2021黑龙江哈师大附中高三10月月考数学文试卷及答案解析
2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期10月月考数(理)试题(解析版)
2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期10月月考数（理）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x R x =∈+>，{}|1B x Z x =∈≤，则A B =（ ）A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】根据交集的运算，即可得出结果. 【详解】解：根据题意可知{}|1A x R x =∈>-，{}|1B x Z x =∈≤， 所以{}0,1AB =.故选：C. 【点睛】本题考查交集的运算，考查运算求解能力，分析问题能力，属于基础题. 2．设复数z 满足()(1)2z i i i -+=，则||z =（ ）A ．5BC ．2D ．1【答案】B【解析】利用复数的四则运算将复数化简，然后求模即可. 【详解】由()()12z i i i -+=， 得2121iz i i i=+=++，则z =. 故选B. 【点睛】本题考查复数的四则运算和复数模长的计算公式，属于简单题. 3．已知命题:0,1xp x e ∀≥≥或sin 1x <，则p ⌝为（ ）A ．0,1x x e ∃<<且sin 1x >B ．0,1x x e ∃≥<或sin 1x >C ．0,1x x e ∃≥<且sin 1x ≥D ．0,1x x e ∃<≥或sin 1x ≤【答案】C【解析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断. 【详解】解：命题:0,1xp x e ∀≥≥或sin 1x <为全称命题，由全称命题的否定为特称命题，则p ⌝为0,1x x e ∃≥<且sin 1x ≥故选：C 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.4．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1时，方程根为，所以选B ．5．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.【考点】函数的图象与性质．6．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．2C ．D【答案】B【解析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=故选：B 【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.7．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且是以2为周期的周期函数，数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，则()()()1210f a f a f a +++的值为 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．2【答案】A【解析】分析知数列为以1为首项,1为公差的整数列问题转化为求()()()1210f f f +++,由函数周期为2又是奇函数,根据这些性质求出函数的前二个值即可. 【详解】因为数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以()11n a n n =+-=，∴奇函数()f x 的定义域为R,(0)0,(1)(1)0f f f ∴=+-=又()f x 是以2为周期的周期函数,(10)(8)(6)(4)(2)(0)0,(1)(1)f f f f f f f f ∴=======-(1)0f ∴=，(9)(7)(5)(3)(1)0f f f f f ∴=====，()()()1210f a f a f a ++⋯+()()()12100f f f =+++=.应选A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性,等差数列的特征,知识覆盖面广,技能性较强，属于中档题.8．已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则向量AB 在向量CD 方向上的投影为A ．5B ．5C ．5D ．5【答案】B【解析】分别求出向量AB 、CD 的坐标和数量积，以及模，再由向量AB 在向量CD 方向上的投影为AB CD CD⋅，计算即可得到所求值．【详解】由()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，可得()()2,2,1,3AB CD ==-，()21234AB CD ⋅=⨯-+⨯=，1CD =+=，则向量AB 在向量CD 方向上的投影为5AB CD CD⋅==，故选B. 【点睛】本题考查向量的投影的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和模的求法，考查化简整理的运算能力，属于基础题． 9．若2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点，函数()()g x f x m =-恰好有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()24,,0e ⎛⎫+∞⋃-∞ ⎪⎝⎭B ．{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(),0-∞【答案】B【解析】由2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点求出实数a 的值，由题意可知，直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点，利用导数研究函数()y f x =的单调性与极值，数形结合可求得实数m 的取值范围.【详解】()()22x f x x ax e =+，该函数的定义域为R ，则()()2222xf x x a x a e '⎡⎤=+++⎣⎦，由于2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点，则()2220f ae -'-=-=，解得0a =，()2x e f x x ∴=，则()()2x f x x x e '=+.列表如下：由于函数()()g x f x m =-恰好有一个零点，则直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点，如下图所示： 当x →-∞时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞. 由图象可知，当0m =或24m e>时，直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点.综上所述，实数m 的取值范围是{}240,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用函数的极值点求参数，考查计算能力，属于中等题. 10．若函数()()sin xf x e x a =+在区间R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．()1,+∞C ．[)1,-+∞D ．)+∞【答案】A【解析】本题先求导函数，根据已知条件建立不等式()'0f x ≥，接着参变分离，构造新函数())4g x x π=+，求最大值即可解题.【详解】 解：∵ ()()sin xf x e x a =+，∴ ()()'sin cos )4xx f x ex x a e x a π⎤=++=++⎥⎦，∵ 函数()()sin xf x e x a =+在区间R 上单调递增，∴()()'sin cos )04xx f x ex x a e x a π⎤=++=++≥⎥⎦恒成立，∴ )4a x π≥+恒成立，令())4g x x π=+，即max ()a g x ≥=∴a ≥故选：A. 【点睛】本题考查利用导函数研究原函数的单调性的应用，参变分离三角函数求最值，恒成立问题，是基础题.11．已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则方程22[()]3()20f x f x --=实根的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】由()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦得到()2f x =或()12f x =-，再根据()f x 的图象来判断当()2f x =或()12f x =-时对应的x 有几个，即为实根个数 【详解】由()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =-，当0x ≥时，()()21212121f x x x x x '=-=-，当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递减，当()1,∈+∞x 时，0fx，()f x 单调递增，∴函数()f x 在1x =处取得极小值，极小值为()14611f =-+=-，绘制函数()f x 的图象如图所示，观察可得，方程22[()]3()20f x f x --=的实根个数为3，故选B【点睛】本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键12．已知函数()sin ,()f x x x x R =+∈，且()()2223410f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx +的取值范围是（ ）A ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3⎡⎤⎣⎦D ．1,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据已知函数解析式，可知为奇函数，利用导数可判断出其单调递增，由已知函数不等式得22(2)(1)1x y -+-≤，即1y ≥时是以(2,1)为圆心的上半部分的圆，而1y x +表示过点(1,0)-的直线斜率k ，根据几何性质结合图象即可求出1y x +的范围. 【详解】由()1cos 0f x x '=+≥知：()f x 单调递增，又()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-知：()f x 为奇函数，()()2223410f y y f x x -++-+≤有()()2222341(41)f y y f x x f x x -+≤--+=-+-，∴222341y y x x -+≤-+-，整理得22(2)(1)1x y -+-≤，1y ≥时即(,)x y 的取值区域如下图阴影部分所示： ∴1y x +表示直线(1)y k x =+在过图中阴影部分的点时斜率1yk x =+，即问题转化为直线与阴影区域有交点时，k 的取值范围，∴当与半圆相切，k 取最大值，而此时圆心(2,1)到(1)y k x =+的距离1d ==，得34k =；当交半圆于右端点(3,1)时，k 取最小值为14，所以k 的取值范围13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】本题考查了根据函数的性质确定代数关系的几何意义，应用数形结合的方法求目标代数式的范围，属于难题. 二、填空题13．当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 【答案】【解析】试题分析：sin 32sin 3y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以当232x k πππ-=+时函数取得最大值，此时56x π= 【考点】三角函数最值14．函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________． 【答案】(),0-∞【解析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，利用复合函数的单调性即可得到结论． 【详解】 由220x x ->， 可得2x >或0x <， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞又()211t x =--在区间(),0-∞的单调递减，13log y t =单调递减,∴函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是(),0-∞, 故答案为(),0-∞． 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）. 15．在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)．若AP ＝λED ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是______________.【答案】[－1,1] 【解析】【详解】建立如图所示的直角坐标系，设∠P AE ＝α，则 A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)，F ，P (cos α，sin α)(0°≤α≤90°)． ∵AP ＝λED ＋μAF ， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ， ∴cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋μ， ∴λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12 (cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝sin α－cos αsin(α－45°)． ∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°，∴－2≤sin(α－45°)≤2，∴－α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．点睛：向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解． 三、双空题16．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22m →⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x →=，()0,x π∈.若//m n →→，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n →→→+=恒成立，则实数t 的取值范围为______.【答案】34π)【解析】（1x x =，则tan 1x =-，即可得x ；（2）计算得sin ,cos 22m n x x →→⎛+=+- ⎝⎭，则m n →→+=1n →=，由条件可转化得t =()0,π上有两个不同的解，故可得t 的取值范围. 【详解】 （1）由向量共线得22x x =-，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=-； （2）计算得sin ,cos m n x x →→+=+⎝⎭，则m n →→+==， 又存在两个不同的x 值，使得n m t n →→→+=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解， 令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， 令4m x π=-，则322sin ,,44y m m ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，如图：2t <<. 故答案为：（1）34π；（2）)【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想. 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2322n n S n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nT n =+. 【解析】（1）本小题运用借n S 求n a 直接求出32n a n =-（2n ≥），再验证1n =是否满足即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求出31n n T n =+即可. 【详解】解：（1）∵2322n n S n =- 所以当2n ≥时，2131(1)22n n S n --=-- 两式相减并化简得32n a n =-当1n =时，111a S ==也符合此通项公式故32n a n =-（2）由（1）知32n a n =-，所以111111(32)(31)33231+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n n b a a n n n n 所以31n n T n =+ 【点睛】 本题考查借n S 求n a ，裂项相消法求前n 项和，是基础题.18．已知向量()23sin cos ,sin a x x x =-，()cos ,sin b x x =，()1f x a b =⋅+. （1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心（2）求函数()f x 的单调减区间；【答案】（1）最小正周期是π，对称中心为,1()212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）5[,],36k k k ππππ++∈Z . 【解析】由()1f x a b =⋅+结合向量数量积的坐标公式有()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（1）由正弦函数的最小正周期为2||T πω=、对称中心为(,1)()k k Z π∈即可求()f x 的最小正周期和对称中心；（2）由正弦函数的单调减区间为()3[2,2]22k k k Z ππππ++∈即可求()f x 的单调减区间；【详解】（1）函数()f x 的最小正周期是22T ππ==， 由2()6x k k Z ππ-=∈得()212k x k Z ππ=+∈，即对称中心为,1()212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）由于函数sin y u =的单调递减区间为322,22uk u k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭， 解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ； 【点睛】 本题考查了正弦函数的性质，应用了向量数量积的坐标公式、倍角公式、辅助角公式化简函数式，得到三角函数解析式，依据正弦函数的性质求最小正周期、对称中心、单调区间.19．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）max min ()3()2f x f x ∴==， （2）(14)， 【解析】（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2633x ∴≤-≤，即π212sin 233x ⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭， max min ()3,()2f x f x ∴==．（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，max ()2m f x ∴>-且min ()2m f x <+，14m ∴<<，即m 的取值范围是(1,4)．20．已知函数21()ln ()2f x a x x a ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R （1）当1a ＝时，求()f x 在区间[1,]e 上的最大值和最小值；（2）证明：当10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，在区间(1,)+∞上，不等式()2f x ax <恒成立. 【答案】(1)2max ()12e f x =+,min 1()2f x =;(2)见解析. 【解析】(1)当1a ＝时,21()12f x x nx =+,211'()x f x x x x+=+=利用导数研究函数的单调性即可得出最值;(2)令21()()2212g x f x ax a x ax nx ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭,(1,)x ∈+∞,在区间(1,)+∞上,不等式()2f x ax ＜恒成立等价于()0<g x 在区间(1,)+∞上恒成立.利用导数研究函数的单调性即可得出()g x 大值.【详解】(1)解:当1a ＝时,21()12f x x nx =+,则211()x f x x x x'+=+= 对于[1,e]x ∈,有'()0f x >.()f x ∴在区间[1,]e 上为增函数2max ()()12e f x f e ∴==+,min 1()(1)2f x f ==. (2)证明:21()()2212g x f x ax a x ax nx ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,(1,)x ∈+∞ 当10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,则有210a ≤﹣,此时在区间(1,)x ∈+∞上恒有()0g x '< 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数.()(1)g x g ∴<,又1(1)02g a =--<， ()0g x ∴<,即()2f x ax ＜恒成立. 【点睛】本题考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.求函数的最值,常用的方法有图像法,单调性分析求最值,导数法等.利用导数求最值时,明确函数的定义域,求导后,解出导数为零的根,分析函数及导数随自变量的变化情况,进而可求出最值.若证明()f x A > 恒成立,只要证明min ()f x A > 即可; 若证明()f x A < 恒成立,只要证明max ()f x A < 即可. 21．已知在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且π3C =. (1)若224c a ab =-，求sin sin B A； (2)求sin sin A B ⋅的最大值.【答案】(1)sin sin B A =（2）34.【解析】（1）先利用余弦定理求得b =，再根据正弦定理得结果；（2）根据正弦、余弦的二倍角公式及利用两角和公式化简整理，利用正弦函数的性质求得()f x 的最大值.【详解】(1)由余弦定理及题设，22224c a b ab a ab =+-=-得b =.由正弦定理知sin sin b B a A =，得sin sin B A=(2)由已知2π3A B +=， 2π03A <<∵，∴当π3A =时，sin sin A B 取最大值34. 22．已知函数()()(),x f x x a e b a b =-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对给定的a ，函数()f x 有零点，求b 的取值范围；（3）当2a =，0b =时，()()ln F x f x x x -=+，记()y F x =在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为m ，且[),1,m n n n ∈+∈Z ，求n 的值．【答案】（1）(),1x a ∈-∞-，函数()f x 单调递减；()1,x a ∈-+∞，函数()f x 单调递增；（2）当1a b e -≤时，函数()f x 有零点；（3）4n =-．【解析】（1）函数的定义域为R ，求导得()()'1xf x x a e =-+，再根据()'0f x >和()'0f x <求单调区间即可；（2）结合（1）得函数()f x 在1x a =-时取得最小值，且当x →+∞时，()f x →+∞，故满足题意需满足()()min 10f x f a =-≤，进而求得b 的取值范围；（3）根据题意得()()2ln xF x x e x x =-+-，研究函数的单调性得函数()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001x x e =，故()000212m F x x x --==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再令()212h x x x --=，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求得43m -<<-，进而得4n =-.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()1'x x x x a e e e f a x x -+=-=+，令()'0f x >得1x a >-，所以函数()f x 在()1,x a ∈-+∞上单调递增；令()'0f x <得1x a <-，所以函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减.（2）对给定的a ，当x →+∞时，()f x →+∞，又因为函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减，在()1,x a ∈-+∞上单调递增 所以函数()f x 在1x a =-时取得最小值，故函数()f x 要有零点，则需有()()min 10f x f a =-≤，即：10a e b --+≤，故1a b e -≤，所以对给定的a ，函数()f x 有零点，b 的取值范围为(1,a e-⎤-∞⎦（3）当2a =，0b =时，()()2x f x x e =-， 所以()()()ln 2ln xF x f x x x x e x x =+=+---， 所以()()()()111'1111x xx x xe F x x e x e x x x x --=--+=-+=-，令()1x g x xe =-，则()()'10x g x x e =+>在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上成立， 所以()1x g x xe =-在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 由于111ln 222211111=2=02222g e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()110g e =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即001x x e =. 所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()g x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上满足()0g x <， 在()0,1x 上满足()0g x >所以()'F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上满足()'0F x >，在()0,1x 上满足()F'0x <， 所以函数()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减， 所以()()()000000max 022ln 12x F x e m F x x x x x x ===---=-+，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令()212h x x x --=，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2222222'0x h x x x--=>=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 所以()212h x x x --=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增， 由于114142h ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11223h =--=-， 所以43m -<<-，因为[),1,m n n n ∈+∈Z所以4n =-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，函数的最值，考查数学运算求解能力，属于较难题.。
黑龙江省2021届高三数学10月月考试题 文
黑龙江省2021届高三数学10月月考试题文一、选择题1.设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4} B．{2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4}2..复数z=22ii-+（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数，则（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数4.已知平面向量若则（）A．B． C．D．5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7.设，则f[f(11)]的值是（）A．1 B．e C．D．8.若，且，则（）A．B．C．7 D．9.已知数列是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，且成等差数列，则（）A．B．6 C．7 D．910.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位11．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A． B． C．D．12.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题13．平面向量、满足，，，则向量、的夹角为_______.14．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为_________.15.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为___________.16.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则_____________.三、解答题17.已知函数2()2sin(2)6sin cos2cos14f x x x x xπ=-++-+，x R∈.⑴求()f x的最小正周期；⑵求()f x在区间[0，]2π上的最大值和最小值.18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求B；（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的小值．19.在递增的等比数列中，，.为等差数列的前项和，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.20.如图，在四棱锥中，是等边三角形，侧面底面，其中，，，.（Ⅰ）是上一点，求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.21．代驾就是当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车将其送至指定地点并收取一定费用的行为.某互联网代驾平台为了分析客户的需求，以便于更好的服务广大客户，随机调查了1000名代驾司机一个月内的客户满意或不满意的评价，得到如下列联表：非常满意基本满意合计驾龄年300驾龄10年以上合计其中（1）求、、的值；（2）分别估计客户对“驾龄年”、“驾龄10年以上”代驾司机服务基本满意的概率；（3）请完成上述列联表，并判断能否有％的把握认为不同驾龄的代驾司机对客户对该互联网代驾平台的评价有差异？附：，22.已知函数.(I)当a=-1时，①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点.1. A．2.. D．3． A．4. D．5. D.6.B．必要不充分条件7. B．8. D．9. C．710.B．11． B．12. B．13．答案__14．【答案】15.【答案】16.答案17.【答案】⑴π；⑵最大值为222-.【解析】⑴2 ()2)6sin cos2cos14f x x x x xπ=-++-+sin2cos23sin2cos2x x x x =--+-2sin22cos222)4 x x xπ=-=-∴函数()f x的最小正周期为22Tππ==；⑵由222242k x kπππππ-≤-≤+，k Z∈得388k x kππππ-≤≤+，k Z∈记[0A=，]2π，3{|88B x k x kππππ=-≤≤+，}k Z∈，则[0A B =，3]8π.∴函数()f x在[0，3]8π上递增，在3[8π，]2π上递减又∵(0)2f=-，3()8fπ=()22fπ=∴()f x在区间[0，]2π上的最大值为2-.18.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，由正弦定理得．因为，所以sin A＞0，所以，所以，因为，所以，即．（2）依题意，即ac＝4．所以当且仅当时取等号．又由余弦定理得∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为．19.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）设公比为，∵，，∴，∴，解得或.当时，，数列是递减数列，则，从而，∴.∵，，∴，∴.（2）由（1）知，，∴，∴，，则，∴.20.【解析】（Ⅰ）在中，，，，又平面平面，平面平面，平面，平面平面平面（Ⅱ）取中点，由为等边三角形得平面平面，平面，又因为中，，在中，边上的高三棱锥的体积为.21．【答案】（1），，；（2）；；（3）填表见解析；有. 【解析】解：（1）由题意有，，，可求得，，.（2）客户对“驾龄年”代驾司机服务基本满意的概率为，客户对“驾龄10年以上”代驾司机服务基本满意的概率为.（3）完成列联表如下：由，故能有％的把握认为不同驾龄的代驾司机对客户对该互联网代驾平台的评价有差异.22【答案】（1）切线方程；；（2）证明见解析【解析】(I)当时，①函数，，，即，曲线在点处的切线方程为.②令，得，令，得，所以在上单增，在单减,函数的最小值为.(II) 当时，曲线与有且只有一个交点.等价于有且只有一个零点.，当时，，，则，当时，，，则，在上单增，又，，由零点存在性定理得有唯一零点，即曲线与有且只有一个交点.。
2021年高三10月月考试题 数学文 含答案
开 是输入秘密★启用前2021年高三10月月考试题 数学文 含答案一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知，则的值为 A.B.C.D.2.“”是“”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 3.函数的定义域是A ．B ．C ．D ．4.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则A ．2B ．4C ．5D ．7 5．已知等差数列中，是方程的两根，则A ．B ．C ．1007D ．xx 6. 函数的零点所在的一个区间是 A ． B ． C ． D ．7.在中，角的对边分别为，已知命题若，则；命题若，则为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是为真 B.为假 C.为真 D.为假8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．16 D ．329.设对任意实数，不等式总成立．则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．10.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点．若，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11.复数（是虚数单位），则 .12.设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则 .13.不等式组所表示的平面区域面积为 .14．如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数， 则输出的大于的概率为 .设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上 是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]A B MC D P上是“关联函数”，则的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出万元与公司所获得利润万元之间有如下的统计数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=42017.已知．（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若 求函数的单调区间.18.先将函数的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）若为锐角三角形的内角，且，求的值.19.已知三棱锥中，⊥，,为的中点，为的中点，且△为正三角形． （1）求证：⊥平面； （2）若，，求三棱锥的体积．20.已知数列中，点在直线上，其中. （1）求证：为等比数列并求出的通项公式； （2）设数列的前且，令的前项和。
2021年高三上学期10月月考数学试卷(文科)含解析)
2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。
2021年高三数学10月月考试卷 文(含解析)新人教A版
2021年高三数学10月月考试卷文（含解析）新人教A版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合那么集合等于（）A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】试题分析：，，故答案为C．考点：集合的并集．2．求的值是（）A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】试题分析：．考点：三角函数求值．3．函数且的图象一定过定点（）A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】试题分析：令，此时，所以得点与无关，所以函数且的图象过定点．考点：指数函数的性质．4．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：，，曲线在点处的切线的斜率，切线方程为．考点：导数的几何意义．5．命题“，”的否定是（）A．， B．，C ．，D ．， 【答案】D 【解析】试题分析：命题“，”是全称命题，命题“，”的否定是， ． 考点：命题的否定．6．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由奇函数的定义可知：，所以选A 考点：函数的性质． 7．计算 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】 试题分析：考点：对数运算． 8．在中，，．若点满足，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可得：()a b AB AC AB AC AB BC AB BD AB AD 313231323232+=+=-+=+=+=，故答案为D ．考点：向量表示．9．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点 A ．横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B ．横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C ．横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D ．横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）得到函数的图像，再向左平行移动个单位长度得到函数的图像，所以选A ． 考点：图像平移．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意可得：22121121==⇒=⇒⨯=⇒=rll l lr s α． 考点：扇形的面积公式．11．已知命题，命题成立，若“”为真命题，则实数m 的取值范围是_ _ ． 【答案】 【解析】试题分析：因为命题成立，所以； 又因为“”为真命题，所以． 考点：命题间的关系． 12．求值：23456cos coscos cos cos cos 777777ππππππ=_ _ ． 【答案】 【解析】 试题分析：原式7cos72cos 73cos 73cos 72cos 7cos 76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππππππππ-=7sin 473cos 72cos 72sin 7sin 73cos 72cos 7cos 7sin 73cos 72cos 7cos 222222222222ππππππππππππ-=-=-=6417sin 4447sin 7sin 44478sin 7sin 4474cos 74sin 2222222-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯-=πππππππ．考点：三角求值．13．已知下列给出的四个结论①命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为“若方程 无实数根,则≤0”； ②；③在△ABC 中,“”是“”的充要条件； ④设则是为偶函数”的充分而不必要条件；则其中正确命题的序号为_________________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②④【解析】试题分析：命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根,则≤0”，①正确；②正确；在中，，反之或③错误；为偶函数，反之为偶函数,所以④正确．考点：命题真假的判断．三、解答题（题型注释）14．（1）已知中，分别是角的对边，，则等于多少？（2）在中，分别是角的对边，若，求边上的高是多少？【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理列出关系式，把的值代入公式求出的值，即可确定的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把的值代入公式求出的值，利用三角形的面积公式即可求出边上的高．试题解析：（1）由正弦定理：，则：，解得：又由于是三角形中的角，且由于，于是：或（2）由余弦定理：，所以由面积公式，解得：考点：正、余弦定理的应用．15．已知函数，（1）求函数的极值；（2）若对，都有≥恒成立，求出的范围；（3），有≥成立，求出的范围；【答案】（1）极大值是，极小值是；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）利用导数求函数的极值即：先求函数的导数，再列表观察；由题意可得：只要满足即可，利用导数求函数的极值，进而比较得出函数的最大值;由题意可得：只要满足即可，利用导数求函数的极值，进而比较得出函数的最小值．试题解析：（1），解得，因此函数的极大值是，极小值是．（2）因为，所以，，因此由（1）可知：函数在区间的最大值是，最小值是，所以．由（2）得：函数在区间的最大值是，最小值是，所以，所以．考点：函数的极值问题以及恒成立问题．16．已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+， （1）求函数的对称轴所在直线的方程；（2）求函数单调递增区间． 【答案】（1）；（2） 【解析】 试题分析：（1）利用两角和、差的余弦公式和降幂公式化简，得到的形式； 根据得出函数的对称轴；（3）把看作一个整体代入相应的单调范围即：，注意首先应把化为正数,这也是容易出错的地方． 试题解析：（1）ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =+-+令，解得，（2）由 ,得函数的 单调递增区间为考点：三角函数的化简及性质．17．某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元．（1）请把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数,并指明定义域； （2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【答案】（1）；（2）50． 【解析】 试题分析：（1）利用轮船每小时的燃料费与轮船的速度成反比且比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元，可得全程运输成本与速度的函数；（2）根据导数确定函数的单调性，即可求出当速度达到多少时可使全程运输成本最小． 试题解析： （1）由题意得：2600750000(12500.5)300y x x x x=+=+，即：（2）由（1）知，令，解得,或（舍去）． 当时，，当时，，因此，函数，在处取得极小值，也是最小值．故为使全程运输成本最小，轮船应以海里/小时的速度行驶．考点：函数性质的应用． 18．（1）在中，分别是角的对边，其中是边上的高，请同学们利用所学知识给出这个不等式：≥的证明．（2）在中，是边上的高，已知，并且该三角形的周长是；①求证：；②求此三角形面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 试题分析：（1）首先利用分析法证明可以得到≥，然后再利用正余弦定理和面积公式可得≥进而整理即可；（2）利用（1）的结论及三角的和与差的正弦公式转换得到，即可证明，最后利用三角形的面积公式求得结果． 试题解析：要证明：，即证明：，利用余弦定理和正弦定理即证明：，即证明：222222sin C 2(1cos C)2(1cosC)(1cosC)ab ab ab c c c -+-==，因为， 即证明：，完全平方式得证． （2）、 ，使用正弦定理，． ，解得：， 于是：，最大值考点：正、余弦定理的应用． 19．已知函数．（1）判断的单调性；（2）求函数的零点的个数； （3）令，若函数在（0，）内有极值，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增;（2）2；（3） 【解析】 试题分析：（1）首先表示出函数的解析式，然后根据导数判断单调性即可；（2）首先确定函数的定义域，并利用导数研究函数的单调性，结合函数的特殊值，由函数的零点存在性定理可判断零点的个数； 首先确定函数的定义域，化简其解析式并求其导数，根据可导函数极值存在的条件将问题转化为的导数在（0，）内有零点，然后再用一元二次方程根的分布理论去求解． 试题解析：（1）设， ，所以在上单调递增； 由（1）知：，且在上单调递增， 所以在上有一个零点， 又，显然是的一个零点， 所以在上有两个零点； 因为=， 所以， 设，则有两个不同的根，且一根在内, 不妨设，由于，所以, 由于,则只需，即 解得考点：函数的单调性、零点存在的判断以及性质的综合应用．26723 6863 档32358 7E66 繦28871 70C7 烇FL x Y 3807894BE 钾27447 6B37 欷:@。
黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学高三数学上学期10月月
当 时有 ，即
，
，
两式相减得：
，
由 可得
即 从第二项起是等比数列，
所以 ，
即 ，
则 ，故 ，
由 可得 ，
故选：C.
【点睛】本题考查递推式求通项公式，关键是要通过观察递推式构造出等比数列，利用等比数列来解决问题，本题难度较大，对学生的计算能力要求较高.
， 分别是函数 和 的零点（其中 ），则 的取值范围（ ）
上的奇函数 满足 ， ， 为数列 的前 项和，且 ， _________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用题中条件可推出函数 是以 为周期的周期函数，由 可得出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出 、 的值，再利用周期性和奇函数的性质求出 的值.
【详解】对任意的 ， ，当 时， ，得 ；
当 时，由 得 ，
【详解】（Ⅰ）∵数列 的首项 ，且 ，
∴ ， ，
∴ 是首项为3，公比为3的等比数列，
∴ ， .
（Ⅱ）记等差数列 的公差为 ，则：
， ，
解得 ， ，所以， ，
（1）
（2）
（1）－（2）得，
，
.
【点睛】本题主要考查由递推关系式求解数列通项公式 方法，错位相减求和的方法，数列中不等式的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
由 可知： ，则：
， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
，则 ， ， ， 中值最大的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
2021年高三10月月考数学文试题含答案
2021年高三10月月考数学文试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．63．（xx•烟台一模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣24．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形5．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠1）满足f（x）≤1，则函数y=log a（x+1）的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，给出下列四个结论：①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．③④7．等差数列{a n}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于（）A．60 B．80 C．90 D．1208．（5分）已知函数（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，0）D．（0，1]9．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设a＝f(0)，b＝，c＝f(3)，则a、b、c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．已知向量的模为，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为a2e e(a e)a e⊥-．12．（xx•广东模拟）计算÷=_________．13．若，则=_________．14．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{，则f（2x）＞0的解集为_________．15．给出下列命题：①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；③若log m3＜log n3＜0，则0＜m＜n＜1；④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．其中正确命题的序号是_________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．16．（12分）已知全集U=R，集合A={}，B={x|}．（Ⅰ）求（∁U A）∪B；（Ⅱ）若集合C={x|x+m2≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（12分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和单调区间；（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．18．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．19.20．（13分）已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（I）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）当b=2﹣a，a＞0时，求F（x）的最大值；（Ⅲ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．一、选择题：1-5 DBACC，6-10 BCDAB二、填空题11．12．-2013．7 14．{x|x＜﹣1或x＞1}15．①②④16.解（Ⅰ）：A={}={}={y|≤y≤2}，B={x|}={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}，∴∁U A={y|y＞2或y＜}，（∁U A）∪B={x|x≤1或x＞2}．（Ⅱ）∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆C，∵C={x|x≥﹣m2}，∴﹣m2≤，∴m2≥，∴m≥或m≤﹣∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．17．解：=2sinxcosx+sin2x﹣cos2x==．（I）∵2sin（2x﹣）≤2，∴函数f（x）的最大值为2．由﹣+2kπ≤≤+2kπ⇒﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈z．∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+⇒kπ+≤x≤kπ+，k∈z，∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（II）∵，∴，又﹣＜＜，∴=，，∵sinB=3sinA，∴b=3a，∵c=2，4=a2+9a2﹣2×a×3a，∴a2=，∴S△ABC=absinC=×3a2sinC=×3××=．18．解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．20．解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{a n}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）．（II）由（I）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+①，T n=+++…++②．①﹣②得：T n=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2•﹣=2﹣﹣，∴T n=3﹣．21．解：（I）f′（x）=，g'（x）=2x+b…（1分）由题知，即…（2分）解得a=﹣，b=﹣2．（Ⅱ）当b=2﹣a时，F（x）=alnx﹣[x2+（2﹣a）x]，∴F′（x）=﹣2x﹣（2﹣a）==，﹣﹣﹣﹣（6分）∵a＞0，∴＞0，又x＞0，x+1＞0，则由F′（x）=0，解得x=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）F（x）与F′（x）的变化情况如下表：x （0，）（，+∞）F′（x）+0 ﹣F（x）↗极大值↘∴F（x）max=F（）=aln﹣[]=aln+﹣a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），F′（x）=﹣2x﹣b由题知，即，即解得a=6，b=﹣1…（11分）∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），F′（x）=﹣2x+1=，∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（12分）又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0 ∴x0∈（3，4），故n=3 …（14分）36070 8CE6 賦z38218 954A 镊=20527 502F 倯40451 9E03 鸃30350 768E 皎29904 74D0 瓐&28033 6D81 涁34200 8598 薘31243 7A0B 程@。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一10月月考数学试题(解析版)
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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一10月月考数学试题一、单选题1．设集合}{1,3,5M =，}{2,4,5N =，则M N ⋃=（ ）A ．{5}B ．}{3,5C ．}{2,4,5D ．}{1,2,3,4,5 【答案】D【解析】利用集合的并集定义求解即可．【详解】集合}{1,3,5M =，}{2,4,5N =，则M N ⋃=}{1,2,3,4,5故选：D【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生计算能力，属于基础题．2．设集合U =R ，{}23A x x x =>，{|2}B x x =，则()U A B =（ ） A ．{|02}x x <B ．{|02}x xC ．{|0}x x <D ．{|23}x x < 【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，然后求出U A ，再与集合B 取交集.【详解】 23x x >的解为0x <或3x >，{}03U A x x ∴=≤≤，()U A B ∴={|02}x x ≤≤.故选：B【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及一元二次不等式，属于基础题.3．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[1，2)∪(2，+∞) B ．(1，2)∪(2，+∞) C ．(1，+∞)D ．[1，+∞) 【答案】A【解析】要使函数()f x 有意义，则有102x x -≥⎧⎨≠⎩，解出即可.要使函数()f x 有意义，则有102x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1≥x 且2x ≠所以函数()f x =[1，2)∪(2，+∞) 故选：A【点睛】 本题考查的是函数的定义域，较简单.4．命题:1p x ∀>，32x x >的否定形式为（ ）A ．321,x x x ∀>≤B ．321,x x x ∃>>C ．321,x x x ∃≤≤D ．321,x x x ∃>≤【答案】D【解析】根据全称命题的否定形式可直接选出答案.【详解】命题:1p x ∀>，32x x >的否定形式为321,x x x ∃>≤ 故选：D【点睛】本题考查的是全称命题的否定，较简单.5．已知集合{}20A x x x =-=，{}250B x N x x =∈-≤，若A M B ⊆，则满足条件的集合M 的个数为（ ）A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】C【解析】求出集合A 、B ，根据集合的包含关系可知集合M 中一定包含元素0、1，直接列举出满足条件的集合M .【详解】 {}{}200,1A x x x =-==，{}{}2500,1,2,3,4,5B x N x x =∈-≤=，A MB ⊆，则集合M 中一定包含元素0、1， ∴满足条件的集合M 有：{0,1},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{0,1,5},{0,1,2,3},{0,1,2,4}, {0,1,2,5},{0,1,3,4},{0,1,3,5},{0,1,4,5},{0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5}，共15个.【点睛】本题考查集合的包含关系，属于中档题.6．若0a <b <，则下列结论中不恒成立的是（ ）A ．a b >B ．11a b >C ．222a b ab +>D ．22ac bc < 【答案】D【解析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】因为0a <b <，所以a b >，11a b >，222a b ab +> 当0c 时22ac bc <不成立故选：D【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单.7．设p ：0＜x ＜1，q ：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，0]B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，0]∪[1+∞，）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，） 【答案】A【解析】先化简命题q ，再根据p 是q 的充分而不必要条件，由a ≤0，且2+a ≥1求解.【详解】命题q ：：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，即a ≤x ≤2+a ．因为p 是q 的充分而不必要条件，所以a ≤0，且2+a ≥1，解得﹣1≤a ≤0.故选：A ．【点睛】本题主要考查逻辑条件的应用，属于基础题.8．2{|6510}M x x x =-+=，{|1}P x ax ==，若M P P ⋂=，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}23，D ．{}023，， 【答案】D【解析】求出11,32M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由{|1}P x ax ==，P M ⊆，可得P =∅，13P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由此能求出a 的取值集合． 【详解】211{|6510},32M x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭， {|1}P x ax ==，P M ⊆，P ∴=∅，13P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，0a ∴=或3a =或2a =．a ∴的取值集合为{}0,2,3． 故选：D【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．9．若,x y R ∈，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2112x x ≥+ B ．2112x x <+ C ．22245x y x y +≥--D ．22245x y x y +<-- 【答案】C【解析】作差法分别比较21x x +与12、22x y +与245x y --的大小. 【详解】 ()()()2222211210122121x x x x x x x ---+--==≤+++，2112x x ∴≤+，故A 、B 错； ()2222(245)(1)20x y x y x y +---=-++≥，22245x y x y ∴+≥--.故选：C【点睛】本题考查作差法比较数或式的大小，属于基础题.10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2(1)210x m x m -++-=的两个不相等的实数根，且满足221218x x +=，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．5-或3D ．5或3-【答案】A 【解析】由韦达定理可得1212+=1,21x x m x x m +=-，然后结合221218x x +=可解出m ，然后进行检验即可.【详解】因为12,x x 是关于x 的一元二次方程2(1)210x m x m -++-=的两个不相等的实数根， 所以1212+=1,21x x m x x m +=-，所以()()()22222121212212212318x x x x x x m m m m +=+-=+--=-+= 解得5m =或3m =-当5m =时，方程2690x x -+=无解，故舍去当3m =-时满足题意故选：A【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，较简单.11．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()1f x x =+B ．()1f x xC ．()1f x x =-+D ．()1f x x =--【答案】A【解析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式．【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+②， +①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题．12．若关于x 的不等式(2)(2)0x a x a --+<的整数解只有0，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,3B ．(]2,3C ．[)1,2D ．(]1,2【答案】C【解析】由题得2020x a x a -<⎧⎨-+>⎩或2020x a x a ->⎧⎨-+<⎩，再对a 分三种情况讨论得解. 【详解】由(2)(2)0x a x a --+<得2020x a x a -<⎧⎨-+>⎩或2020x a x a ->⎧⎨-+<⎩， 当4a >时，22a x a <<-； 当4a <时，22a a x -<<， 当4a =时，不等式无解，不等式(2)(2)0x a x a --+<的整数解只有0，∴当4a >时，10212a a -<<-，无解， 当4a <时，12012a a --<<，解得12a <． 故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知函数,0()41,0a x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩，若((1))1f f =-，则a =______. 【答案】3【解析】求出()1f ，进而求出((1))f f 即可列出等式求解a .【详解】()1413f =-+=-，()((1))33a f f f ∴=-=-，则133a a -=-⇒=. 故答案为：3【点睛】本题考查分段函数值，属于基础题.14．已知函数()y f x =的定义域为[]1,3-，则函数2(1)y f x =-的定义域为____________.【答案】[]22-,【解析】由()y f x =的定义域知在函数2(1)y f x =-中，2113x -≤-≤，解不等式即可求得2(1)y f x =-的定义域.【详解】因为函数()y f x =的定义域为[]1,3-，所以13x -≤≤，所以在函数2(1)y f x =-中，2113x -≤-≤，解得22x -≤≤， 故函数2(1)y f x =-的定义域为[]22-,. 故答案为：[]22-,【点睛】本题考查抽象函数的定义域及其解法，属于基础题.15．已知函数21(21)4f x x x -=-+，则()f x =_____________. 【答案】24x 【解析】利用换元法求解即可.【详解】令21t x =-，则12t x +=所以()221112244t t t f t ++⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以2()4x f x = 故答案为：24x 【点睛】本题考查的是利用换元法求函数解析式，较简单.三、双空题16．已知函数22()62f x tx x t =-+，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[],1a ，则a =_______；若函数()22g x x a =-，(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()h x 的最大值为____________.【答案】4- 8【解析】由题意知()()10f a f ==且0t <，列出方程组求解t 、a ，求出函数()h x 的解析式，并作出函数()h x 的图像，数形结合可求得最大值.【详解】由题意知()()10f a f ==，且0t <，即222()620(1)620f a ta a t f t t ⎧=-+=⎨=-+=⎩①②， 由②式可求得2t =-或32（舍去）， 将2t =-代入①式可得22680a a --+=，解得4a =-；4a =-，2t =-时，2()268f x x x =--+，()28g x x =+，令()()f x g x ≤解得4x ≤-或0x ≥，所以2268,40()28,40x x x x h x x x ⎧--+≤-≥=⎨+-<<⎩或， 二次函数()f x 的对称轴为32x =-，()()40,08f f -==，()()40,08g g -==，作出函数()h x 的图像如图所示，所以函数()h x 的最大值为8.故答案为：4-；8【点睛】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系、分段函数的图像与性质，属于中档题.四、解答题17．解下列不等式：（1）2320x x +-<（2）21021x x -≤- 【答案】（1）3(,1)(,)2-∞-+∞；（2）(](],21,4-∞-.【解析】（1）将原不等式化为2230x x -->，然后由二次函数图象的性质可得答案. （2）将原不等式移项通分，将分式不等式转为整式不等式求解即可.【详解】（1）化原不等式为2230x x -->()(23)10x x ⇒-+>1x ⇒<-或32x >， 则不等式的解集为3(,1)(,)2-∞-+∞ （2）化原不等式为210201x x --≤- 22801(4)(2)011(4)(2)(1)0x x x x x x x x x x --⇒≤--+⇒≤-≠⎧⇒⎨-+-≤⎩ 则不等式的解集为(](],21,4-∞-. 【点睛】本题考查一元二次不等式和分式不等式以及高次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.18．已知集合{}{}27,32A x x B x a x a =-<<=≤≤-.（1）若4a =，求A B 、()R C A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(]2,10A B =-；[]()7,10R A B =；（2）3a <.【解析】（1）直接按集合并集的概念进行运算，先求出A R 再与集合B 取交集；（2）根据并集的结果可得B A ⊆，分B =∅、B ≠∅两种情况进行讨论求解a 的取值范围.【详解】（1）4a =，[](]4,10,(2,7)2,10B A AB ==-⇒=-， (][)[],27,+()7,10R R A A B =-∞-∞⇒=（2）A B A B A ⋃=⇒⊆，①若321B a a a =∅⇒>-⇒<；②若32122133273a a a B a a a a a ≤-≥⎧⎧⎪⎪≠∅⇒>-⇒>-⇒≤<⎨⎨⎪⎪-<<⎩⎩. 综上所述，3a <.【点睛】本题考查集合的基本运算、根据两集合并集的结果求参数的范围，属于中档题. 19．已知集合101x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2(31)2(1)0B x x m x m m =-+++=. （1）若“命题:p x B ∀∈，x A ∈”是真命题，求m 的取值范围.（2）若“命题:q x B ∃∈，x A ∈”是真命题，求m 的取值范围.【答案】（1）102m -<<；（2）122m -<<. 【解析】（1）解分式不等式求出集合A ，命题p 为真命题则B A ⊆，由此可列出集合B 中元素应满足的条件，解不等式组即可；（2）命题q 为真则121111m m -<<-<+<或，解不等式即可.【详解】 由已知得：[]{}(1,1),(2)(1)0A B x x m x m =-=--+= （1）111211,022111220m m x B x A B A m m m ⎧-<<-<<⎧⎪∀∈∈⇒⊆⇒⇒⇒-<<⎨⎨-<+<⎩⎪-<<⎩. 2,121111x B x A m m ∃∈∈⇒-<<-<+<（）或，解得1122m -<<或20m -<<， 122m ∴-<<. 【点睛】 本题考查根据命题的真假求参数的范围、集合之间的关系，属于中档题.20．已知函数2,0()2,0x x f x x a x ⎧≤=⎨+>⎩，且(2)(2)f f -=（1）求实数a 的值；（2）求不等式()(4)f x f ≥的解集.【答案】（1）0a =；（2）(,[4,)-∞-+∞.【解析】（1）根据条件可直接求出a 的值；（2）分0x ≤、0x >两种情况讨论即可.【详解】（1）(2)(2)f f -=，422,0a a ∴=⨯+∴=（2）由（1）知，2,0()2,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且(4)8f =208x x ≤⎧⎨≥⎩或028x x >⎧⎨≥⎩x ⇒≤-或4x ≥(,[4,)⇒-∞-+∞【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单.21．已知二次函数()2f x ax bx =+的最小值为()11f =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式：()()23222f x m m x m <+--. 【答案】（1）()22f x x x =-；（2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】（1）由题意可得出()()211f x a x =--，且0a >，再由()2f x ax bx =+可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，进而可得出函数()y f x =的解析式；（2）将所求不等式变形为()()220x mx m --<，对2m 和2m 的大小进行分类讨论，由此可得出原不等式的解集.【详解】（1）由于二次函数()2f x ax bx =+的最小值为()11f =-，则()()211f x a x =--，且0a >，所以，2221ax ax a ax bx -+-=+，则102a b a -=⎧⎨=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以，()22f x x x =-； （2）由()()23222f x m m x m <+--，可得()2232222x x m m x m -<+--， 即()223220x m m x m -++<，即()()220x m x m --<.①当22m m =时，即当0m =或2时，则有()220x m -<，原不等式的解集为∅；②当22m m >时，即当0m <或2m >时，解原不等式可得22m x m <<，原不等式的解集为()22,m m ；③当22m m <时，即当02m <<时，解原不等式可得22m x m <<，原不等式的解集为()2,2m m .综上所述，当0m =或2时，原不等式的解集为∅；当0m <或2m >时，原不等式的解集为()22,m m； 当02m <<时，原不等式的解集为()2,2m m .【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.22．已知函数22()(2)21f x a x ax =+-+，2()3(1)g x ax a x =-+.（1）若[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为6，求实数a 的值；（2）若对(0,)x ∀∈+∞，不等式()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =±；（2）1a ≤或73a >. 【解析】（1）分0a ≥、0a <两种情况讨论即可；（2）由条件可得220,(32)(1)10x a a x a x ∀>-+--+>恒成立，然后分232=0a a -+、232>0a a -+、232<0a a -+三种情况讨论即可.【详解】（1）22()(2)21f x a x ax =+-+，对称轴22a x a =+①0,[1,1]a x ≥∴∈-时，max (1)y f =-，22216a a ∴+++=，2230a a ∴+-= (3)(1)0,0,1a a a a +-=≥∴=②0,[1,1]a x <∴∈-时，max (1)y f =，22216a a ∴+-+=，2230a a ∴--= (3)(1)0,0,1a a a a ++=<∴=-综上，1a =±（2）2220,(2)213(1)x a x ax ax a x ∀>+-+>-+恒成立即220,(32)(1)10*x a a x a x ∀>-+--+>恒成立①232=0a a -+，即1a =或2a =时若1a =，10>恒成立，则满足题意，所以1a =，若2a =，10x -+>，仅对1x <成立，所以2a =舍去②232>0a a -+，1a ⇒<或2a > 对称轴112(1)(2)2(2)a x a a a -==--- 1a <时，102(2)a <-，0x >时*式恒成立，所以1a < 2a >时，102(2)a >-，0x ∴>时min 11024(2)a y a a -=->⇒<-或73a >，73a ∴> ③232<0a a -+，开口向下即12a <<时，,0x y →+∞<，故不成立综上，1a ≤或73a >【点睛】 本题考查了二次函数及二次不等式的知识，考查了分类讨论的思想，属于中档题.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学(理)试题
当 ， ； ， ；
所以 在 上单调递减， 上单调递增，而要使 有两个零点，要满足 ，
即 ；
因为 ， ，令 ，由 ，
所以 ，即 ，因此 ，
而要证 ，
只需证 ，即证 ，即证 ，
由 ，只需证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 在 上递增， ，
故 在 上递增， ，
所以 ．
关键点点睛：（1）第（Ⅱ）问中隐零点的问题，解题关键在于 的化简要用到 ，即 ；
由 两边平方可求 ，再由平方关系求 .
由题得 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
15.递增的等比数列 的每一项都是正数，设其前 项的和为 ，若 则 _______.
364
由等比数列的性质将 化为 ，再由 可求出 ，然后列出关于 的方程组，求出 ，进而可以求出结果
设等比数列 的公比为 ，
A. B. C. D.
A
通过函数的奇偶性， ， ，可分别排除D，C，B，即得解
因为 ，所以 是奇函数，排除D；
当 时， ， ．
由 ，可排除C； ，排除B故选：A
11.已知数列 的前n项和 ，若 ， 恒成立，则实数 的最大值是（）
A.3B.4C.5D.6
C
先由 求出 ，根据 得到 ，求出 的最小值，即可得出结果.
C. D.
C
根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果.
因为 ，
所以数列 的前n项和
.故选C
本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型.
6.已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点， ，则 =（）
2021年高三上学期10月月考文科数学试卷 含答案
2021年高三上学期10月月考文科数学试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，集合，则( )A．(-) B．(- C．-) D．-2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱4. 已知直线平面,直线平面,则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）6．.若，满足约束条件，则的最小值是 ( )（A）-3 （B）0 （C）（D）37.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π8.已知等差数列的前n项和为，且满足则的值是（）A、，B、，C、D、9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位10.数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S xx等于（）A.1008B.2015C.0D.-111．函数的图像大致是（）A. B. C. D.12．设函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围为( )A．(-∞，2) B．(-∞， C．(0,2) D．,2)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．.不等式x2-5x+6≤0的解集为______14．已知,且在第二象限,则15．设，则大小关系是_______________.16．在中,是的中点,,点在上,且满足,则三．解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且(1)求角C；(2)若，且ΔABC的面积为，求的值.18.(本题满分12分）如图所示，在棱锥P-ABC D中，平面，底面为直角梯形，且//，，PA=AD=DC=2，AB=4.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）若F为PB的中点，求证：CF//平面PAD.19．本题满分12分已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前项和；（1）求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：；20．本题满分12分设∈（0，），且（1）求及，的值；（2）设①求的最小正周期和图象的对称中心坐标；②求在区间上的值域.21．本题满分12分如图,四边形是边长为2的正方形,为等腰三角形,,平面平面,点在上,且平面.(Ⅰ)证明:平面平面;22．本题满分12分设函数，曲线在点处的切线方程为。