高中数学知识要点重温(26)数学归纳法、极限知识点分析

高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限

1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n 的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n 都成立”的问题。

2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。

[举例1]已知

n n n n n f 21312111)(+++++++=

，则)1(+n f =

A ．)(n f +)1(21+n ，

B ．)(n f +121

+n +)1(21+n ， C ．)(n f -)1(21+n D ．)(n f +121

+n -)1(21+n

解析：)(n f 是从n+1开始的n 个连续自然数的倒数和，故)1(+n f 是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即

)1(+n f =111

111113

121++++

+++-+++++++n n n n n n n n =)1(21121213

121++

+++++++n n n n n =)(n f +121+n +)1(21+n -11+n =)(n f +121

+n -)1(21+n 故选D 。

[举例2]用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为 [解析]假设n=k 时命题成立.即:5k －2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k －2×2 k =5(5k －2k) ＋5×2k －2×2k=5(5k －2k) ＋3×2k

[巩固1] 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1

21n

-1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，

推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。 A. 2

k -1

B. 2k －1

C. 2k

D. 2k

＋1

[巩固2]用数学归纳法证明命题：

(n ＋1) ×(n ＋2) ×…×(n ＋n)=2n ×1×3×…×(2n －1)

3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p (k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n ≥n0的所有自然数n 都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。

4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n 的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命

题p(k)成立证明命题 p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。

[举例1] 已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1m

x mx ++≥； 解析：视

(1)1m

x mx ++≥为关于m 的不等式，x 为参数，以下用数学归纳法证明： （ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边2

12x x =++，右边12x =+，

因为20x ≥，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1k

x kx ++≥，则当1m k =+时， 1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k

x kx ++≥两边同乘以1x +得

2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，

所以

1

(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立． [举例2]设正整数数列

{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有

1111

11

22111n n n n

a a a a n n ++++<<+-+；（1）求1a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ．

（07高考江西理22）

解析：（1）据条件得

111111

2(1)2n n

n n n n a a a a ++⎛⎫+

<++<+ ⎪⎝⎭ ①

当1n =时，由

21211111222a a a a ⎛⎫+

<+<+ ⎪⎝⎭，即有

1112212244a a +<+<+， 解得128

3

7a <<

．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由331111

26244a a ⎛⎫+

<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<，所以39a =．

（2）由

11

a =，

24a =，

39

a =，猜想：

2

n a n =．

下面用数学归纳法证明．

1当1n =，2时，由（1）知2

n a n =均成立；

2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时

由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+-

22

212(1)1

(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<++

+-

因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]2

2(1)011k k +∈+，．

11k -≥，所以(]1

011k ∈-，．又1k a +∈*N ，所以22

1(1)(1)k k a k +++≤≤．

故

2

1(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．

[巩固1]已知数列811322··，22532

8⋅⋅，…，8212122··n n n ()()-+，…；S n 为其前n 项和，求

S 1、S 2、S 3、S 4，推测S n ，并用数学归纳法证明。 [巩固2] 已知各项均为正数的数列

{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，

n ∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n b 满足

(21)1

n

b n a -=，并记

n

T 为

{}n b 的前n 项和，求证：

231log (3)n n T a n ->+∈N

， （07高考重庆理21）

5．若)(c f 存在，则)(lim x f c x →=)(c f ，若)(c f =)(c g =0，则

)()

(lim

x g x f c x →一般“约分”（约去含c

x -的因式）后再求极限。若

)

(lim x f c

x →=A 、c x →lim )(x g =B ，则c x →lim [()

f x ±)(x

g ]= A ±B,

c x →lim [()f x )(x g ]=AB, c x →lim )()(x g x f =B A

(B ≠0).

[举例]

=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→1121

2lim 2

1x x x x x .（07高考陕西理13） 解析：112122

---++x x x x =)1)(2(1-+-x x x =21+x ，