浙江大学数学建模第一章数学建模概论
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
数学建模01建立数学模型
机械工程
研究机械结构和动力学， 如机械设计、振动分析等 。
经济领域
金融
研究投资和风险管理，如股票市场分析、风险评估等。
计量经济学
研究经济现象和规律，如经济增长、劳动力市场等。
管理科学
研究决策和优化问题，如生产管理、物流管理等。
社会领域
01
人口学
研究人口结构和动态，如人口增长、人口老龄化等。
02
社会学
推动科技进步
数学建模在科学研究、工程设计、经济分析等 领域发挥着重要作用，推动着科技进步和社会 发展。
提高决策效率
通过数学建模对数据进行处理和分析，能够为 决策提供科学依据，提高决策效率和准确性。
数学建模的历史与发展
起源
数学建模起源于古代的数学和物 理学研究，如阿基米德、牛顿等 人的经典著作。
发展
数学建模01建立数学模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 数学建模概述 • 建立数学模型的基础知识 • 建立数学模型的方法论 • 建立数学模型的实践技巧 • 建立数学模型的应用领域 • 建立数学模型的案例分析
01
数学建模概述
定义与特点
定义
数学建模是指用数学语言描述和刻画客观事物的特征、规律 、关系和属性，并基于数据进行推理、分析和预测的一种方 法。
特点
数学建模具有抽象性、精确性、系统性和可预测性等特点。 通过抽象和简化复杂问题，数学建模能够准确地描述和预测 现象，同时利用数学工具进行数据分析和优化，为决策提供 科学依据。
数学建模的重要性
1 2 3
解决实际问题
数学建模能够将实际问题转化为可计算和可分 析的数学问题，从而为解决实际问题提供有效 工具和方法。
数学建模 第一章 建立数学模型
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
数学建模流程图解
问题分析
模型评价 模型应用
模型假设 符号设定
建立模型
N
Y
模型检验
模型求解
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
数学建模习题--第一章
数学建模第一章 习题1．举出两三个实例说明建立数学模型的必要性。
包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型等。
2．怎样解决下面的实际问题。
包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等]21[。
①估计一个人体内血液的总量。
②为保险公司制定人寿保险金计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）。
③估计一批日光灯管的寿命。
④确定火箭发射至最高点所需的时间。
⑤决定十字路口黄灯亮的时间长度。
3．在1.2节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
4．模仿1.3节商人过河问题中的状态转移模型作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
5．1650年世界人口为5亿，当时的年增长率为0003。
用指数增长模型计算什么时候世界人口达到10亿（实际上1850年前已超过10亿）。
1970年世界人口为36亿，年增长率为21000。
用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番（这个结果可信吗）。
你对用两样的模型得到的两结果有什么看法。
6．利用 1.4节表1-1给出的1790~1980年的美国实际人口资料建立下列模型：①分段的指数增长模型。
譬如按时间分三段，分别确定增长率r 。
②阻滞增长模型。
重新确定固有增长率r 和最大容量m x 。
7．假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为)(t x ，t 到t t ∆+时间内人口的增量与m x )(t x -成正比（其中m x 为最大容量）。
试建立模型并求解。
作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
8．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考。
试尽可能迅速地回答下面的问题：①某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿。
《数学建模》课程教学大纲
《数学建模》课程教学大纲课程编号： 90907011学时：32学分：2适用专业：本科各专业开课部门：各学院一、课程的性质与任务数学建模是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
本课程主要介绍初等模型、简单优化模型、微分方程模型、概率统计模型、数学规划模型等模型的基本建模方法及求解方法。
通过数学模型有关概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力,综合分析能力；培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。
三、实践教学的基本要求（无）四、课程的基本教学内容及要求第一章数学模型概述1.教学内容数学模型与数学建模、数学建模的基本方法和步骤、数学模型的特点和分类。
2.重点与难点重点：数学模型与数学建模。
难点：数学建模的基本方法和步骤。
3.课程教学要求了解数学模型与数学建模过程；了解数学建模竞赛规程；掌握几个简单的智力问题模型。
第二章初等模型1.教学内容双层玻璃窗的功效、动物的身长与体重。
2.重点与难点重点：初等方法建模的思想与方法。
难点：初等方法建模的思想与方法。
3.课程教学要求了解比例模型及其应用。
第三章简单的优化模型1.教学内容存贮模型、最优价格。
2.重点与难点重点：存贮模型。
难点：存贮模型。
3.课程教学要求掌握利用导数、微分方法建模的思想方法；能解决简单的经济批量问题和连续问题模型。
第四章数学规划模型1.教学内容线性规划建模、非线性规划建模，奶制品的生产与销售、接力队的选拔与选课策略、钢管和易拉罐下料。
2.重点与难点重点：线性规划方法建模、非线性规划建模。
难点：非线性规划方法建模、Lingo软件的使用。
3.课程教学要求掌握线性规划建模方法；了解对偶单纯形的经济意义；了解Lingo数学软件在解决规划问题中的作用。
数学建模概论---浙江师范大学研究生会ppt课件
原因：人体进食是为了维持能量的消耗，因此所需
的能量与体重有关。而体重w与身高h有什么
关系呢？是否w=精k选h编3辑？ppt
14
如何预报人口的增长
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
(Case Studies)来学习。
精选编辑ppt
9
机理分析的例子
1、问题的分析与假设
把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面 面积s如下图所示。
将这种圆柱体的躯干类比作—根支撑在四肢上的弹性
梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。
精选编辑ppt
10
机理分析的例子
2、模型的建立：
原理： 动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b，即梁的
➢ 4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
➢ 5.模型的分析与检验。
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22
全国大学生数学建模竞赛
➢ 时间：每年9月中下旬。
➢ 内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题 简化而成，没有标准答案。
➢ 对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组
➢ 形式：3人一组，三天三夜，自由完成
➢ 目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数学 和计算机的能力，团结合作精神和进行协调的组 织能力等。
x(20)0027.54 实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数
r=0.2490, xm=434.0
x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
浙江大学数学建模——初等模型(杨起帆)
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
θ2 的值。
y(ta1)nxb（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
y(ta2n )xb（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
令： ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
解得： Ta1 2 k1(lk1kl2)d/(T k12d)T2
k1T1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 21 dT2 k1d2T 1k 1lT2 k2d
f(h)
室 外
T2
室1 0.9内
类似有
k1
T1 T2 2d
浙江大学数学建模课程期末考试(答案题解)1
由于 | V |=| X | + | Y |￬| X 1 | + | X 2 | + | X 3 | +1 ，总运输次数为： 2 + 2 | X 1 | +4 + 2 | X 2 | +1 ￬ 2(| V | - | X 3 |) + 5 若 | X 3 |￬ 2 ，则次数不超过 2 | V | +1 次。若 | X 3 |= 0 ，则阶段 2 最后一次运输和阶
左） 由此阶段 3 只需 2 次运输，对以上两种情形，仍有次数不超过 2 | V | +1 次。
四． (1)时刻 t 年龄在 [r , r + dr ) 内的人数为 p (r , t )dr ，至时刻 t + dt ，这部分人年龄 在 [r + dt , r + dr + dt ) 之间，期间死亡人数为 m (r , t ) p(r , t ) drdt 。 故 p ( r , t )dr - p ( r + dt , t + dt )dr = m (r , t ) p (r , t )drdt
s ￬0
nam (k + 1) = p j n jm (k ) + pa nam (k ) naf (k + 1) = p j n jf (k ) + pa naf (k )
T 记 N k = ( n jm ( k ), n jf (k ), nam (k ), naf (k )) ，则
当 nam
� 0 � � � 0 ￬ naf 时， N k +1 = � � pj � � 0 �
￬ (￬ ￬ ￬ ￬ （ X \ X \ X \ X ￬ Y ， X �X �Y \ Y �X ，右） Y \Y2 ￬ X 32 ) 1 31 32 2 1 31 2 32 ￬Y ￬ ￬ ￬ （ X \ ( X ￬ X ) \ Y ， X ￬ X ，左） \Y2 1 3 1 3
第一章 数学建模概论 数学模型与实验 国家级精品课程课件 20页
2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应 用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学 参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多 国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬 比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、 资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询 校外：, ,
数学模型与实验
十二 数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学 学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份 报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学 的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见
《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示
《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示一、填空题：1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.1221201011≈=（万元） 应该填写：12.2783万元．2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910=（万元） 应该填写：32.57793．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析．4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .解： 由商品的均衡价格公式：80352536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80.5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .解：根据经济订购批量公式：1911001.020022*≈⨯⨯==R c c T s b 209701.011020022*≈⨯⨯==s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T二、分析判断题1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决．解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．（2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等．（3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料．（4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型．2.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”．交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路．那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种．解：（1）车流的密度（2）车的行驶速度（3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度（5）设置斑马线地点的两侧视野等．3．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．（1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）．（3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间．（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t（S1+S2）/v．S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）．4．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇．（2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，…，那么从乙站到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，…．（3）步行了25分钟．设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55．三、计算题1．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．解：人、猫、鸡、米分别记为i =1, 2, 3, 4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s =（x 1, x 2, x 3, x 4）表示．记s 的反状态为s =（1-x 1, 1-x 2, 1-x 3, 1-x 4），允许状态集合为S ={（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态}．决策为乘船方案，记作d =（u 1, u 2, u 3, u 4），当i 在船上时记u i =1，否则记u i =0，允许决策集合为D ={（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0）}．记第k 次渡河前的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k +1=s k +（-1）k d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1, d 2, …, d n D ，使状态s n S 按状态转移律由初始状态s 1=（1, 1, 1, 1）经n 步到达s n +1=（0, 0, 0, 0）．一个可行方案如下： k1 2 3 4 5 6 7 8 s kd k (1,1,1,1) (1,0,1,0) (0,1,0,1) (1,0,0,0) (1,1,0,1) (1,0,0,1) (0,1,0,0) (1,0,1,0) (1,1,1,0) (1,1,0,0) (0,0,1,0) (1,0,0,0) (1,0,1,0) (1,0,1,0) (0,0,0,0) 2．假定人口的增长服从这样的规律：时间t 的人口为x (t )，t 到t +t 时间内人口的增长与x m - x (t )成正比 （其中x m 为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．解 )(d d x x r t x m -=，r 为比例系数,0)0(x x =， 解为rt m m x x x t x ---=e )()(0，如图1中粗实线所示．当t 充分大时，它与Logistic 模型相近． 图13．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例x t O x 0x m指数模型 Logistic 模型方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分．又因为形状一定时一般有s w 2/3，故商品的价格可表为C = w + w 2/3+（，，为大于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w w C c γβα，其图2 简图如图2所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的, 4．用宽w 的布条缠绕直径d 的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图3）． 若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）．如果管道是其它形状呢？解：将管道展开如图4，可得απcos d w =，若d 一 图3 定，0→w ，2πα→；d w π→，0→α．若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为w dl π，若考虑两 端的影响，则应加上απsin dw ．对于其它形状管道，只需将d π 改为相应的周长即可．5．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k >r ．在每一生产周期T 内，开 图4 始的一段时间（0<t <T 0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T 0<t <T ）只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形．设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k 》r 和k r 的情况．解： 贮存量)(t q 的图形如图5．单位时间总费用 KT r k r c T c T c 2)()(21-+=， 使)(T c 达到最小值的最优周期)(221r k r c k c T -=*． 图5 当k 》r 时，r c c T 212=*，相当 于不考虑生产的情况．当k r 时，∞→*T ，因wd qO0 k -r r cO α w πd为产量被销量抵消，无法形成贮存量．四、综合应用题1．试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题．（ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤．） 解：问题分析所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的．模型假设(1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；(2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；(3)模型建立 如图6，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A ，C 两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度θ有关．注意到假设3，设A ，B 两个桌脚与地面距离之和为0)(≥θf ，另外两个桌脚与地面距离之 和为,0)(≥θg 则)(,θθf ∀与)(θg 中至少有一个为零，当 图6 0=θ时不妨假设0)(,0)(>=θθg f ．又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：已知,0)0(,0)0(,0)()()(),(>==∀g f g f g f 且，的连续函数，对是θθθθθθ则0θ∃，使得.0)()(00==θθg f上述命题即为所建立的数学模型．模型求解将桌子旋转0180)(π，则A 、B 两点与D 、C 两点恰好交换位置．由假设便有，)(,0)(ππg f >.0=又由前述假设，.0)0(,0)0(>=g f令),()()(θθθg f h -=则有.0)(,0)0(><πh h 由于)(),(θθg f 的连续性知)(θh 也是连续函数．依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度0θ，,00πθ<<使得0)(0=θh ，即).()(00θθg f =又根据θθθ∀=,0)()(g f 成立，故有.0)()(00==θθg f 模型分析由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略．2．试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型．提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型．（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤．）解： 问题分析由题设，只须在不允许缺货模型条件下，考虑因缺货造成的损失即可．而缺货损失按天计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量、缺货时刻、每单位的缺货费用等． 模型假设 （1）每次定货费为C 1，每天每单位货物的存储费为C 2 （2）每天货物的需求量为r 单位.（3） 每T 天定货Q 单位，所定货物可在瞬间到达．（4）允许缺货，每天每单位货的缺货费为C 3缺货时，存储量q 视为负值，则)(t q 的图形变为,Q rt q +-=如图7所示．模型建立 图7 货物在1T t =时售完，则必有一段时间缺货．又在T t =时下一次定货量Q 到达，于是有1rT Q = （1）在一个定货周期内的总费用包括定货费1C 、存储费Q T C dt t q C T 102221)(1⎰=和缺货费.)(13dt t q C T T ⎰其中21)(2)()(11T T r dt Q rt dt t q TT T T -=-=⎰⎰ 其中用到了（1）式．于是总费用应为2/)(2/213121T T r C QT C C C -++= （2） 则由（1）式解出r Q T /1=并代入（2）式可得r Q rT C r Q C C C 2/)(2/23221-++= （3）每天的平均总费用便是rT Q rT C rT Q C T C T C Q T C 2/)(2///),(23221-++== （4）（4）式即为所求的数学模型．模型求解对（4）式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数，并令其为零解得0)()(22322322221=-+----=∂∂Q rT T C Q rT rT C rT Q C T C T C0)(32=--=∂∂Q rT rTC rT Q C Q C 由3230C C rT C Q Q C +=⇒=∂∂，代入0=∂∂TC 便可解出 32321*33221*2;2C C C C r C Q C C C rC C T +=+=. （5） （5）式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最佳定货量公式．模型分析当3C 远远超过2C 时，（5）式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明所建模型是合理的，结论也是正确的．。
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例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离 的平方成反比，即
•例3 交通马路灯的宽在度 绿D是灯容易转测得换的，成问红题的灯关键时在 ，于L有
一个过渡的和状L确2定，态。其为中—确L定1—是L司亮，机还在一应发当段现将黄时灯L划亮间分及为判的两断段应黄：当L灯刹1 。
请分析黄车灯的反应应时当间内亮驶多过的久路程。，L2为刹车制动后 车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司
间？请思考一下，载天十段开达五本5路会分着他分分的合钟题他就钟钟缘点。开不时。解故，往会间似而，故答会提从此乎故相人合前何中由遇条提地回而相时隐件前点家来遇他了不含，了？点已三到步那。够了十会行么提哦分哪合了这前钟点二一的。些到需十。假设
？
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距
离为a ，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得
出 d = asinα/sin (α+β) 。需要指出的是，当
黑匣子位于较远处而 α又较小时，α+β可能非
常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又
恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会
很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。
比例系数不随行星而 改变 这其中（必绝定对是某常一数力）学
规律 的反映，哼哼，我 要找出它。。。。
简单推导如下：
如图，有椭圆方程 : 矢径所扫过的面 积A的微分为:
由开普勒第二定 律: 立即得出 : 即: 椭圆面积
由此得出
常数
常数
行星
r
太阳
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点， 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：
机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长
将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是
交管部门早设已想定一好下的黄，灯目的的作是用使是交什通么流，量不最难大看，
可另建模型出研，究黄，灯从起而的L是1警=v告*t1的。作刹用车，距意离思L是2
既可用曲线马拟上合要方转法红得灯出了，，也假可如利你用能牛停顿住第，二请定
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（请自己据此给出严格证明）
程模型、优化模型等
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通
范畴
流模型、经 济模型、 基因模型等
§1.4 数学建模与能力的培养
仅最近几年里，我校
学生都在只参加了半
①数学建模实践的 每年一左步右中的都学蕴习含和着实能践力上的 锻炼，在
调查研究阶段，需 要后用，到就观在察国能际力性、的分竞析能力和数据处理
Ø 数学建模（Mathematical Modeling）
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
例（万有引力定律的发现 ）
开普勒三大定律
十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 1.行星轨道是一 个椭圆，太
丹麦著名的实验天太文阳学位于家此第椭谷圆花的了一二个十焦多年时间 观察纪录下了当 点时上已。发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助2.手行星开在普单勒位对时这间些内资料扫进过行的了九年时间 的分 析计算后 得面出积著不名变的。Kepler三定律。 牛顿根据开普勒3.三行定星律运和行牛周顿期第的二平定方律正，比利用微积分 方法推导出牛顿第于三椭定圆律长即半轴万的有三引次力方定律，。
Ø2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过
对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 要实息的(体数精信据炼) 、简化假，设提出若建干模符合客求观解实际的假验设证。 应用
Ø 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻
划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即
建立数学模型。 Ø4.模型求解。
黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在 同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2， 两测量点间的距离为 a，则有
方法二
在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 C 做到，主要缺点是结果对照度测
A
α β
a
B
量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很
大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A
总距离为
，
故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少 有点出人意料。
例6 某由人于住距在离某不公同，交设线附A到近C行，驶该3公1分交线路 为在A、钟B，两B到地C间要运行驶行，30每分钟隔，1考0分察一钟A、B两 地各发个出时一间班长车度，为此10人分常钟的在区离间家，最例近的 C
如，可以从 A方向来的车驶 离C站
在难以得出解析解时，也 应当借助 计算机 求出数值 解。
Ø5.模型的分析与检验。
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
具体类别
对某个实际问题 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 了解的深入程度
模型中变量的特 连续型模型、离散型模型或确定性
征
模型、随机型模型等
建模中所用的数 初等模型、微分方程模型、差分方
学方法
进而有 加速度
以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的次，得 将前面得到的结果 代入，即得 也就是说行星的加速度为
和焦参数
由开普勒第三定律知
那么就导出著名的 万有引力定律：
为常数。若记
§1.2 数学建模的一般步骤
Ø1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。
继续而不是别人工作2的00重3年复各，一你项可）以、把1某8 些已知的研究结
果用作你的假设，去项探一索等新奖的、奥1秘0项。二因等此我们还应当学会
在尽可能短的时间 内奖查的到好并成学绩会。我想应用的知识的本领。
③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
点等车时，开他始发，现在了其后一的个令9分他钟感内到到奇达的怪的现 象：在乘绝客大见多到数先情来的况车下均，为先B到开站往的A的总，是由 B去A的仅车有，最难后道1由分钟B到去达A的乘车客次才多见些到吗？请
你帮助由他A来找的一车下先原到因。由此可见，如果
此人 到C站等车的时间是随机的，
则他先遇 上B方向来的车的概率为 AB发9出0%车。次显然是一样多的，
能力等。在提出假设赛时（，美又国需大要学用生到数想学象力和归纳 简化
能力。
开建设模数竞学建赛模）课中的主交要出目了的为了提高学 生的综合非素常质出，增色强的应研用究数论学知文识，解决实际问
②在真正开始自题己的本的领夺研。得究了之特前等，奖还兼应当尽可能先了解一下
前人或别人的工作，I使NF自OR己MS的奖工2项作（成19为99别年人、研究工作 的
数学建模概论
浙江大学数学建模实践基地
§1.1 数学模型与数学建模
Ø 数学模型（Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客 观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
下接第二章
§1.5 一些简单实例
•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然
然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早
了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他
的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十解会分合了钟点。换显，然到假一又是如种家从由他想会于，的法合节妻，问点省子问返了此遇回题从相人到就相遇他迎遇共点点后刃这步到仍而一行了多长时
/v。
D
已过线的车辆，则应当保证它们仍能 穿过马路。
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例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，
某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗 一下，再放不进妨热可水以提池出洗以涤下 简，化水假温设：不能太高， 否则会烫手（盘，1子）但吸水也热池，不、盘空能子气太的吸大低热小不，、计否材，料则只相考不同虑干净。 由于想节省（开2）支盘，子餐初始馆温老度板与气想温了相解同，一洗池热水 到下底这可一以问可问准究洗题见题备的完（度（常要多。建深，有34）后为数立入））少假关T的。什程水每1设，盘温（盘？妨同一一，么度那你然素意大池个条还不洗洗冲了根衡易一下这度假子盘，叠清最子样有么想应都只约中盘件和难盘过洗，据定回下瓷一与设有子均盘洗终的关热建当考是可的子，看子的，而上律答一盘的你假水我大是为子。换模，水一把虑想以水的出的，更是述，了池的提准请设温们小怎瓷浸水型即为个水进了洗量洗，数其换因简餐，水吸出备甚相了吗样质泡时你以在什较池去解多为涤是量后热为化馆当的热不利至同解洗菜在的及你么精、，一少常时?帮水可水假老然质系用。可水是到的盘热温仅你提会细空但下盘数间能并设板，量数哪他盘以的不什：，水度和准出变的气餐一子，?还非，的你是和△些子去温够么盘洗中为你建假冷模等馆池，开…会因利问还多质T知是掉度热样子涤，设T是研备呢型吸老热始…模再为用题应少量杀先在了2的大时然识时一的研？，热板水不温…用水热就当，等鸡分用。决盘小先后，个、假你的的平清太量很调查。冷不子相将析定如当因原均水脏守容查一水一