最新离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
离散数学,命题逻辑等值演算
任何命题公式都存在与之等值的主 析取范式和主合取范式，并且是唯 一的。
证明： （1）存在性：等值演算 （2）唯一性：反证法
例题与练习
【例2.8】求主析取范式与主合取范式： (p→q)↔r
合取范式 （p∨r) ∧ (¬q∨r) ∧ (¬p∨q∨¬r)
析取范式 （p∧¬q∧¬r）∨（ ¬p∧r ）∨（ q∧r ）
p(qr）
1 1 1 1 1 1 0 1
(pq)r
0 1 0 1 1 1 0 1
(p∧q)r
1 1 1 1 1 1 0 1
十六组重要的等值式（模式）
• 1.双重否定律 A¬¬A
• 2.幂等律 A∧A A，A∨A A
• 3.交换律 A∨B B∨A，A∧B B∧A
• 4.结合律 (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
2.3 联结词的完备集
定义2.6
n元真值函数F：{0,1}n →{0,1}
定理
• 每个真值函数，都一一对应一个真值表。每个真 值函数，都存在许多与之等值的命题公式。反之， 每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。
定义2.7
• 设S是联结词集合，如果任何n元真值函数 都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词完备集。
p∧q∧r
成真赋值
000 001 010 011 100 101 110 111
名称
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
极大项
极大项
p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
成假赋值 名称
000
M0
001
离散数学课后习题答案(第二章)
(3) 寻求下列各式的真假值。 A） (∀x)( P( x) ∨ Q( x)) ，其中 P( x) : x = 1, Q( x) : x = 2 ，且论域是 {1, 2} B） (∀x)( P → Q( x)) ∨ R( a) ， 其中 P : 2 > 1, Q( x) : x ≤ 3, R( x) : x > 5 而 a : 5 ， 论域是 {−2,3, 6} 解：a) (x)(P(x)∨Q(x))⇔(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但 P(1)为 T，Q(1)为 F，P(2)为 F，Q(2)为 T, 所以(x)(P(x)∨Q(x))⇔(T∨F)∧(F∨T) ⇔T。 b) (x)(P→Q(x))∨R(a)⇔ ((P→Q(−2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a) 因为 P 为 T，Q(−2)为 T，Q(3)为 T，Q(6)为 F，R(5)为 F， 所以(x)(P→Q(x))∨R(a)⇔((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F⇔ F (4) 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。 A） ∀x∃y ( P ( x, z ) → Q ( y ) � S ( x, y ) B） (∀xP( x) → ( R( x) ∨ Q( x))) ∧ ∃xR( x)) → ∃zS ( x, z) 解：a)(u)(v)(P(u，z)→Q(v))S(x，y) b)(u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(v)R(v))→(z)S(x,z) (5) 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。 A） (∃yA( x, y ) → ∀xB ( x, z )) ∧ ∃x∀zC ( x, y , z ) B） (∀yP( x, y ) ∧ ∃zQ( x, z )) ∨ ∀xR( x, y) 解：a)((y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧(x)(z)C(x，t，z) b)((y)P(u，y)∧(z)Q(u，z))∨(x)R(x，t) 习题 2-5 （1）考虑以下赋值，论域：
离散数学 第2章 习题解答
第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.(1) 令x(是鸟xF:)(会飞翔.G:)xx命题符号化为xF∀.Gx→)())((x(2)令xx(为人.F:)(爱吃糖G:)xx命题符号化为xFx→G⌝∀))()((x或者Fx⌝x∧∃)))(((xG(3)令xx(为人.F:)G:)(爱看小说.xx命题符号化为xF∃.Gx∧(x())()(4) x(为人.xF:)(爱看电视.G:)xx命题符号化为Fx⌝∧⌝∃.xG()())(x分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。
（1）-（4）中的)F都是特性谓词。
(x2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为Fx∀Gx∧())()(x即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。
将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为)(x xF ∀其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。
（2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xG ∃其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
（3）在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xH ∃其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。
分析 1°命题的真值与个体域有关。
2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题“人都呼吸”。
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
离散数学第2章习题课
浙江师范大学
ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY
数理信息学院 王艳霞
第2章 内容回顾 章
1
浙江师范大学
ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY
数理信息学院
内容提要
等值式和基本等值式
等值式 基本等值式 等值演算 重言式与矛盾式的判别方法
2
浙江师范大学
ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY
5
浙江师范大学
ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY
数理信息学院
习题——等值演算 等值演算 习题
将公式p 化成与之等值且仅含{┐ 将公式 →(q → r)化成与之等值且仅含 ， 化成与之等值且仅含 ∧}中联结词的公式 中联结词的公式
6
浙江师范大学
ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY
4
离散数学作业
-离散数学 专业班级 学号 姓名 第一章 命题逻辑的基本概念一、单项选择题1．下列语句中不是命题的有（ ）.A 9+5≤12 B. 1+3=5 C. 我用的电脑CPU 主频是1G 吗？D.我要努力学习。
2. 下列语句是真命题为( )．A. 1+2=5当且仅当2是偶数B. 如果1+2=3，则2是奇数C. 如果1+2=5，则2是奇数D. 你上网了吗？3. 设命题公式)(r q p∧→⌝,则使公式取真值为1的p ，q ，r 赋值分别是( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 4. 命题公式q q p →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式5. 设p:我将去市里,q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为为( )q p q p q p p q ⌝∨⌝↔→→)D ()C ()B ()A (6．设P ：我听课,Q ：我看小说. “我不能一边听课，一边看小说”的符号为（ ）A. Q P ⌝→ ；B. Q P →⌝；C. P Q ⌝∧⌝ ；D. )(Q P ∧⌝二、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化（1）中国有四大发明。
（2）2是有理数。
（3）“请进！”（4）刘红和魏新是同学。
（5）a+b（6）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
（8）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：《韩非子∙显学》）（9）火星上有生命。
（10）这朵玫瑰花多美丽啊！二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2（1）只要2<1，就有3<2。
（2）如果2<1，则3≥2。
（3）只有2<1，才有3≥2。
（4）除非2<1，才有3≥2。
（5）除非2<1，否则3≥2。
（6）2<1仅当3<2。
离散数学专业班级学号姓名三、将下列命题符号化(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。
《离散数学》02命题逻辑等值演算
2.2 析取范式和合取范式
定理2.1 (1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 定义2.3 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式
A∨1 1,A∧0 0 A∨0 A，A∧1 A A∨┐A 1 A∧┐A 0 A→B ┐A∨B AB (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A AB ┐A┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
对偶原理
一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1 那么同时
把∨和∧互换 把0和1互换 得到的还是等值式。
(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B
A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A
基本等值式
8.零律 9.同一律 10.排中律 11.矛盾律 12.蕴涵等值式 13.等价等值式 14.假言易位 15.等价否定等值式 16.归谬论
例2.5 解答
(1) (p→q)∧p→q
(┐p∨q)∧p→q
（蕴涵等值式）
┐((┐p∨q)∧p)∨q
（蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）
(1∧(┐q∨┐p))∨q
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章作业
评分要求：
1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分
2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)
3. 总得分在采分点1处正确设置.
一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次):
说明
证
1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)
解逻辑方程法
设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:
⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0
)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩
⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式.
等值演算法
(p ∧q)∨(p ∧¬q)
⇔ p ∧(q ∨¬q)
∧对∨的分配率
⇔ p ∧1 排中律
⇔ p 同一律
真值表法
2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r)
等值演算法
(p→q)∧(p→r)
⇔(¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式
⇔¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律
⇔p→(q∧r)蕴含等值式
3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)
等值演算法
¬(p↔q)
⇔¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式
⇔¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式
⇔¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律
⇔(p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律
4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)
等值演算法
(p∧¬q)∨(¬p∧q)
⇔(p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律
说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式.
等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得.
二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次):
1.
2.
3.
4.
1. (¬p→q)→(¬q∨p)
解
(¬p→q)→(¬q∨p)
⇔(p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式
⇔(¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律
⇔(¬p∧¬q)∨¬q ∨p结合律
⇔p∨¬q吸收律, 交换律
⇔M1
因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m3
2. (¬p→q)∧(q∧r)
解逻辑方程法
设(¬p→q)∧(q∧r) =1, 则¬p→q=1且q∧r=1,
解得q=1, r=1, p=0 或者q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6
等值演算法
(¬p→q)∧(q∧r)
⇔ (p∨q)∧(q∧r) 蕴含等值式
⇔ (p∧q∧r)∨(q∧r) ∧对∨分配律, 幂等律
⇔ (p∧q∧r) ∨ (p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r) 同一律, 矛盾律, ∧对∨分配律
⇔m7∨ m3
主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6
3. (p↔q)→r
解逻辑方程法
设(p↔q)→r =0, 解得p=q=1, r=0 或者p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
等值演算法
(p↔q)→r
⇔ ((p→q)∧(q→p))→r 等价等值式
⇔⌝((p→q)∧(q→p))∨r 蕴含等值式
⇔ (p∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)
⇔ (p∨q∨r)∧(⌝q∨⌝p∨r) ∨对∧分配律, 矛盾律, 同一律
⇔M0∧ M6
主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
4. (p→q)∧(q→r)
解
等值演算法
(p→q)∧(q→r)
⇔ (⌝p∨q)∧(⌝q∨r) 蕴含等值式
⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧r)∨(q∧r) ∧对∨分配律, 矛盾律, 同一律
⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r) ∨ (⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r) ∨ (p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r)
⇔m1∨ m0∨ m3∨ m7
主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.
解逻辑方程法
设(p → q) ∧ (q → r) = 1, 则p → q =1 且q → r =1.
前者解得: p=0, q=0; 或者p=0, q=1; 或者p=1, q=1.
后者解得: q=0, r=0; 或者q=0, r=1; 或者q=1, r=1.
综上可得成真赋值为000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0∨ m1∨ m3∨ m7, 主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.
真值表法
公式(p → q) ∧ (q
从而主析取范式为m0∨ m1∨ m3∨ m7, 主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6. 精彩名家小美文10篇
青春赋
[美国] 萨缪埃尔·沃尔曼
青春不是人生某一时期的标志，它是指人应有的心理状态。
要永葆青春，既要有坚强的意志、丰富的想象和激荡的热情，还必须有战胜胆怯的勇气和决不向困难妥协而敢于去冒险的希求。
人不是因岁月的流逝而老朽，当理想之火泯灭的时候，人生的“暮年”就开始了。
岁月的流逝会在皮肤上刻下皱纹，而热情的消失则在心灵上留下痕迹。
担心、疑惑、不自信、恐慌、绝望——这些东西正是夭折精神之树的元凶。
无论是到了古稀之年的老人，还是尚未成熟的少年，在人们的心目中，他们应该有对奇迹的憧憬，对人生乐趣的寻觅，对竞赛的追求，以及对灿若群星的事物和思想的感知；还要有不屈不挠的斗志和像孩子期待即将出现的事物般的好奇心……人与他的信念成比例地年轻，与疑惑成比例地衰老；与信心和希望成比例地年轻，与恐惧和绝望成比例地衰老。
谁能够从自然界、人类社会或神灵那里领悟到美丽、喜悦、勇气、高尚、力量……谁就富有青春的活力。
当失去所有的梦幻，心灵的花蕊被悲观之雪和沮丧之冰覆盖的时候，他就真正地“衰老”了。
这样的人，只有去乞求神灵的怜悯。
品尝：青春是美好的，谁把握了青春，谁就拥有了美好。
而我们要永葆青春，必须要有永不消退的热情和希望，因此“当失去所有的梦幻，心灵的花蕊被悲观之雪和沮丧之冰覆盖的时候，他就真正地“衰老”了。
”
青春的呼唤
[俄] 屠格涅夫
啊，青春，青春，你什么都不在乎，你仿佛拥有宇宙间一切的宝藏，连忧愁也给你安慰，连悲哀也对你有帮助，你自信而大胆，你说：“瞧吧，只有我才活着。
”可是你的日子也在时
时刻刻地飞走了，不留一点痕迹，白白地消失了，而且你身上的一切也都象太阳下面的蜡一样，雪一样地消灭了。
……也许你的魅力的整个秘密，并不在乎你能够做任何事情，而在于你能够想你做得到任何事情——正在于你浪费尽了你自己不知道怎样用到别处去的力量；正在于我们中间每个人都认真地以为自己是个浪子，认真地认为他有权利说：“啊，倘使我不白白耗费时间，我什么都办得到！”
我也是这样……那个时候，我用一声叹息，一种凄凉的感情送走了我那昙花一现的初恋的幻影的时候，我希望过什么，我期待过什么，我预见了什么光明灿烂的前途呢？
然而我希望过的一切，有什么实现了呢？现在黄昏的阴影已经开始笼罩到我的生命上来了，在这个时候，我还有什么比一瞬间消逝的春潮雷雨的回忆更新鲜，更可宝贵呢？
品尝：青春是容易消逝的，人啊，不要在青春消逝之后才来感叹：如果时间倒流，我也会办得到的。
这个时候还有什么用呢？不如我们年青的时候就去做，即使失败，我们也不会叹息的。
至少我们曾经走过，努力过。
友情
[日本] 矢内原伊
友情是一种特殊的人类关系。
恋人的关系，家族的纽带，尽管也是密切的，但在一定意义上来讲，它们有着自然的、本能的要素；而友情却是只有人类才具有的，是人的生活中不可缺少的宝物。