弹性力学的几个基本概念应变
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弹性力学讲义
zx
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
fz
F f
S
fy
f : 极限矢量,即物体在P点所受面力 的集度。方向就是F的极限方向。
fx P
fx , fy , fz：体力分量。
o
y 符号规定:
x
lim F f
V 0 S
沿坐标正方向为正，沿坐标负 方向为负。
量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2
即：L-1MT-2
(4)各向同性 — 假定物体是各向同性的.
符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.
(5)小变形假定 — 假定位移和形变是微小的. 它包含两个含义： ⅰ 假定应变分量 <<1. 例如：普通梁中的正应变 <<10-3 << 1,切应变 << 1;
ⅱ 假定物体的位移<<物体尺寸.
例如：梁中挠度 << 梁的高度
弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科 中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用 弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。
§1.2 弹性力学中的几个基本概念
弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移
1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力
体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
2 yzzx
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
fz
F f
S
fy
f : 极限矢量,即物体在P点所受面力 的集度。方向就是F的极限方向。
fx P
fx , fy , fz：体力分量。
o
y 符号规定:
x
lim F f
V 0 S
沿坐标正方向为正，沿坐标负 方向为负。
量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2
即：L-1MT-2
(4)各向同性 — 假定物体是各向同性的.
符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.
(5)小变形假定 — 假定位移和形变是微小的. 它包含两个含义： ⅰ 假定应变分量 <<1. 例如：普通梁中的正应变 <<10-3 << 1,切应变 << 1;
ⅱ 假定物体的位移<<物体尺寸.
例如：梁中挠度 << 梁的高度
弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科 中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用 弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。
§1.2 弹性力学中的几个基本概念
弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移
1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力
体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
2 yzzx
弹性应变概念及意义
通过监测土木工程结构的振动、变形等响应信息，识别结构的损 伤位置和程度，评估结构的安全性。
加固与改造设计
根据安全性评估结果，对土木工程结构进行加固与改造设计，提 高结构的承载能力和安全性。
05
弹性应变数值模拟与仿真技术
有限元法基本原理及软件实现过程
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，通过单元节点相互连接，形 成单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，进而求解弹性力学问题。
跨学科交叉融合创新点挖掘
力学与材料科学
深入研究材料在弹性应变过程中的力学行为和失效机制，为新型弹性应变材料的研发提供 理论指导。
电子信息与计算机科学
将电子信息技术和计算机科学技术应用于弹性应变领域，推动智能化测量技术和自动化测 试系统的发展。
生物医学工程
借鉴生物医学工程中的仿生学原理和方法，研发具有生物相容性和生物活性的新型弹性应 变材料。
动力学特性
考虑航空航天器在飞行过程中的动力学特性，如 振动、冲击等，确保结构在复杂环境下的稳定性 和可靠性。
热弹性效应
针对航空航天器在极端温度环境下的热弹性效应 ，进行结构优化设计，降低热应力对结构的影响 。
汽车零部件疲劳寿命预测方法
应力-寿命曲线
通过实验测定汽车零部件在不同应力水平下的疲劳寿命，绘制应力 -寿命曲线，预测零部件的疲劳寿命。
陶瓷材料一般具有较低的弹性，但 在某些特定条件下，如高温或高压 下，其弹性形变能力会发生变化。
橡胶材料
橡胶材料具有显著的弹性和可恢复 性，其弹性形变能力主要来源于分 子链的卷曲和拉伸。
复合材料弹性应变机制
基体与增强相相互作用
界面效应
复合材料中基体与增强相之间的相互作用 对其弹性应变行为具有重要影响。
加固与改造设计
根据安全性评估结果，对土木工程结构进行加固与改造设计，提 高结构的承载能力和安全性。
05
弹性应变数值模拟与仿真技术
有限元法基本原理及软件实现过程
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，通过单元节点相互连接，形 成单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，进而求解弹性力学问题。
跨学科交叉融合创新点挖掘
力学与材料科学
深入研究材料在弹性应变过程中的力学行为和失效机制，为新型弹性应变材料的研发提供 理论指导。
电子信息与计算机科学
将电子信息技术和计算机科学技术应用于弹性应变领域，推动智能化测量技术和自动化测 试系统的发展。
生物医学工程
借鉴生物医学工程中的仿生学原理和方法，研发具有生物相容性和生物活性的新型弹性应 变材料。
动力学特性
考虑航空航天器在飞行过程中的动力学特性，如 振动、冲击等，确保结构在复杂环境下的稳定性 和可靠性。
热弹性效应
针对航空航天器在极端温度环境下的热弹性效应 ，进行结构优化设计，降低热应力对结构的影响 。
汽车零部件疲劳寿命预测方法
应力-寿命曲线
通过实验测定汽车零部件在不同应力水平下的疲劳寿命，绘制应力 -寿命曲线，预测零部件的疲劳寿命。
陶瓷材料一般具有较低的弹性，但 在某些特定条件下，如高温或高压 下，其弹性形变能力会发生变化。
橡胶材料
橡胶材料具有显著的弹性和可恢复 性，其弹性形变能力主要来源于分 子链的卷曲和拉伸。
复合材料弹性应变机制
基体与增强相相互作用
界面效应
复合材料中基体与增强相之间的相互作用 对其弹性应变行为具有重要影响。
弹性力学中的应力与应变关系
弹性力学中的应力与应变关系弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。
在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。
本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。
一、基本概念在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。
它可以分为正应力和剪应力。
正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。
应力的大小一般采用希腊字母σ表示。
应变是描述物体形变情况的物理量。
它可以分为线性应变和体积应变。
线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。
应变的大小可以用希腊字母ε表示。
二、胡克定律胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。
其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。
其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。
胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。
例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。
三、材料力学模型由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。
其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。
当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。
非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。
它可以更好地描述材料的实际变形情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。
本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。
2--弹性力学基本理论
yz
zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边 ：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定： 正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x
0
sx x
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
ͼ 1-3a ͼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介 质充满，不考虑材料缺陷，在物体 内的物理量是连续的, 可以采用连续 函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
弹性力学总复习
（1） 已知一点的应变 x , y , xy ，可计算任意方向的
应变 N 。 N 的最大值、最小值。主应变、主应
变方向等。
（2）已知一点任意三方向的应变 N1, N 2 , N3，可求得
该点的应变分量 x , y , xy 。
NN21
（2）若： qb 0(而qa 0)
r
b2
r2 b2
a2
1 qa (
1
0)
（压应力）
b2
r2 b2
a2
1
qa ( 0)
1
（拉应力）
r
（3）若： qa 0, (qb 0)
r
1 1
a2
r2 a2
b2
qb ( 0)
（压应力）
1 1
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
y
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
yx
规定使得单元体顺时的剪应力τ为
弹性力学课件全本
© 2006.Wei Yuan. All rights reserved.
2. 应力：单位截面面积的内力.
内力：发生在物体内部的力，即物体 本身不同部分之间相互作用的力。
lim
ΔV 0
z
Ⅱ
F A p P
Ⅰ
F p A
o x
y
p: 极限矢量,即物体在截面mn上的、在P点的应力。 方向就是F的极限方向。 应力分量：， 量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2 即：L-1MT-2
（Theory of Elasticity)，研究弹性体由于受外力、边界
约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 研究对象：弹性体 研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。
2. 对弹性力学、材料力学和结构力学作比较
弹性力学的任务和材料力学, 结构力学的任务一样, 是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位 移, 校核它们是否具有所需的强度和刚度, 并寻求或 改进它们的计算方法.
x
zx
A
y
可以证明,已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得经过 该点任一线段上的线应变 .也可以求得经过该点任 意两个线段之间的角度的改变。因此，此六个形变 分量可以完全确定该点的形变状态。
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(2)研究方法: 弹性力学与材料力学有相似，又有一 定区别。
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弹性力学：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、 几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受 力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件 进行求解，得出精确解答。 材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是 十分严格。
弹性体的应力和应变
5
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
6
§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体力学－－ －－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
Fn ∆l =Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 杨氏模量， 其中： 称为杨氏模量 反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
弹性力学弹性体的应力与应变关系
弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。
其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。
弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。
一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。
它是描述物体受力情况的物理量。
应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。
应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。
应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。
二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。
弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。
这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。
三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。
具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。
胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。
此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。
超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。
四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。
它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。
常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。
2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。
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应力张量的概念 中心点 C 力矩平衡
两个坐标面上应力知 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。
x
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x , y , xy
以平面问题说明
应力张量的概念
两l个坐c标os面n(,上应x)力知
道m后，c其o它sn任,(一y方) 向
上应力可以求出来。
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应力张量的概念：主应力和应力主向 某一方向剪应力为零
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复习：弹性力学的内容和方法
• 弹性力学问题，通常是已知物体的形状、 大小和弹性常数，物体边界受力或约束情 况，而物体内部的受力、物体的变形或位 移则是需要求解的未知量。
• 考虑静力学建立平衡微分方程； 根据微分 线段上形变与位移之间的几何关系，建立 几何方程；根据应力与形变之间的物理关 系，建立物理方程。
模型应尽可能简单，简单到不失真为止； 模型应尽可能复杂，复杂到能解决为止；
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弹性力学的平面问题
平面应力问题： 很薄的等厚薄板 受力情况： 只在板边上受平行 于板面且不沿厚度 变化的面力和约束
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弹性力学的平面问题
平面应变问题： 很长的柱形体，截面形状 受力等都不沿长度变化，
位移仅在横截面内，按说 应称为平面位移问题。 现在说平面应变问题，是 将错就错
高速旋转的物体可能因离心力作用而发生 破坏。不过，体积力一般可不考虑 表面力是作用在物体表面的力，如流体压 力和接触力。表面力的单位：N/m 2 = Pa
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弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
设想将物体切开，分开两部分 的相互作用可以用力来表示。 力随位置而变化。
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弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
应力张量的概念
在一点附近，沿三个 坐标方向切出三个面.
注意：平面以其法线
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来定义方向的。
应力的方向和正 负
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
正应力与面外法向一致 为正，即以拉应力为正
变化，也就是位移。 • 不同的点位移不同，就会引起变形。
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弹性体的变形
UA VA
VB
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
实用文档
弹性体的变形: 正应变
的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
实用文档
弹性体的变形: 剪应变
v u
x y
v u
UA x y
z 0 z 0
取微小面积，将作用力除以面 积，在面积趋于零即趋于一点 时的极限，就是该点处应力。
实用文档
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
应力在作用截面的法线方向和 切线方向上的两个分量，分别
称为正应力σ和剪应力τ。
一点处的正应力和剪应力，其 大小和方向随选用的截面而变 化。以单向拉伸为例说明。
实用文档
复习：弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 理想弹性体：完全弹性、连续、均匀和 各向同性这4个基本假定的物体。
• 弹性力学通常假设物体受力之后的位移和 变形都远小于物体自身尺度，变形之后的 位置和尺度可义用变形之前的数值表示。
• 有关方程做线性简化，并满足叠加原理。
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应力张量的概念：主应力和应力主向
实用文档
应力张量的概念：正应力、剪应力的极值
选取坐标轴为应力主向
正应力极值： 剪应力的极值：
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应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。
x xy xz
xy y yz
xz
yz
z
实用文档
VA
VB
PA 的转动量VA
UB
PB 的转动量UB
实用文档
弹性体的变形
x
ux,y
v y
xy
v x
u y
UA VA
VB
刚体移动：
UB 实用文档 平移和转动
弹性体的变形: 正应变 和 剪应变
x
ux,y
v y
xy
v x
u y
3 个应变是有两个位移确定的， 因而应变分量不是独立的，满足关系 ：
2xy
xy
平面应力的Mohr 圆
选取坐标轴为应力主向
τ
l cosn(, x)
mcosn,( y)
2α
σ2
(σ1+σ实用2文)/档2
σ1
弹性体的变形
• 弹性体受力之后的变形和位移都很小， • 可以用变形之前悬的位臂置和梁尺度表示变形之
后的位置和尺度。 • 对于物体中的每一点，都有确定的空间位
置，用坐标表示。 • 物体受力之后，各点都会产生微小的位置
在面外法向与坐标轴 一致时，剪应力与坐标 轴一致为正；反之亦然
应力的方向和正 负 实用文档
应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。
在材一料点力附学近定，义沿剪三应个力 坐以标使方物向体切顺出时三针个旋面转. 注为意正：，平面以其外法 线因来而定是义反方对向称的的。
• 在物体的边界上，还要建立边界条件。
实用文档
复习：弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 如何描述弹性体的受力 • 与杆件不同，一般弹性体结构复杂，
各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、
方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同
实用文档
2x
y2
2x2y
变形协调方程或相容方程 实用文档
物理方程：广义虎克（胡克）定律
力与变形成正比：刚度
正应力与正应变成正比：杨氏模量 E 侧向变形，泊松效应 μ
实用文档
弹性力学的平面问题
一切弹性体的空间的，三维的。 那为什么要考虑平面问题？
空间问题比较困难，平面问题比较简单 先做简单的事情，积累经验 对有些特定的物体，将其间化为平面问题， 可能更能体现物体的受力和变形特征。
弹性力学的几个基本概念 新课
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 如何描述弹性悬体的臂受力梁 • 与杆件不同，一般弹性体结构复杂，
各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、
方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同
实用文档
弹性体的受力：外力和内力
外界作用于物体力称为外力。力的单位 N 外力可以分为体积力和表面力。 体积力有时也称为质量力， 重力和惯性力；体积力的单位 N/m3