模糊数学基本知识

一．模糊数学的基础知识

1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。

普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。

如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。

（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射： ))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→

都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。映射所表示的函数称为隶属函数。

例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：

⎪⎩

⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。

（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：n

n u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。 或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =，

（3）模糊集合的运算：

)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，

并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，

交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，

补集：)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=，

包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,，

2．模糊集的截集

已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→

对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集； 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、s

A λ的置信水平或阀值。 二．模糊数学的基本定理

1．模糊截积：

已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→

对]1,0[∈λ，A λ也是U 上模糊集，

其隶属函数为：)(),())((U u u A u A ∈∀∧=λλ； 称为A λ为λ与A 的模糊截积。

2．分解定理1：已知模糊子集)(U F A ∈，则λλλA A ]

1,0[∈⋃= 推论1：对,U u ∈∀}],1,0[{)(λλλA u u A ∈∈∨=

3．分解定理2：已知模糊子集)(U F A ∈，则S

A A λλλ]1,0[∈⋃= 推论2：对,U u ∈∀}],1,0[{)(S A u u A λλλ∈∈∨=

三．模糊关系与模糊聚类

1．模糊关系与模糊关系的合成

（1） 模糊关系

普通集合的经典关系，

模糊关系：从U 到V 上的一个模糊关系：]1,0[:→⨯V U R ，),(j i v u R 表示j i v u 与具有的关系程度，V v U u j i ∈∈,。n m ij a A ⨯=）（（ij a 满足0≤ij a ≤1）称为U 到V 上的一个模糊关系的模糊矩阵。

（2）．设A ＝p n ij a ⨯)(和B =m p ij B ⨯)(为两个模糊矩阵，令

ij c ＝)(1kj ik p

k b a ∧∨=，i ＝1，2，…,n ,j =1,2,…,m 。

则称矩阵C =m n ij c ⨯)(为模糊矩阵A 与B 的褶积，记为

C ＝A B •,

其中“∨”和“∧”的含义为

},max{b a b a =∨ },min{b a b a =∧

显然，两个模糊矩阵的褶积仍为模糊矩阵

2. 模糊等价矩阵及其λ矩阵

设方阵A 为以模糊矩阵，若A 满足

A A =A

则称A 为模糊等价矩阵。

模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲像乙，乙像丙，则甲像丙”这样的关系。

设A ＝n n ij a ⨯)(为一个模糊等价阵，0≤λ≤1为一个给定的数，令

⎪⎩⎪⎨⎧<≥=λ

λ

λij ij ij a a a 若若,0,1)( ,,...,2,1,n j i =

则称矩阵n n ij a A ⨯=)()

(λλ为A 的-λ截阵

例如，

A ＝⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡14.06.04.014.06.04.01

为一个模糊等价阵，取0.4<6.0≤λ,则

λA =⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡101010101

若取4.00≤≤λ，则

λA =⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡111111111

2．模糊聚类：

模糊划分的概念最早由Ruspini 提出，利用这一概念人们提出了多种聚类方法，比较典型的有：基于相似性关系和模糊关系的方法(包括聚合法和分裂法)，基于模糊等价关系的传递闭包方法、基于模糊图论最大树方法，以及基于数据集的凸分解、动态规划和难以辨识关系等方法. 然而由于上述方法不适用于大数据量情况，难以满足实时性要求高的场合，因此其实际的应用不够广泛，故在该方面的研究也就逐步减少了. 实际中受到普遍欢迎的是基于目标函数的方法，该方法设计简单、解决问题的范围广，最终还可以转化为优化问题而借助经典数学的非线性规划理论求解，并易于计算机实现. 因此，随着计算机的应用和发展，该类方法成为聚类研究的热点.

（1）模糊聚类的基本概念

模糊聚类目标函数的演化

模糊聚类方法

模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先将数据进行标准化，计算变量间相似矩阵或样品间的距离矩阵，将其元素压缩到0与1之间形成模糊相似矩阵，进一步改造为模糊等价矩阵，最后取不同的标准λ，得到不同的-λ截阵，从而就可以得到不同的类。具体步骤如下：

第一步：数据标准化

1.数据矩阵

设论域},...,,{21n x x x U =为被分类的对象，每个对象又由m 个指标表示其性状： },...,,{21im i i i x x x x = （n i ,...,2,1=）

于是得到原始数据矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nm n n m m x x x x x x x x x (2122221)

11211 2.数据标准化

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换。但是，即使这样得到的数据也不一定