命题逻辑等值演算

第二章命题逻辑等值演算

例1 . 设三元真值函数f为：

f（0,0,0）＝0，f（0,0,1）＝1，f（0,1,0）＝0，f（1,0,0）＝1 f（0,1,1）＝1，f（1,0,1）＝1，f（1,1,0）＝0，f（1,1,1）＝1 试用一个仅含联结词→，⌝的命题形式来表示f 。

解：

则根据真值表法可以求出f的主合取范式为：

（⌝P∨⌝Q∨R）∧（P∨⌝Q∨R）∧（P∨Q∨R）而：

（⌝P∨⌝Q∨R）∧（P∨⌝Q∨R）∧（P∨Q∨R）⇔(⌝P∨⌝Q∨R)∧（P∨R）

⇔((⌝P∨⌝Q)∧P)∨R

⇔(P∧⌝Q)∨R

又由于：

P∧Q⇔⌝(P→⌝Q) P∨Q⇔⌝P→Q

所以，

(P∧⌝Q) ∨R

⇔⌝( P∧⌝Q)→R

⇔⌝(⌝(P→Q))→R

所以，f可以用仅含→，⌝的命题⌝(⌝(P→Q))→R来表示。

例2 . 不用真值表判断下列公式是永真式、永假式还是其它。

(1)(P∨Q)→(P∧Q) ;

(2)⌝((Q→P)∨⌝P)∧(P∨R) ;

(3)((⌝P∨Q)→R)→((P∨⌝Q)∨R) .

解：（1）(P∨Q)→(P∧Q) ⇔⌝(P∨Q)∨(P∧Q) ⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∧Q) 所以，(P∨Q)→(P∧Q)既非永真式也非永假式。

（2）⌝((Q→P)∨⌝P)∧(P∨R) ⇔⌝((⌝Q∨P)∨⌝P)∧(P∨R)

⇔⌝T∧(P∨R) ⇔F∧(P∨R) ⇔F

所以，⌝((Q→P)∨⌝P)∧(P∨R)为永假式。

（3）((⌝P∨Q)→R)→((P∨⌝Q)∨R) ⇔(⌝(⌝P∨Q)∨R)→((P∨⌝Q)∨R) ⇔((P∨⌝Q)∨R)→((P∨⌝Q)∨R) ⇔T

所以，((⌝P∨Q)→R)→((P∨⌝Q)∨R)为永真式。

例3 .证明下列等价式。

（1）(P→Q)∧(P→R) ⇔P→Q∧R ;

（2）P∧Q∧(⌝P∨⌝Q) ⇔⌝P∧⌝Q∧(P∨Q) .

解：说明: 这两道题看似麻烦，但是如果不采用直接推导的方法，而是利用范式或是左右夹击推导的方法，会起到事半功倍的效果。

(1). (P→Q)∧(P→R) ⇔(⌝P∨Q)∧(⌝P∨R)

⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)

⇔M4∧M5∧M6

P→Q∧R ⇔⌝P∨(Q∧R) ⇔(⌝P∨Q)∧(⌝P∨R)

⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)

⇔M4∧M5∧M6

所以，(P→Q)∧(P→R) ⇔P→Q∧R成立。

(2). P∧Q∧(⌝P∨⌝Q)

⇔(P∧Q∧⌝P)∨(P∧Q∧⌝Q)

⇔F

⌝P∧⌝Q∧(P∨Q)

⇔(⌝P∧⌝Q∧P)∨(⌝P∧⌝Q∧Q)

⇔F

所以，P∧Q∧(⌝P∨⌝Q) ⇔⌝P∧⌝Q∧(P∨Q)

例4 . 试求下列各公式的主析取范式和主合取范式。

(1)(P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q→R))

(2)((P∨Q)→R)→P

解: (1) (P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q→R)) ⇔(⌝P∨(Q∧R))∧(P∨(Q∨R))

⇔(⌝P∨Q)∧(⌝P∨R)∧(P∨Q∨R)

⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)∧(P∨Q∨R) ⇔M4∧M5∧M6∧M0 (主合取范式)

则其主析取范式为m1∨m2∨m3∨m7

(2)((P∨Q)→R)→P ⇔⌝(⌝(P∨Q)∨R)∨P

⇔((P∨Q) ∧⌝R)∨P ⇔(P∧⌝R)∨(Q∧⌝R)∨P

⇔(Q∧⌝R)∨P ⇔(Q∨P)∧(⌝R∨P)

⇔(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨⌝R)∧(P∨⌝Q∨⌝R)

⇔M0∧M1∧M3 (主合取范式)

则其主析取范式为m2∨m4∨m5∨m6∨m7

例5 . 用等值演算法证明下面等值式。

(1)P ⇔(P∧Q)∨(P∧⌝Q)

(2)(P→Q)∧(P→R) ⇔P→(Q∧R)

(3)⌝(P↔Q) ⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)

(4)(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q) ⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)

解: (1)右边⇔P∧(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(Q∨⌝Q)

⇔P∧(P∨⌝Q∧Q)∧T

⇔P∧P

⇔P ⇔左边

所以P ⇔(P∧Q)∨(P∧⌝Q)

(2)左边⇔(⌝P∨Q)∧(⌝P∨R)

⇔⌝P∨Q∧R

⇔P→(Q∧R) ⇔右边

所以(P→Q)∧(P→R) ⇔P→(Q∧R)

(3)左边⇔⌝((P→Q)∧(Q→P))

⇔⌝(⌝P∨Q)∨⌝(⌝Q∨P)

⇔P∧⌝Q∨Q∧⌝P

⇔(P∨Q)∧(P∨⌝P)∧(⌝Q∨Q)∧(⌝Q∨⌝P)

⇔(P∨Q)∧(⌝Q∨⌝P)

⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)

⇔右边

所以⌝(P↔Q) ⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)

(4) 左边⇔(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q)

⇔(P∨⌝P)∧(P∨Q)∧(⌝Q∨⌝P)∧(⌝Q∨Q)

⇔(P∨Q)∧(⌝Q∨⌝P)

⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)

⇔右边

所以(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q) ⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)

例6 . 将下列公式化成与之等值且只含{⌝,∨, ∧}中联结词的公式。

(1) ⌝( P→(Q↔(Q∧R)))

(2) P↔(Q↔R)

解：(1) ⌝( P→(Q↔(Q∧R)))

⇔⌝(⌝P∨(Q→(Q∧R))∧((Q∧R)→Q))

⇔⌝(⌝P∨(⌝Q∨(Q∧R))∧(⌝(Q∧R)∨Q))

⇔⌝(⌝P∨(⌝Q∨R))

⇔P∧Q∧R

(2) P↔(Q↔R)

⇔(P→(Q↔R))∧((Q↔R)→P)

⇔(P→((Q→R)∧(R→Q)))∧(((Q→R)∧(R→Q))→P)

⇔(⌝P∨(⌝Q∨R)∧(⌝R∨Q))∧(⌝((Q→R)∧(R→Q))∨P)

⇔(⌝P∨(⌝Q∨R)∧(⌝R∨Q))∧(⌝(⌝Q∨R)∨⌝(⌝R∨Q)∨P)

⇔(⌝P∨⌝Q∧⌝R∨R∧Q)∧(Q∧⌝R∨R∧⌝Q∨P)

⇔(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)

例7. 在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生三位同学被选进了班委会，该班的甲、乙、丙三名学生预言：

甲说：王小红为班长，李强为生活委员。

乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员。

丙说：李强为班长，王小红为学习委员。

班委会分工名单公布后发现，甲、乙、丙三人恰好都猜对了一半。问王小红、李强、丁金生各任何职（用等值演算求解）？

解：设P：王小红为班长；Q：李强为生活委员；R：丁金生为班长；

S：王小红为生活委员；M：李强为班长；N：王小红为学习委员。

由已知条件可得公式：

T: (⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q)

U: (⌝R∧S)∨(R∧⌝S)