运筹学课程总结

XXXX

运

筹

学

课

程

总

结

姓名：XXX

学号：XXXXXX

班级：XXXXXXXXX

古人云“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，运筹学是20世纪三四十年代发展起来的一门新兴交叉学科，它主要研究人类对各种资源的运用及筹划活动，以期通过了解和发展这种运用及筹划活动的基本规律，发挥有限资源的最大效益，达到总体最优的目标。

经过这一个学期的学习，我们应该熟练地掌握、运用运筹学的精髓，用运筹学的思维思考问题，即：应用分析、试验、量化的方法，对实际生活中的人力、财力、物力等有限资源进行合理的统筹安排。本着这样的心态，在本学期运筹学课程将结束之际，我对本学期所学知识作出如下总结。

一、线性规划

线性规划解决的是：在资源有限的条件下，为达到预期目标最优，而寻找资源消耗最少的方案。而线性规划问题指的是在一组线性等式或不等式的约束下，求解一个线性函数的最大或最小值的问题。其数学模型有目标函数和约束条件组成。

解决线性规划问题的关键是找出他的目标函数和约束方程，并将它们转化为标准形式。目前解决线性规划问题的主要方法有：图解法、单纯型法、两阶段法、对偶单纯型法等方法。自1939年苏联数学家康托罗维奇提出线性规划问题和1947年美国数学家丹齐格求解线性规划问题的通用方法──单纯形法以来，线性规划可以说是研究得最为透彻的一个研究方向。单纯形法统治线性规划领域达40年之久，而且至今仍是最好的应用最广泛的算法之一。简单的设计2个变量的线性规划问题可以直接运用图解法得到。但是往往在现实生活中，线性规划问题涉及到的变量很多，很难用作图法实现，但是运用单纯形法记比较方便。在运用单纯形法时，需要先将问题化为标准形式，求出基可行解，列出单纯形表，进行单纯形迭代，当所有的变量检验数不大于零，且基变量中不含人工变量，计算结束。将所得的量的值代入目标函数，得出最优值。

线性规划是这门课程第一章的教学内容，作为运筹学的基础学习，因此对于这个知识点的学习还是比较认真的。初步学会如何从实际问题中提炼数学模型，以及解答，理解了单纯形法的思想并会运用单纯形法解答线性方程组，但是在学习过程中一些定理比较难以理解。对此，需要在课后好好复习，认真消化课程内容，才能真正理解，熟练应用。

二、整数规划

整数规划是解决决策变量只能取整数的规划问题，一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这个规划称为整数规划；当要求全部变量取整数值的，称为纯整数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数规划。

很多实际规划问题都属于整数规划问题。例如 1.变量是人数、机器设备台

=1表示安排数或产品件数等都要求是整数。2.人员的合理安排问题，当变量x

ij

第i人去做j工作，x

=0表示不安排第i人去做j工作。

ij

整数规划的解法有割平面法和分支定界法。其中分枝定界法的思路是：首先，不考虑解为整数的要求，用单纯法求最优解，以此作为目标函数值的上限或下限；其次，选择其中一个非整数的变量，根据与两侧相近的整数划分可行域，在缩小的可行域(子域)内寻求最优整数解，以此作为目标函数值的上限或下限；最后，不断重复以上过程，直到每一个可能进一步分解的非整数都找到整数解时为止。

具体步骤：

1.求整数规划的松弛问题最优解；

2.若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解，否则转下一

步；

3.任意选一个非整数解的变量xi ，在松弛问题中加上约束xi ≤[xi]及xi ≥

[xi]+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界；

4.检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max ）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算,若还存在非整数解并且目标值大于（max ）整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。

整数规划中决策变量全部取0或1的规划称为0－1整数规划。在实际问题中，该方法能够解决很多问题，例如，对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变量 x ，当x=1表示投资，x=0表，示不投资。此外指派问题就是0-1整数规划问题的一个特例。0-1整数规划的解决方法有枚举法和隐枚举法。 完全枚举法是将每个变量都只取0或1两个值，变量可能取值的0-1组合是有限的，并且个数为2n 。然后列出各变量分别取0或1的每种组合，然后在满足约束条件变量的0-1组合中找出使目标函数达到最优值的组合即是该0-1规划的最优解。用这种方法求解变量个数为n 的0-1规划，通常需要检查2n 个组合。计算量大，随变量数量的增加呈几何级数增长。

隐枚举法的步骤：

1.找出任意一可行解，目标函数值为Z 0。

2.原问题求最大值时，则增加一个约束（过滤条件）

当求最小值时，上式改为小于等于约束

3.列出所有可能解，对每个可能解先检验式（*），若满足再检验其它约束，若不满足式（*），则认为不可行，若所有约束都满足，则认为此解是可行解，求出目标值

4.目标函数值最大（最小）的解就是最优解

通过本章学习，认识并理解了线性整数规划模型的特征，明白纯整数规划、混合整数规划、0－1整数规划之间的区别，学会如何从实际问题中提炼出合理的数学模型。此外理解了分枝定界的思想含义并掌握分枝定界的方法，知道如何选择合适的“ 枝”生“ 枝”，掌握何时停止生“ 枝”。

三、运输与指派问题

人们在从事生产活动中，不可避免地要进行物资调运工作。如某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区，根据各地的生产量和需要量及各地之间的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运输问题。

运输单纯形法也称为表上作业法，是直接在产销平衡运价表上求最优解的一种方法。它的步骤是：首先确定一个初始调运方案，主要方法有最小元素法、元素差额法、左上角法；然后通过非基变量的检验数检验是否为最优方案，不是就调整运量，直到选出最优方案停止，求检验数的常用方法有两种，闭回路法和位势法。

指派问题也称分配或配置问题，是资源合理配置或最优匹配问题。例如，假设m 个人恰好做m 项工作，第i 个人做第j 项工作，如何分配工作使效率最佳。解指派问题的有效方法是匈牙利算法，但是匈牙利法要一定的条件条件：问题求11220(*)n n c x c x c x Z +++≥L