第二章命题逻辑等值演算
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命题逻辑_ls第2章_2.1
例：人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 解：令 P：人犯我。 Q：我犯人。 该命题符号化为： (PQ)∧(PQ) 或： PQ
2.1.2 命题公式及分类
本节主要讨论：
命题公式的定义 命题公式的层次 命题公式的真值表 命题公式的分类
一、命题公式的概念
命题常项：简单命题。 命题变项：真值可以变化的陈述句。
p∧q 的逻辑关系是 p与q同时为真
p∧q真值表如图所示：
P
Q
P∧ Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
(2) 合取联结词“∧” －－且
例如，p: 李军聪明 q: 李军用功 则命题 “李军既聪明又用功” 可描述为： p∧q
以下自然语言中的联结词等都可以抽象为“∧” 。 “并且”、“既…又…”、 “与”、“和”、“以及”、
一、命题公式的概念
例: (1) A = p ∨q，
则 A是2层公式。
(2) A = p ∧ q ∧ r ， 则 A是2层公式。
(3) A =(p ∧q) (r ∨s)， 则A为4层公式。
二、公式的赋值或解释
定义2.8 (P.44) －－公式的赋值或解释
设A 为含有命题变项 p1, p2,…, pn的命题公式, 给 p1, p2, …, pn 一组确定的真值, 称作对公式 A
举例：
令：p：天气好。
q：我去公园。
如果天气好，我就去公园。符号化为：pq
只要天气好，我就去公园。
pq
仅当天气好，我才去公园。
qp
只有天气好，我才去公园。
qp
我去公园玩，除非天气好。
qp
例2.5 将下列命题符号化，并求其真值。
2.1.2 命题公式及分类
本节主要讨论：
命题公式的定义 命题公式的层次 命题公式的真值表 命题公式的分类
一、命题公式的概念
命题常项：简单命题。 命题变项：真值可以变化的陈述句。
p∧q 的逻辑关系是 p与q同时为真
p∧q真值表如图所示：
P
Q
P∧ Q
0
0
0
0
1
0
1
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0
1
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1
(2) 合取联结词“∧” －－且
例如，p: 李军聪明 q: 李军用功 则命题 “李军既聪明又用功” 可描述为： p∧q
以下自然语言中的联结词等都可以抽象为“∧” 。 “并且”、“既…又…”、 “与”、“和”、“以及”、
一、命题公式的概念
例: (1) A = p ∨q，
则 A是2层公式。
(2) A = p ∧ q ∧ r ， 则 A是2层公式。
(3) A =(p ∧q) (r ∨s)， 则A为4层公式。
二、公式的赋值或解释
定义2.8 (P.44) －－公式的赋值或解释
设A 为含有命题变项 p1, p2,…, pn的命题公式, 给 p1, p2, …, pn 一组确定的真值, 称作对公式 A
举例：
令：p：天气好。
q：我去公园。
如果天气好，我就去公园。符号化为：pq
只要天气好，我就去公园。
pq
仅当天气好，我才去公园。
qp
只有天气好，我才去公园。
qp
我去公园玩，除非天气好。
qp
例2.5 将下列命题符号化，并求其真值。
F2命题逻辑等值演算
保持等值性的两条规则
代入规则: 等值式模式的代换实例是等值式. 在蕴涵等值式 A B AB 中取 A 为 p, B 为 q 得
p q p q. 而取 A 为 p q r, B 为 p q 则得
(p q r) (p q) (p q r) (pq). †具体的等值式叫做等值式模式的代入实例.
101 1 1
011
110 1 1
110
111 1 1
111
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式
涉及联结词 , 的运算律有
蕴涵等值式: A B A B 等价等值式: (AB) (AB)(BA) 假言易位: A B B A 等价否定律: A B A B 以及: A (B C) (A∧B) C 等.
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式
第二章 命题逻辑等值演算
§2.1 等值式 §2.2 析取范式与合取范式 §2.3 联结词的完备集
离散数学(60). W&M.
§2.2 析取范式与合取范式
公式的标准形式
实数代数 R, +, * 中, 函数有不同的表达式, 其中多项 式和多因式是“标准形式”.
即 (pq) r (pq)r.
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式
例2 用等值演算法证明 (pq) q p q.
证 (p q) q
q (p q)
交换律
(q p) (q∨ q)
分配律
(q p) 1
排中律和替换规则
A = A1 A2 … As; 一个合取范式是重言式 它的每个简单析取式都 是重言式.
离散数学-屈婉玲-
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
pqr p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
0 0 0 0 1 1 1 1
(2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成
Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的极
小项为止
(3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mimi (4) 将极小项按下标从小到大排列
23
求公式主范式的步骤
(pq)r
0 1 0 1 1 1 0 1
4
结论: p(qr) 与 (pq) r 不等值
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC), A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB (AB)AB 吸收律 A(AB)A, A(AB)A
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
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mi与Mi的关系： mi Mi, Mi mi
主析取范式与主合取范式
主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时， (pqr)(pqr) m1m3 ——主析取范式 (pqr)(pqr) M1M7——主合取范式
第二章 命题逻辑等值演算
主要内容 等值式与基本的等值式 等值演算与置换规则 析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法
第二部分命题逻辑的等值和推理演算
定理 2.5.4 若A = B必有A*=B* 证明: 因为A = B等价于AB 永真等价 于AB永真。 依定理2.5.3, A = A*－, B = B*－ 于是 A*－ B*－ 永真 必有 A* B* 永真 故 A* = B*
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定理2.5.5 若AB永真, 必有B*A*永真 定理2.5.6 A与A－同永真, 同可满足
15.从取假来描述双条件词
PQ = (P∨Q)∧(P∨Q)
16. 从蕴涵词描述双条件词 PQ = (PQ)∧(QP)
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2.2.3 置换规则 (注意与代入规则p8的区别)
置换定义：对公式A的子公式, 用与之等值的 公式来代换便称置换。
置换规则：将公式A的子公式置换后，A化为 公式B, 必有A = B。
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2.4 联结词的完备集
问题的提出：对n 个命题变项P1…Pn来说, 共 可定义出多少个联结词? 在那么多联结词中有 多少是相互独立的? 介绍3个新型联结词： 异或 ∨: P∨Q =(P∧Q)∨(P∧Q) 与非 : P Q = (P∧Q) 或非 : P Q = (P∨Q)
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特别注意
✓如果一个联结词的集合是不完备的，那 么它的任何子集都是不完备的。因此， {∨,∧,, }的任何子集都是不完备的。 {, }的任何子集也是不完备的。 ✓由此可推知，集合3,4,5,6,7都是独立的 完备集。事实上，6,7是仅有的两个只有一 个联结词的完备集(不证). ✓{∨,∧}不是完备的(不证).
2.4.1 命题联结词的个数
• 要解决本节提出的第一个问题，首先要把n 个命题变项构造出的无限多个合式公式分 类。
• 将等值的公式视为同一类，从中选一个作 代表称之为真值函项。对一个真值函项， 或者说对于该类合式公式，就可定义一个 联结词与之对应。
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定理2.5.5 若AB永真, 必有B*A*永真 定理2.5.6 A与A－同永真, 同可满足
15.从取假来描述双条件词
PQ = (P∨Q)∧(P∨Q)
16. 从蕴涵词描述双条件词 PQ = (PQ)∧(QP)
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2.2.3 置换规则 (注意与代入规则p8的区别)
置换定义：对公式A的子公式, 用与之等值的 公式来代换便称置换。
置换规则：将公式A的子公式置换后，A化为 公式B, 必有A = B。
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2.4 联结词的完备集
问题的提出：对n 个命题变项P1…Pn来说, 共 可定义出多少个联结词? 在那么多联结词中有 多少是相互独立的? 介绍3个新型联结词： 异或 ∨: P∨Q =(P∧Q)∨(P∧Q) 与非 : P Q = (P∧Q) 或非 : P Q = (P∨Q)
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特别注意
✓如果一个联结词的集合是不完备的，那 么它的任何子集都是不完备的。因此， {∨,∧,, }的任何子集都是不完备的。 {, }的任何子集也是不完备的。 ✓由此可推知，集合3,4,5,6,7都是独立的 完备集。事实上，6,7是仅有的两个只有一 个联结词的完备集(不证). ✓{∨,∧}不是完备的(不证).
2.4.1 命题联结词的个数
• 要解决本节提出的第一个问题，首先要把n 个命题变项构造出的无限多个合式公式分 类。
• 将等值的公式视为同一类，从中选一个作 代表称之为真值函项。对一个真值函项， 或者说对于该类合式公式，就可定义一个 联结词与之对应。
交大数理逻辑课件2-3 命题逻辑的等值和推理演算
9. Q (PQ) PBiblioteka 拒取式基本的推理公式
10. (PQ)(QR) PR 假言三段论 11.(PQ)(QR) P R 等价三段论 12. (PR)(QR) (PQ) R 13. (PQ)(RS)(PR) QS 构造性二难 14. (PQ)(RS)( QS) (PR) 破坏性二难 15. (QR) ((PQ) (PR)) 16. (QR) ((PQ) (PR))
附加前提证明法 ——举例
例如：证明下列推理。 前提： P(QR)，S∨P, Q 结论： S R 证明：(1) S P 前提 (2) S 附加前提引入 (3) P (1)(2) 析取三段论 (4) P (Q R) 前提 (5) Q R (3)(4) 假言推理 (6) Q 前提 (7) R (5)(6) 假言推理
((PQP Q
例：判断下面推理是否正确
（1）若天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所 以小王没去游泳。 ③判断 ((PQ)P) Q是否为重言式 方法3：主析取范式法 ((PQ)P) Q = ((PQ)P)Q = (PQ) P Q = m11m0xmx0 = m11m00m01m00m10 = (0,1,2,3) = T ((PQP Q
(PQ(RS(PRQS 构造性二难
写出对应下面推理的证明
在大城市球赛中，如果北京队第三，那么如果上海队第 二，则天津队第四；沈阳队不是第一或北京队第三，上海队第 二。从而知：如果沈阳队第一，那么天津队第四。 解：设 (1) P (Q R) 前提 P：北京队第三 Q：上海队第二 (2) Q (P R) (1)置换 R：天津队第四 (3) Q 前提 S：沈阳队第一 (4) P R (2)(3)假言推理 前提：
P(QR)，S∨P, Q 结论： S R
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
离散数学 第2章 命题逻辑
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程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。