浙大数学建模-数学建模概论.

4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 连续型模型、离散型模型或确定性 模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、优化模型等
数学建模概论
浙江大学城市学院

随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛 发展，数学的应用已不再局限于传统的物 理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗 透到人类活动的各个领域。生物、医学、 军事、社会、经济、管理……，各学科、 各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人 们去研究、去解决。

利用数学知识研究和解决实际问题，遇到 的第一项工作就是建立恰当的数学模型， 数学建模正在越来越受到人们的重视。从 这一意义上讲，可以说数学建模是一切科 学研究的基础。没有一个较好的数学模型 就不可能得到较好的研究结果，所以，建 立一个较好的数学模型乃是解决实际问题 的关键之一。
p r (1 e cos )
( r rw 2 )

b 2ab 和焦参数 p 将前面得到的结果 r w a T 2 3 4 a 1 2 2 代入，即得 r rw 2 T r
也就是说行星的加速度为
p 1 2 2 3 (r w) 0勒第三定律知 a / T 为常数。若记 G MT 2
r r cos i r sin j
进而有 加速度 d2 d2 a r 2 ( r cos ) i 2 ( r sin ) j dt dt
( r rw )(cos i sin j) ( 2 r w r w )( sin i cos j) ·
要找出它。。。。
作一次牛顿！呵！
p r 如图，有椭圆方程 : 1 e cos 1 2 矢径所扫过的面 积A的微分为: dA r d 2 dA 1 2 r w 常数 由开普勒第二定 律: dt 2 d 2 2 立即得出: 0 (r w) 2r r w r w dt r
2
以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是
e r cos i sin j , eθ sin i cos j 由于2 r w r w 0 因此得出
a ( r rw )e r
2
再将椭圆方程 两边微分两次，得
2
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过 程。
例（万有引力定律的发现 ）
开普勒三大定律
十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 1.行星轨道是一 个椭圆，太 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 太阳位于此椭圆的一个焦 观察纪录下了当 点上。 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时 2.行星在单位时间内 扫过的 间的分 析计算后面积不变。 得出著名的Kepler三定律。 3.行星运行周期的平方正比 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分 方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。 于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而 改变 这其中必 定是某一 力学 （绝对常数） 规律 的反映，哼哼，我
4 2 a 3 1 a 2 er 2 T r
那么就导出著名的 万有引力定律：
Mm F G 2 e r r
§1.2 数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 实体信 建模 求解 应用 假设 验证 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 息(数据) 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即 建立数学模型。 在难以得出解析解时，也
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等
§1.4 数学建模与能力的培养 近几年里，我校学生
都在只参加了半年左 右的学习和实践后， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 就在国家及国际大学 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 生数学建模竞赛中交 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 出了出色的研究论文， 能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 2002年首次参加全国 题的本领。 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 赛就获得国家一等奖 前人或别人的工作，使自己的工 的 一项，2003、作成为别人研究工作 2004年 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 又各获国家二等奖一 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 项，2004年首次参加 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 国际赛又一举获得国 际二等奖三项的好成 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 绩。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
§1.1 数学模型与数学建模
• 数学模型（Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课 题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某 些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制 某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策 略。
数学建模（Mathematical Modeling）
即:
行星
2r w r w 0



太阳
另外，椭圆面积
由此得出
r 2w
ab 0 2ab
T
T
dA 1 2 dt r wT dt 2
常数
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点， 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：