全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学(理)试卷(带答案)

2018—2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A．1个

B．2个

C．3个

D．无穷个

2．34i34i 12i12i +-

-= -+

A．－4

B．4

C．－4i

D．4i

3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是

A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件

B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高

C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致

D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长

4．设x，y满足约束条件

60

3

30

x y

x

x y

-+

?

?

?

?+-

?

≥

≤

≥

，则

1

1

x y

z

x

++

=

+

的取值范围是

A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）

B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）

C．[－8，1]

D．[－10，－1]

5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为

A．

4 64

3

π

-

B．64－4π

C．64－6π

D．64－8π

6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是

A．i＜6

B．i＜7

C．i＜8

D．i＜9

7．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过

点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为

A．

2

B．1 2

C ．

13 D ．14

8．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，g （x ）＝f （x ）－x ，且当x ∈（－∞，0]时，g （x ）单调递增，则不等式f （2x －1）－f （x ＋2）≥x －3的解集为 A ．（3，＋∞） B ．[3，＋∞） C ．（－∞，3] D ．（－∞，3）

9．函数f （x ）＝ln|x|＋x 2－x 的图象大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为

A ．

5

32 B ．516

C ．1132

D ．1116

11．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π

-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3

f x f π≤，且在区间（

15π，5

π

）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为 A ．

574 B ．1114

C ．

105

4 D ．1174

12．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ?∈+∞，f[f （x ）－e x ＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则

|2|

________|3|

+=-a b a b ．

14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________．

15．在（x 2－2x －3）4的展开式中，含x 6的项的系数是________．

16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222

()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与

圆M 相切，则当2222

4

149

a a a

b -+取得最大值时，C 的实轴长为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题．

17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22

121

(1)

n n n b n a ++=

-，求{b n }的前n 项和T n ． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知22

()3sin a c b ab C +=+．

（1）求B 的大小；

（2）若b ＝8，a ＞c ，且△ABC 的面积为33，求a ．

19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠

ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，且CE CS λ=u u u r u u u r

．

（1）若2

3λ=，证明：BE ⊥CD ； （2）若1

3

λ=，求直线BE 与平面SBD 所成角的正弦值．

20．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋

y 2＝1

外切，且圆P 与直线x ＝－1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；

（2）设过定点S （－2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f （x ）＝e x ＋ax 2，g （x ）＝x ＋blnx ．若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与曲线y ＝g （x ）在点（1，g （1））处的切线相交于点（0，1）． （1）求a ，b 的值；

（2）求函数g （x ）的最小值；

（3）证明：当x ＞0时，f （x ）＋xg （x ）≥（e －1）x ＋1．

（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]

已知直线l 的参数方程为2

,2x m t y t ?=+

????=??（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|＋|FB|的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]

已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；

（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．

2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考

数学参考答案（理科）

1．C

2．D

3．D

4．A

5．B

6．B

7．C

8．B

9．C

10．B

11．C

12．D

13．1

14．2394336

15．12

162

17．解：（1）由条件知S n＝na n＋1－n2－n，①

当n＝1时，a2－a1＝2；

当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．

综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得2222

21111

[](22)4(1)

n n b n n n n +=

=-++， 所以2222222

1111111111

[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =

-+-++-=-=-+++L ． 18．解：（1）由22

()23sin a c b ab C +=+得2

2

2

223sin a c ac b ab C ++=+，

所以222

223sin a c b ac ab C +-+=，即2(cos 1)23sin ac B ab C +=， 所以有sin (cos 1)3sin sin C B B C +=，

因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 13sin B B +=，

即3sin cos 2sin()16

B B B π

-=-=，所以1

sin()62

B π-=．

又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3

B π

=．

（2）因为

113sin 3322ac B ac =?=，所以ac ＝12． 又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，

把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得513a =+．

19．（1）证明：因为23λ=，所以2

3CE CS =，在线段CD 上取一点F 使2

3

CF CD =，连接EF ，BF ，则EF

∥SD

且DF ＝1．

因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°，

所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．

因为AD∩SA ＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ． 因为BF∩EF ＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ?平面BEF ，所以CD ⊥BE ．

（2）解：以A 为原点，AD u u u r

的正方向为x 轴的正方

向，

建立空间直角坐标系A —xyz ，

则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，

2），C （2，3，0），

所以142

(,1,)333

BE BC CE BC CS =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，

(0,1,2)SB =-u u r ，(2,0,2)SD =-u u u r

．

设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则0

SB SD ??=???=??u u r u u u r

n n ， 所以20

y z x z -=??

-=?，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．

设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||2174

sin |cos ,|29||||

BE BE BE θ?===

u u u r

u u u r u u u r n n n ．

20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ， 因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切， 所以22(2)1x y r -+=+，①

又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，② 由①②消去r 得y 2＝8x ，

所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．

（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

则2008y x =，2118y x =，2

228y x =，

1010108MA y y k x x y y -=

=-+，202020

8

MB y y k x x y y -==-+，

所以12021020012012

8(2)88

()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=

+=+++++，③

显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，

联立方程组282

y x

x ty ?=?=-?，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，

由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，

所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=

++，令02

008(82)

816

t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2

000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④

因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立， 所以02

008640

16160

my my y m -=???

-+=??， 所以0

24m y =??=?或024m y =-??=-?，即M （2，4）或M （2，－4），

即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意． 21．（1）解：因为f′（x ）＝e x ＋2ax ， 所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ）， 所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ）， 因为该切线过点（0，1），所以a ＝－1． 又()1b

g x x

'=+

，g′（1）＝1＋b ，切点为（1，1）， 所以切线方程为y ＝（1＋b ）（x －1）＋1，同理可得b ＝－1． （2）解：由（1）知，g （x ）＝x －lnx ，11

()1x g x x x

-'=-

=

， 所以当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0；当x ＞1时，g′（x ）＞0， 所以当x ＝1时，g （x ）取极小值，同时也是最小值，

即g（x）min＝g（1）＝1．

（3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x＋1．

下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．

设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝e x－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝e x －2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．

又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，

所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，

所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．

故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．

又因为h（0）＝h（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0，

当且仅当x＝1时取等号，所以e x－（e－2）x－1≥x2．

由于x＞0，所以e(e2)1

x x

x

x

---

≥．

又由（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以，e(e2)1

1ln

x x

x x

x

---

+

≥≥，

所以e x－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即e x－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1，即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．

22．解：（1）将

cos,

sin

x

y

ρθ

ρθ

=

?

?

=

?

代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，

得x2＋3y2＝48，即

22

1 4816

x y

+=，

因为c2＝48－16＝32，所以F的坐标为（42

-，0），又因为F在直线l上，所以42

m=-

把直线l的参数方程

2

42

2

2

2

x

y t

?

=-

??

?

?=

??

代入x2＋3y2＝48，

化简得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，

所以2

121212||||||()4164843FA FB t t t t t t +=-=+-=+?=．

（2）由椭圆C 的方程22

14816

x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（43θ，4sinθ）（02

θπ<<

）， 所以内接矩形的面积838sin 3232S θθθ=?=， 当4

θπ

=

时，面积S 取得最大值3 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --??

=+--=-<

≤≥，

当x≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x≤－5； 当－2＜x ＜1时，由3x≥2x ＋1，解得x ∈?； 当x≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1． 综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．

（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4，

即等价于26

a x x

-

<<， 所以由题设得26

a x x

-<<在x ∈（0，2）上恒成立，

又由x ∈（0，2），可知21x -<-，6

3x

>，

所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．