市北资优七年级分册 第18章 18.2 直角坐标平面内点的运动+詹刚键

第二节直角坐标平面内点的运动

18．2直角坐标平面内点的运动

数轴上，如果点A、B所对应的实数分别是a、b，那么A、B两点的距离AB＝|a－b|．

思考

在直角坐标平面内，已知x轴上两个点A（x1，0）、B（x2，0），y轴上两点C（0，y1）、D（0，y2），如何求AB、CD呢？

问题

在直角坐标平面内，已知直线AB平行于x轴，直线CD平行于y轴，A（一3，3）、B（4，3）、C（2，－2）、D（2，4），如何求AB、CD呢？

如图18．2．1，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别A'、B’，那么A’、B’的坐标分别为（－3，0）、（4，0），所以AB＝A'B'＝|（－3）－4|＝7．

图18．2．1

同理，可得CD＝C’D‘＝|（－2）－4 |＝6．

在直角坐标平面内，平行于x轴的直线上两点A（x1，y）、B（x2，y）的距离AB＝|x1－x2 |；

平行于y轴的直线上两点C（x，y1）、D（x，y2）的距离CD＝|y1－y2|．

例1在直角坐标平面内：

（1）已知点A（2，3），B（2，－5），求AB；

（2）已知点A（－5，－6），B（－7，－6），求AB．

解（1）AB＝|3－（－5）|＝8．

（2）AB＝|－5－（－7）|＝2．

例2 如图18．2．2，在直角坐标平面内，已知点A的位置．

图18．2．2

（1）描出点B，使直线AB平行于x轴，并且A、B两点的距离为2个单位；

（2）描出点C．使直线AC平行于y轴，并且A、C两点的距离为3个单位；

（3）点B的坐标是，点C的坐标是．

解到点A距离为2的点有无数个，是以A为圆心以2为半径的圆，但要使AB平行于x轴的点B有左右两个即B1（－3，－2）、B2（1，－2），同理点C有上下两个即C1（－1，1）、C2（－1，－5）．

例3如图18．2．3所示直角坐标平面内的四点A、B、C、D的坐标分别是（3，1）、（0，－2）、（－2，1）、（0，2），求四边形ABCD的面积．

图18．2．3

解把四边形ABCD的面积分成三角形BCD与三角形ABD的面积之和，则有

S ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝1

2

×BD×CH＋

1

2

×BD×AH＝

1

2

×4×2＋

1

2

×4×3＝10．

练习18．2（1）

1．如图，长方形ABCD的各边分别与x轴或y轴平行，已知A（－4．5，3．5）、B（－4．5，－1．5）、C（2．5、－1．5）、（2．5，3．5），那么这个长方形的周长是多少？面积是多少？

（第1题）

（第2题）

2．直角坐标平面内的一个图形如图所示．

（1）求梯形ABCD的面积；（2）求三角形AOB的面积．

3．已知A（1，3）、B（1，－1），且四边形ABCD是正方形，写出点C、D的坐标．

练习18．2（2）答案

1（1）（－2，－3）（2）（－3，4）（3）右9（4）下5

2（1）AB＝7（2）（5，－3）（3）等腰直角三角形

3A’（－2，－3），B’（－1，0），C’（2，－3）

操作1

如图18．2．4，将点A （－1，5）向右平移4个单位，到达点A '的位置，这个点A '的坐标是（3，5）； 将点B （－2，3）向左平移4个单位，到达点B ’的位置，这个点B ’的坐标是（－6，3）； 将点C （2，－3）向上平移4个单位，到达点C ’的位置，这个点C ’的坐标是（2，1）；

将点D （3，－1）向下平移4个单位，到达点D '的位置，这个点D '的坐标是（3，－5）；

图18．2．4

小结

一般地，在直角坐标平面内，如果点M （x ，y ）沿着x 轴或y 轴平行的方向平移m （m ＞0）个单位，那么可以得到以下结论：

向右平移所对应的点的坐标为（x ＋m ，y ）；向左平移所对应的点的坐标为（x －m ，y ）； 向上平移所对应的点的坐标为（x ，y ＋m ）；向下平移所对应的点的坐标为（x ，y －m ）． 平面内的点的平移可归纳为：左右平移时x 左减右加，上下平移时上加下减．

例4 直角坐标平面内，已知点A 的坐标是（－3，－2），把点A 向右平移5个单位到B 点，点B 向右平

移2个单位再向上平移6个单位到C 点，点C 向左平移5个单位到D 点，（1）写出B 、C 、D

的坐标；（2）把A 、B 、C 、D 顺次连接后得到什么图形？ （3）它的面积是多少？

分析 可先确定各点的位置，再由图形特征，利用平行四边形的面积公式S ＝ah 求得．

图18．2．5

解 如图18．2．5所示，

（1）确定B 、C 、D 各点的坐标为：B （2，－2）、C （4，4）、D （－1，4）． （2）顺次连接A 、B 、C 、D 得到平行四边形ABCD ．

（3） ∴ AB ＝|－3－2|＝5，从点D 作DH 上AB 于H ，得到DH ＝| 4－（－2）|＝6，

∴S ABCD ＝AB ×DH ＝5×6＝30

练习18．2（2）

1．填空

（1）把点A（2，－3）沿x轴向左方向平移4个单位，得到点的坐标为；

（2）把点B（－3，－1）向上平移5个单位，得到点的坐标为；

（3）把点C（－6，－4）向平移个单位，得到点的坐标为（3，－4）；

（4）把点D（－1，5）向平移个单位，得到点的坐标为（－1，0）；

2．在直角坐标平面内，已知点A（－2，－3）、B（－2，4），将点A向右方向平移7个单位，得到点C．（1）求A、B两点的距离；

（2）写出点C的坐标；

（3）判断三角形ABC的形状．

（第2题）

（第3题）

3．如图，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的图形△A'B 'C'，并写出各点坐标．

练习18．2（1）答案

1这个长方形的周长是24，面积是35

2点A、B、C、D的坐标分别是（2，3）、（－3，4）、（－3，0）、（2，0）（1）AD＝|3－0|＝3，BC＝|4－0|＝4，CD＝|－3－2|＝5．

所以梯形ABCD的面积S＝1

2

（AD＋BC）·CD＝

1

2

×（3＋4）×5＝

35

2

＝17．5

（2）三角形AOB的面积＝梯形ABCD的面积－三角形BOC的面积－三角形AOD的面积，

S＝35

2

－

1

2

·OC·BC－

1

2

·OD·AD＝

35

2

－

1

2

×3×4－

1

2

×2×3＝

17

2

＝8．5

3C（5，－1）、D（5，3）或C（－3，－1）、D（－3，3）