行列式的计算方法与其在线性方程组的简单应用
行列式的计算方法
行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所固有的一个标量值。
行列式在矩阵求逆、解线性方程组等问题中具有广泛的应用。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
二阶行列式是最简单的行列式，它可以通过以下公式计算：$$\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$$其中，a、b、c、d为二阶方阵的元素。
三阶行列式的计算方法较为复杂，但也可以通过公式来计算：$$\begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f\\g & h &i\end{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i为三阶方阵的元素。
当我们遇到高阶行列式时，直接使用公式计算是非常繁琐的，因此，我们需要借助于行列式的性质来简化计算。
-行列式的性质1：行互换改变行列式的符号。
利用这个性质，我们可以将行列式将换两行，然后通过变号来达到简化计算的目的。
-行列式的性质2：行列式中行的公因子可以提到行列式外面去。
利用这个性质，我们可以将行列式的其中一行的公因子提取出来，从而简化计算。
-行列式的性质3：行列式中一行的倍数加到另一行上，行列式值不变。
利用这个性质，我们可以将行列式中的其中一行的倍数加到另一行上，从而将一些元素化为零，进一步简化计算。
-行列式的性质4：行列式中如果有两行成比例，行列式的值为零。
利用这个性质，我们可以判断行列式是否为零，并且减少计算的步骤。
通过这些性质，我们可以将n阶行列式转化为n-1阶行列式，然后继续使用这些性质来简化计算，直到得到二阶行列式进行计算。
4.行列式的展开法行列式的展开法是计算行列式的一种常用方法。
它基于行列式的性质，通过展开其中一行（或其中一列）的元素，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的和的形式。
行列式在高等数学中的应用
行列式在高等数学中的应用行列式是高等数学中的重要概念，它在许多数学问题的求解中起到了关键作用。
本文将从几个方面介绍行列式在高等数学中的应用。
一、线性方程组的解在线性代数中，我们经常需要求解线性方程组的解。
而行列式可以用来判断线性方程组是否有解以及计算解的个数。
具体来说，对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵A的行列式记为|A|，方程组的常数向量记为b。
如果|A|≠0，那么方程组有唯一解；如果|A|=0且b≠0，那么方程组无解；如果|A|=0且b=0，那么方程组有无穷多解。
二、矩阵的逆在矩阵论中，行列式也被用来计算矩阵的逆。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式|A|≠0，那么A存在逆矩阵A^-1，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵在很多问题中有着重要的应用，如线性方程组的求解、矩阵的变换等。
三、向量的线性相关性行列式还可以用来判断向量的线性相关性。
对于n个n维向量组成的矩阵A，如果其行列式|A|≠0，那么这n个向量线性无关；如果|A|=0，那么这n个向量线性相关。
线性相关性的判断对于研究向量空间的性质以及解决相关问题都起到了重要的作用。
四、二次型的正定性在矩阵论中，二次型是一个重要的概念。
行列式可以被用来判断二次型的正定性。
对于一个n元二次型，我们可以将其用矩阵形式表示为Q(x)=x^TAX，其中x为n维列向量，A为n阶实对称矩阵。
如果A的所有顺序主子式都大于0，那么二次型Q(x)是正定的；如果A的所有顺序主子式都小于0，那么二次型Q(x)是负定的；如果A的顺序主子式正负交替，那么二次型Q(x)是不定的。
正定性的判断在优化问题、极值问题等方面有着重要的应用。
五、平面与立体几何行列式在平面与立体几何中也有着重要的应用。
例如，在平面几何中，我们可以用行列式计算两条直线的交点坐标；在立体几何中，我们可以用行列式计算线段、向量的长度，以及计算平面的面积和体积等。
行列式在高等数学中的应用非常广泛。
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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.4 2。
1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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4加边法（升阶法）。
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5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
矩阵与行列式的应用矩阵与行列式在实际问题中的应用技巧
矩阵与行列式的应用矩阵与行列式在实际问题中的应用技巧矩阵与行列式的应用矩阵与行列式作为线性代数的重要概念，在实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍矩阵与行列式在实际问题中的应用技巧，并通过具体例子来说明。
一、线性方程组的求解线性方程组是矩阵与行列式应用的重要领域之一。
我们可以将一个线性方程组表示为矩阵形式，通过行列式的性质和运算，可以求解未知数的值。
例如，有如下线性方程组：2x + 3y = 83x - 2y = 1我们可以将其转化为矩阵形式：AX = B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知数矩阵，B 是常数矩阵。
通过计算行列式，可以判断方程组是否有解。
如果行列式的值不为零，方程组有唯一解；如果行列式的值为零，方程组可能无解或有无穷多解。
二、向量的线性相关性向量的线性相关性是矩阵与行列式应用的另一个重要方面。
通过矩阵的行列式运算，我们可以判断一组向量是否线性相关。
例如，有如下向量组：v1 = (2, 1)v2 = (4, 2)v3 = (6, 3)我们可以将其表示为矩阵形式：A = [v1, v2, v3]通过计算矩阵 A 的行列式的值，如果行列式的值为零，则向量组线性相关；如果行列式的值不为零，则向量组线性无关。
三、几何变换与坐标系转换矩阵与行列式的应用不仅局限于代数问题，还可以用于几何变换和坐标系转换。
在几何变换中，矩阵可以表示平移、旋转、缩放等操作。
例如，在二维平面上，有一个点 P(x, y)，我们希望对这个点进行旋转和缩放变换。
我们可以使用矩阵表示旋转和缩放的变换矩阵，并将点 P 表示为一个列矩阵，通过矩阵运算得到变换后的点。
四、最小二乘法最小二乘法是一种常见的数学拟合方法，在实际问题中有广泛应用。
矩阵与行列式可以帮助我们求解最小二乘法问题。
例如，有一组数据点 (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn)，我们希望找到一条直线 y = mx + b，使得这条直线与所有的数据点之间的误差最小。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支，而行列式是线性代数中的一个重要概念。
行列式计算方法是线性代数的基础知识，掌握好行列式的计算方法对于深入理解线性代数具有重要的意义。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 行列式的定义。
在开始介绍行列式的计算方法之前，我们先来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为：|A| = Σ(−1)^σP1,1 P2,2 ... Pn,n。
其中，σ是1到n的一个排列，P1,1 P2,2 ... Pn,n是这个排列的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。
2. 行列式的计算方法。
接下来，我们将介绍几种常见的行列式计算方法。
2.1 余子式法。
余子式法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过递归的方式计算得到。
具体步骤如下：对于n阶方阵A，选择第i行（或第j列）展开，得到A的余子式Mij；计算Mij的行列式|Aij|，其中Aij是Mij的转置矩阵；根据公式|A| = ai1 |A1| + ai2 |A2| + ... + ain |An|，计算得到行列式|A|。
2.2 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过克拉默法则计算得到。
具体步骤如下：对于n元线性方程组Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量，如果A是非奇异矩阵（即|A| ≠ 0），则方程组有唯一解；解出方程组的每个未知数，可以得到方程组的解向量x；根据克拉默法则，方程组的解向量x的每个分量可以表示为xj = |Aj| / |A|，其中Aj是将系数矩阵A的第j列替换为常数向量b得到的矩阵的行列式。
2.3 对角线法则。
对角线法则是一种简单直观的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过对角线法则计算得到。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用。
下面就让我们来详细了解一下行列式的相关知识点。
首先，我们来明确一下行列式的定义。
行列式是一个由数值组成的方阵所确定的一个数值。
对于一个二阶方阵＼＼begin{pmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{pmatrix}＼其行列式的值为＼（ad bc\）。
对于一个三阶方阵＼＼begin{pmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{pmatrix}＼其行列式的值可以通过按照一定的规则进行计算得到。
那么行列式有什么用呢？其中一个重要的应用就是判断线性方程组是否有唯一解。
如果一个线性方程组对应的系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解。
接下来，我们来探讨一下行列式的性质。
性质一：行列式与它的转置行列式相等。
也就是说，如果把一个方阵的行换成同序数的列得到一个新的方阵，那么这两个方阵的行列式是相等的。
性质二：交换行列式的两行（列），行列式的值变号。
性质三：行列式的某一行（列）中的元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
这些性质在计算行列式的值时非常有用，可以通过利用这些性质将行列式化为上三角行列式或下三角行列式，从而方便地计算出行列式的值。
再说说计算行列式的方法。
除了前面提到的二阶和三阶行列式的直接计算方法外，对于高阶行列式，常见的方法有按行（列）展开法和利用行列式的性质进行化简。
按行（列）展开法是基于行列式的代数余子式来进行的。
比如，对于一个＼（n\）阶行列式，选定某一行（列），将该行（列）的元素分别乘以其对应的代数余子式，然后求和，就得到了行列式的值。
行列式在求解线性方程组、计算矩阵的逆、求向量组的秩等方面都发挥着关键作用。
在实际应用中，比如在物理学中，行列式可以用于求解电路中的电流和电压；在计算机图形学中，行列式可以用于进行图形的变换；在经济学中，行列式可以用于分析投入产出模型。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间与线性映射的代数理论。
行列式是线性代数中重要的概念之一，用于判断线性方程组的解的存在与唯一性，以及计算线性变换的特征值与特征向量等。
本文将介绍线性代数中行列式的计算方法，并总结为以下几种常见的方法。
方法一：定义法行列式的定义是一个很重要的概念，也是计算行列式的基础。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为|A|或det(A)，定义为n个行向量或列向量所组成的n维向量空间的基向量所构成的平行多面体的有向体积。
根据这个定义，我们可以通过构造平行多面体来计算行列式的值，方法即是代数余子式展开法。
方法二：对角线法则对角线法则是计算2阶或3阶方阵行列式的简易方法。
对于2阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积；对于3阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积与副对角线上元素的乘积之差。
此方法适用于小规模方阵的计算。
方法三：按行展开法按行展开法是计算n阶方阵行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中一行（通常选择第一行）展开，即将该行中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
按行展开法在计算大规模方阵的行列式时，不仅简化了计算过程，还可以通过递归的方式实现。
方法四：按列展开法按列展开法与按行展开法类似，只是选择展开的对象变为一列。
选择第j列展开，则将该列中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
方法五：性质法行列式具有一系列的性质，可以根据这些性质来简化行列式的计算过程。
这些性质包括行列对换，相同行列的元素倍加，行列式放缩等。
利用这些性质，我们可以通过对行列式进行简单的变换，使其更容易计算，例如将行列式转化为上三角形矩阵，然后直接求解主对角线上元素的乘积即可。
行列式定义性质与计算
行列式与逆序数的计算
总结词
行列式的逆序数与计算顺序有关。
详细描述
对于任何给定的方阵A，其逆序数与计算行列式的顺序有关。换句话说，如果你 改变计算行列式的顺序，那么逆序数也会相应地改变。这是因为行列式的定义涉 及对行和列的操作，而行和列的顺序会影响到这些操作的顺序和结果。
03
行列式的计算方法
二阶行列式的计算方法
矩阵逆运算中行列式的应用
总结词
行列式在矩阵逆运算中扮演关键角色。
详细描述
在求解矩阵的逆时，行列式是一个关键因素 。只有方阵才可能有逆矩阵，而判断一个方 阵是否可逆的方法之一就是查看其行列式值 。如果行列式值等于零，那么这个方阵就是 不可逆的；反之，如果行列式值不等于零， 那么这个方阵就是可逆的。因此，行列式在
用代数余子式展开，然后进行简单的 代数运算。
03
例子
对于三阶行列式
三阶行列式的计算方法
```
|abc| |def|
三阶行列式的计算方法
01
|ghi|
```
02
03
其值为 a*e*i + b*f*g + c*d*h c*e*g - b*d*i - a*f*h。
n阶行列式的计算方法-展开法
定义
n阶行列式是所有位于对角线上 的元素和它们不相邻的元素的总 和，共有n!项，每个项都是不同 行不同列的n个元素的乘积。
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
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本科生毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用姓名：学号：系别：年级:专业：摘要《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复杂的n阶行列式时，仔细观察，会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律，选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic. The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation, alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours . There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,and we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method,it can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and promotion. It is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations目录引言 (1)1 n阶行列式的定义 (3)2 n阶行列式的性质 (3)3 计算n阶行列式的具体方法与技巧 (4)3.1 利用行列式定义直接计算 (4)3.2 利用行列式的性质计算 (5)3.3 化为三角形行列式 (6)3.4 降阶法 (7)3.5 逆推公式法 (8)3.6 利用范德蒙德行列式 (9)3.7 加边法（升阶法） (9)3.8 数学归纳法 (10)3.9 拆开法 (11)4 行列式在线性方程组中的初步应用 (11)4.1 克拉默（Gramer）法则 (12)4.2 克拉默（Gramer）法则的应用 (12)4.2.1 用克拉默（Gramer）法则解线性方程组 (13)4.2.2 克拉默法则及其推论在几何上的应用 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)引 言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r ，它的两端的电位差v ，那么通过这段导线的电流强度i ，就可以有关系式v ir =求出来.这就是所谓解一元一次方程的问题.在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，次方程组有惟一解，即 211222112122211a a a a b a a b x --=， 211222111122112a a a a b a b a x --=.我们称21122211a a a a -为二级行列式，用符号表示为 21122211a a a a -=22211211a a a a于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式 22211211a a a a 0≠时，该方程组有惟一解，即.,222112112211112222112112221211a a a a ba b a x a a a a a b a b x ==对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.,,333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a称代数式312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++为三级行列式，用符号表示为：312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a .我们有：当三级行列式=d 333231232221131211a a a a a a a a a 0≠ 时，上述三元线性方程组有惟一解，解为 d d x 11=，d dx 22=，dd x 33= 其中3332323222131211a a b a a b a a b d = ，3333123221131112a b a a b a a b a d =，3323122221112113b a a b a a b a a d =在本论文中我们将把这个结果推广到n 元线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的情形.为此，我们首先要给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.1 n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121（1）的代数和，这里j 1j 2…j n 是1,2,…,n 的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1）带正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可以写成nnn n nna a a a a a a a a ..................212222111211=∑Γ-nnn j j j nj j j j j j a a a ...21)...(212121...)1(这里∑nj j j ...21表示对所有阶排列求和.定义表明，为了计算n 阶行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。
把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.由定义立即看出，n 阶行列式是由n !项组成的.2 n 阶行列式的性质性质（1） 行列式与它的转置行列式相等；性质（2） 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号；性质（3） 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零； 性质（4） 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于数k 乘这个行列式；性质（5） 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边；性质（6） 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这行列式等于零；性质（7） 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零；性质（8） 设行列式D 的第i 行的所有元素都可以表成两项的和：D=nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)那么D 等于两个行列式D 1与D 2的和，其中D 1的第i 行的元素是in i i b b b ,,,21 ，D 2的第i 行的元素是in i i c c c ,,,21 ，而D 1与D 2的其他各行都和D 的一样.同样的性质对于列来说也成立.性质（9） 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变.在深刻理解了n 阶行列式的定义及性质后，我们自然会想到，给出一个貌似复杂的n 阶行列式，怎样在有限的时间内准确地算出它的值呢？这是本论文的中心论点.n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法.下面介绍几种常用的方法，并举例说明.3 计算n 阶复杂行列式的具体方法与技巧3.1 利用行列式定义直接计算例1 计算行列式0100201000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数τ（n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-3.2 利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明： 方法1：设其为2n+1阶行列式，每行提出（-1）后，D=)12()1(+-n 'D =)1(-)12(+n D= -D,所以D=0. 方法2：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==，故行列式D n 可表示为121311223213233123000nn n n nnna a a a a a D a a a a a a -=----- 又由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3.3 化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为上三角形或下三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积乘以)1(-的逆序数次方.因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法.例3 计算n 阶行列式ab b b b a b bD bb a b bbba= 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n ba b b D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]000b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--对于形如 的所谓三角行列式，可直接展开得到两项递推公式21--+=n n n D D D βα，然后采用如下一些方法求解.方法 1 如果n 较小，则直接递推计算.方法 2 用第二数学归纳法：即验证1=n 时结论成立，设k n ≤时结论成立，若证明1+=k n 时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立.方法 3 将21--+=n n n D D D βα变形为)(211----=-n n n n PD D q PD D ，其中 α=+q p ， β=-pq由韦达定理知p 和q 是一元二次方程02=--βαx x 的两个根.确定p 和q 后，令1)(--=n n pD D x f ，则利用)1()(-=n qf n f 递推求出)(n f ，再由)(1n f pD D n n +=-递推求出n D .方法 4 设n n x D =.代入021=----n n n D D D βα得021=----n n n x x x βα.因此有02=--βαx x （称之为特征方程），求出其根1x 和2x （假设21x x ≠），则.2211nn n x k x k D +=这里2,1k k 可通过取1=n 和2=n 来确定.例4 求n 阶行列式的值110110110110 =n D解：按第1行展开得2--=n n D D ，即02=+-n n D D .作特征方程012=+x ，解得i x =1，i x -=2，则n n n i b i a D )(-•+•= )1(当1=n 时，01=D ,代入式)1(得0=-ib ia ；当2=n 时，12-=D ,代入式)1(得1-=--b a .联立求解得21==b a ，故].)([21n n n i i D -+= 3.4 降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.例5 计算n 阶行列式0001000000000001000n a a a D a a=解 将D n 按第1行展开1000000000000(1)000000000100n n a a a a D a aa a+=+-12(1)(1)n n n n a a +-=+--2n n a a -=-.3.5 逆推公式法逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与D 1-n , D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n , D n －1, D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法.例6 证明1221100001000001n nn n xx D x a a a a a x----=-+12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥证明：将D n 按第1列展开得12321100001000001n n n n x x D xx a a a a a x-----=-+1100010(1)01n nx a x+--+--1n n a xD -=+由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++212n n n a a x x D --=++111n n n n a a x a x x --==++++3.6 利用范德蒙行列式例7 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏3.7 加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。