《数值分析》PPT课件
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它的近似解.
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
e* x *x
为近似值的绝对误差，简称误差.
误差 可e *正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫 强近似值；当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值.
通常准确值 是x未知的， 因此误差 e也* 未知.
若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上
实际问题 数学模型
在数学模型中往往还有一些根据观 测得到的物理量，如温度、长度、电 压等等，这些量显然也包含误差.
实际问题
这种由观测产生的误差称为观 测误差.
数学模型
以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围. 数值分析只研究用数值通常要用数值方法求
(e * / x*)2 1 (e * / x*)
是 e的r* 平方项级， 故可忽略不计.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，
记作
*，
r
即
* r
18
*.
x*
根据定义，上例中 x与 的y 相对误差限分别为
*x 10%, *y 0.5%,
x*
y*
可见 y近* 似 的y程度比 近x似* 的程x度好.
764.5 x 765.5, 结果说明 x在区间 [764.5, 内76.5.5]
对于一般情形 x * ，x * 即
也可以表示为
x * * x x * *, x x * *.
但要注意的是，误差限的大小并不能完全表示近似值的 好坏.
15
例如，有两个量 x ，10 1 y 1000 5, 则
数值分析
（第 4 版）
李庆扬 王能超 易大义 编
清华大学出版社 施普林格出版社
1
第1章 绪 论
1.1 数值分析研究对象与特点
2
1.1 数值分析研究对象与特点
数值分析的定义： 数值分析也称为计算方法，是计算数学的一个主要部分. 计算数学是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求 解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 数值分析的主要内容： 数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数 值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微 数值解等. 3
Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n) ( ) xn1,
(n 1)!
在0与x之间.
有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受计 算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差.
10
计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差. 例如，用 3.14近15似9代替 ， π 产生的误差 R π 3.14159 0.0000026
x* 10,
* x
1;
y* 1000,
虽然
*比
y
大 x*4 倍，
但
* y
/
y*
5
/1000
0.5%
比
* y
5.
* x
/
x*
1 / 10
10%
要小得多，这说明 y近* 似 的y程度比 近x似* 的程x度好.
所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 本x身的大小.
16
把近似值的误差 与e *准确值 的比x 值
四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.
6
1.2 数值计算的误差
1.2.1 误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题的过程如下：
首先要建立数学模型，它是对被 描述的实际问题进行抽象、简化而得 到的，因而是近似的.
数学模型与实际问题之间出现的 误差称为模型7 误差.
就是舍入误差. 此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数
产生的初始误差对数值计算也将造成影响. 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差. 研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计
问题. 11
这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.
12
1.2.2 误差与有效数字
e* x*x
x
x
称为近似值 x的* 相对误差， 记作 er*.
实际计算中， 由于真值 x总是未知的， 通常取
er*
e* x*
x*x x*
作为 x的* 相对误差，
条件是
er*
e较*小， x*
e* x * 1x7, 知
此时利用
e* e* e*(x * x)
x x*
x*x
(e*)2
x * (x * e*)
虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像 纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.
数值分析不是各种数值方法的简单罗列和堆积，是一 门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程.
数值分析既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特 点，又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特 点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.
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实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
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数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
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e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
e* x *x
为近似值的绝对误差，简称误差.
误差 可e *正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫 强近似值；当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值.
通常准确值 是x未知的， 因此误差 e也* 未知.
若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上
实际问题 数学模型
在数学模型中往往还有一些根据观 测得到的物理量，如温度、长度、电 压等等，这些量显然也包含误差.
实际问题
这种由观测产生的误差称为观 测误差.
数学模型
以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围. 数值分析只研究用数值通常要用数值方法求
(e * / x*)2 1 (e * / x*)
是 e的r* 平方项级， 故可忽略不计.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，
记作
*，
r
即
* r
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*.
x*
根据定义，上例中 x与 的y 相对误差限分别为
*x 10%, *y 0.5%,
x*
y*
可见 y近* 似 的y程度比 近x似* 的程x度好.
764.5 x 765.5, 结果说明 x在区间 [764.5, 内76.5.5]
对于一般情形 x * ，x * 即
也可以表示为
x * * x x * *, x x * *.
但要注意的是，误差限的大小并不能完全表示近似值的 好坏.
15
例如，有两个量 x ，10 1 y 1000 5, 则
数值分析
（第 4 版）
李庆扬 王能超 易大义 编
清华大学出版社 施普林格出版社
1
第1章 绪 论
1.1 数值分析研究对象与特点
2
1.1 数值分析研究对象与特点
数值分析的定义： 数值分析也称为计算方法，是计算数学的一个主要部分. 计算数学是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求 解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 数值分析的主要内容： 数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数 值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微 数值解等. 3
Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n) ( ) xn1,
(n 1)!
在0与x之间.
有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受计 算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差.
10
计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差. 例如，用 3.14近15似9代替 ， π 产生的误差 R π 3.14159 0.0000026
x* 10,
* x
1;
y* 1000,
虽然
*比
y
大 x*4 倍，
但
* y
/
y*
5
/1000
0.5%
比
* y
5.
* x
/
x*
1 / 10
10%
要小得多，这说明 y近* 似 的y程度比 近x似* 的程x度好.
所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 本x身的大小.
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把近似值的误差 与e *准确值 的比x 值
四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.
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1.2 数值计算的误差
1.2.1 误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题的过程如下：
首先要建立数学模型，它是对被 描述的实际问题进行抽象、简化而得 到的，因而是近似的.
数学模型与实际问题之间出现的 误差称为模型7 误差.
就是舍入误差. 此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数
产生的初始误差对数值计算也将造成影响. 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差. 研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计
问题. 11
这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.
12
1.2.2 误差与有效数字
e* x*x
x
x
称为近似值 x的* 相对误差， 记作 er*.
实际计算中， 由于真值 x总是未知的， 通常取
er*
e* x*
x*x x*
作为 x的* 相对误差，
条件是
er*
e较*小， x*
e* x * 1x7, 知
此时利用
e* e* e*(x * x)
x x*
x*x
(e*)2
x * (x * e*)
虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像 纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.
数值分析不是各种数值方法的简单罗列和堆积，是一 门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程.
数值分析既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特 点，又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特 点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.