有（3）（4）C 、只有（3）（5）D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5） 2、分解因式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+- 3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ） A 、()()2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ，2=bB 、10=a ，2-=bC 、10-=a ，2-=bD 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式1、()()3211262+---p q q p 2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b2．提取公因式法例2 分解因式：（1） ()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解：课堂练习： 一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。
52、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________。
3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________。
4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。
5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________。
6、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________。
7．计算99992+=3：公式法例3 分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：课堂练习一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是______________________ 二、分解1、()()229n m n m ++-- 2、3132-x3、()22244+--x x 4、1224+-x x4．分组分解法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．课堂练习：用分组分解法分解多项式 （1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解：练 习 1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．6习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。