哈工大现代控制理论复习题

《现代控制理论》复习题 1

（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号 里打V,反之打X

（V ） 1.由一个状态空间模型可以确定惟—个传递函数。

（X ） 2.若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一 疋 是能控的 （X ） 3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（V ） 4.对系统x Ax ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵 A 的特征值都具有负实 部是一致的。

控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图 解：能控标准形为 能观测标准形为 对角标准形为

三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用 对系统 求其状态转移矩阵。 解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是1

1,

2

2，它们是不相同的，故系统的矩阵

A 可以对角

化。 矩阵A 对应于特征值1 1,

2

2的特征向量是

取变换矩阵

T

1

2 1

T

1 2

1 1，

则

1 1 T 1 1 2

因此， 1

1 0

D TAT

0 2

从而，

解法2。拉普拉斯方法 由于 故

(t) e At L

1

[( sI

1

A) 1]

2e

t 2e t

2t

e 2e

2t

t

e t

e

2t

e 2e 2t

解法3。凯来-哈密尔顿方法

（15分）考虑由下式确定的系统:

G(s)

s 3 s 2

3s 2

试求其状态空间实现的能

将状态转移矩阵写成e At

a0(t)I a1(t)A

系统矩阵的特征值是-1 和-2，故e t a0(t) a1(t) 2t

e a0 (t) 2a1(t)

解以上线性方程组，可得

a0(t) 2e t2t e a1(t) t 2t ee

因此，(t) e At a0(t)I a1(t)A

2e

2e

t 2 t

e

t

2e

2t t

e

t e 2t e 2e2t

四、(15分)已知对象的状态空间模型x Ax Bu, y Cx, 是完全能观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。

解观测器设计的框图：

观测器方程：

其中：~是观测器的维状态，L是一个n X p维的待定观测器增益矩阵。

观测器设计方法：

由于det[ I (A LC)] det[ I (A LC)T] det[ I (A T C T L T)]

因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L，使得A T C T L T具有给定的观测器极点。具体

的方法有：直接法、变换法。

五、(15分)对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapu nov稳定性定理，并举一个二

阶系统例子说明该定理的应用。

解连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：

线性时不变系统x Ax 在平衡点x e 0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正

进一步可得联立方程组

根据塞尔维斯特方法，可得 故矩阵P 是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 六、（10分）已知被控系统的传递函数是

试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为 -1

解系统的状态空间模型是

《现代控制理论》复习题

、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号 里打V,反之打X

考虑二阶线性时不变系统:

X 1 X 2

0 1 x 1 1

1 x 2

原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 A T

P PA

其中的未知对称矩阵

p

p

11

p

12

p

12 p

22

将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中, 可得

从上式解出

p

i1

、 P 12和P 22，从而可得矩阵

P 11

p

12

p

12 p

22

3/2 1/2

1/2 1

det P 将控制器u

k 0 k 1 x

代入到所考虑系统的状态方程中, 得到闭环系统状态方程

该闭环系统的特征方程是 det( I A )

2

(3 kJ

(2 k o ) 期望的闭环特征方程是 1 j)( 1 j) 2

2

通过 (3 k i ) (2 k o ) 可得 k 1 2

2 k 0 2

从上式可解出

k i

k °

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是

X 1 X 2

(X ) 1.对一个系统，只能选取一组状态变量;

(V )2.由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，

进而决定系统的动态特性;

(X )3.若传递函数G(s) C(sl A)1

B 存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系 统是不能控不能观的；

(X ) 4.若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定 的；

(V ) 5•状态反馈不改变系统的能控性。 二、(20分)已知系统的传递函数为

(1) 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图;

(2) 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图 答:(1)将Gs )写成以下形式: 这相当于两个环节 丄和竺二串连，它们的状态空间模型分别为:

s 3 s 5

5X 2 u 1

由于Y 1 U 1，故可得给定传递函数的状态空间实现是: 将其写成矩阵向量的形式，可得: 对应的状态变量图为：

串连分解所得状态空间实现的状态变量图

(2)将G ( s )写成以下形式：

它可以看成是两个环节 卫5

和空的并联，每一个环节的状态空间模型分别为: s 3 s 5

和

由此可得原传递函数的状态空间实现：

进一步写成状态向量的形式，可得： 对应的状态变量图为: 并连分解所得状态空间实现的状态变量图 三、 (20分)试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例 子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵； 答：求解状态转移矩阵的方法有：

X 1

3x 1

X 2

5X 2 u 1

y 1 X 1