1.2命题逻辑等值演算

解答
设命题 p：王教授是苏州人。 q：王教授是上海人。 r：王教授是杭州人。 p,q,r中必有一个真命题，两个假命题，要通 过逻辑演算将真命题找出来。 设 甲的判断为A1= ┐p∧q 乙的判断为A2= p∧┐q 丙的判断为A3= ┐q∧┐r
甲的判断全对： 甲的判断对一半： 甲的判断全错： 乙的判断全对： 乙的判断对一半： 乙的判断全错： 丙的判断全对： 丙的判断对一半： 丙的判断全错：
也可以从右边开始演算 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出 通常不用等值演算直接证明两个公式不等值
例题
例2.3 用等值演算法验证等值式 (p∨q)→r (p→r)∧(q→r)
解答 (p→r)∧(q→r) (┐p∨r)∧(┐q∨r) (┐p∧┐q)∨r ┐(p∨q)∨r (p∨q)→r (蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
定理 都是联结词完备集
证：已知 , , 为联结词完备集，因而只需证明其 中的每个联结词都可以由 定义即可
p
p q ( p q ) (p q ) p q
( p p) p p
pq ( p q ) ( p q )
p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q) p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐q∨p∨q) p∧1 p
易知10，11为（3）的成真赋值，00，01为成假赋 值，因而（3）为可满足式
例题2.6 在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根 据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。 听完以上3人的判断后，王教授笑着说，他们3人 中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的 全不对。试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？
解答
例题
例题2.2 判断下列各组公式是否等值 相等 (1)p→(q→r)与(p∧q)→r 不相等 (2)(p→q)→r与(p∧q)→r
解答
2.基本等值式
（1）双重否定律 （2）幂等律 （3）交换律 （4）结合律
（5）分配律
（6）德· 摩根律 （7）吸收律
A ┐┐A A A∨A ，A A∧A A∨B B∨A，A∧B B∧A (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律） A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律） ┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A
（8）零律 A∨1 1 ， A∧0 0 （9） 同一律 A∨0 A 。A∧1 A （10）排中律 A∨┐A 1 （11）矛盾律 A∧┐A 0 （12）蕴涵等值式 A→B ┐A∨B （13）等价等值式 AB (A→B)∧(B→A) （14）假言易位 A→B ┐B→┐A （15）等价否定等值式 AB ┐A┐B （16）归谬论 (A→B)∧(A→┐B) ┐A
（德摩根律）
（德摩根律） （排中律） （同一律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q（分配律）
1∨┐p
1
（排中律）
（零律）（重言式）
(2) ┐(p→(p∨q))∧r ┐(┐p ∨p∨q)∧r
(p∧┐p∧┐q)∧r
0∧r
0
（2）为矛盾式
(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
说明
• 其中A,B,C可以代表任意的公式，称这样的等值式为 等值式模式。 • 每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的 等值式。 例如，在蕴涵等值式 A→B┐A∨B 中， 取A=p，B=q时，得等值式 p→q┐p∨q 取A=p∨q∨r，B=p∧q时，得等值式 (p∨q∨r)→(p∧q) ┐(p∨q∨r)∨(p∧q) 这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的 一个实例。
等值演算的应用
① 证明两个公式等值 ② 判断公式类型 ③ 解判定问题
例题
证明两个公式等值 (p→q)→r (p∨r)∧(┐q∨r)
解答 (p→q)→r
说明
① ② ③ ④
(┐p∨q)→r （蕴含等值式、置换规则） ┐(┐p∨q)∨r （蕴含等值式、置换规则） (p∧┐q)∨r （德摩根律、置换规则） (p∨r)∧(┐q∨r)（分配律、置换规则）
n
2个命题变项共有16个
每个真值函数对应无群多个与之等值的命题公式 所以每一个命题公式 对应唯一的与之等值的真值函数。
2.定义1.15 在一个联结词的集合中，如果一个联 结词可由集合中的其他联结词定义，则称此联接 词为冗余的联结词，否则称为独立的联结词。
在联结词集{┐,∧,∨,→,}中， (p→q) ┐p∨q p q (p →q) ∧(q →p ) (┐p∨q) (┐q∨p) 所以→,冗余 在{┐,∧,∨}中，由于 P ∨q ┐ ┐（ P ∨q ） ┐（ ┐ P ∧ ┐ q ） 所以∨冗余，但在{┐,∧}中无冗余。
2.定义1.16在任一真值函数都可以用仅含有某一联 结词集中的联结词的命题公式表示，则称该联结 词集为全功能集。若一个联结词集的全功能中不 含冗余的联结词，则称它是极小全功能集。
3.{┐，∧，∨，
→， ｝{┐，∧，∨， → ， ↔ ， , ｝ {┐，∧，∨， → ， ↔ ｝,｛┐，∧ ，∨ ｝,{┐， → ｝ {┐，∧}{┐， ∨} ,｛｝,{ }都是全功能集，其中{┐，∧} {┐， ∨} ,｛｝,{ }是最小功能集。
例2.4 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
方法一、真值表法。 方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋 值，而010是p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值
式成立。
方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况， 再进行判断。
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r （蕴涵等值式） ┐(┐p∨q)∨r （蕴涵等值式） (p∧┐q)∨r （德摩根律） B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) （蕴涵等值式） ┐p∨┐q∨r （结合律） 000，010是A的成假赋值，而它们是B的成真赋值。
例题2.5 用等值演算判断下列公式的类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
解答 (1) (p→q)∧p→q (┐p∨q)∧p→q ┐((┐p∨q)∧p)∨q （蕴涵等值式） （蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
((p∧┐q)∨┐p)∨q (1∧(┐q∨┐p))∨q (┐q∨q)∨┐p
例1.1 A,B,C,D四人做百米竞赛。观众甲、乙、丙预报比赛 的名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四。 比赛结束后发现甲、乙、丙每人报告的情况都是各对一半， 试问实际的名次？ 解：设pi ， qi，ri ， si表示A第i名，B第i名，C第i名，D第 i名，显然pi ， qi，ri ， si中均有一个真命题。要寻找下 列3个成立的真命题 (1)（r1∧┐q2)∨(┐r1∧q2) 1 (2)（r2∧┐s3)∨(┐r2∧s3) 1 (3)（p2∧┐s4)∨(┐p2∧s4) 1
3.等值演算与置换规则
由已知的等值式推演出另外一些等值式 的过程为等值演算。 置换规则 :设Φ(A)是含公式A的命题公式， Φ(B)是用公式B置换了Φ(A)中所有的A后 得 到 的 命 题 公 式 ， 若 BA ， 则 Φ(B)Φ(A)。
关于等值演算的说明
等值演算的基础
① 等值关系的性质： 自反性：AA。 对称性：若AB，则BA。 传递性：若AB且BC，则AC。 ② 基本的等值式 ③ 置换规则

2.3 连结词的完备集
排斥或： pq ( p q) (p q)
与非联结词
p q ( p q)
或非联结词
p q ( p q)

2.3 连结词的完备集
定义1.14 称F:{0，1} →{0,1}为n元真值函数 F的自变量为n个命题变量，定义域: n {0，1} ={00…0,00…1,…,11…1},值域为{0，1}。 2n个不同的真值函数。1元真值函 n个命题变量共可2 数共可4个
( p p) (q q ) 类似可证明 是联结词完备集。
( p q) p p


定义1.10 设A,B是两个命题公式，若等价式
A ↔ B为重言式，则称A与B是等值的，记作AB。
用真值表可以验证两个公式是否等值。 判断A,B是否等值(AB )
说明
判断A ↔ B为重言式 A ↔ B的真值表最后一列全为1 在各种赋值下，A，B取值完全相同
A,B的真值表完全相同
例题
例2.1 判断下面两个公式是否等值 ┐(p∨q) 与 ┐p∧┐q 相等
本节的主值演算与置换规则 联结词全功能集
2.1 等值式
两公式什么时候代表了同一个命题呢？ 抽象地看，它们的真假取值完全相同时 即代表了相同的命题。
若A与B有相同的真值表，则说明在2 个赋 值下，A与B的真值都相同,于是等价式A↔B应 为重言式。
n
1.等值的定义及说明
因为真命题的合取仍为真命题，故： 1（1）∧（2） （r1∧┐q2∧r2∧┐s3)∨( r1∧┐q2∧┐r2∧s3) ∨(┐r1∧q2∧r2∧┐s3)∨(┐r1∧q2∧┐r2∧s3) 其中C不能即是第一又是第二，B和C不能都是第二，所以 r1∧┐q2∧r2∧┐s3 0 ┐r1∧q2∧ r2∧┐s30 得出(4)（r1∧┐q2∧┐r2∧s3)∨(┐r1∧ q2∧┐r2∧s3) (3)和（4）产生新的公式 1（3)∧（4) （p2∧ ┐s4 ∧r1 ∧ ┐q2 ∧ ┐r2 ∧ s3)∨(p2∧ ┐s4 ∧┐r1 ∧ ∧ q2 ┐r2 ∧ s3)∨(┐p2∧ s4 ∧r1 ∧ ┐q2∧ ┐r2∧ s3)∨（┐p2∧s4 ∧┐r1 ∧q2 ∧┐r2 ∧ s3) 由于A,B不能同时第二，D不能第三又第四。 所以(5)1 p2∧┐s4∧r1 ∧ ┐ q2 ∧ ┐ r2 ∧ s3 p2∧┐q2∧r1∧┐r2∧s3∧┐s4 C第一，A第二，D第三，B第四。