2020年江西省上饶市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ）
A.
B.
C. （1，2]
D.
12. 已知实数 x，y 满足 ln（4x+3y-6）-ex+y-2≥3x+2y-6，则 x+y 的值为（ ）
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
13. 抛物线 y=4x2 的准线方程为______．
（a 为参数）．
（1）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值； （2）直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，已知点 M（1，1），求|MA|⋅|MB|的值．
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23. 已知函数 f（x）=|ax-1|（a＞0） （1）若不等式 f（x）≤2 的解集为 A，且 A⊆（-2，2），求实数 a 的取值范围；
由图象知直线 3x-2y= 与直线 x-y=0 相交于 C 点， 则直线 x+my-2=0 过 C 点 ），
代入 x+my-2=0 得 + m-2=0
得 m=2- = ，得 m=2，
故选：D． 根据基本不等式的性质先求出目标函数的最大值，作出不等式组对应的平面区域，确定直线 x+my-2=0 过的定点坐标，求出定点坐标代入即可． 本题主要考查线性规划的应用，结合基本不等式求出目标函数的最值，利用数形结合是解决本题的 关键，综合性较强，考查学生的作图能力．
19. 已知圆 C1 的方程为（x+2）2+y2=32，点 C2（2，0），点 M 为圆 C1 上的任意一点，线段 MC2 的
垂直平分线与线段 MC1 相交于点 N．
（1）求点 N 的轨迹 C 的方程；
（2）已知点
，过点 A 且斜率为 k 的直线 l 交轨迹 C 于 P、Q 两点，以 OP、OQ 为邻
格需要修复的费用均为 200 元；第四环节生产合格的概率为 ，此环节不合格需要修复的费用为
100 元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附：
，其中 n=a+b+c+d．
P（K2≥K0） 0.150
K0
2.072
0.100 2.706
0.050 3.841
0.025 5.024
11.答案：A
解析：解：设 F'为双曲线的右焦点，连接 AF'，BF'，
由 • =0，可得 AF⊥BF，
可得四边形 AFBF'为矩形， 可设|AF|=m，|BF|=n， 由双曲线的定义可得 n-m=2a，m2+n2=4c2， 由 c2=a2+b2，
解得 n=
+a，m=
-a，
在直角三角形 ABF 中，tan∠BAF= =
使所得图象的对称轴与函数 g
的对称轴重合．
而由 2x+ =kπ，求得 x= - ，k∈Z，
故 g（x）的一条对称轴为 x=- ．
故当 x=- 时，sin（- -2φ+ ）=±1，故 φ 的最小值为 ，
故选：C． 利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论． 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
21. 已知函数
．
（1）讨论函数 f（x）的单调性．
（2）当 x＞1 且 x≠2 时，
恒成立，求 a 的取值范围．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
ρcosθ-2ρsinθ+1=0，曲线 C 的参数方程为
的前 n 项和为 Sn． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足
，求{cn}的前 n 项和 Tn．
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18. 如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1，
，E、F 分别为 BC、
BB1 的中点，点 D 为线段 AB 上一点，
（1）求证：AC1∥平面 DEF； （2）若 AC1⊥EF，求二面角 F-DE-B 的余弦值．
10.答案：D
解析：解：设 a+b=A，A≠0，且 A＞0； 则 =（ + ）（a+b）• = •（2+ + ）≥ •（2+2 当且仅当 a=b 时取“=”； 此时 A= ，即 z 的最大值为 ；
）= =6，
由不等式组
知，x+my-2=0 是过定点（2，0）
的直线， 作出不等式组对应的平面区域以及 3x-2y= 的图象如图，
14. 如图，图象是由部分正弦曲线 y=sinx 与余弦曲线 y=cosx 及矩形 ABCD 组成，向矩形 ABCD 内掷
一粒豆子，若豆子落在矩形 ABCD 内的任一位置是等可能的，则豆子落在阴影部分区域的概率
为______．
15. 一个棱长为 12 的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转 动，则该正四面体的体积的最大值是______．
∴13a1+
=8a1+ d，化为：2a1+20d=0，a1+10d=0，则 a11=0,
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因为 a3+a19=2a11， 可得 a3+a19=0， 又 a3+ak=0，∴k=19． 故选 C．
5.答案：C
解析：解：向量 、 的夹角为 ，且
，
，
则=
=
=．
故选：C． 利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
5. 已知向量 、 的夹角为 ，且
，
，则 =（ ）
A.
B. 10
C.
D. 26
6. “
”是函数 f（x）=
在 R 上单调递减的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 多项式
的展开式中各项系数的和为 3，则该展开式中 x3 的系数是（ ）
A. -184
B. -84
C. -40
D. 320
8. 将函数 f
的图象沿 x 轴向右平移 φ 个单位（φ＞0），使所得图象的对称轴与函
数g
的对称轴重合，则 φ 的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 若某几何体的三视图如图所示，其中主视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，则该几何体的体 积为（ ）
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，
∴=
=
= + i= ，
解得 a=1，
∴|z|=
=
=．
故选：B．
推导出 =
= + i= ，解得 a=1，由此能求出|z|．
本题考查复数的模的求法，考查复数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.答案：C
解析：【分析】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】 解：设等差数列{an}的公差为 d，∵S13=S8，
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对附着在 B 材料上再结晶做了 30 次试验，成功 20 次．用二列联表判断：是否有 99.5%的把握
认为试验是否成功与材料 A 和材料 B 的选择有关？
A 材料
B 材料
成功
不成功
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及 UV 胶层；②石
墨烯层；③银浆线路；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为 ，每个环节不合
2.答案：D
解析：【分析】 本题考查概率的求法，等可能事件，考查抽样方法，属基础题．
不管利用什么抽样方法，每个个体被抽到的概率相同的，是定值 P= ,由此可求解．
【解答】 解：∵从 2019 名学生中选取 50 名学生加入“交通志愿者”，
∴每名学生入选的概率 P=
=．
故选 D．
3.答案：B
解析：解：∵复数 z=2+ai（a∈R），
7.答案：A
解析：解：令 x=1，可得多项式
的展开式中各项系数的和为（a+1）×1=3，∴a=2，
∴多项式即（ +x3）•
=（ +x3）•（x6-12x4+60x2-160+240x-2-192x-4+64x-6），
故它的展开式中 x3 的系数为 2•（-12）+（-160）=-184， 故选：A．
先由题意求出 a 的值，再把
按照二项式定理展开，可得（ +x3）•
中 x3 的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8.答案：C
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解析：解：将函数 f
的图象沿 x 轴向右平移 φ 个单位（φ＞0），
可得 y=sin（2x-2φ+ ）的图象，
16. 在△ABC 中，AB=3AC，AD 是∠A 的平分线，且 AD=mAC，则实数 m 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 已知首项为 1 的等比数列{an}满足 a2+a4=3（a1+a3），等差数列{bn}满足 b1=a2，b4=a3，数列{bn}
2020 年江西省上饶市高考数学二模试卷（理科）
2020届江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷(理)含解析(加精)
2019年江西省上饶市六校联考高考二模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z2=3﹣4i，则z的模是（）A．B．5 C．D．12．若全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3 B．4 C．7 D．83．函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1） C．[1，3）D．（1，+∞）4．在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A． B．C．D．5．设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）=（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.72%）A．13.59% B．15.73% C．27.18% D．31.46%6．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.37．上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24 B．36 C．42 D．608．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．9．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15] C．[0，25）D．[0，15]10．已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．311．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A． B．C．D．12．已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是．14．若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为．15．抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p=．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）=1+S n对一切正整数n恒成立．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．19．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=，若△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2=k3•k4，求OB2+OC2的值．21．已知f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．2019年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z2=3﹣4i，则z的模是（）A．B．5 C．D．1【考点】A8：复数求模．【分析】由复数模的公式求解即可．【解答】解：∵复数z满足z2=3﹣4i，∴|z|2==5，∴|z|=，故选A．2．若全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】16：子集与真子集．【分析】根据题意，有补集的定义可得集合A，再由集合真子集的定义可得A的真子集有∅、{4}、{5}，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，则A={4，5}，A的真子集有∅、{4}、{5}，共3个；故选：A．3．函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1） C．[1，3）D．（1，+∞）【考点】3G：复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．【解答】解：令t=﹣x2+2x+3，由﹣x2+2x+3＞0，得﹣1＜x＜3．函数t=﹣x2+2x+3的对称轴方程为x=1，二次函数t=﹣x2+2x+3在[1，3）上为减函数，而函数y=为定义域内的减函数，∴函数的单调增区间是[1，3）．故选：C．4．在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A． B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，即可得答案．【解答】解：由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，排除A，D选项．B选项视图可知，挖出是一个正方体，∴B不对．故而C满足题意．故选C5．设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）=（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.72%）A．13.59% B．15.73% C．27.18% D．31.46%【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意，P（1＜X＜3）=0.6826，P（﹣1＜X＜5）=0.9972，利用P（|X|＜1）= [P （﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]，可得结论．【解答】解：由题意，P（1＜X＜3）=0.6826，P（﹣1＜X＜5）=0.9972，∴P（|X|＜1）= [P（﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]=0.1573，故选B．6．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3【考点】8B：数列的应用．【分析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组求出a1，d，由此能求出中间两节可盛米的容积，可得结论．．【解答】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由题意得，解得a1=1.306，d=﹣0.06，∴中间两节可盛米的容积为：a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=2.292这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.292+3.9+3≈9.2（升）．故选：C．7．上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24 B．36 C．42 D．60【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按3人选择通道口的数目分3种情况讨论，①、3人选择同一个通道口进站，②、3人选择2个通道口进站，③、3人选择3个通道口进站，分别求出每一种情况的进站方式数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、3人选择同一个通道口进站，通道口有3种选择，3个人的前后顺序有A33种情况，则此时有3×A33=18种进站方式，②、3人选择2个通道口进站，先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，在3个通道口中任选2个，有A32=6种情况，考虑2人组的前后顺序，有A22=2种情况，此时有3×6×2=36种进站方式，③、3人选择3个通道口进站，将3人全排列，对应3个通道口即可，有A33=6种进站方式，则这个家庭3个人的不同进站方式有18+36+6=60种；故选：D．8．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由范围α，β∈[0，π]，可求α﹣β∈[﹣π，π]，利用两角差的正弦函数公式可得sin（α﹣β）=1，可求α﹣β=，进而求得2α﹣β的范围，利用余弦函数的图象即可得解．【解答】解：∵α，β∈[0，π]，则α﹣β∈[﹣π，π]，又∵sinαcosβ﹣sinβcosα=sin（α﹣β）=1，∴α﹣β=，∴2α﹣β∈[，]，∴cos（2α﹣β）∈[﹣1，0]．故选：B．9．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15] C．[0，25）D．[0，15]【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】根据=|﹣|，两边平方求出•≥﹣15；再利用平面向量数量积的定义求出•＜25，从而得出的取值范围．【解答】解：在等腰△AOB 中，|OA |=|OB |=5，=|﹣|，∴≥，即+2•+≥﹣•+，∴25+2•+25≥﹣•+，解得•≥﹣15；又•=5×5×cosA ＜25，∴﹣15≤•＜25；即的取值范围是[﹣15，25）．故选：A ．10．已知双曲线C ：=1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ=且，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D ．3【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】确定△QAP 为等边三角形，设AQ=2R ，则OP=R ，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且，所以△QAP 为等边三角形，设AQ=2R ，则PQ=2R ，OP=R ，渐近线方程为y=x ，A （a ，0），取PQ 的中点M ，则AM=，由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①，在△OQA中，=，所以R2=a2②①②结合c2=a2+b2，解得c2=b2=（c2﹣a2），即为3c2=7a2，可得e===．故选：B．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A． B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】由，得，即cosA=，得A=．由，得，⇒则m=2×=2×=2×．【解答】解：∵，∴⇒⇒，∴cosA=，得A=．∵O是△ABC外接圆的圆心，∴由，得，⇒⇒⇒∴m=2×=2×=2×=．故选：C12．已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【解答】解：，其中ω＞0，则函数=sin2（x）+sinωx﹣=﹣cosωx+sinωx﹣=sin（ωx﹣），可得T=≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，结合三角函数可得，或，解得≤ω≤或0＜ω≤，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是16．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=2018时满足条件i＞2019，退出循环，输出A的值为62018，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=6，i=1执行循环体，A=62，i=2，不满足条件i＞2019，执行循环体，A=63，i=3不满足条件i＞2019，执行循环体，A=64，i=4…不满足条件i＞2019，执行循环体，A=62018，i=2018满足条件i＞2019，退出循环，输出A的值为62018，可得输出数字A的末两位数字是16．故答案为：16．14．若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为﹣1280．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】令x=1，则3n=729，解得n=6，再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则3n=729，解得n=6，=（﹣1）r（4x）6﹣r=（﹣1）r46﹣r，∴展开式的通项公式：T r+16﹣=2，解得r=3．∴该二项式的展开式中x2项的系数为﹣1280．故答案为﹣1280．15．抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p=3．【考点】67：定积分．【分析】直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2=2px（p＞0）⇒x=，根据定积分的几何意义得2（）dy=p2﹣6，即可求p．【解答】解：直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2=2px（p＞0）⇒x=，根据定积分的几何意义得2（）dy=p2﹣6，∵（）′=，∴2×=p2﹣6，解得p=3，故答案为：3．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实根，则m 的取值范围是（﹣∞，1）∪{2} ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，作出f（x）的图象，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，解方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：化简可得f（x）=，当x≥0时，f（x）≥0，f′（x）==，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，故当x=时，函数f（x）有极大值f（）==；当x＜0时，f′（x）=＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）对应的图象如图：∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）=．设t=f（x），则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0，即为t2﹣mt+m﹣1=0，解得t=1，或t=m﹣1．当t=1时，方程t=f（x）有3个不等实根，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实数根，即有t=m﹣1=1，即m=2或无实数根．当m﹣1＜0，即m＜1时，t=m﹣1无实数根．则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2}．故答案为：（﹣∞，1）∪{2}．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得a n+1=2a n，再由数列{a n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求．【解答】解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由两天都下雨的概率求出p的值，写出基地收益X的可能取值，计算对应的概率；写出该基地收益X的分布列，计算数学期望E（X）；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，计算数学期望E（Y），比较E（X）、E（Y）即可得出结论．【解答】解：（1）两天都下雨的概率为（1﹣p）2=0.04，解得p=0.8；该基地收益X的可能取值为10，8，5；（单位：万元）则：P（X=10）=0.64，P（X=8）=2×0.8×0.2=0.32，P（X=5）=0.04；所以该基地收益X的分布列为：E（X）=10×0.64+8×0.32+5×0.04=9.16（万元），所以，基地的预期收益为9.16万元；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益：E（Y）=11×0.8+6×0.2﹣0.5=9.5（万元）；此时E（Y）＞E（X），所以该基地应该外聘工人．19．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=，若△PAD 是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥PC，通过计算求解证明PC⊥PD，然后证明PC⊥平面PAD．（2）建系求出相关点的坐标，求出平面PBC的法向量，设直线AB与平面PBC所成的角是θ利用空间向量的数量积求解直线AB与平面PBC所成的角即可．【解答】（1）证明：由已知得：PA⊥PD，PA⊥CD，所以PA⊥平面PCD，即PA⊥PC在直角梯形ABCD中，AB=1，，由△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形得：AP=PD=1由PC2+AP2=AC2，得，可算得：PC2+PD2=CD2所以：PC⊥PD，即PC⊥平面PAD．（2）如图建系，可得：A（1，0，0），，D（0，0，1），P（0，0，0），，设平面PBC的法向量为，则有，令x=1得：，设直线AB与平面PBC所成的角是θ，∴所以直线AB与平面PBC所成的角是．20．已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2=k3•k4，求OB2+OC2的值．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）在△AF1F2中，由正弦定理得a，结合焦点坐标求出c，求解b，可得椭圆方程．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．通过斜率乘积转化求解OB2+OC2的值即可．【解答】解：（1）在△AF1F2中，由正弦定理得：，所以，解得，b=1，所以椭圆C的方程为：．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．由，所以，即，于是有，即∴．21．已知f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导函数的符号判断函数的单调性，求解单调区间即可．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，得到恒成立，设，求出利用函数的单调性求出函数的最值，即可求解a的范围．【解答】解：（1）由得：由于定义域为{x|x≠0}，所以由y'＞0得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0所以由y'＜0得：x＜﹣1或x＞1即得函数在区间（0，1），（﹣1，0）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，即恒成立设得：，因为它们的定义域（0，+∞），所以易得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；这两个函数在x=1处，g（x）有最小值，h（x）有最大值，所以要使不等式恒成立，则只需满足，即a＜﹣1﹣e．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出C1，C2的普通方程，即可求C1，C2的极坐标方程；（2）利用极径的意义，求线段AB的长度．【解答】解：（1）设点P（x，y），M（2cosα，2+2sinα），则由得：x=4cosα，y=4+4sinα，消参得：x2+（y﹣4）2=16．转化为极坐标方程得：ρ=8sinθ，所以C2的极坐标方程ρ=8sinθ，同理可得C1的极坐标方程ρ=4sinθ．（2）在极坐标系，可得，，所以．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为b≥f（x）max=a+2，求出b的范围即可．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）＞1得，|2x+1|﹣|2x﹣1|＞|x|，x＞时，2x+1﹣2x+1＞x，解得：x＜2；0≤x≤时，2x+1+2x﹣1＞x，解得：x＞0，﹣＜x＜0时，2x+1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞0（舍），x≤﹣时，﹣2x﹣1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞2（舍），所以不等式f（x）≥1的解集为（0，2）；（2）不等式f（x）≤b得：b≥f（x）max，，∴b≥f（x）max=a+2，又因为对任意的a∈（0，1）恒成立，所以b≥3．。
2020江西省南昌市高三二模理科数学试题及答案
1 2n1 )
3n 2n
2
1 3(1
1 2n1 )
3n 2n
2
4
3n 2n
4
…12 分
18.【解析】（Ⅰ） ABD 中， AB 4, AD 2, DAB 60o ，由余弦定理得 BD 2 3 …2 分
则 AD2 BD2 AB2 ，即 AD BD ，
…4 分
z
而 AD D1D ， BD D1D D ,故 AD 面 D1DBB1 ，
NCS20200707 项目第二次模拟测试卷
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B A A D B D C D B B C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．
2
32
30
| n | | AB |
74
21
，
7
21 即直线 AB 与平面 A1D1DA 所成角的正弦值为 7 .
………12 分
19.【解析】（Ⅰ）设 A1(a, 0), A2 (a, 0)，M (x0 , y0 ) ，
由 x02 a2
y02 b2
1，知 y02
b2 a2
( x02
a2) ，
所以， kMA1
3,1, 0)
设平面
B1BC
的法向量为
n
(x,
y,
z)
，则
n1
BB1
0
3x z 0
，
江西省南昌市2020届高三下学期二模(理科)数学试卷(答案)
由② 1 2 ea 0 得 a (0,1) ae e
综上所述， a (1 ln 2,1) .
………12 分
21.【解析】（Ⅰ）由表可得：
所以， K 2 50 101114 152 1.282 2.706,
24 26 25 25 所以没有 90 00 的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关；
0.9974 0.9544 0.043 ，
………2 分
………4 分 ………6 分 ………7 分
………9 分
— 高三理科数学（模拟二）答案第3页—
设从服从正态分布 N (, 2 ) 的总体（个体数无穷大）中任意取 5 个个体，
其中值属于 ( 3 , 2 ) ( 2 , 3 ) 的个体数为Y ，则Y ~ B5,0.043 ，
8
4 x2
9，
则 4x4 17x2 4 0 ，得 1 x2 4 ，即 2 x 1 或 1 x 2 ，
4
22
所以，所求不等式的解集为 (2, 1 ) (1 , 2) ； 22
………5 分
（Ⅱ）因为 f (x) | ax 1 | | x a || (ax 1 ) (x a ) | | a 1|| x 1 |
ae
ae
— 高三理科数学（模拟二）答案第2页—
所以，当 a 0 时，增区间为 ( 1 , ) ，减区间为 (0, 1 ) ；
ae
ae
当 a 0 时，增区间为 (, 1 ) ，减区间为 ( 1 , 0) ；（每类讨论 2 分）
ae
ae
………5 分
（Ⅱ）因为 g(x) x ln ax 2 ea 有两个正零点，则 a 0 . e
NCS20200707 项目第二次模拟测试卷
江西省上饶市2024届高三第二次高考模拟考试数学参考答案
上饶市2024届高三二模数学参考答案1. A2.D3.B4.C5.D6.C7.A8.D9. AC 10.BCD 11.ABD.12.13. 14.8.解设双曲线C 的左焦点为1F ，如图，取线段MN 的中点H ，连接2HF ，则2222F M F N F H +=．因为()220MN F M F N ⋅+= ，所以20MN F H ⋅=，即2MN F H ⊥，则22MF NF =．设22MF NF m ==．因为21122MF MF NF NF a −=−=，所以1221114NF NF MF MF NF MF MN a −+−=−==，则2MHNH a ==，从而1HF m =得22222m a c =+．因为直线l 的斜率为13，所以121tan 3HF F ∠=，整理得222219c a a c −=+，即2254a c e =⇒=，11.解: 如图，对于A ，因为,AD SD AD DC ⊥⊥，又,,SD DC D SD DC ∩=⊂面SDC ， 所以AD ⊥面SDC ， SDC BC 平面⊥ 又因为120,2SDC SD CD ∠=°==,SBC A ABC S V V −−=,得点A 到平面SBC 的距离为1.A 正确。
对于B ，因为SP PB =，所以点P 为棱SB 的中点，取SC 中点为Q ，连接,PQ DQ ，可得平面APQD 即平面α截此四棱锥所得截面， 且由于Q 是SC 的中点，点P 为棱SB 的中点，所以在SBC △中，PQ 是SBC △的中位线，则121==BC PQ ，//PQ BC ， 又因为四边形ABCD 是正方形，则//BC AD ，所以/PQ AD ， 因为AD ⊥面SDC ， AD ⊄面SDC ，QC ⊂面SDC ，所以四边形APQD 是以AD 为下底、PQ 为上底，DQ 为高的直角梯形，因为2SDCD ==，在等腰三角形SCD 中，QD BC ⊥，且QD 平分ADC ∠， 则11cos 2122QD CD SDC =⋅∠=×=，则平面α截此四棱锥所得截面的面积为231)21(21=⋅+，故B 正确； 对于C ，又因为120,2SDC SD CD ∠=°==，所以2cos302cos30SC =+= 所以24sin SC rSDC ==∠，即2r =，其中r 为SCD 外接圆半径， 因为AD ⊥面SDC ，所以四棱锥S ABCD −外接球的半径为5)22(222=+=R ， 所以四棱锥S ABCD −外接球的表面积为π20，故C 不正确；对于D ，建立直角坐标系，当P 为靠近S 的三等分点时，线面角有最大值772 故选：ABD.31](60，233−14：解：xx x x x e x x e e x x x e x x a ln ln )1(ln 2)1(ln 2)1(ln 2+++=++=++≥令R x x t ∈+=ln ，te t t g )1(2)(+=，t e tt g 2)('−= 当0)('0,0)('0<>><t g t t g t 时，时，所以)(t g 最大值为2)0(g =，2≥a ，得2=m由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期, 所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=或x=或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=,x=,x=π或x=0时取到,且f=,f=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为. 15.解：（1）有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”（2）见解析 【解析】（1）根据题中所给数据可得到如下列联表： 甲基地 乙基地 优质果 250230非优质果5070， (4)分 因此，有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”。
2020版高考数学二模试卷(理科)
2020版高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）“m＝－1”是“函数在上单调递减”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2018高二下·绵阳期中) 若复数，则 |z|2= （）A .B .C .D .3. （2分）如图所示给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内可以填的条件是（）A . i>9B . i>19C . i>10D . i>204. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知，，，则向量与向量的夹角是（）A .B .C .D .5. （2分）设等差数列{an}的公差d不为0．若a1=18，且a1 ， a4 ， a8成等比数列，则公差d=（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A .B .C .D . 17. （2分） (2015高二下·霍邱期中) 已知a，b，c均大于1，且logac•logbc=4，则下列各式中，一定正确的是（）A . ac≥bB . ab≥cC . bc≥aD . ab≤c8. （2分）函数的部分图象如图所示，则A .B .C .D .9. （2分）已知函数：，当时，下列选项正确的是（）A . f(a)>g(a)>h(a)B . g(a)>f(a)>h(a)C . g(a)>h(a)>f(a)D . f(a)>h(a)>g(a)10. （2分）若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A . 相交B . 异面C . 平行D . 异面或相交11. （2分）已知直线l：y=kx与椭圆C：+=1（交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）方程cos（π+x）=（）x在区间（0，100π）内解的个数是（）A . 98B . 100C . 102D . 200二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·涟水月考) 江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有________种不同的选课组合.（用数字作答）14. （1分） (2019高二上·四川期中) 设x，y满足约束条件，则的最小值为________.15. （1分） (2016高二上·眉山期中) 如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围为________．16. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知函数的值域为R，则实数a的最大值是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2017高一下·宜昌期末) 在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且A、B、C成等差数列．△ABC的面积为．（1）求：ac的值；（2）若b= ，求：a，c 的值．18. （10分）(2013·辽宁理) 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19. （5分）(2017·雨花模拟) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4，分别以a1 ， a2 ， a3 ， a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（Ⅰ）写出X的可能值集合；（Ⅱ）假设a1 ， a2 ， a3 ， a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．20. （10分） (2017高二上·如东月考) 在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，，且经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上，且，求的值.21. （15分） (2016高三上·邯郸期中) 设函数f（x）=lnx+ ，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．22. （5分）(2017·三明模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1 ．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．23. （5分） (2017高三上·廊坊期末) 已知函数f（x）=|x﹣ |﹣|2x+1|．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证： + + ≥1．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
2019-2020年高三数学二模试卷(理科)(2) 含解析
2019-2020年高三数学二模试卷（理科）（2）含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，若|PF|=4，点P到y轴的距离等于等于3，则点F的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（﹣2，0）5．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．7．（x2﹣x﹣2）6的展开式中x2的系数等于（）A．﹣48 B．48 C．234 D．4328．设x，y满足，若z=x2﹣10x+y2的最小值为﹣12，实数a的取值范围是（）A．a B．a C．a D．a9．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．12810．已知函数f（x）=（﹣x2+ax+b）（e x﹣e），当x＞0时，f（x）≤0，则实数a的取值范围为（）A．a＞0 B．0＜a≤1 C．a≥1 D．a≤111．已知A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π12．已知y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x）．若f（x）﹣f（﹣x）=2x3，且当x≥0时，f′（x）＞3x2，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1的解集是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知θ为第四象限角，sinθ+3cosθ=1，则tanθ=．14．对于同一平面的单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值是．15．已知A，B为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上两点，O为坐标原点，若△OAB是边长为c的等边三角形，且c2=a2+b2，则双曲线C的渐近线方程为．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，S1=6，S2=4，S n＞0，且S2n，S 2n．S 2n+2成等比数列，﹣1S2n．S2n+2，S2n+1成等差数列，则a2016等于．﹣1三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．20．以椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=a（x﹣1）（e x﹣a）（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f（x1）＜且0＜f（x2）＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C，过点C作AC的垂线，交AD的延长线于点E．（Ⅰ）求证：△CDE为等腰三角形；（Ⅱ）若AD=2，=，求⊙O的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+a|，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）若存在x0满足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范围．2016年江西省南昌市十所重点中学高考数学二模试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）≤0，解得：﹣≤x≤3，即A={x|﹣≤x≤3}，∵B={x∈Z|x≤2}={2，1，0，﹣1，…}，∴A∩B={0，1，2}，即有3个元素，故选：B．2．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】z（1﹣i）=|1﹣i|+i，化为z=，再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：∵z（1﹣i）=|1﹣i|+i，∴z===+i，∴z的实部为．故选：A．3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的定义与前n项和求解即可．【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选：B．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，若|PF|=4，点P到y轴的距离等于等于3，则点F的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（﹣2，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质可知=1，从而得出焦点坐标．【解答】解：∵|PF|=4，∴P到准线x=﹣的距离等于4．∵点P到y轴的距离等于等于3，∴．∴F的坐标为（1，0）．故选：B．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次运行后s=2，a=3，n=1；第二次运行后s=5，a=5，n=2；第三次运行后s=10，a=9，n=3；第四次运行后s=19，a=17，n=4；第五次运行后s=36，a=33，n=5；第六次运行后s=69，a=65，n=6；此时不满足s＜t，输出n=6，故选：B．6．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别计算奖票的所有排列情况和第四次活动结束的抽取方法即可．【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A=120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A A=36种取法，∴P==．故选：C．7．（x2﹣x﹣2）6的展开式中x2的系数等于（）A．﹣48 B．48 C．234 D．432【考点】二项式系数的性质．【分析】先把多项式化简，再用二项式定理展开式中的通项求出特定项的系数，求出对应x2项的系数即可．【解答】解：（x2﹣x﹣2）6=（x+1）6（x﹣2）6，（x+1）6的二项式定理的展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣r，（x﹣2）6的二项式定理的展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣r•（﹣2）r（x2﹣x﹣2）6展开式里x2的系数为：C66（﹣2）6C64+C65（﹣2）5C65+C64（﹣2）4C66 =48．故选：B．8．设x，y满足，若z=x2﹣10x+y2的最小值为﹣12，实数a的取值范围是（）A．a B．a C．a D．a【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简可得（x﹣5）2+y2的最小值为13，从而结合图象解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，∵z=x2﹣10x+y2=（x﹣5）2+y2﹣25的最小值为﹣12，∴（x﹣5）2+y2的最小值为13，直线ax+y﹣1=0恒过点A（0，1），直线y=x﹣1与圆（x﹣5）2+y2=13相切于点（2，2）；∵ax+y﹣1=0可化为y=﹣ax+1，故﹣a≥k l==，故a≤﹣；故选：A．9．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．10．已知函数f（x）=（﹣x2+ax+b）（e x﹣e），当x＞0时，f（x）≤0，则实数a的取值范围为（）A．a＞0 B．0＜a≤1 C．a≥1 D．a≤1【考点】函数的值．【分析】设g（x）=﹣x2+ax+b，h（x）=e x﹣e，根据条件当x＞0时f（x）≤0，判断两个函数的符号关系得到g（x）必需过点（1，0）点，建立a，b的关系，根据一元二次函数根的关系进行求解即可．【解答】解：设g（x）=﹣x2+ax+b，h（x）=e x﹣e，则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（1）=0，若当x＞0时f（x）≤0，则满足当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，即g（x）必需过点（1，0）点，则g（1）=﹣1+a+b=0，则b=1﹣a，此时函数g（x）与h（x）满足如图所示：此时g（x）=﹣x2+ax+1﹣a=﹣（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]，则满足函数g（x）的另外一个零点a﹣1≤0，即a≤1，故选：D．11．已知A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，直线OA与截面ABC 所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，分析BC即为A，B，C所在平面截球形成圆的直径，根据直线AO与平面ABC成30°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．【解答】解：∵A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成30°角则球的半径R==故球的表面积S=4×π×（）2=π故选：D．12．已知y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x）．若f（x）﹣f（﹣x）=2x3，且当x≥0时，f′（x）＞3x2，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1的解集是（）A．B．C．D．【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】先构造函数令F（x）=f（x）﹣x3，判断出F（x）的奇偶性和单调性，即可得到|x|＞|x﹣1|，解得即可．【解答】解：令F（x）=f（x）﹣x3，则由f（x）﹣f（﹣x）=2x3，可得F（﹣x）=F（x），故F（x）为偶函数，又当x≥0时，f′（x）＞3x2即F′（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上为增函数．不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1化为F（x）＞F（x﹣1），所以有|x|＞|x﹣1|，解得x＞．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知θ为第四象限角，sinθ+3cosθ=1，则tanθ=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据三角函数的定义和同角的三角函数的关系建立方程即可得到结论．【解答】解：由sinθ+3cosθ=1得cosθ=﹣sinθ，平方得cos2θ=（﹣sinθ）2=﹣sinθ+sin2θ，即sin2θ+cos2θ=﹣sinθ+sin2θ=1，即5sin2θ﹣sinθ=4，∵θ是第四象限的角，∴解得sinθ=1（舍）或sinθ=﹣，即cosθ=．tanθ=﹣．故答案为：﹣．14．对于同一平面的单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可由条件得到，且，，从而进行向量数量积的运算便可得到，其中θ表示向量和的夹角，从而便可得出的最大值．【解答】解：根据条件，；∴；∴；∴===，θ表示向量和向量的夹角；∴的最大值为．故答案为：．15．已知A，B为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上两点，O为坐标原点，若△OAB是边长为c的等边三角形，且c2=a2+b2，则双曲线C的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用对称性可得AB⊥x轴，求得A的坐标（c，），代入双曲线的方程，由a，b，c的关系，化简整理可得a=b，进而得到渐近线方程．【解答】解：由对称性可得AB⊥x轴，△OAB是边长为c的等边三角形，可得|AB|=c，设A（c，），代入双曲线的方程可得，﹣=1，由c2=a2+b2，化简可得，3b4﹣2a2b2﹣a4=0，可得a=b，即有渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，S1=6，S2=4，S n＞0，且S2n，S 2n．S 2n+2成等比数列，﹣1S2n．S2n+2，S2n+1成等差数列，则a2016等于﹣1009．﹣1【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知推导出数列{}是等差数列，且S3=12，S4=9，从而数列{}是首项为2，公差为1的等差数列，由此能求出a2016的值．．S 2n+2成等【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，S1=6，S2=4，S n＞0，且S2n，S 2n﹣1比数列，S2n．S2n+2，S2n+1成等差数列，﹣1∴依题意，得，∵S n＞0，∴+，即，故数列{}是等差数列，又由，（3b2+a2）（b2﹣a2）=0，得S3=12，S4=9，∴数列{}是首项为2，公差为1的等差数列．∴，即，故=（n+1）（n+2），故，S2015=1009×1010，故a2006=S2006﹣S2005=﹣1009．故答案为：﹣1009．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（I）在△BCD中由正弦定理解出BD，在△ABD中，由余弦定解出cos∠ADB；（II）代入三角形的面积公式计算．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：，即，解得BD=3．在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB===．∴∠ADB=45°．（Ⅱ）∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．∴sin∠ADC=sin（45°+30°）=，∴S△ACD=•CDsin∠ADC==．18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）求出每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，利用题意可得：X～B （3，0.6），根据概率分布知识求解即可．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05；（Ⅱ）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，由题意可得：X～B（3，0.6）19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，∵BD⊂平面平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，∴OB=1，OA=，∵AA1=2，∴A1O=1．则A（，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，1），C（﹣，0，0），==（﹣，1，0），=（0，1，0），=（﹣，0，0），=（0，0，1），则=+=（﹣，1，1），设平面BOB1的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=，则y=0，z=3，即=（，0，3），设平面OB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=0，则=（0，1，﹣1），cos＜，＞===﹣，∵二面角B﹣OB1﹣C是钝二面角，∴二面角B﹣OB1﹣C的余弦值是﹣．20．以椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得，从而解得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）易知，设M（0，m），N（0，n），P（x0，y0），从而可得，且Q（﹣x0，﹣y0），，=（﹣，m），从而化简可得，．假设存在满足题意的x轴上的定点R（t，0）化简可得t2=﹣，再结合3=3﹣解得．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得解得故椭圆C的标准方程为．（Ⅱ），设M（0，m），N（0，n），P（x0，y0），则由题意，可得，且Q（﹣x0，﹣y0），，=（﹣，m），因为A，P，M三点共线，所以，故有，解得．同理，可得．假设存在满足题意的x 轴上的定点R （t ，0），则有，即．因为，，所以t 2+mn=0，即，整理得，t 2=﹣，又∵3=3﹣，∴t 2=1，解得t=1或t=﹣1．故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点（﹣1，0），（1，0）．21．已知函数f （x ）=a （x ﹣1）（e x ﹣a ）（常数a ∈R 且a ≠0）． （Ⅰ）证明：当a ＞0时，函数f （x ）有且只有一个极值点；（Ⅱ）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：0＜f （x 1）＜且0＜f （x 2）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）证明：当a ＞0时，f ′（x ）=0只有一个根，即可证明函数f （x ）有且只有一个极值点；（Ⅱ）求出函数f （x ）存在两个极值的等价条件，求出a 的取值范围，结合不等式的性质进行求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：函数的导数f ′（x ）=a[e x ﹣a+（x ﹣1）e x ]=a （xe x ﹣a ），当a ＞0时，由f ′（x ）=0，得xe x =a ，即e x =，作出函数y=e x 和y=的图象，则两个函数的图象有且只有1个交点，即函数f （x ）有且只有一个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ＞0时，函数f （x ）有且只有一个极值点；不满足条件， 则a ＜0，∵f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2，是h （x ）=f ′（x ）=a （xe x ﹣a ）的两个零点， 令h ′（x ）=a （x+1）e x =0，得x=﹣1， 令h ′（x ）＞0得x ＜﹣1， 令h ′（x ）＜0得x ＞﹣1，∴h （x ）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数， ∵h （0）=f ′（0）=﹣a 2＜0，∴必有x 1＜﹣1＜x 2＜0． 令f ′（t ）=a （te t ﹣a ）=0，得a=te t ， 此时f （t ）=a （t ﹣1）（e t ﹣a ）=te t （t ﹣1）（e t ﹣te t ）=﹣e 2t t （t ﹣1）2=﹣e 2t （t 3﹣2t 2+t ）， ∵x 1，x 2，是h （x ）=f ′（x ）=a （xe x ﹣a ）的两个零点，∴f （x 1）=﹣e（x 13﹣2x 12+x 1），f （x 2）=﹣e（x 23﹣2x 22+x 2），将代数式﹣e 2t （t 3﹣2t 2+t ）看作以t 为变量的函数g （t ）=﹣e 2t （t 3﹣2t 2+t ）．g′（t）=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1），当t＜﹣1时，g′（t）=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1）＞0，则g′（t）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，∵x1＜﹣1，∴f（x1）=g（x1）＜g（﹣1）=，∵f（x1）=﹣e x1（x1﹣1）2＞0，∴0＜f（x1）＜，当﹣1＜t＜0时，g′（t）=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1）＜0，则g′（t）在（﹣1，0）上单调递减，∵﹣1＜x2＜0，∴0=g（0）=g（x2）=f（x2）＜g（﹣1）=综上，0＜f（x1）＜且0＜f（x2）＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C，过点C作AC的垂线，交AD的延长线于点E．（Ⅰ）求证：△CDE为等腰三角形；（Ⅱ）若AD=2，=，求⊙O的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接线段DB，利用垂直关系证明∠CDE=∠AEC，即可得出△CDE为等腰三角形；（Ⅱ）利用相似三角形求出圆O的直径，即可求出圆的面积．【解答】解：（Ⅰ）连接线段DB，…因为DC为⊙O的切线，所以∠DAB=∠BDC，…又因为AB为⊙O的直径，BD⊥AE，所以∠CDE+∠CDB=∠DAB+∠AEC=90°，…所以∠CDE=∠AEC，从而△CDE为等腰三角形．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD=CE，因为DC为⊙O的切线，所以CD2=CB•CA，…所以CE2=CB•CA，即==．…又Rt△ABD∽Rt△AEC，故==．…因为AD=2，所以BD=1，AB=，S=π•=，所以⊙O的面积为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线AB的距离，则△AOB的面积可求．【解答】解：（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0． (1)将曲线C2：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4y=0． (2)由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为；（Ⅱ）由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲线C1是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲线C2：是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆．∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，∴当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，∴直线AB（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．∵O到直线AB的距离为，又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+，∴△AOB的面积为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+a|，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）若存在x0满足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）求出f（x）+|x﹣2|的最小值，根据不等式的关系转化为（f（x）+|x﹣2|）min＜3即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|2x+1|，．由f（x）≥5得x﹣2|+|2x+1|≥5．当x≥2时，不等式等价于x﹣2+2x+1≥5，解得x≥2，所以x≥2；…当﹣＜x＜2时，不等式等价于2﹣x+2x+1≥5，即x≥2，所以此时不等式无解；…当x≤﹣时，不等式等价于2﹣x﹣2x﹣1≥5，解得x≤﹣，所以x≤﹣．…所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）．…（Ⅱ）f（x）+|x﹣2|=2|x﹣2|+|2x+a|=|2x﹣4|+|2x+a|≥|2x+a﹣（2x﹣4）|=|a+4|…因为原命题等价于（f（x）+|x﹣2|）min＜3，…所以|a+4|＜3，所以﹣7＜a＜﹣1为所求实数a的取值范围．…2016年7月22日。
2020年江西省九江市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年江西省九江市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|0<x<4}，则A∩B=()A. [−1,4)B. [−1,3)C. (0,3]D. (0,4)2.已知复数z满足z⋅i3+4i=4−3i，|z|=()A. 3B. 4C. 5D. 253.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且a5=S5，则S2014=()A. 1B. −2014C. 0D. 20144.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是抛物线C上一点，|AF|=54x0，则x0=()A. 1B. 2C. 4D. 85.将函数g(x)=|x+π4|cos2x的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)在[−π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.6.设a，b满足0<a<b<1，下列不等式中正确的是()A. a a<a bB. b a<b bC. a a<b aD. b b<a b7.若(x−1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a8(1+x)8，则a6= ()A. 112B. 28C. −28D. −1128.如下图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC中点，则二面角C−BF−D的正切值为()A. B. C. D.9.已知双曲线x2a2−y23=1的左右焦点分别为F1，F2，以它的一个焦点为圆心，半径为a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A，B两点，则四边形F1AF2B的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 610.从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为162，153，148，154，165，168，172，171，173，150，151，152，160，165，164，179，149，158，159，175在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5cm之间的概率约为()A. 25B. 12C. 23D. 1311.半径为10，中心角为π5的扇形的面积为()A. 2πB. 6πC. 8πD. 10π12.已知偶函数y=f(x)有四个零点，则方程f(x)=0的所有实数根之和为()A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若单位向量a⃗,b⃗ 满足|2a⃗−b⃗ |=√2，则向量a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值为______．14.若x，y满足约束条件{x≥−2x+y≥0x−y+2≤0则z=x−2y的最大值为______．15.已知正四棱棱锥P−ABCD的底面边长和高都为2，O是底面ABCD的中心，以O为球心的球与四棱锥P−ABCD的各个侧面都相切，则球O的表面积为______ ．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a5+a6的值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三个内角A，B，C成等差数列，且a=√2，b=√3，求sin C的值．18.如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，CF//DE，DE=3CF，BE与平面ABCD所成的角为45°．(1)求证：平面ACE⊥平面BDE；(2)求二面角F−BE−D的余弦值．19.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率为√22，过F2的直线l与C交于A，B两点，且△AF1B的周长为4√2．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的上顶点为P，证明：当l的斜率为13，点P在以AB为直径的圆上．20.已知函数f(x)=ln(x+a)+ax(a∈R)．(1)当a=−1时，求函数y=f(x)的极值；(2)讨论函数y=f(x)的单调性．21.某学校有30位高级教师，其中60%的人爱好体育锻炼，经体检调查，得到如下列联表．(1)根据以上信息完成2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”？(2)现从身体一般的教师中抽取3人，记3人中爱好体育锻炼的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是y=xtanα(π2<α<π)，曲线C1的参数方程是{x=1+cosφy=sinφ(φ为参数).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．(Ⅰ)求直线l及曲线C1的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线l与曲线C1交于O、M两点，直线l与曲线C2交于O、N两点，求|MN|的最大值．23.设函数f(x)=|x+1|+|x−2|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集；(Ⅱ)设a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，且12a +13b+14c=m，求证：2a+3b+4c≥3．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，B={x|0<x<4}，∴A∩B={x|0<x≤3}=(0,3]．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题，把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．，解：由z=(4−3i)(3+4i)i∴z=24+7i=7−24i，i∴|z|=25，故选D．3.答案：C解析：解：∵a5=S5，∴S4=0，=0，∴a1(1−q4)1−q∴q4=1，∴S2014=a1(1−q2014)=0．1−q故选：C．利用a5=S5，求出q4=1，从而S2014=a1(1−q2014)1−q=0．本题考查等比数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．解：抛物线C：y2=x的焦点为F(14,0)，∵A(x0,y0)是C上一点，|AF|=54x0，∴54x0=x0+14，解得x0=1．故选：A．5.答案：D解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得f(x)=g(x−π4)=|x|cos2(x−π4)=|x|sin2x及f(−x)=|−x|sin(−2x)=−|x|sin2x=−f(x)，结合图象及特殊点进行判断即可．解：由题意得f(x)=g(x−π4)=|x|cos2(x−π4)=|x|sin2x，f(−x)=|−x|sin(−2x)=−|x|sin2x=−f(x)，即f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A、C，f(π)=πsin2π=0，排除B．故选D．6.答案：C解析：本题主要考查了指数函数，幂函数性质及其运用，比较大小，属于基础题．可构造指数函数y=a x和幂函数y=x b，由函数的单调性比较大小即可．解：对于A，∵指数函数y=a x(0<a<1)为减函数，又a<b，∴a a>a b，故A错误；对于B，∵指数函数y=b x(0<b<1)为减函数，又a<b，∴b a>b b，故B错误；对于C，∵幂函数y=x a(0<a<1)在(0,+∞)上为增函数，又a<b，∴a a<b a，故C正确；对于D，∵幂函数y=x b(0<b<1)在(0,+∞)上为增函数，又a<b，∴b b>a b，故D错误；故选C．7.答案：A解析：(x−1)8=[(x+1)−2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a8(1+x)8，所以a6=C82(−2)2=112.8.答案：D解析：本题主要考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，求出平面ＢＣＦ，平面ＢＦＤ的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角Ｃ−ＢＦ−Ｄ的正切值．解析：解：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF．因为底面ABCD为菱形，所以OB⊥OC，O为AC的中点，又F是PC的中点，所以OF//AP，又因为PA⊥面ABCD，所以OF⊥平面ABCD，所以OB，OC，OF两两垂直．以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O−xyz．设PA =AD =AC =1，则BD =√3，所以O(0,0，0)，B(√32,0，0)，F(0,0，12)，C(0,12,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,0)， 易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDF 的一个法向量，由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,0)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0，−12)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面BCF 的一个法向量， 则{n ⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y =0n⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12z =0，令x =1，可得平面BCF 的一个法向量为n ⃗ =(1,√3,√3). 所以cos 〈n ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=√3212×1+3+3=√217， 所以sin 〈n ⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=2√77， 所以tan 〈n ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=2√33． 故二面角C −BF −D 的正切值为2√33． 故选Ｄ．9.答案：D解析：解：双曲线x 2a 2−y 23=1的左右焦点分别为F 1，F 2，以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点，可得：√3c √a 2+3=a ，所以a =√3，c =√6，A(√62,√62)， 则四边形F 1AF 2B 的面积为：2×12×2√6×√62=6．故选：D ．求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离推出a =b ，然后求解四边形F 1AF 2B 的面积．本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．10.答案：A解析：本题考查由频率估计概率，古典概型，属于基础题．由古典概型求样本中155.5～170.5cm之间频率，用频率估计概率即可．解：根据题意，分析20人的数据可得身高在155.5cm−170.5cm之间的有8人，其频率为820=25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽取一人，其身高在155.5～170.5cm之间的概率约为25．故选A．11.答案：D解析：∵半径为10，中心角为π5，∴扇形的弧长l=π5×10=2π∴扇形的面积S=12lr=12×2π×10=10π12.答案：A解析：将方程f(x)=0的所有实根之和转化为函数f(x)图像与x轴交点的横坐标之和，再利用偶函数图像的对称性求得结果．本题考查方程根的知识，考查数形结合的能力，属于基础题．解：∵f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，∴这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0．故选A．13.答案：34解析：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可．本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．解：∵|2a ⃗ −b ⃗ |=√2， ∴(2a ⃗ −b ⃗ )2=2，∵a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量，即4a ⃗⃗⃗⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2，∴4−4cosθ+1=2， ∴cosθ=34．故答案为：34．14.答案：−3解析：解：由x ，y 满足约束条件{x ≥−2x +y ≥0x −y +2≤0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z2，由图可知，当直线y =12x −z 2过点A(−1,1)时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为−3． 故答案为：−3．画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：165π解析：解：如图所示，取BC 的中点E ，连接PE ，作OF ⊥PE ， 则OF ⊥平面PBC ，即OF 为球O 的半径， 直角△POE 中，PO =2，OE =1， ∴PE =√5， ∴OF =OP⋅OE PE=2√5，∴球O 的表面积为4π⋅OP 2=165π．故答案为：165π．取BC的中点E，连接PE，作OF⊥PE，则OF⊥平面PBC，即OF为球O的半径，利用等体积，求出OF，再求球O的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16.答案：152解析：本题考查数列的前n项和的应用，属基础题．根据前n项和的概念得到a5+a6=S6−S4，将n=6和n=4代入公式即可求值．解：a5+a6=S6−S4=63−43=152．故答案为：152．17.答案：解：∵三个内角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∵A+B+C=π，∴3B=π，即B=π3，∵a=√2，b=√3，∴由正弦定理asinA =bsinB得：sinA=asinBb=√2×√32√3=√22，∵a<b，∴A<B，即A=π4，则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√22×12+√22×√32=√2+√64．解析：由三内角成等差数列及内角和定理求出B的度数，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin A 的值，确定出A的度数，由sinC=sin(A+B)，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将A与B的度数代入计算即可求出值．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及等差数列的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.答案：(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD ∩DE =D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， ∴AC ⊥平面BDE ， 又AC ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BDE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，∵BE 与平面ABCD 所成的角为45°，即∠EBD =45°， ∴DE =BD =√2AD =3√2，CF =13DE =√2．∴A(3,0，0)，B(3,3，0)，C(0,3，0)，E(0,0，3√2)，F(0,3，√2)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，√2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−2√2)， 设平面BEF 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3x +√2z =03y −2√2z =0, 令z =3√2，则n ⃗ =(2,4，3√2). 又AC ⊥平面BDE ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3，0)为平面BDE 的一个法向量． ∴cos <n ⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ | =√38×3√2=√1919． ∵二面角F −BE −D 为锐角， ∴二面角F −BE −D 的余弦值为√1919．解析：本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，属于中档题． (1)根据AC ⊥BD ，AC ⊥DE 可得AC ⊥平面BDE ，故而平面ACE ⊥平面BDE ；(2)建立空间坐标系，求出平面BDE 和平面BEF 的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小．19.答案：解：(1)△AF 1B 的周长等于：|AF 1|+|AB|+|BF 1|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 2|+|BF 1|=4a ， ∴4a =4√2， 从而a =√2， ∵e =ca =√22， ∴c =1，即b 2=a 2−c 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)由(1)得P(0,1)，F 2(1,0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 依题意，l 的方程为x =3y +1，将l 的方程代入C 并整理，可得11y 2+6y −1=0， ∴y 1+y 2=−611，y 1y 2=−111，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1) =(3y 1+1)(3y 2+1)+(y 1−1)(y 2−1)=10y 1y 2+2(y 1+y 2)+2=0， ∴PA ⊥PB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上.解析：本题考查了椭圆的概念及其标准方程、直线与椭圆的位置关系．(1)由题意可知△AF 1B 的周长等于|AF 1|+|AB|+|BF 1|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 2|+|BF 1|=4a ，所以4a =4√2，进而根据离心率求出c ，最后求出椭圆方程；(2)由(1)得P(0,1)，F 2(1,0).设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，依题意，l 的方程为x =3y +1，将l 的方程代入C 并整理，可得11y 2+6y −1=0，再求出y 1+y 2和y 1y 2的值，再计算PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，最后可证出结论．20.答案：解：(1)函数f(x)=ln(x −1)−x ，定义域为(1,+∞)，可得f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当x ∈(1,2)时，函数是增函数，x ∈(2,+∞)时，函数是减函数， 所以f(x)max =f(2)=−2，无极小值．(2)函数f(x)的定义域为(−a,+∞)，∴f′(x)=ax+a 2+1x+a．(i)当a ≥0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(−a,+∞)上为增函数；(ii)当a <0时，令f′(x)=0，解得x =−a −1a >−a ，当f′(x)>0时，解得−a <x <−a −1a ，函数f(x)为增函数；当f′(x)<0时，解得x >−a −1a ，函数f(x)为减函数．综上所述：(i)当a ≥0时，函数f(x)在(−a,+∞)上单调递增；(ii)当a <0时，函数f(x)在(−a,−a −1a )上单调递增，在(−a −1a ,+∞)上单调递减．解析：(1)化简的解析式，求出导函数，通过求解极值点，然后求解函数的极值．(2)求出导函数，通过(i)当a ≥0时，(ii)当a <0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，是中档题．21.答案：解：(1)2×2列联表如下：因为K 2=30×(16×8−2×4)220×10×18×12=10>7.879，所以有99.5％的把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”； (2)设这3人中爱好体育锻炼的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，其中P(ξ=0)=C 83C 103=715， P(ξ=1)=C 82C 21C 103=715，P(ξ=2)=C 81C 22C 103=115．所以ξ的分布列为：数学期望为E(X)=0×715+1×715+2×115=35．解析：本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望问题，属于中档题．(1)根据题意填写2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论；(2)根据题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．22.答案：解：(Ⅰ)将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入y=xtanα(π2<α<π)得tanθ=tanα，∴直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R,π2<α<π)．∵曲线C1的参数方程是{x=1+cosφy=sinφ(φ为参数)，∴曲线C1的普通方程是(x−1)2+y2=1，即x2+y2−2x=0，∴曲线C1的极坐标方程是ρ=2cosθ．(Ⅱ)将θ=α(ρ∈R,π2<α<π)分别代入曲线C1和C2的极坐标方程，则|OM|=−2cosα，|ON|= 2sinα，∴|MN|=2sinα−2cosα=2√2sin(α−π4).∵π2<α<π，∴当α=3π4，sin(α−π4)取最大值1，∴|MN|的最大值为2√2．解析：(Ⅰ)由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直线的极坐标方程，利用同角三角函数的平方关系xi 消去参数可得曲线C的普通方程，再由互化公式化为极坐标方程；(Ⅱ)将θ=α分别代入曲线C1和C2的极坐标方程，得到|OM|=−2cosα，|ON|=2sinα，由此可把|MN|表示为α的三角函数，化为y一个角的正弦函数即可qi求得最大值．23.答案：(Ⅰ)解：f(x)={1−2x,x<−1, 3,−1≤x≤2, 2x−1,x>2.①当x<−1时，由f(x)≥4，得1−2x≥4，所以x≤−32，②当−1≤x≤2时，3≥4不成立，舍去，③当x>2时，由f(x)≥4，得2x−1≥4，所以x≥52．所以不等式f(x)≥4的解集为；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，f(x)的最小值m=3，所以12a +13b +14c =3，所以3(2a +3b +4c)=(2a +3b +4c)(12a +13b +14c )=1+1+1+2a3b +3b2a +2a4c +4c2a +4c3b +3b4c ≥3+2√2a 3b⋅3b 2a+2√2a 4c⋅4c 2a+2√4c 3b⋅3b 4c=9．当且仅当2a =3b =4c =1，即a =12，b =13，c =14时，等号成立． 所以2a +3b +4c ≥3．解析：本题主要考查不等式和绝对值不等式，以及基本不等式，掌握了基础知识点，即可轻松求解，属于中档题．(Ⅰ)由已知，对x 值分类讨论，即可解得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)的最小值m =3，所以12a +13b +14c =3，所以3(2a +3b +4c)=(2a +3b +4c)(12a +13b +14c )，结合基本不等式即可证得．。
2020年江西省九江市高考数学二模试卷(理科)(Word版 含解析)
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．C．{﹣1，0，1}D．{0，1}2．已知复数z满足z（3﹣i）＝10，则z＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则a1＝（）A．B．1C．D．24．已知P（2，2）为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝（）A．2B．C．3D．5．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x），则函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知0＜a＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．b a＜b b B．a b＜b b C．a a＜a b D．b a＜a a7．若425+a（a∈R）能被9整除，则|a|的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）A．20°B．28°C．38°D．48°9．已知双曲线E0）的左右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，|OF1|为半径的圆．与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形AOBF2为菱形，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．D．10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）A．B．C．D．11．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为l1，l2，l3，l4，则（）A．l1＜l2＜l3＜l4B．l1＜l2＜l3＝l4C．l1＝l2＝l3＝l4D．l1＝l2＝l3＜l412．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣1，g（x）＝ln|x|，F（x）＝f[g（x）]，G（x）＝g[f（x）]，给出以下四个命题：①y＝F（x）为偶函数；②y＝G（x）为偶函数；③y＝F（x）的最小值为0；④y＝G（x）有两个零点．其中真命题的是（）A．②④B．①③C．①③④D．①④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量，满足||＝1，||＝2，⊥（），则向量，夹角的大小为．14．设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最大值是．15．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为．16．已知单调数列{a n}的前n项和为S n，若S n+S n+1＝n2+n，则首项a1的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＞b＞c．已知sin A cos B﹣cos C sin B ＝sin2B﹣sin A．（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；（Ⅱ）若b＝5，，求a，c的值．18．如图所示的几何体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是长方形，四边形BCC1B1是梯形，B1C1∥BC，且，平面ABB1A1⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：平面A1CC1⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）若∠CAB＝120°，二面角C﹣A1C1﹣B1为120°，求的值．19．在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线1与椭圆C交于A，B两点，AF1，BF1的中点分别为E，F，△OEF 的周长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设△ABF2的重心为G，若|OG|，求直线l的方程．20．已知函数f（x）＝xlnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若a＝3，求f（x）的单调性和极值；（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求a的取值范围．21．羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方贏得该局比赛；②如果双方得分出现20：20，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现29：29，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q．（Ⅰ）若，记“甲以21：i（i≤19，i∈N）赢一局”的概率为P（A i），试比较P（A9）与P（A10）的大小；（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如2×2列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值．甲得分乙得分总计甲发球50100乙发球6090总计190①完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？②已知在某局比赛中，双方战成27：27，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0100.001 k 2.072 2.706 3.841 6.63510.828请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝θ0，θ＝θ0，l1交曲线E于点A，B，l2交曲线E于点C，D．（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；（Ⅱ）求|BC|2+|AD|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的最大值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c为正数，且a+b+c＝m，求证：．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．C．{﹣1，0，1}D．{0，1}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2＜2}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．已知复数z满足z（3﹣i）＝10，则z＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（3﹣i）＝10，得z．故选：D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则a1＝（）A．B．1C．D．2【分析】根据题意，分析可得a2+a45，由等比数列的性质可得q2，据此可得a1+a3＝a1+4a1，解可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}中，，则a2+a45，则有q2，又由a1+a3＝a1+4a1，解可得a1；故选：A．4．已知P（2，2）为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝（）A．2B．C．3D．【分析】求出抛物线方程，得到焦点坐标，然后求解即可．解：P（2，2）为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，可得p＝1，所以F（，0），则|PF|＝2．故选：B．5．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x），则函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先根据三角函数图象的变换法则求出f（x）＝﹣2sin2x，进而求得的解析式，再根据解析式的奇偶性及函数值的正负确定函数图象即可．解：将函数的图象向左平移个单位得到函数，故，易知函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除BC；又，可排除A．故选：D．6．已知0＜a＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．b a＜b b B．a b＜b b C．a a＜a b D．b a＜a a【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解．解：对于选项A：由指数函数y＝b x（0＜b＜1）为减函数，且a＜b，所以b a＞b b，故选项A错误；对于选项B：由幂函数y＝x b（0＜b＜1）在（0，+∞）上为增函数，且a＜b，所以a b ＜b b，故选项B正确；对于选项C：由指数函数y＝a x（0＜a＜1）为减函数，且a＜b，所以a a＞a b，故选项C 错误；对于选项D：由幂函数y＝x a（0＜a＜1）在（0，+∞）上为增函数，且a＜b，所以a a ＜b a，故选项D错误；故选：B．7．若425+a（a∈R）能被9整除，则|a|的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据425+a＝（3+1）25+a•325•324•323•32•31a；研究最后三项即可求解结论．解：因为425+a＝（3+1）25+a•325•324•323•32•31a；∵（•325•324•323•32）可提公因式32＝9；故只需：•31a＝76+a能被9整除；∴a＝﹣4时，•31a＝76+a能被9整除且|a|最小值；故|a|的最小值为：4．故选：B．8．第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）A．20°B．28°C．38°D．48°【分析】求出“斗冠”的高为60.3﹣33.3＝27米，作出直观图，得PE＝27，ME（MN ﹣EF），∠PME为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，由此能求出“斗冠”的侧面与上底面的夹角．解：依题意得“斗冠”的高为60.3﹣33.3＝27米，如图，PE＝27，ME（MN﹣EF），∠PME为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，tan0.78．tan30°，tan45°＝1，∵0.58＜0.78＜1，∴30°＜∠PME＜45°，故选：C．9．已知双曲线E0）的左右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，|OF1|为半径的圆．与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形AOBF2为菱形，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】通过四边形AOBF2为菱形，求出A的坐标，代入双曲线方程，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线E0）的左右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，|OF1|为半径的圆，与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形AOBF2为菱形，可得：A（，），代入双曲线方程可得：，可得：，e＞1，解得e．故选：A．10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）A．B．C．D．【分析】所拨数字共有n24，所拨数字大于200包含两种①上珠拨的是千位档或百位档，有种，②上珠拨的是个位档或十位档，则有6种，所拨数字大于200包含的基本事件有m＝12+6＝18种，由此能求出所拨数字大于200的概率．解：在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，依题意得所拨数字共有n24，所拨数字大于200包含两种情况：①上珠拨的是千位档或百位档，有种，②上珠拨的是个位档或十位档，则有6种，所拨数字大于200包含的基本事件有m＝12+6＝18种，则所拨数字大于200的概率为p．故选：D．11．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为l1，l2，l3，l4，则（）A．l1＜l2＜l3＜l4B．l1＜l2＜l3＝l4C．l1＝l2＝l3＝l4D．l1＝l2＝l3＜l4【分析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分别为r1，r2，r3，r4，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何特征可知，r1＜r2＜1，r3＝r4＝1，再利用弧长公式即可得到l1＜l2＜l3＝l4．解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分别为r1，r2，r3，r4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，对于正方形，如图所示：，∵∠AOB＝90°，∴；对于正五边形，如图所示：，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜72°，∴r1＜r2＜1；对于正六边形，如图所示：，∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴r3＝OA＝1；而r4＝1，又因为l1＝2π•r1，l2＝2π•r2，l3＝2π•r3，l4＝2π•r4，所以l1＜l2＜l3＝l4，故选：B．12．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣1，g（x）＝ln|x|，F（x）＝f[g（x）]，G（x）＝g[f（x）]，给出以下四个命题：①y＝F（x）为偶函数；②y＝G（x）为偶函数；③y＝F（x）的最小值为0；④y＝G（x）有两个零点．其中真命题的是（）A．②④B．①③C．①③④D．①④【分析】首先利用函数的奇偶性的判定函数F（x）为偶函数，进一步利用函数的导数求出函数的单调区间和函数的最值，进一步利用函数的图象求出函数的交点的个数．从而确定出结果．解：函数f（x）＝x﹣lnx﹣1，g（x）＝ln|x|，F（x）＝f[g（x）]，G（x）＝g[f（x）]，所以①F（x）＝ln|x|﹣ln（ln|x|）﹣1，由于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），且F（﹣x）＝F（x），所以函数y＝F（x）为偶函数．故正确．②G（x）＝g[f（x）]＝ln|x﹣lnx﹣1|，由于x∈（0，+∞）函数的定义域不关于原点对称，所以函数y＝G（x）不为偶函数，故错误．③由于函数为偶函数，所以当x＞0时，F（x）＝lnx﹣ln（lnx）﹣1，所以F′（x）由于x＞0，所以当x＝e时，F′（x）＝0，所以x∈（0，e）时函数为单调递减函数，x∈（e，+∞）时，函数为单调递增函数，所以x＝e时，函数取的极小值，即最小值F（e）＝lne﹣ln（lne）﹣1＝0，故y＝F（x）的最小值为0，故正确．④y＝G（x）有两个零点，即方程G（x）＝0由两个实数根，即G（x）＝ln|x﹣lnx﹣1|＝0，整理得x﹣lnx﹣1＝1或x﹣lnx﹣1＝﹣1．（1）x﹣2＝lnx，在同一坐标系内画出函数的图象，令k（x）＝x﹣2，h（x）＝lnx，如图所示：当x﹣lnx﹣1＝﹣1时，即x＝lnx．设k（x）＝x，h（x）＝lnx．如图所示：所以函数的图象由两个交点，即y＝G（x）有两个零点．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量，满足||＝1，||＝2，⊥（），则向量，夹角的大小为．【分析】运用向量垂直的条件，即为数量积为0，再由向量的夹角公式计算即可得到夹角．解：||＝1，||＝2，⊥（），则（）＝0，即有0，则1，cos，由于0π，则有向量，夹角为．故答案为：．14．设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最大值是．【分析】根据已知中的约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐标，代入目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值．解：x，y满足约束条件，的可行区域如下图阴影所示；∵目标函数z＝3x﹣2y，A（，），B（0，2），C（﹣2，﹣2）∴z A＝2．z B＝﹣4．z C＝﹣2．故目标函数z＝3x﹣2y的最大值为．故答案为：．15．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为．【分析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM ＝1PM3，PO2，如图，分别可求得大球O1与小球O2半径分别为和，进而可得小球的体积．解：设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM＝1，PM3，PO2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N＝R，因为sin∠MPO，所以，则PO1＝3R，PO＝PO1+OO1＝4R＝2，所以R，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ＝PO﹣2R＝2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ＝4r，所以r，故小球O2的体积Vπr3，故答案为：．16．已知单调数列{a n}的前n项和为S n，若S n+S n+1＝n2+n，则首项a1的取值范围是（）或（）．【分析】首先利用赋值法求出关系式，进一步利用数列的单调性的应用求出结果．解：根据题意单调数列{a n}的前n项和为S n，若S n+S n+1＝n2+n，当n＝1时，2a1+a2＝2，整理得a2＝2﹣2a1由于数列{a n}单调，所以①当数列为单调递增数列时，a2＞a1，2﹣2a1＞a1，解得．②当数列为单调递减数列时，a1＞a2，即2﹣2a1＜a1，解得．故项a1的取值范围是（）或（）．故答案为：（）或（）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＞b＞c．已知sin A cos B﹣cos C sin B＝sin2B﹣sin A．（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；（Ⅱ）若b＝5，，求a，c的值．【分析】（Ⅰ）由A+B+C＝π，所以sin A＝sin（B+C），再由两角和的正弦公式展开即2倍角公式可得sin A cos B＝2sin B cos B﹣sin C cos B，再由题意cos B≠0，可得2sin B＝sin A+sin C，再由正弦定理可得a，b，c成等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得a+c的值，再由余弦定理可得ac的值，由a＞c可得a，c 的值．解：（Ⅰ）证明：sin A cos B﹣cos C sin B＝sin2B﹣sin A＝2sin B cos B﹣sin A＝sin2B﹣sin （B+C），所以sin A cos B﹣cos C sin B＝sin2B﹣sin B cos C﹣cos B sin C，整理可得sin A cos B＝2sin B cos B﹣sin C cos B，因为a＞b＞c，所以cos B≠0，所以sin A＝2sin B﹣sin C，即2sin B＝sin A+sin C，由正弦定理可得2b＝a+c，即证a，b，c成等差数列．（Ⅱ）因为sin B，B为锐角，所以cos B，因为b＝5，由（Ⅰ）可得a+c＝10，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B，所以52＝102﹣2ac﹣2ac，即ac＝21，a+c＝10，a＞c，解得a＝7，c＝318．如图所示的几何体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是长方形，四边形BCC1B1是梯形，B1C1∥BC，且，平面ABB1A1⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：平面A1CC1⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）若∠CAB＝120°，二面角C﹣A1C1﹣B1为120°，求的值．【分析】（Ⅰ）取BC中点D，连结AD，C1D，推导出AD⊥BC，，BD B1C1，A1C1⊥BB1，从而A1C1⊥B1C1，进而A1C1⊥平面BCC1B1，由此能证明平面A1CC1⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）推导出AA1⊥平面ABC，以A为原点，在平面ABC中过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值．解：（Ⅰ）证明：取BC中点D，连结AD，C1D，∵几何体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是长方形，四边形BCC1B1是梯形，B1C1∥BC，且，平面ABB1A1⊥平面ABC．∴AD⊥BC，，BD B1C1，A1C1⊥BB1，∴A1C1⊥B1C1，又BB1∩B1C1＝B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1，∵A1C1⊂平面A1CC1，∴平面A1CC1⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）解：∵∠CAB＝120°，平面ABB1A1⊥平面ABC．四边形ABB1A1是正方形，∴AA1⊥平面ABC，以A为原点，在平面ABC中过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，λ，则AA1＝λ，C（，，0），A1（0，0，λ），C1（，，λ），（，，﹣λ），（，0），设平面A1CC1的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，），平面A1B1C1的法向量（0，0，1），∵二面角C﹣A1C1﹣B1为120°，∴cos120°＝﹣||，解得λ，∴．19．在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线1与椭圆C交于A，B两点，AF1，BF1的中点分别为E，F，△OEF 的周长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设△ABF2的重心为G，若|OG|，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）连接AF2，BF2，根据条件可知|EF1||AF1|，|OE||AF2|，|FF1||BF1|，|OF||BF2|，则△OEF的周长为（|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|）＝2a＝2，解出a，结合离心率可得c，进而得到b，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为x＝my﹣1，与椭圆方程联立可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，利用根与系数关系可以表示出G（，），则|OG|，解得m 即可．解：（Ⅰ）因为e，所以a c，连接AF2，BF2，因为E，O分别为AF1，F1F2的中点，所以|EF1||AF1|，|OE||AF2|，同理|FF1||BF1|，|OF||BF2|，所以△OEF的周长为（|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|）＝2a＝2，则a，c＝1，又b2＝a2﹣c2，所以b＝1，所以椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）因为直线l过点F1（﹣1，0）且斜率不为0，所以可设l的方程为x＝my﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，则y1+y2，y1y2，所以x1+x2＝m（y1+y2）﹣2，又因为F2（1，0），所以G（，），即G（，），所以|OG|，令，解得m＝±，所以直线l的方程为x y+1＝0或x y+1＝0．20．已知函数f（x）＝xlnx+x2﹣ax（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝3，求f（x）的单调性和极值；（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）对原函数求导并求零点，再根据导数的单调性确定导数的符号，则问题可迎刃而解；（Ⅱ）先两边同除以x，并把a分离出来，然后研究与a相等的函数的单调性、极值（最值）情况，即可使问题获解．解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝xlnx+x2﹣3x，（x＞0）∴f′（x）＝lnx+2x﹣2，显然f（1）＝0．且，f′（x）是增函数．所以0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增．故x＝1时，f（x）取得极小值﹣2，无极大值．（Ⅱ）由题意得xlnx+x2﹣ax（x＞0）至少有一个根．两边同除以x，并分离a得：a＝lnx+x．令g（x）＝lnx+x．∴＝（x+1），显然只需研究h（x）＝xe x﹣1的符号．h′（x）＝e x（x+1）＞0，故h（x）是增函数．令xe x﹣1＝0得①，x0为h（x）的零点．当0＜x＜x0时，h（x）＜0，g（x）递减；x＞x0时，h（x）＞0，g（x）递增．故g（x）min＝g（x0）②．由①得，两边取对数得lnx0＝﹣x0，代入②式得：g（x0）＝1，所以函数g（x）的最小值为1，显然x→+∞时，h（x）→+∞．所以要使原函数至少有一个零点，只需a≥1．21．羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方贏得该局比赛；②如果双方得分出现20：20，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现29：29，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q．（Ⅰ）若，记“甲以21：i（i≤19，i∈N）赢一局”的概率为P（A i），试比较P（A9）与P（A10）的大小；（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如2×2列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值．甲得分乙得分总计甲发球50100乙发球6090总计190①完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？②已知在某局比赛中，双方战成27：27，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0100.001 k 2.072 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由于甲以21：i（i≤19，i∈N）获胜，则在这21+i个回合的争夺中，前20+i个回合里，甲赢下20个回合，输掉i个回合，且最后一个回合必须获胜．然后以独立重复事件的概率写出P（A i），从而得到P（A9）和P（A10），再比较大小即可；（Ⅱ）①由表格中的数据补充完整2×2列联表，根据K2的公式计算出观测值，并与附录中的参考值进行对比即可作出判断；②先根据2×2列联表求出p和q的值，再确定比赛结束时，比分可能是29：27，30：28，30：29，即X＝2，4，5，然后根据独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得到分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）∵甲以21：i（i≤19，i∈N）获胜，则在这21+i个回合的争夺中，前20+i个回合里，甲赢下20个回合，输掉i个回合，且最后一个回合必须获胜．∴，∴，，∵，∴P（A9）＝P（A10）．（Ⅱ）①补充完整的2×2列联表如表所示，甲得分乙得分合计甲发球5050100乙发球603090合计11080190，∴有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”．②由2×2列联表知，，，此局比赛结束，比分可能是29：27，30：28，30：29，∴X＝2，4，5，若比分为29：27，则甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，∴，若比分为30：28，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率为，乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率为，∴，若比分为30：29，则P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝4），∴X的分布列为X245P数学期望E（X）．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝θ0，θ＝θ0，l1交曲线E于点A，B，l2交曲线E于点C，D．（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；（Ⅱ）求|BC|2+|AD|2的值．【分析】（Ⅰ）由同角的平方关系可得曲线E的普通方程；由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，代入化简可得曲线E的极坐标方程；（Ⅱ）分别讨论直线l1的斜率不存在，求得A，B，C，D的坐标，计算可得所求和；若斜率存在且不为0，设出两直线的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，结合两点的距离公式可得所求和．解：（Ⅰ）曲线E的参数方程为（φ为参数），由cos2φ+sin2φ1，即曲线E的普通方程为圆（x﹣1）2+y2＝4；由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得ρ2﹣2ρcosθ﹣3＝0；（Ⅱ）当直线l1的斜率不存在，可设A（0，），B（0，），可得直线l2的斜率为0，可设C（3，0），D（﹣1，0），则|BC|2+|AD|2＝9+3+1+3＝16；当直线l1的斜率存在且不为0，方程设为y＝kx，直线l1的方程设为y x，由可得（1+k2）x2﹣2x﹣3＝0，可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），可得x1+x2，x1x2，即有x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，将k换为可得x32+x42，则|BC|2+|AD|2＝|OB|2+|OC|2+|OA|2+|OD|2＝（|OB|2+|OA|2）+（|OC|2+|OD|2）＝（1+k2）（x12+x22）+（1）（x32+x42）66＝1212+4＝16．综上可得|BC|2+|AD|2的值为16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的最大值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c为正数，且a+b+c＝m，求证：．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质可得||x+1|﹣|2﹣x||≤|2x﹣1|，进而得到，由此求得m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b+c＝1，再利用基本不等式累加即可得证．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为，∵||x+1|﹣|2﹣x||≤|（x+1）﹣（2﹣x）|＝|2x﹣1|，当且仅当时取等号，∴，即f（x）的最大值为1，∴m＝1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c＝1，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷(全国Ⅱ卷)(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国Ⅱ卷）（含解析）
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。回答选择题时
, 将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
故 BC AC AB 3
π 3 sin B 3cos B 3 2 3 sin( B ) .
3
又0
B
π ，所以当 B
π
时，
△ABC
周长取得最大值
3
2 3.
3
6
18．解：（ 1）由己知得样本平均数
y
1 20 yi
60 ，从而该地区这种野生动物数量的估计
20 i 1
值为 60× 200= 12 000 ．
2
2
10. 已知 △ ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，且其顶点都在球 4
O 的球面上。 若球 O 的表
面积为 16 ，则 O 到平面 ABC 的距离为
A． 3
3
B
．
C. 1
D
2
11. 若 2x 2y 3 x 3 y, 则
．3 2
A. 1n( y x 1) 0
B.
1n( y x 1) 0
2
C. ln x y 0
A． 4
B
．8
C
． 16
D
． 32
9. 设函数 f ( x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f (x)
1 A. 是偶函数，且在 ( , ) 单调递增
2
11
江西省上饶市2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(备考卷)完整试卷
江西省上饶市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：①曲线有四条对称轴；②曲线上的点到原点的最大距离为；③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；④四叶草面积小于.其中，所有正确结论的序号是A．①②B．①③C．①③④D．①②④第(2)题某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（）A．B．C．D．第(3)题为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（）A．B．1C．D．3第(4)题已知为实数集，集合，集合，则（）A．或B．或C．或D．或第(5)题已知命题：函数恒过（1,2）点；命题：若函数为偶函数，则的图像关于直线对称，则下列命题为真命题的是A．B．C．D．第(6)题若，，则（）A．B．C．D．第(7)题双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为，则双曲线的离心率为A．3B．C．D．5第(8)题在中，满足，且，，则（）A．3B．4C．5D．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设函数，则下列结论正确的是（）A．n为奇数时，在单调递增B．为奇数时，在有一个极值点C．为偶数时，在单调递增D．为偶数时，的最小值为0第(2)题某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件，“乙队分在第一小组”为事件，“甲、乙两队分在同一小组”为事件，则（）A．B．C．D．事件与事件相互独立第(3)题已知在边长为2的等边中，向量满足，则下列式子正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知的面积为，则角________．第(2)题魔方又叫鲁比克方块(Rubk’sCube)，是由匈牙利建筑学教授鲁比克•艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，共由26个色块组成.现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面，某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记事件为“顶面白色色块的个数为3”，则事件发生的概率___________.第(3)题已知实数满足则的最大值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，平面平面，且．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．第(2)题随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020年11月11日24时，2020年的天猫“双十一”交易额定格在3700多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表：年份2014201520162017201820192020年份代码()1234567总交易额(单位：百亿) 5.79.112.116.821.326.837（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；（2）利用最小二乘法建立y关于t的回归方程(系数精确到0.1)，预测2021年天猫“双十一”的总交易额.参考数据：，，；参考公式：相关系数；回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.第(3)题从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)求实数的值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；第(4)题已知函数.(1)，解不等式；(2)证明：.第(5)题5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛.第一轮选拔共设有A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C分别加2分，4分，5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题A，B，C顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A，B，C回答正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率；(2)用表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求的分布列和数学期望.。