高中数学新课程创新教学设计案例50篇 3 逻 辑 联 结 词
3 逻 辑 联 结 词
教材分析
在初中阶段，学生已接触了一些简单命题，对简单的推理方法有了一定程度的了解．在
此基础上，这节课首先从简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然
后借助真值表，给出判断复合命题的真假的方法．
在高中数学中，逻辑联结词是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出
发点．因此，在教学过程中，除了关注和初中知识密切的联系之外，还应借助实际生活中的
具体例子，以便于学生理解和掌握逻辑联结词．
教学重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．
教学目标
1. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，了解“或”、“且”、“非”的复合命题的构成．
2. 能熟练判断一些复合命题的真假性．
3. 通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数
学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词．
任务分析
在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步知识，但是，对命题和开语句的区
别往往搞不清．因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其掌握复合命题．
由于逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义不完全相同，
故要直接讲清楚它们的意义，比较困难．因此，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合
命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解，这
样处理有利于掌握重点，突破难点．
为了加深对“或”、“且”、“非”的理解，最后应设计一系列的习题加以巩固、深化对知识
的认识程度．
教学设计
一、问题情境
生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器．例如，洗衣机在甩干时，如果“到
达预定的时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机．与
此对应的电路，就叫或门电路．又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满
足时，才会开启．与此对应的电路，就叫与门电路．随着高科技的发展，诸多科学领域均离
不开类似以上的逻辑问题．因此，我们有必要对简易逻辑加以研究．
二、建立模型
在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题．
试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题．
（1）12＞5．
（2）3是12的约数．
（3）是整数．
（4）是整数吗？
（5）x＞．
（6）10可以被2或5整除．
（7）菱形的对角线互相垂直且平分．
（8）不是整数．
（可以让学生回答，教师给出点评）
我们可以看出，（1）（2）是真命题；（3）是假命题；因为（4）不涉及真假；（5）
不能判断真假，所以（4）（5）都不是命题；（6）（7）（8）是真命题．
其中，“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词．像（1）（2）（3）这样的命题，不
含逻辑联结词，叫简单命题；像（6）（7）（8）这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命
题，叫复合命题．
如果用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题（这里应明确（6）（7）（8）三个
命题中p，q分别代表什么），则上述复合命题（6）（7）（8）的构成形式分别是p或q，
p且q，非p．其中，非p也叫作命题p的否定．
对于以上三种复合命题，如何判断其真假呢？下面要求学生自己设计或真或假的命题来
填下面表格：
结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义．要求学生对每一真
值表用一句话总结：
（1）“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反．
（2）“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假．
（3）“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
三、解释应用
［例 题］
1. 分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．
（1）p：2＋2＝5，q：3＞2．
（2）p：9是质数，q：8是12的约数．
（3）p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．
（4）p：｛0｝，q：＝｛0｝．
注：引导学生进一步熟悉真值表．
2. 说出下列复合命题的形式，并判断其真假．
（1）5≥5． （2）5≥1．
解：（1）p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q为真，即5≥5
为真命题．
（2）p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q为真，即5≥4为真
命题．
［练 习］
1. 命题：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用逻辑联结词的情况是（ ）．
A. 没用使用逻辑联结词
B. 使用逻辑联结词“且”
C. 使用逻辑联结词“或”
D. 使用逻辑联结词“非”
（C）
2. 由下列命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题均为真命题的是（ ）．
A. p：4＋4＝9，q：7＞4
B. p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝
C. p：15是质数，q：4是12的约数
D. p：2是偶数，q：2不是质数
（B）
四、拓展延伸
在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且”、“非”字样时，应从语句的陈述中搞
清含义，从而解决问题．
例：小李参加全国数学联赛，有三名同学对他作如下猜测：
甲：小李非第一名，也非第二名；
乙：小李非第一名，而是第三名；
丙：小李非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人
全猜错，问：小李得了第几名？
由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有
一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名．
还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去寻找解题思路．
例：曾经在校园内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足
球，忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问
道：“玻璃是谁打破的？”
甲：是乙打破的；
乙：不是我，是丁打破的；
丙：肯定不是我打破的；
丁：乙在撒谎．
现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，谁说了真话．
分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非p”形式，因此说真话者可能是乙，也
可能不是乙，是丁．由此分析可知，是丙打破的玻璃．
点 评
这篇案例的突出特点是对知识的认知由浅入深，层层渐进．这篇案例的所有例子均结合
学生的数学水平取自学生掌握的知识范围之内或者直接源于现实生活，这有利于学生对问题
的实质的理解和掌握．如果在“建立模型”的结束时及时给出相关的例子，使学生正确区分哪
些是简单命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深．
高中数学选修2-1教学设计-简单的逻辑联结词(第二课时)
1.3.3简单的逻辑联结词(第二课时)
【学习目标】
1.理解逻辑联结词“非”的意义．
2．能把文字、符号语言相互转化．
【自主学习】
研读教材1.3.3节内容，回答下列问题：
1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作，
读作或.
2．若p是真命题，则非p是命题，若p是假命题，则非p是命题．
3.对一些词语的否定
1.写出下列命题的否
定，并判断其真假：
(1)2是有理数；
(2)5不是15的约数；
(3)2<3；
【典型例题】
例写出下列命题的否
定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集.
【课堂检测】
1. 命题p：a2＋b2<0(a、b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a、b∈R)，下列结论中正确
的是( )
A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真
C．“非p”为假 D．“非q”为真
2. 下列“非p”形式的命题中，假命题是( )
A.2不是有理数 B．π≠3.14
C．方程2x2＋3x＋21＝0没有实根
D．等腰三角形不可能有120°的角
3.已知命题p：6≥6，q：8>9，则下列选项正确的是 ( )
A．p或q为真，p且q为真，非p为假
B．p或q为真，p且q为假，非p为真
C．p或q为假，p且q为假，非p为假
D．p或q为真，p且q为假，非p为假
4.已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若p假q真，求x的值．。
高中数学新课程创新教学设计
第一部分高中数学新课程创新教学设计的基本观点新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大变化，要实现数学课程改革的目标，教师是关键．教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用．教师不仅是课程的实施者，而且是课程的研究、建设和资源开发的重要力量．教师不仅是知识的传授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者．为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质．数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础．一、高中数学新课程实施的基本理念新的课程理念要求数学教师与时俱进，切实更新教育理念，在课程的实施、研究、建设上做出成绩，成为开发课程资源的生力军．（一）正确认识数学教学的本质，建立与新课程相适应的教育理念建立与新课程相适应的教育理念，首先是对新时期的教育要有正确的认识．教育本应是“心灵的导向和人格的塑造”的过程，也是促进人的健康成长的过程，但现代教育追逐物质效益而忽视精神文化的开创和弘扬，使人们陷于狭隘而片面的发展，这应是教育者值得深思的课题．从某种意义上来说，教育是一代人走向历史，历史进入下一代人的方式，同时教育解释历史，使历史意义彰显出来．教育使受教育者理解历史，使历史进入人的精神世界，使个体在历史中创造历史，使历史成为运动的，发展的．教育不仅是对生活的准备，而且是涵盖人生的．人类自从有生命开始，就在生活着，就在进行理解着，就在成长着，就在学习人类的语言，接纳社会的传统．教育不在生活之外，与其说教育是生活的准备，不如说教育是人展现自身的一种必然方式．数学教师要认识到新的时期人们对数学的理解有了新的进展．每一名数学教师都是按照自身对数学的理解来讲课的．我们应将数学理解为关于模式的严格而生动的科学，将数学作为探索性的、动态的、进展的科学，而不是作为僵死的、绝对的、封闭的一组组难以记住的定理去学习．也就是说，将数学看作一门科学，而不是教规．数学是研究关系的科学，是研究关于客观世界模式和秩序的科学．数、形、关系、可能性、最大值或最小值、数据处理等，是人类对客观世界进行数学把握的最基本的反映．数学对象没有任何实物和能量的特征，它们都处于一定的相互关系之中，处于数量关系、空间关系等类似于这些关系的关系之中．数学思想体现了对一定质的量和一定量的质以及相互转化关系的把握．数学作为普遍的技术，可以帮助人们在搜索、整理、描述、探索和创造中建立模型，研究模型，从而解决问题，作出判断，它为人们交流信息提供了一种有效的简洁手段．数学是研究方法的科学，它是在人们对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象，概括，形成模型、方法和理论的过程．这一过程充满着探索和创造．如今，观察、实验、猜测、调控等学习模式，已成为人们发展数学，应用数学的重要策略．数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程．数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动．从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动．在数学活动中，学生与教材及教师间产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感和思维能力．在数学教学过程中，教师与学生是人格平等的主体，教学过程是师生进行平等对话和交流的过程．教师与学生之间、学生与学生之间开展动态的交流对话活动，其内容包括知识信息、情感、态度、行为规范和价值观等方面．在这个活动中，学生应当成为学习活动的主体，而教师是学生参与学习活动的组织者和引导者，是共同的参与者．教师引导学生开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生掌握基本的数学知识和技能，产生学习数学的愿望和兴趣．在数学教学过程中，教师促进了学生的发展，本身也得到了完善．学生在新课程标准的指导下，在学校除了学习相应的知识之外，更重要的是要做到“成长、发展和完善”．首先学生要做到健康地“成长”，必需身体健康和心理健康（通常表现为认知功能正常、情绪反应适当、意志品质健全、自我意识正确、个性结构完整、人际关系协调、人生态度积极、社会适应能力良好、行为表现规范和行为与年龄相符等），特别是学习心理健康，这样才能学好他所需求的那一部分数学．数学不应成为学生学习的沉重负担，而应成为学生人生道路上成长的“泵”．其次是“发展”，学生在学校里学习，智力、能力、个性、特长和爱好都应得到全面和长期的发展．最后是人格得到“完善”，成为具有健全人格的人．同时，新课程标准对教师提出了明确的要求，要求教师做到“关注、尊重和理解”．“关注”即关注学生的成长，关注学生的感受，关注学生的需要，关注学生的学习方式，而不是只关心他的分数．也就是说，要关注学生们的全面和长期的发展．对学生的关注来源于“尊重”．“尊重”有着十分广泛的内容，即要求教师在实施新课程中做到尊重自己，强调自立自强；尊重他人，强调平等；尊重社会，强调规则；尊重自然，强调和谐；尊重知识，突出探索，突出应用（只有那些有用的、会用的知识才能成为力量）；尊重被教育的对象，突出以人为本，教师教的是人，塑造的是人才．“尊重”来源于“理解”，即教师自我对人生的理解、对教育事业的理解、对所教的这门学科的理解、对认知心理学和学生学习心理学的理解，以及对教学对象的理解．教学过程是实现课程目标的重要途径，必须突出对学生创新意识和实践能力的培养，优化教学过程．教师是教学过程的组织者和引导者．教师在设计教学目标、选择课程资源、组织教学活动、运用现代教育技术和参与研制开发学校课程等方面，都应以实施素质教育为己任，面向全体学生，因材施教，创造性地进行教学．教师应学习、探索和积极运用先进的教学方法，不断提高师德素养和专业水平．学生是教学过程的主体，学生的发展是教学活动的出发点和归宿，学习应是发展学生心智、形成健全人格的重要途径．在教学过程中，要根据不同学习内容，掌握和接受探究、模仿、体验等学习方式，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程．教材是教学内容的重要载体，教师在教学过程中应依据课程标准，灵活地、创造性地使用教材，充分利用包括教科书在内的多样化课程资源，拓展学生发展空间．加强师生相互沟通和交流是教学过程的核心要素，新的教育理念倡导教学民主，建立平等合作的师生关系，营造同学之间合作学习的良好氛围，为学生的全面发展和健康成长创造有利的条件．（二）以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划《数学课程标准》指出：为了体现时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展……教学中，要鼓励学生根据国家规定的课程方案和要求，以及各自的潜能和兴趣爱好，制定数学学习计划，自主选择数学课程；还要根据学生的基础、水平和发展方向，指导学生选择适合自己的学习内容，安排学习顺序．对不同系列的内容，应采用不同的教学方式．新课程为学生提供了若干模块的选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择．教师应适时依据学生的志向与自身条件的不同，帮助他们针对不同高校、不同专业对学生数学方面的要求的不同，指导学生选择不同的课程组合．以下提供课程组合的几种基本建议．（1）学生完成10学分的必修课，即可达到高中毕业的最低数学要求，他们还可以任意选修其他的数学课程．（2）学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课中任选1个模块获得2学分，即可达到多数高职、艺术、体育类的高等院校的最低数学要求．（3）学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课程中选修B1，B2，获得4学分，在其他选修课程中选修1个模块获得2学分，总共取得16个数学学分，即可达到人文社会科学类高等院校的最低数学要求．（4）在（3）的基础上，对数学有兴趣并希望获得较高数学素养的学生，在E，F中选修3个模块获得6学分，可以申请获得数学高级水准证书，成为升学或其他需要的依据和参考．（5）学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课程中选修C1，C2，C3，获得6学分，在其他选修课程中选修2个模块获得4学分（其中在D课程中只能获得2学分），总共取得20个数学学分，即可达到理工、经济类高等院校的最低数学要求．（6）在（5）的基础上，对数学有兴趣并希望获得较高数学素养的学生，在E，F中选修3个模块获得6学分，可以申请获得数学高级水准证书，成为升学或其他需要的依据和参考．课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换．学生作出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整．教师根据选修课模块的逻辑顺序，帮助他们进行调整和转换．（三）帮助学生打好基础，发展能力在新课程下，教师应帮助学生理解和掌握基本数学知识，基本技能，发展能力．数学能力包含于一般的能力之中，但又有着自身的特征，其核心部分是数学思维能力．它体现了数学思维中对客观事物一定质的量和一定量的质及其相互转化关系的把握．数学的思维意识具有独特的形态：它的思维对象力求形式化，思维意识力求抽象化，思维背景力求形象化，思维过程力求逻辑化，思维结果力求应用化，并以此体现数学特有的教育价值．数学思维技能的形成过程是智能与技术的统一体，是学生的数学能力在掌握数学知识的过程中进行数学活动的具体表现．要获得一定数量的知识，就必须具备相应的技术手段，否则学习这些知识就是没有用的．在技能和能力的关系上，可进行如下的分析：学生自动地完成最简单的基本活动就叫技巧，而借助技巧完成的活动自身也就变成了一个操作．技巧在形成时，它努力使自己成为一个自觉的自动化的活动，然后，它以一个完成活动的自动化方法来发挥作用．当学生要完成比较复杂的活动时，就应该掌握运用知识和技巧的本领，这种用主体具有的知识和技巧，掌握对于合理调节活动必须的心理活动，进而实施活动的能力，就叫技能，而能力是作为一个人区别于另一个人的个人心理特点，是与顺利完成某种活动有关的特点，决定某一活动或许多活动实现的可能性和成功的程度的特点．在分析能力时，指的是进行某一活动的人的品质和特点．在分析技能和技巧时，指的是人进行的活动的性质和特点．技能和技巧反映学生解决问题的实际可能性，而能力反映的是潜在的可能性，是迅速、灵活和深刻掌握解决新的类型习题的主要条件．任何一门科学的一个十分重要的特征，就是它的逻辑结构．通常认为，科学的逻辑结构的要素是：原理、法则、基本概念、理论和思想．在数学中，这些要素具有稍微特殊的形式，其中基本概念是数学逻辑结构的第一个要素；公理体系连同数学中运用的逻辑证明的法则，构成了数学的第二要素———数学基础，常采用定理、运算法则、公式等形式；数学的逻辑结构的一个最重要的要素是第三要素———数学思想．学校数学课程的整个结构基础应当是现代数学的思想和方法，如集合和映射的思想、比较和分类的思想、数形结合的思想等．学生对这种现代数学的思想和方法的接受和熏陶，是高中其他任何一门学科不能替代的．最好能让学生知道这些思想和方法，同时这些思想和方法应当以明显的形式列入教学内容，并且对它们的掌握应当成为学生学习活动的直接目的．思想和方法最初以不展开的形式教给学生，但是随着学生年龄的增长，随着教学向前推进，它们与学生一起增长．这些思想和方法组成数学全部教学内容的核心，学校数学课程的其他内容，应当是这些思想和方法的具体化和运用，是这些思想和方法的展开．这些思想和方法的形成和发展是学生由基本技能上升为基本能力的基础．《数学课程标准》对学生的能力目标是：提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力；提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力；发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断．（四）注重联系，提高对数学整体的认识在新课程中，数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．最近二三十年来，数学的性质及其应用的领域与途径发生了巨大变化，不仅发展了许多新的数学领域，而且应用数学的范围大大扩充了．最显著的是，计算机的发展和计算机应用的爆炸性增长，它们绝大多数都要求发展新的数学．同样，与广泛应用相联系的几个主要数学分支，产生了大量的思想财富．学生必须学习这些应用数学，进而利用应用数学解决实际问题．数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有了变化．数学是一门科学，观察、实验、发现、猜想等科学方法在数学研究中有着重要的作用，尝试和纠错、假设和调研以及度量和分类是数学家常用的一些技巧，学校应当教．实验作业和实习作业对于理解数学是什么及其如何使用不但是适宜的，而且是必须的．像生物是有机体的科学、物理是物和能的科学一样，数学是模式的科学．通过它们的所有表现形式———数，数据，形，序，甚至模式本身来划分、解释和描述模式，使数学在科学家遇到的任何模式中都可以在某处解释为数学实践的组成部分．数学也是一种交流形式．数学不仅是一门科学，而且是一种语言．数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础．由于计算机和世界范围内的数学式交流的支持，商业和工业都越来越依靠现代数学的分析方法．数学可以作为商业和科学的语言，是因为数学是描述模式的语言．数学语言是交流关系和描述模式的通用工具，是一种每人都必须学习、使用的语言．一个学习数学的人，他搜集、发现、创造或表达关于模式的事实和思想．数学是一种创造性的、活跃的过程，和被动地掌握概念与程序很不相同．事实、公式和信息有多大价值，只看它在多大程度上支持有效的数学活动．虽然有些基础的概念和程序所有学生都必须知道，但是学数学要追求理解和交流，而不仅仅是把它当作工具．（五）注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力《数学课程标准》指出：高中数学课程应讲清一些基本内容的实际背景和应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立一些反映数学应用的专题课程．即把数学应用教学当作数学教学的重要组成部分，把数学的应用自然地融合在平常的教学中．教学中应体现知识的来龙去脉，适当介绍数学学科与其他学科、日常生活的联系；通过数学学习、实验、研究性学习等活动引导学生亲自利用数学解决一些实际问题；拓宽学生的视野，增长见识．（六）关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成《数学课程标准》指出：数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力．教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，开阔视野，探寻数学发展的历史轨迹，受到优秀文化的熏陶，提高文化素养，养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍的追求真理精神．注重学生情感、态度、价值观的培养，这一点在传统数学教育中没有得到充分的重视．课程实施中应把情感、态度的培养作为一个基本理念融入到课程目标、内容与要求、说明与建议等中．数学和其他任何学科不同，它几乎是任何科学不可缺少的．克莱因指出：“数学是形成现代文化的主要力量，也是这种文化极其重要的因素．”首先，它追求一种完全确定、完全可靠的知识，是一种寻求公理的思想方式．数学使人全面地、完整地、合乎逻辑地、有条有理地认识事物，完善了自身的人格．进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求，实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成．数学作为人类文化组成部分的另一个特点，是它不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根据，它鼓励人们按照最深刻的内在规律来考虑事物．数学的另一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且研究它自己．在发挥自己力量的同时，研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思、不断批判自己，并以此开辟自己前进的道路．数学影响着人类的精神生活，它促进了人类思想解放，提高与丰富了人类的整个精神水平．从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有力的人．齐民友先生在《数学与文化》一书中高度评价了数学在促进人类思想解放、使人类摆脱封建迷信等方面的历史功绩，认为它最根本的特征是“表达了一种探索精神”，并把数学提高到文化兴衰、氏族兴亡的高度来认识．在课程实施中，应结合教学内容介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，用以反映数学在人类社会进步、人类文化建设中的作用，同时反映社会发展对数学发展的促进作用．此外，初等数学本身为学生人文精神的形成和发展提供了许多有趣的素材．数学曲线和几何图形具有平衡和对称的特点，它们像艺术品那样令人赏心悦目，从简单的直线到复杂的摆线，从黄金分割到钟摆模型，都具有平衡性和对称性，它们作为一种基本图形，广泛应用于艺术、建筑和商品广告等方面．在自然界的奇妙结构中，到处会碰到数学，从雪花的六角形对称结构到蜜蜂的六角形蜂房，从蜗牛壳的螺线、向日葵花盘的圆的渐开线到行星的椭圆形轨道，数学曲线和几何结构普遍存在于自然界中，教师应在适当的时候提醒学生注意，用以激发他们天赋的感官，从而引起学生学习数学的兴趣．数学的精髓在于探索和创新，在数学学习和研究的过程中，应该做到不断地发现新问题、获取新信息、提出新观点、探求新方法和得出新结构，关注数学的人文价值，促使学生科学观的形成，坚持“创新”的价值取向．教育的目标任务在于提高人的素质，而创新素质既是个体发展的最高表现，又是当今社会特别重视的素质．培养创新素质理当成为现代教育最重要、最明确的目标追求，成为教育成败得失的最高标准．现实教育的目标追求指向是知识学习和技能训练，创新素质的培养很少得到关注，正是由于教育目标上的偏差，导致整个教育格局中的“创新”的失落．因此，教育创新首先要调整目标，坚定创新的价值取向，把培养创新素质作为教育最重要、最根本的任务加以确认．针对目前过分注重知识和技能而忽视创新的状况，在实施中可考虑教材压缩一些、难度降低一些、教师少讲一些、学生多动一些、课程丰富一些和考试办法多样一些等方式．（七）改善教与学的方式，使学生主动地学习丰富学生的学习方式、改进学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动．高中数学课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教师提出了挑战．在教学中，教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中学生数学学习的教学方式．1. 正确认识教师在课程改革中的作用和角色的转变在师生关系上，新课程要求教师应该从知识的传授者转变为学生学习的促进者，重心转化为促进学生个性和谐，身心健康，全面发展．教师应成为学生学习能力的培养者，成为学生学习的激发者，辅导者，帮助学生“学会学习”．教师应成为学生人生的引路人，不断地在他们成长的道路上设置不同的路标，引导他们不断地向更高目标前进．在教学与研究的关系上，新课程要求教师应该是教育教学的研究者．新课程增加了新的内容，对原有内容的编排和要求也有了新的变化，这给教师提出了挑战．新课程蕴涵的新理念，新方法，以及新课程实施过程中出现的各种新问题，都是过去的经验和理论难以解释和应付的，教师不能被动地等待着别人把研究成果和教学经验送上门，进而不假思索地应用到教学中去．教师应成为研究者，以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问题，对自己的行为进行反思，对出现的问题进行探索，对积累的经验进行总结，使其形成规律性的认识．在教学与课程的关系上，新课程要求教师应该是课程的建设者和开发者．在传统的教学中，教师的任务只是教学，只要按照教科书、教学参考资料、考试试卷和标准答案去讲课就行了，而新课程倡导民主、开放、科学的课程理念，同时确立了国家课程、地方课程、校本课程的三级课程管理政策，这就要求课程必须与教学互相整合，教师必须在课程改革中发挥主体性作用．教师要不断提高课程的建设能力，使国家课程、地方课程在课堂教学实施中得到不断丰富和完善．2. “师生互动，共同参与”的教学方式学生学习的内在需要表现为学习兴趣．兴趣有直接和间接之分，直接兴趣指向过程本身，间接兴趣指向活动的结果．有了学生对学习活动的积极参与，对学生来说，学习就不再成为负担，学习的效果就会事半功倍．学生积极的参与获得了学习的体验，体验使学生学习进入生命领域．因为有了体验，知识的学习不再仅仅属于认知、理性范畴，它已扩展到情感、生理和人格等领域，从而使学习过程不仅是知识增长的过程，也是身心和人格健全与发展的过程．数学教学的过程是“师生互动、共同参与”的过程．在这个过程中，特别强调学生的参与，即强调活动、操作实践、考察、探究、交流等亲身经历的学习活动．通过这个“活动”，调动学生掌握的个人知识和直接经验，并把它们都看成重要的课程资源．3. 突出数学本质，避免过分形式化形式化是数学的基本特征之一．在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是，数学教学不能过度地形式化，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里．数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的，在数学教学中应该“返璞归真”，努力揭示数学的本质．数学课程“要讲推理，更要讲道理”，即通过对典型例子的分析，使学生理解数学概念、结论、方法和思想，追寻数学发展的历史足迹，把形式化数学的学术形态适当地转化为学生易于接受的教育形态．4. 注重学生非智力因素的培养。
常用逻辑连接词教案
常用逻辑连接词教案一、教学目标1. 让学生掌握常用的逻辑连接词，如：and，or，but，so等。
2. 培养学生正确使用逻辑连接词连接句子和段落的能力。
3. 提高学生运用逻辑连接词进行思维和表达的能力。
二、教学内容1. 逻辑连接词的定义和作用。
2. 常用逻辑连接词的用法和示例。
3. 逻辑连接词在句子和段落中的运用。
三、教学重点与难点1. 重点：掌握常用逻辑连接词的用法和示例。
2. 难点：运用逻辑连接词进行句子和段落的连接。
四、教学方法1. 讲授法：讲解逻辑连接词的定义、用法和示例。
2. 练习法：通过练习题让学生巩固所学内容。
3. 小组讨论法：学生分组讨论，交流逻辑连接词的运用心得。
五、教学步骤1. 导入：引导学生思考生活中常用的逻辑连接词，如“因为…………”等。
2. 新课讲解：讲解逻辑连接词的定义、用法和示例。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用所学逻辑连接词进行句子和段落的连接。
4. 小组讨论：学生分组讨论，交流逻辑连接词的运用心得。
5. 总结与拓展：总结本节课所学内容，布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
教学评价：通过课后作业和课堂练习的情况，评价学生对常用逻辑连接词的掌握程度。
六、教学活动设计1. 案例分析：分析一些日常对话或文章中的逻辑连接词使用，让学生识别并理解其作用。
2. 角色扮演：学生分组，模拟不同的场景，使用逻辑连接词来构建连贯的对话。
3. 写作练习：布置一篇小短文，要求学生尽量使用多种逻辑连接词来组织文章。
七、教学资源准备1. 逻辑连接词使用手册：提供各种逻辑连接词的定义和例句。
2. 相关文章或对话材料：用于分析和角色扮演活动。
3. 写作纸张和文具：供学生进行写作练习。
八、教学进度安排1. 第1-2周：介绍逻辑连接词的基本概念和用法。
2. 第3-4周：通过案例分析和角色扮演活动加深理解。
3. 第5-6周：通过写作练习巩固所学知识。
九、课后作业设计1. 练习题：设计一些选择题和填空题，让学生练习逻辑连接词的用法。
第三讲+逻辑联结词、全称量词与存在量词教案-2023届高三数学一轮复习
《第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词》教案主备人：备课组授课时间授课年级签字：________课标要求1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.4.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.内容与学情分析学情分析在高一时学生们已经学习过逻辑联结词、全称量词与存在量词这一部分相关知识，有一定的基础.学习目标1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.重点全称命题，特称命题及含有一个量词的命题的否定.难点否命题与命题的否定的区别.课前准备1.构建本节知识体系，熟记重点知识；2.完成《学案》知识梳理，双基自测部分.教学环节（一）复习导入展示知识梳理模块的PPT，唤醒学生已有的知识储备，激发学习兴趣，导入新课.导语：关于逻辑联结词、全称量词与存在量词的相关知识，大家还记得多少呢？下面，让我们一起进入今天的学习.（二）考点突破·互动探究考点一含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1(1)指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．①1≥0；②10是2或5的倍数；③矩形的对角线相等且垂直；④1不是奇数．(2)若命题“p∨q”与命题“¬p”都是真命题，则()A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q都是假命题C．命题p是真命题，命题q是假命题D．命题p是假命题，命题q是真命题(3)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p∨q B．p∧q C．q D．¬p做题方法：判断复合命题真假的方法(1)判断一个复合命题的真假往往用真值表，一般先确定复合命题的构成形式，然后根据简单命题的真假和真值表得出结论．(2)复合命题真假的判断，可简记为：p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 ( 2022·山东济宁期末)下列命题中假命题是( )A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2 >0 C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0”，则¬p 为( )A ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2022·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1做题方法：全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例4 (理)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫14，＋ ∞B ．⎝⎛⎦⎤－∞，14C ．⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎤－∞，13[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是 m ≥12．解：当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max 得0≥12－m ，所以m ≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是 m ≥14－ln _10. ．解：当x ∈[0，3]时，f (x )max ＝f (3)＝ln 10， 当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )max ≥g (x )min 得ln 10≥14－m ，所以m ≥14－ln 10.答案：m ≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是 m ≥12－ln 10 ．(文)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，则mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0； 当q 是真命题时，则Δ＝m 2－4<0，－2<m <2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．做题方法：根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 考点三 简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙做题方法：在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．教师活动：通过课件，出示例题，对有难度的题型加以引导.学生活动：认真审题，独立完成.设计意图：使学生明确本节考点及命题方式.（三）达标检测〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，真命题是()A．∃x0∈R，sin2x02＋cos2x02＝12B．∀x∈(0，π)，sin x>cos xC．∀x∈(0，＋∞)，x2＋1>xD．∃x0∈R，x20＋x0＝－1(2)(角度2)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0(3)(角度3)(理)已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(¬p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪{1}B．(－∞，－2]∪[1，2]C．(1，＋∞)D．[－2，1](文)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩教学总结（一）知识收获知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬p，(4)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断真值表p q¬p p∨q p∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬q)．归纳拓展1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词若给定语为等于大于是且或一定都是至多有一个至少有一个至多有n个其否定语为不等于小于或等于不是或且不一定不都是至少有两个没有至少有n＋1个（二）方法收获讲授法、列举法等板书设计第三讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考点一含逻辑联结词的命题及其真假判断考点二含有一个量词的命题角度1 全称命题、特称命题的真假角度2 含一个量词的命题的否定角度3 含参命题中参数的取值范围考点三简易逻辑的综合应用作业设计课后反思从近五年的考查情况来看，高考对本节内容重点考查含有一个量词的命题的否定，含有逻辑联结词的命题、全称命题、特称命题的真假判断.以选择题为主，属于基础题.本节课主要以不等式，三角函数，向量等知识为载体，结合逻辑联结词和全（特）称量词考查培养学生的转化思想和逻辑推理核心素养.。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇__40_平面向量的数量积-6页word资料
40 平面向量的数量积教材分析两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．教学目标1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．任务分析两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c ＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．教学设计一、问题情景如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？二、建立模型1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b ＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a 方向上）的投影．规定0与任一向量的数量积为０．由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉．2. 引导学生思考讨论根据向量数量积的定义，可以得出（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）设a·b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解释应用［例题］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10．［练习］1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．（2）a在b上的投影．2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．四、建立向量数量积的运算律1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？2. 运算律及其推导已知：向量a，b，c和λ∈R，则（1）a·b＝b·a（交换律）．证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．总之，（λa）·b＝λ（a·b）；同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？五、应用与深化［例题］1. 对实数a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？解：类比完全平方和公式与平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．其证明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2．∴有类似结论．2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）．解：（a＋2b）·（a－3b）＝a2－3a·b＋2b·a－6b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72．3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±．因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．4. 已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1××＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．［练习］1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．2. 在边长为2的正三角形ABC中，求·＋·＋·．六、拓展延伸1. 当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝＋，＝－．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．3. 三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2，∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°．同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．解法2：如图40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋．∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…4. 在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心．点评这篇案例的一个突出特点是使用类比方法，即在研究向量的数量积的性质及运算律时，经常以实数为对象进行类比．以物理学中的力对物体做功的实例，引入数量积的过程比较自然，学生容易接受．在“拓展延伸”中，较多地展示了向量的综合应用．这都充分体现了向量是数形结合的重要载体．运用向量方法解决与向量有关的综合问题，越来越成为考查学生数学思维能力的一个重要方面．认识向量并会使用向量是这一部分的基础，也是重点．总之，这篇案例较好地实现了教学目标，同时，关注类比方法的运用，以及学生数学思维水平的提高．美中不足的是，对学生的自主探究的引导似乎有所欠缺．。
高中数学：1.4逻辑联结词“且,或,非” 教案 (北师大选修1-1)
第一章常用逻辑用语第4.1节逻辑联结词“且”第4.2节逻辑联结词“或”第4.3节逻辑联结词“非”一、创设情境前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。
本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。
问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式①11>5 ②3是15的约数吗？③0.7是整数④x>8二、活动尝试①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为3是15的约数，则为真；③是假命题④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。
改为x2≥0，则为真；例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。
我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。
三、师生探究问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。
命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.命题（3否定而得出的新命题.四、数学理论1.逻辑连接词命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2. 复合命题的构成简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题3.复合命题构成形式的表示常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.即：p或q 记作p∨q p且q 记作p∧q 非p (命题的否定) 记作⌝p释义：“p 或q ”是指p,q 中的任何一个或两者.例如，“x ∈A 或x ∈B ”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即x ∈A ∪B ）；又如在“p 真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能p,q 都为真.“p 且q ”是指p,q 中的两者.例如，“x ∈A 且x ∈B ”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即x ∈A I B ）. “非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“x ∈A ”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈U A ð）.五、巩固运用例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p 且q 的形式，其中p ：24是8的倍数；q ：24是6的倍数.（2）的命题是p 或q 的形式，其中p ：李强是篮球运动员；q ：李强是跳高运动员.（3）命题是非p 的形式，其中p ：平行线相交。
高中数学 1.3.6简单的逻辑联结词“非”学案 理 新人教A版选修2-1
课题：简单的逻辑联结词：非课型：新授课学习目标1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“非”的含义（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：观察和思考中，在解题和证明题中，注重学生思维能力中严密性品质的培养．3.情感态度价值目标：激发学生的学习热情，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．学习重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.难点： 1、正确理解命题“￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“￢P”.学习过程1、引入新课：思考、分析问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；（2）①方程x2+x+1=0有实数根。
②方程x2+x+1=0无实数根。
2、“非”定义3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？4、命题的否定与否命题的区别学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分清命题的条件和结论。
例：如果命题p:5是15的约数，那么命题￢p：p的否命题：显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。
5.例题分析例1 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为等于大于是都是至多有一个至少有一个其否定语分别为例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；（2）p：3＜2；（3）p：空集是集合A的子集。
6.巩固练习：P18 习题1.3 第3题7．学后反思：（１）正确理解命题“￢P”真假的规定和判定．（２）简洁、准确地表述命题“￢P”.8．作业P18：习题１.３Ａ组B题。
【三维设计】高中数学 第一章 §4 逻辑联结词“且”“或”“非”应用创新演练 北师大版选修2-1
"【三维设计】高中数学第一章§4 逻辑联结词“且”“或”“非”应用创新演练北师大版选修2-1 "1．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p且q是真命题B．p或q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析：只有綈q是真命题正确．答案：D2．由下列各组命题构成的新命题“p且q”为真命题的是( )A．p：4＋4＝9，q：7>4B．p：a∈{a，b，c}，q：{a a，b，c}C．p：15是质数，q：8是12的约数D．p：2是偶数，q：2不是质数解析：“p且q”为真，则p，q必同时为真，故应选B.答案：B3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B解析：命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.答案：A4．已知命题p：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零；命题q：若m>－2，则x2＋2x－m＝0有实根，则( )A．p或q为真B．綈p为真C．p且q为真D．綈q为假解析：p的逆否命题为：若x，y全为零，则x2＋y2＝0.为真命题，故p为真．命题q 中，Δ＝4(1＋m)，当m>－2时，Δ可能小于零，故q为假．故p或q为真．答案：A5．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空．(1)命题“3的值不超过2”是“________”的形式；(2)命题“x＝2或x＝3是方程(x－2)(x－3)＝0的解”是“________”的形式；(3)命题“函数y＝cos x既是偶函数，又是周期函数”是“________”的形式．解析：(1)是命题“3的值超过2”的否定， (2)是两个命题用“或”连接，(3)是两个命题用“且”连接．答案：非p p 或q p 且q6．若命题p ：“若x ＝2不是不等式ax 2＋x －1>0的解”为假命题，则a 的取值范围为________．解析：由题意：綈p 为真，即x ＝2是不等式ax 2＋x －1>0的解，∴4a ＋1>0，解得a >－14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 7．若p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p ，若綈p 是假命题，则a 的取值范围是什么？解：綈p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上不是减函数∵綈p 为假，则p 为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a －1)≥4，即a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．8．已知p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题可知p ，q 一真一假． p 为真命题时，Δ＝a 2－16≥0，∴a ≥4或a ≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a 4≤3， ∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ －4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4.综上，得a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．。
高中数学 专题1.3 简单的逻辑联结词(1)教案 新人教A版选修2-1(2021年整理)
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简单的逻辑联结词（1）【教学目标】１、知识与技能:理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假;能把命题改写成“若p，则q"的形式；２、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观:通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
【教法指导】重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假【教学过程】☆情境引入☆要在某居民楼一楼与二楼的楼梯间安一盏灯，一楼和二楼各有一个开关，使得任意一个开关都能独立控制这盏灯，你能运用“或"“且”的方法解决吗？☆探索新知☆1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题,记作__________，读作p且q.2．关于逻辑联结词“且”(1）“且"的含义与日常语言中的“并且”、“及"、“和”相当，是连词“既……又……"的意思,二者须__________成立．(2)从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2__________时,灯才能亮；当两个开关S、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．1（3）从集合角度理解“且"即集合运算“__________”．设命题p：x∈A,命题q：x∈B，则p∧q⇔x∈A,且x∈B⇔x∈(A∩B）．（4）“p∧q”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，p∧q是__________命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是__________命题．3．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题,记作__________，读作p或q。
人教课标版高中数学选修2-1《简单的逻辑联结词(第1课时)》教学设计
1.3简单的逻辑联结词（第1课时）一、教学目标 （一）学习目标1．掌握逻辑联结词“且、或”的含义； 2．正确应用逻辑联结词“且、或”解决问题； 3．掌握真值表并会应用真值表解决问题． （二）学习重点1．通过数学实例，了解逻辑联结词“且、或、非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容． （三）学习难点1．正确理解命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定； 2．简洁、准确地表述命题“p q ∧”与“p q ∨”． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）“或”“且”叫做__________；（2）用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作_______，读作_________； （3）用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作_______，读作_________． 【答案】 逻辑联结词 p q ∨ p 或q p q ∧ p 且q 预习自测1．分别写出由下列命题构成的“p q ∧”与“p q ∨”式的命题． (1) :p π是无理数，:q e 不是无理数；(2) :p 方程2210x x ++=有两个相等的实数根，:q 方程2210x x ++=两根的绝对值相等．答案：（1）p q ∨：π是无理数或e 不是无理数；p q ∧：π是无理数且e 不是无理数；（2）p q ∨：方程2210x x ++=有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p q ∧：方程2210x x ++=有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．解析：【知识点】 命题p q ∧、p q ∨． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．2．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题．（1）分式2201x x x +-=-； （2）不等式220x x +->的解集是{|12}x x x ><-或答案：（1）是p q ∧的形式，其中2:20:10p x x q x +-=-≠；；（2）是p q ∨的形式，其中:p 不等式220x x +->的解集是{|1}x x >；:q 不等式220x x +->的解集是{|2}x x <-．解析：【知识点】命题p q ∧、p q ∨的判断． 点拨：掌握逻辑联结词的用法． 3．判断下列符合命题的真假． （1）菱形的对角线互相垂直平分； （2）若21x =，则2310x x ++=．答案：（1）命题是p q ∧的形式，真命题；（2）命题是p q ∨的形式，假命题． 解析：【知识点】命题的真假． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．4．命题:p 不等式2(1)10x a x -++≤的解集是∅；命题:q 函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数，如果p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围． 答案：(3,0][1,)-+∞解析：【知识点】命题p q ∧、p q ∨真假的判断．【解题过程】命题:p 不等式2(1)10x a x -++≤的解集是∅，则2(1)40a ∆=+-<恒成立，解得31a -<<；命题:q 函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数，则11a +>，即0a >．因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以p 、q 一真一假．（1）p 真q 假时，30a -<<；（2）p 假q 真时，1a ≥．综上：(3,0][1,)a ∈-+∞． 点拨：p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p 、q 一真一假，要分两种情况讨论． (二)课堂设计 1.知识回顾命题：若p ，则q ．(1)若p q ⇒且q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若p q ⇒/且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件； (4)若p q ⇒/且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分与不必要条件． 2．问题探究探究一 结合实例感受逻辑联结词 ●活动① 设置情景，引入概念下列各组命题中，三个命题间有什么关系？ （1）①24能被4整除；②24能被6整除；③24能被6整除且能被4整除． （2）①1x >；②2x <-；③1x >或2x <-．教师引导学生：在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题．问题：以前我们有没有学习过像这样用联结词“且”或者“或”联结的命题呢？ 你能否举一些例子？例如：命题p ：正方形四个角相等且均为直角．命题q ：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分．命题r ：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似．【设计意图】通过观察实例，让学生直观感受逻辑联结词，自然过渡．●活动② 结合例子，提取概念一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题， 记作：p q ∧ ，读作“p 且q ”．一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题， 记作：p q ∨ ，读作“p 或q ” ．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”中的“且”字与“或” 字与集合理论里的两个命题中“且” 字与“或” 字的含义相同吗？（1）若x A ∈且x B ∈，则x A B ∈．（2）若x A ∈或x B ∈，则x A B ∈．定义中的“且”字与“或”字与集合理论里的两个命题中“且”字与“或”字的含义是相似．但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时满足； 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去学习或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.类比：符号“∧ ”与“”开口都是向下，符号“∨”与“”开口都是向上. 强调：“p 或q ”，“p 且q ”，命题中的“p ”、“q ”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p ”、“q ”是一个命题的条件和结论两个部分. 【设计意图】结合实例，提取概念，通过类比，加深对逻辑连结词的理解. ●活动③ 应用反馈，巩固概念例1 请同学们选择合适的逻辑联结词“且”“或”改写下列命题.（12）32≥; （3）4是合数或2是质数. 【知识点】逻辑联结词“且”“或”． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】（12）3232>=或； （3）4是合数或2是质数.同类训练 请选择合适的逻辑联结词“且”“或”改写下列命题. （1）∅既是A 的子集又是它的真子集； （2）*(1)(2)()n n n n N ++∈是偶数或是3的倍数. 【知识点】 逻辑联结词“且”“或”． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】 （1）∅是A 的子集且∅是A 的真子集；（2）*(1)(2)()n n n n N ++∈是偶数或*(1)(2)()n n n n N ++∈是3的倍数． 探究二 “p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定 ●活动① 设置情景，引入概念问题1：请接着判断例1中的三个命题的真假：（1既是奇数又是无理数；（2）32≥；（3）4是合数或2是质数．（抢答） 问题2：你能确定“p q ∧”与“p q ∨”真假吗？“p q ∧”与“p q ∨”真假与p q 、的真假有什么关系?（引导学生思考）分析：（1）中p 假q 真，所以为假；（2）中p 真q 假，但（2）为真（学生可能有不同意见）；（3）中p 真q 真，所以为真． 【设计意图】结合实例，学生更容易理解． ●活动② 结合例子，提取概念 一般地，我们规定：当p q 、都是真命题时，p q ∧是真命题；当p q 、两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题；当p q 、两个命题中有一个是真命题时，p q ∨是真命题；当p q 、两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 总结出真值表：【设计意图】使概念更加清晰，学生理解起来容易． ●活动③ 应用反馈，巩固概念例1 将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“p q ∧”与“p q ∨”的形式，并判断它们的真假．（1）p ：长方形的对角线互相平分，q ：长方形的对角线相等； （2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分； （3）p ：14是2的倍数，q ：14是4的倍数．【知识点】逻辑联结词“且”与“或”及复合命题真假的判断． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】（1）p q ∨：长方形的对角线互相平分或相等（真）；p q ∧：长方形的对角线互相平分且相等（真）；（2）p q ∨：菱形的对角线互相垂直或平分（真）；p q ∧：菱形的对角线互相垂直且平分（真）．（3）p q ∨：14是2的倍数或是4的倍数（真）；p q ∧：14是2的倍数且是4的倍数（假）. 3.课堂总结 知识梳理1．逻辑联结词“且、或”的含义；2．命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定． 重难点归纳1.正确理解命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的真值表和判定；2.简洁、准确地表述命题“p q ∧”与“p q ∨”．（三）课后作业 基础型 自主突破1．命题“平行四边形的对边平行且相等”是( ) A ．简单命题B ．“()()p q ⌝∧⌝”的形式C ．“p ∧q ”的形式D ．“p ∨q ”的形式 答案：C解析：【知识点】逻辑联结词“且”．【解题过程】含有逻辑联结词“且”，故为“p ∧q ”的形式． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．2．由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的新命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假的是( )A ．p ：3是偶数，q ：4是奇数B ．p ：3＋2＝6，q ：5>3C ．p ：a ∈{a ，b }，q ：{a }⊆/{a ，b }D ．p ：Q ⊇R ，q ：N ＝N * 答案：B解析：【知识点】“p 或q ”“p 且q ”真假的判断．【解题过程】“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 与q 一真一假． A ．p 假，q 假；B ．p 假，q 真； C ．p 真，q 真；D ．p 假，q 假．点拨：p 或q 为真，则p 、q 至少一个为真；p 且q 为假，则p 、q 至少一个为假． 3．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：【知识点】命题充分、必要性的判断．【解题过程】当p 或q 为真时，可以得到p 和q 中至少有一个为真，这时q 且p 不一定为真；反之当q 且p 为真时，必有p 和q 都为真，一定可得p 或q 为真． 点拨：p 或q 为真，则p 、q 至少一个为真；p 且q 为真，则p 、q 都为真．4．给出命题p ：3≥3；q ：函数1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上的值域为[－1，1]．则p∧q 、p ∨q 为( ) A ．假命题；真命题 B ．真命题；真命题 C ．假命题；假命题 D ．真命题；假命题 答案：A解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断．【解题过程】p 为真命题．对于q ，∵f (x )对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f (x )的值域为{1，－1}，∴q 为假命题，∴p ∧q 假，p ∨q 真． 点拨：先分别判断p 、q 的真假．5．已知p ：函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋x 1在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p 且q ”“p 或q ”为( ) A ．真命题；假命题 B ．真命题；真命题 C ．假命题；假命题 D ．假命题；真命题 答案：D解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断． 【解题过程】命题p 是真命题．y ＝x ＋1x在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q 为假命题.∴p 且q 为假，p 或q 为真． 点拨：先分别判断p 、q 的真假．6．已知命题p 1：函数y ＝2x －2x -在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2x -在R 上为减函数．在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4 答案：C解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断．【解题过程】∵y ＝2x在R 上为增函数，y ＝2－x＝(21)x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－(21)x 在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题． y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D. q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：⌝p 1是假命题， (⌝p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A ． 点拨：先分别判断p 、q 的真假． 能力型 师生共研7．已知p ：30x -<，q ：x 2－4x －5<0，若“p 且q ”为假命题，则x 的取值范围是________． 答案：x ≥3或x ≤－1解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断． 【解题过程】p ：x <3；q ：－1<x <5.∵p 且q 为假命题 ∴p ，q 中至少有一个为假 ∴x ≥3或x ≤－1点拨：p 且q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假．8．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >ba -}，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }．若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________． 【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断． 【数学思想】【解题过程】∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．p假⇔a≤0，q假⇔a≥b，则b≤a≤0．【思路点拨】p∨q为假命题，则p、q均为假命题．【答案】b≤a≤0探究型多维突破9．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．答案：(1,2]∪[3，＋∞)解析：【知识点】p或q、p且q命题真假．【解题过程】p：240mm⎧∆=->⎨>⎩，得m>2．q：∆=16(m－2)2－16=(m2－4m＋3)<0．解得1<m<3．∵p或q为真，p且q为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真．解得m≥3，或1<m≤2.所以m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．点拨：由∆判断一元二次方程的根的个数．10．a>0，a≠1．设p：函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．答案：[12，1)∪(52，＋∞)解析：【知识点】p或q、p且q命题的真假．【解题过程】当0<a<1时，函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减当a>1时，y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p真时．0<a<1．q真等价于(2a－3)2－4>0，即12a<或52a>．又a>0，∴0<a<12或a>52．∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中必定是一个为真一个为假．(1)p真，q假⇒12≤a<1，即a∈[12，1)．(2)p假，q真⇒a>52，即a∈(52，＋∞)．综上可知，a的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．点拨：根据p，q的真假求参数a的范围．自助餐1．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题．(1)他是运动员兼教练；(2)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且逻辑上有错误；(3)3≥1．答案：(1)这个命题是“p∧q”形式．其中p：他是运动员；q：他是教练．(2)这个命题是“p∧q”形式．其中p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品逻辑上有错误．(3)此命题为“p∨q”形式．其中p：3>1；q：3＝1．解析：【知识点】命题的形式．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．2．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：∅⊆{0}；q：∅＝{0}．答案：(1)p∧q：6是自然数且是偶数．它是真命题．p∨q：6是自然数或是偶数．它是真命题．(2)p∧q：∅⊆{0}且∅＝{0}．它是假命题．p∨q：∅⊆{0}或∅＝{0}．它是真命题．解析：【知识点】命题的形式．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．3．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案：A ．解析：【知识点】复合命题的真假．【解题过程】依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 点拨：熟悉p ∨q 的真假．4．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，x a e ≥ ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”． 若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案：[e,4]．解析：【知识点】复合命题的真假．【解题过程】若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4． 点拨：熟悉p ∧q 的真假判断．5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案：(1)A (2)一．解析：【知识点】复合命题，逻辑推理．【解题过程】(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．6．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．答案：(－∞，－2]解析：【知识点】p或q、p且q命题的真假．【解题过程】设g(x)＝x2＋2ax＋4．因为关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0．∴－2<a<2，∴命题p：－2<a<2.函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则有5－2a>1，即a<2.∴命题q：a<2.由p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1) 若p真q假，则此不等式组无解．(2)若p假q真，则a≤－2．综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．点拨：解答这类问题的一般步骤：①求出命题p，q为真时参数的条件；②根据命题p∧q，p∨q的真假判定命题p，q的真假；③根据p，q的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．。