命题逻辑等值演算
离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
第二章作业评分要求：1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)3. 总得分在采分点1处正确设置.一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次):说明证1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)解逻辑方程法设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式. 等值演算法(p ∧q)∨(p ∧¬q)⇔ p ∧(q ∨¬q)∧对∨的分配率⇔ p ∧1 排中律⇔ p 同一律 真值表法2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r)等值演算法(p→q)∧(p→r)⇔ (¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式⇔¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律⇔ p→(q∧r)蕴含等值式3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法¬(p↔q)⇔¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式⇔¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式⇔¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法(p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式.等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得.二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次):1.2.3.4.1. (¬p→q)→(¬q∨p)解(¬p→q)→(¬q∨p)⇔ (p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式⇔ (¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律⇔ (¬p∧¬q)∨¬q ∨ p结合律⇔ p∨¬q吸收律, 交换律⇔ M1因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m32. (¬p→q)∧(q∧r)解逻辑方程法设 (¬p→q)∧(q∧r) =1, 则¬p→q=1且 q∧r=1,解得q=1, r=1, p=0 或者 q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为 m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6等值演算法(¬p→q)∧(q∧r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q r)(q r) 对分配律, 幂等律(p q r) (p q r)(p q r) 同一律, 矛盾律, 对分配律m7 m3主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M63. (p↔q)→r解逻辑方程法设 (p↔q)→r =0, 解得 p=q=1, r=0 或者 p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7等值演算法(p↔q)→r((p q)(q p))r 等价等值式((p q)(q p))r 蕴含等值式(p q)(q p)r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)(p q r)(q p r) 对分配律, 矛盾律, 同一律M0 M6主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m74. (p→q)∧(q→r)解等值演算法(p→q)∧(q→r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q)(p r)(q r) 对分配律, 矛盾律, 同一律(p q r)(p q r) (p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m1 m0 m3 m7主合取范式为M2 M4 M5 M6.解逻辑方程法设 (p q) (q r) = 1, 则p q =1 且 q r =1.前者解得: p=0, q=0; 或者 p=0, q=1; 或者 p=1, q=1.后者解得: q=0, r=0; 或者 q=0, r=1; 或者 q=1, r=1.综上可得成真赋值为 000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0m1m3m7, 主合取范式为M2 M4 M5 M6.真值表法公式 (p q) (q r) 真值表如下:p q r(p q) (qr)00010011010001111000101011001111013724 M5 M6.。
命题逻辑等值演算
1设A与B均为含n个命题变项的公式, 判断下列命题是否为真？.（1）A B 当且仅当 A B是可满足式.该命题为真该命题为假（2）A B 当且仅当 A与B有相同的主析取范式.该命题为真该命题为假（3）若A为重言式, 则A的主析取范式中含有2n个极小项.该命题为真该命题为假（4）若A为矛盾式, 则A的主析取范式为1.该命题为真该命题为假（5）若A为矛盾式, 则A的主合取范式为1.该命题为真该命题为假（6）任何公式A都能等值地化为联结词集{∧、∨} 中的公式.该命题为真该命题为假（7）任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式.该命题为真该命题为假用等值演算法来判断下列公式的类型.2.（1）(p→q)→(┐q→┐p)（2）┐(p→q)∧r∧q（3）(p→q)∧┐p3用主析取范式法判断题2中3个公式的类型, 并求公式的成真赋值. .题2中三个公式如下：（1）(p→q)→(┐q→┐p)（2）┐(p→q)∧r∧q（3）(p→q)∧┐p求题2中3个公式的主合取范式, 并求公式的成假赋值.4.题2中三个公式如下：（1）(p→q)→(┐q→┐p)（2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p5 . 已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r, 并知道它的成真赋值分别为001, 010, 111, 求A的主析取范式和主合取范式.6. 用等值演算法证明下面等值式.（1）(┐p∨q)∧(p→r)p→(q∧r)（2）(p∧q)∨┐(┐p∨q)p7.求公式(p→┐q)∧r在以下各联结词完备集中与之等值的一个公式：（1）{┐,∧, ∨}（2）{┐,∧}（3）{┐,∨}（4）{┐, →}（5）{↑}8.用等值演算法求解下面问题.某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：（1）若赵去, 则钱也去（2）李、周中至少去一人（3）钱、孙中去且仅去一人（4）孙、李两人都去或都不去（5）若周去, 则赵、钱也同去问该公司应选派哪些人出国？例题分析题1分析：（1）A B 当且仅当 A B为重言式, 而不是可满足式.（2）A B说明A与B有相同的成真赋值, 因而有相同的主析取范式；反之若A与B有相同的主析取范式,说明它们有相同的成真赋值,当然也有相同的成假赋值. 因而A B为重言式,故A B.（3）若A为重言式, 说明2n个赋值都是成真赋值, 因而主析取范式中含有2n个极小项.（4）若A为矛盾式, 则A无成真赋值, 因而A的主析取范式不含任何极小项, 规定A的主析取范式为0, 而不是1. 若是1, 则A1, 这与A为矛盾式不是矛盾了吗？（5）若A为矛盾式, 则A的2n个赋值都是成假赋值, 因而主合取范式应含有2n个极大项, 而不是1. 若为1,则A1, A不就成了重言式了吗？（6）{∧、∨}不是联结词完备集. 因而, 有的公式不能等值地化为它中的公式. 例如：p q ┐p∨q ┐(p∧┐q) ... 但无论如何不能只含联结词∧和∨.（7）{┐、→}是联结词完备集, 在它中再加一个联结词∧, 所得集合{┐、→、∧}也为完备集, 因而任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式.题2分析：（1）(p→q)→(┐q→┐p)┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (蕴涵等值式)(p∧┐q)∨(┐p∨q) (德·摩根律、交换律)((p∧┐q)∨┐p)∨q (结合律)((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q (分配律)(1∧(┐p∨┐q))∨q (排中律、交换律)┐p∨(┐q∨q) (同一律、结合律)┐p∨1 (排中律)1 (零律)由于该公式与1等值, 故它为重言式.（2）┐(p→q)∧r∧q┐(┐p∨q)∧q∧r (蕴含等值式、交换律)p∧(┐q∧q)∧r (德·摩根律、结合律)p∧0∧r (矛盾律)0 (零律)由于公式与0等值, 故它为矛盾式.（3）(p→q)∧┐p(┐p∨q)∧┐p (蕴含等值式)┐p (吸收律)由最后一步可知, 该公式既有成真赋值00和01, 又有成假赋值10和11, 故它为可满足式.注意：等项演算的过程不是唯一的, 但重言式一定与1等值, 矛盾式一定与0等值. 而可满足式化简到能观察出成真和成假赋值都存在即可.题3分析：求主析取范式可用真值表法, 也可以用等值演算法, 这里用等值演算法.（1）(p→q)→(┐q→┐p)┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)(p∧┐q)∨┐p∨q(┐内移) (已为析取范式)(p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q)（*）m2∨m0∨m1∨m1∨m3m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：┐p┐p∧(┐q∨q)(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q(┐p∨p)∧q(┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后, 以上过程可不写在演算过程中. 该公式中含n=2个命题变项, 它的主析取范式中含了22=4 个极小项, 故它为重言式, 00, 01, 10, 11全为成真赋值.（2）┐(p→q)∧r∧q┐(┐p∨q)∧r∧q (消去→)p∧┐q∧q∧r(┐内移)0 (矛盾律和零律)该公式的主析取范式为0, 故它为矛盾式, 00, 01, 10, 11全为成假赋值, 无成真赋值.（3）(p→q)∧┐p(┐p∨q)∧┐p (消去→)┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)m0∨m1主析取范式中含2个极小项, 成真赋值为00和01.题4分析：求公式的主合取范式一般可有三种方法：（i）真值表法；（ii）等值演算法；（iii）用主析取范式求主合取范式.这里用方法（iii）, 其余两种方法留给读者.（1）由题3可知, 主析取范式为：(p→q)→(┐q→┐p)m0∨m1∨m2∨m3因而该公式为重言式, 它的主合取范式为1, 无成假赋值.（2）由题3可知, 它为矛盾式, 即它的主析取范式为0, 因而无成真赋值, 于是主合取范式含8个极大项,即：┐(p→q)∧r∧q M0∧M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6∧M7（3）该公式的主析取范式中含2个极小项m0和m1, 故主合取范式中含22-2=2个极大项M2和M3, 即(p→q)∧┐p M2∧M3成假赋值为10和11.题5分析：由于公式含3个命题变项, 并且已知有3个成真赋值001, 010, 111, 因而有5个成假赋值000, 011, 100, 101, 110.成真赋值对应的极小项分别为m1, m2, m7, 故主析取范式为A m1∨m2∨m7成假赋值对应的极大项分别为M0, M3, M4, M5, M6, 故主合取范式为A M0∧M3∧M4∧M5∧M6注意：公式的真值表与主析取范式(主合取范式)可以相互唯一确定.题6分析：用等值演算法证明A B, 可以有3种方式. 从A出发, 证到B；从B出发证到A；或证明A C和BC,由于等值关系有传递性和对称性, 故A B.题7分析：（1）(p→┐q)∧r(┐p∨┐q)∧r (已满足要求)（2）(p→┐q)∧r(┐p∨┐q)∧r┐(p∧q)∧r (已满足要求)（3）(p→┐q)∧r(┐p∨┐q)∧r┐┐((┐p∨┐q)∧r)┐(┐(┐p∨┐q)∨┐r) (已满足要求)（4）(p→┐q)∧r┐┐((p→┐q)∧r)┐(┐(p→┐q)∨┐r)┐( (p→┐q)→┐r) (已满足要求)（5）(p→┐q)∧r(┐p∨┐q)∧r┐(p∧q)∧r(p↑q)∧r┐┐((p↑q)∧r)┐((p↑q)↑r)((p↑q)↑r)↑((p↑q)↑r)注意：以上各式的推导和最后形式不唯一.题8分析：解此类问题的步骤应为：① 将简单命题符号化② 写出各复合命题③ 写出由各复合命题组成的合取式④ 将写出的公式化成析取范式, 给出其成真赋值, 即可得到答案.具体解法如下：① 令 p：派赵去q：派钱去r：派孙去s：派李去u：派周去② (1) p→q(2) s∨u(3) ((q∧┐r)∨(┐q∧r))(4) ((r∧s)∨(┐r∧┐s))(5) u→(p∧q)③ 设A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧┐r)∨(┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(u→(p∧q))④ 求A的析取范式(用等值演算法), 简要过程如下：A(┐p∨q)∧(s∨u)∧((q∧┐r)∨( ┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(┐u∨(p∧q))(┐p∨q)∧((q∧┐r)∨(┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(s∨u)∧(┐u∨(p∧q))((┐p∧q∧┐r)∨(q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(s∨u)∧(┐u∨(p∧q))((q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(s∨u)∧(┐u∨(p∧q)) （用了吸收律）((┐p∧┐q∧r∧s)∨(q∧┐r∧┐s))∧(s∨u)∧(┐u∨(p∧q))((┐p∧┐q∧r∧s)∨(┐p∧┐q∧r∧s∧u)∨(q∧┐r∧┐s∧u))∧(┐u∨(p∧q))(┐p∧┐q∧r∧s∧┐u)∨(p∧q∧┐r∧┐s∧u)最后一步得到一个主析取范式, 含有两个极小项. 当p, q, r, s, u取值分别为0, 0, 1, 1, 0 或 1, 1, 0, 0, 1 时, A为真, 故公司应派孙、李去, 而赵、钱、周不去,或赵、钱、周去, 而孙、李不去.注意, 在演算中, 多次用了矛盾律和同一律.返回例题答案题1答案：（1）为假；（2）为真；（3）为真；（4）为假；（5）为假；（6）为假；（7）为真.题2答案：（1）为重言式；（2）为矛盾式；（3）为可满足式.题3答案：（1）为重言式, 00, 01, 10, 11为成真赋值.（2）为矛盾式, 无成真赋值. （3）为可满足式, 成真赋值为00和01.题4答案：（1）该公式的主合取范式为1, 无成假赋值.（2）它的主合取范式为：M0∧M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6∧M7, 8个赋值全是成假赋值.（3）该公式的主析取范式为M2和M3, 成假赋值为10和11.题5答案：A的主析取范式为 m1∨m2∨m7；A的主合取范式为 M0∧M3∧M4∧M5∧M6.题6答案：（1）从左出发证(┐p∨q)∧(p→r)(┐p∨q)∧(┐p∨r) (蕴涵等值式)┐p∨(q∧r) (分配律)p→(q∧r) (蕴涵等值式)也可以从右出发证(请读者自己证).（2）从右出发证pp∧1 (同一律)p∧(q∨┐q) (排中律)(p∧q)∨(p∧┐q) (分配律)(p∧q)∨┐┐(p∧┐q) (双重否定律)(p∧q)∨┐(┐p∨q) (德·摩根律)题7答案：答案不唯一, 参看分析.题8答案：应该派赵、钱、周或派孙, 李去.返回。
07 命题逻辑等值式
离散数学基础2017-11-17•定义：命题逻辑等值式−给定两个命题公式 A、B，设 p1, p2,…… p n 为所有出现于 A、B 中的命题变量。
若对 p1, p2,…… p n 中的任何一组逻辑解释，A 和 B 的真值都相同，则称 A、B 是等值的或逻辑相等的。
记为 A ⇔ B。
−p1, p2,…… p n 的所有逻辑解释总数为 2n 个。
•定义：命题逻辑等值式−若两个命题公式 A、B 在任意的真值赋值函数 t : Var→{0,1} 下取得相同的真值，则称 A、B 是等值的（或逻辑相等的）。
记为 A ⇔ B。
上述定义是前一个定义的等价定义， 利用了之前定义复合语句的真值时引用的真值赋值函数 t。
我们马上意识到，使用真值表可以判断两个逻辑公式的等值性。
•定义：命题逻辑等值式−例：证明 ¬p∨q ⇔ p→qp q¬p¬p∨q p→q00111011111000011011在每个解释下， ¬p∨q 和 p→q 取相同的真值， 所以是一对等值式•等值的基本性质−对公式 A、B、C，按照等值的定义显然有：»A ⇔ A；（自反性）»若 A ⇔ B 则 B ⇔ A；（对称性）»若 A ⇔ B 且 B ⇔ C 则 A ⇔ C。
（传递性）−具有自反性、对称性和传递性的关系称为等价关系。
所以命题逻辑公式的等值性通常也称为等价性。
•定理：等值定理−设命题公式 A、B，则 A ⇔ B iff A↔B 是重言式。
−证：⇒ 若 A ⇔ B，则 A 与 B 在任意解释下都有相同的真值。
由“↔”的定义，A↔B 只能取值1，即 A↔B 是重言式。
⇐ 若 A↔B 只取值1，由“↔”的真值表， A 与 B 在任意解释下都有相同的真值。
由“⇔”的定义，有 A ⇔ B。
−定理给出验证两个命题公式相等的一种基本方法。
•命题逻辑的等值演算−当命题公式所含的命题变量个数较多时，使用真值表方法判断公式的等价性有困难。
离散数学-第一部分-数理逻辑-第五章 一阶逻辑等值演算与推理
注意：对，对无分配律
5
量词分配等值式证明
设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)
置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则
设(A)是含A的公式, 那么, 若AB, 则(A)(B).
2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A，则AA.
3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A，则AA.
14
实例
解法二
xy(F(x)G(y)) x(F(x)yG(y))
辖域缩小等值式
x(F(x)G(a)G(b)G(c))
(F(a)G(a)G(b)G(c))
(F(b)G(a)G(b)G(c))
(F(c)G(a)G(b)G(c))
15
实例
(2) xyF(x,y) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))
而
x(F(x)G(x))
x(F(x)y(G(y)H(x,y))) 不是前束范式，
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前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例4 求下列公式的前束范式 (1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
命题逻辑等值演算的计算机实现
! 命 题公 式的 定义
定义 " 以 & 真 ’# & 假 ’ 为其变域的 变元称为 命题变元 ! 命题 变 元也简称为命题 " 定义 $ 命题演算公式 $ 简称公式 %可按以下法则生成 !$ # (%" & 命 题是公式 )%’& 如果 ( 是公式 !则 ! ( 是公式 )%) & 如果 ( #* 是公式 ! 则 ( " * #( # * #( $ * 和 ( %$ * 都是公式 ) ! 只有有限次按照上 述法则所得的结果才是公式 "
命题逻辑等值演算的计算机实现
李刚!$"源自!杨杰#" %-郑州轻工业学院 信息与计算科学系 & 河南 郑州 .’ """ ! %!- 郑州轻工业学院 计算机与通信工程学院 & 河南 郑州 .’ """ !% &-郑州轻工业 学院网络中心 & 河南 郑州 .’ """ !$ 摘要 " 本文针对等值演算理论 &通过数据 结构和 / 00 程序设计语言 &分析了命题公式的逻辑结构 & 设计出用广义 表单链表的存储结 构 & 并在此基础上探讨了如何实现其基本操作 & 从而进一步阐明了复杂等值演算的计算机实现算法 ) 关键词 "命题逻辑 %等值演算 % 数据结构 % 广义表 %计算机实现 中图分类号 "%&#’! 文献标识码 "( 文章编号 "!))*+#),,-"’’./’"+!’,.0+’# 12 3 456%7!78 9)3 (:; & <%-= ;> ?- @A 25A @BC4?: @5 45D /@C>E?4?:@5 FG:;5G;7 HI;56 JI@E K5: L;BG: ?M @A 1:6I? 25DEN?BM7 HI;56HI@E .’ """ !7 / I: 54O !-F GI@@P @A / @C> E?;B 45D /@CCE5:G4?:@5 Q56:5;;B: 567 HI;56 JI@E K5: L;BG: ?M @A 1:6I? 25DEN?BM7 HI;56HI@E .’ """ !7 / I: 54O &-) ;?R@BS /;5?;B7 HI;56JI@E K5:L ;BG:?M @A 1:6I? 25DEN?BM7 HI;56HI@E .’" "" !7 / I:54T (G@89=C 8H U4NN:56 @5 ?I; ?I;@BM @A ;V E:L 4P;5? G4PGEP4?;N7 ?I:N >4>;B E?: P:J;N ?I; D 4?4 N?BEG?EB; 45D / 00 >B@6B4C D;N:65 P456E46;7 ?@ 454PM J; ?I; P@6 :G N?BEG?EB; @A >B@>@N: ?:@5 A@BCEP47 D;N:65N ?I; N4L :56 N?BEG?E$B; ?I4? EN; ?I; WB@4D N;5N; C;5E GI4:5;D P :N?7 45D ;X >P@B;D ?@ W;6 A @B :5 ?I:N A@E5D4?:@5 I@Y ?@ G4BBM @E? :?N W4N:G @>;B4?: @57 ?IEN 45D A EB?I;B GP4B: AM:56 ?I; G@C>E?;B : C>P;C;5?4?:@5 4P6@B: ?IC @A ?I; G@C>P: G4?;D ;V E: L! 4P ;5? G4PGEP4?: @5I2J K49L@H >B@>@N: ?:@5 P@6:GO ;V E:L 4P;5? G4PGEP4?:@5O D4?4 N?BEG?EB;O WB@4D N;5N; Y 4?GIO G@C>E?;B :C> P;C;5?4?:@5 数理逻辑属形式逻辑范畴 ! 形式逻辑学是对思维形式结 构和 思维规律进行研究的类似语法的一门工具性学科!"# " 命题逻辑是 数理逻辑的基础部分 ! 其中等值演算在命题逻辑中占有很重 要的 地位 " 所谓命题逻辑的等值演算 ! 是指由已知的等值式运用 等值 规则演 算出另外的一 些等值式 !它在 判断命题 公式的类型 #求 主 析 $ 合 %取范式中是一种很重要的方法 " %*6# 6,&&&& " %12 345 67829 :56;252<8=8>4< 4? 812 &9464@>8>4<=; A4B>C DE7>F =;2<8 3=;C7;=8>4<
等值演算
13.等价等值式 AB(AB) (BA) 14.异或等值式
A B ( A B) (A B)
15.假言易位 ABB A
置换规则设B是A的子公式,C B, 则用C置换A中的B得到的公式与A等值
2013-8-22 13
三.等值演算 定义2 利用等值式的基本性质,基 本等值式和置换法则把一个命题公 式化成与它等值的另一公式的过程 称为等值演算.
((P Q) R)) ((R P) (S P))
((P R) (R Q)) (P R) S P ((P R) (P R)) (R Q) S P
((P Q) R) ( R P) (S P)
2013-8-22
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等值式的基本性质
定理 设A,B是任意公式,则 （1） A A(自反性) ； （2） 若A B,则B A(对称性)； （3） 若A B 且 B C ,则A C(传 递性).
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例1 (1)判断pq公式和pq是否等值.
(2)判断p q和(p q ) ( p q )是否等值.
(P ((R R)) (R Q) S P
(P T ) (R Q) S P
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6.吸收律
A ( A B) A A ( A B) A
7.德· 摩根律
( A B ) A B ( A B ) A B
8.零律 A 0 0,A 1 1
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交大数理逻辑课件2-3 命题逻辑的等值和推理演算
9. Q (PQ) PBiblioteka 拒取式基本的推理公式
10. (PQ)(QR) PR 假言三段论 11.(PQ)(QR) P R 等价三段论 12. (PR)(QR) (PQ) R 13. (PQ)(RS)(PR) QS 构造性二难 14. (PQ)(RS)( QS) (PR) 破坏性二难 15. (QR) ((PQ) (PR)) 16. (QR) ((PQ) (PR))
附加前提证明法 ——举例
例如：证明下列推理。 前提： P(QR)，S∨P, Q 结论： S R 证明：(1) S P 前提 (2) S 附加前提引入 (3) P (1)(2) 析取三段论 (4) P (Q R) 前提 (5) Q R (3)(4) 假言推理 (6) Q 前提 (7) R (5)(6) 假言推理
((PQP Q
例：判断下面推理是否正确
（1）若天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所 以小王没去游泳。 ③判断 ((PQ)P) Q是否为重言式 方法3：主析取范式法 ((PQ)P) Q = ((PQ)P)Q = (PQ) P Q = m11m0xmx0 = m11m00m01m00m10 = (0,1,2,3) = T ((PQP Q
(PQ(RS(PRQS 构造性二难
写出对应下面推理的证明
在大城市球赛中，如果北京队第三，那么如果上海队第 二，则天津队第四；沈阳队不是第一或北京队第三，上海队第 二。从而知：如果沈阳队第一，那么天津队第四。 解：设 (1) P (Q R) 前提 P：北京队第三 Q：上海队第二 (2) Q (P R) (1)置换 R：天津队第四 (3) Q 前提 S：沈阳队第一 (4) P R (2)(3)假言推理 前提：
P(QR)，S∨P, Q 结论： S R
第2章命题逻辑等值演算离散数学介绍
解答 方法一、真值表法。
方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是 p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值式成立。
方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴涵等值式）
┐(┐p∨q)∨r
（蕴涵等值式）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律）
(┐p∨q)∨q)∧p)∨q
（蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）
(1∧(┐q∨┐p))∨q
（排中律）
(┐q∨q)∨┐p
（同一律）
1∨┐p
（排中律）
1
B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r)
（蕴涵等值式）
┐p∨┐q∨r
（结合律）
000，010是A的成假赋值，而它们是B的成真赋值。
例题2.5 用等值演算判断下列公式的类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
(1) (p→q)∧p→q
离 散 数 学介绍
本章的主要内容
– 等值式与基本的等值式 – 等值演算与置换规则 – 析取范式与合取范式、主析取范式与主合取范式 – 联结词完备集(不讲) – 可满足性问题与消解法（不讲）
本章与后续各章的关系
– 是第一章的抽象与延伸 – 是后续各章的现行准备
两公式什么时候代表了同一个命题呢？ 抽象地看，它们的真假取值完全相同时即
一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1
那么同时 把∨和∧互换 把0和1互换
离散数学 第2章 命题逻辑
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程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
【精品】命题公式分类及等值演算2
等值演算的应用举例
证明两个公式等值 (p→q)→r (p∨r)∧(┐q∨r)
解答
(p→q)→r (┐p∨q)→r ┐(┐p∨q)∨r (p∧┐q)∨r
（蕴含等值式、置换规则） （蕴含等值式、置换规则） （德摩根律、置换规则）
(p∨r)∧(┐q∨r) （分配律、置换规则） 也可以从右边开始演算
• 两公式什么时候代表了同一个命题呢？ • 抽象地看，它们的真假取值完全相同时 即代表了相同的命题。 • 设公式A,B共同含有n个命题变项，若A 与B有相同的真值表，则说明在2n个赋值 的每个赋值下，A与B的真值都相同。于 是等价式AB应为重言式。
等值的定义及说明
定义1.10 设A,B是两个命题公式，若A,B构成的 等价式AB为重言式，则称A与B是等值的，记 作 AB。 不能写成=，逻辑演算与数学演算不同。
• 这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的 代入实例。 • 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为 等值演算。 • 置换规则 设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是 用公式B置换了Φ(A)中所有的A后得到的命题公 式，若BA，则Φ(B)Φ(A)。
关于等值演算的说明
• 等值演算的基础 – 等值关系的性质： 自反性：AA。 对称性：若AB，则BA。 传递性：若AB且BC，则AC。 – 基本的等值式 – 置换规则 • 等值演算的应用 – 证明两个公式等值 – 判断公式类型 – 解判定问题
8.零律 9.同一律 10.排中律 11.矛盾律 12.蕴涵等值式 13.等价等值式 14.假言易位 15.等价否定等值式 16.归谬论
A∨1 1,A∧0 0 A∨0 A，A∧1 A A∨┐A 1 A∧┐A 0 A→B ┐A∨B AB (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A AB ┐A┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
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等值式 析取范式与合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法 知 识 点：等值式、置换规则、等值演算、(主)析取范式、(主)合取范
式、联结词完备集、其它联结词、可满足性问题、消解法 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念 教学重点：等值演算、(主)析取范式、(主)合取范式 学时: 4
例6 用等值演算法判断公式的类型
(1) ( p→q) ∧p → q
(2) ┐( p→(p∨q ) ) ∧r
(3) p∧(((p∨q)∧p ) → q )
2020年3月31日3时11分
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§2.2 析取范式与合取范式
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 范式存在定理:
p
q
F
r
当且仅当 p、q、r 的输入为 0,0,1 或 1,0,0 或 0,1,1 或 1,1,0 时输出 F 为 1
2020年3月31日3时11分
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§2.4 可满足性问题与消解法
命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一
解决方法: 真值表法、主析取范式或主合取范式 缺点: 计算量大 新方法: 消解法 命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题
矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n（n为公式中命题变项 个数）个极大项
而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项 重言式的主合取范式记为1。矛盾式的主析取范式为0 可满足式的主析取范式中至少含有一个极小项,主合取范式中极大项的个
数一定小于2n
2020年3月31日3时11分
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例1 判断下列公式是否是可满足式
p ∧ (p∨q) ∧ ( p∨┐q) ∧ (q∨┐r) ∧ (q∨r)
2020年3月31日3时11分
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§2.4 可满足性问题与消解法
消解法
永真式可以从合取范式中消去
不含任何文字的简单析取式为空简单析取式,规定它是不可满足的
含有空简单析取式的合取范式是不可满足的
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§2.1 等值式
例1 用等值演算法验证等值式
(p∨q)→ r ⇔ (p→r) ∧(q →r )
证： (p→r) ∧( q → r )
⇔ (┐p∨r)∧ (┐q∨ r )
(蕴涵等值式,替换规则)
⇔ (┐p ∧┐q) ∨r
(分配律)
⇔ ┐(p ∨q) ∨r
(德摩根律)
⇔ (p∨q)→ r
(蕴涵等值式)
§2.3 联结词完备集
例2：某电路中有一个灯泡和三个开关A，B，C。已知在且仅在下述 四种情况下灯亮：
(1)C的扳键向上，A,B的扳键向下
(2)A的扳键向上，B,C的扳键向下
(3)B,C的扳键向上，A的扳键向下
(4)A,B的扳键向上，C的扳键向
设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上
结合律 (A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)
分配律 A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律） A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
德摩根律 ┐(A∨B) ⇔ ┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔ ┐A∨┐B
吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A ，
定理2.8 C1∧C2 ≈Res(C1,C2) 定理2.10 (消解的完全性)如果合取范式S是不可满足的,则S有否证
31日3时11分
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等价否定等值式 A↔B ⇔ ┐A ↔ ┐B
归谬论
(A→B)∧(A → ┐B) ⇔ ┐A
代入实例：例如在蕴涵等值式中
1. 取A=p, B=q时，得到等值式 p→q ⇔ ┐p∨q
2. 取A=p→q , B= ┐p时，得到等值式
(p →q) → ┐p ⇔ ┐ (p →q) ∨ ┐ p
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(a)用命题公式构造F
(b)在联结词完备集{┐,∧}上构造F
(c)在联结词完备集{┐, →, ↔}上构造F
解：
F=(┐p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧┐r)
(b)(c)留作课后练习
2020年3月31日3时11分
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§2.3 联结词完备集
F=(┐p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧┐r)
设l 是一个文字,
l
c
p p
称作文字l 的补
,若l p ,若l p
定义2.9 设C1,C2是两个简单析取式,C1含文字l , C2含文字lc . 从C1中 删去l ,从C2中删去lc ,然后再将所得到的结果析取成一个简单析取式, 称这样得到的简单析取式为C1,C2的消解式或消解结果,记为
Res(C1,C2)
任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式 求范式可使用如下步骤:
1.消去联结词 → , ↔ 2.否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩根） 3.利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式
利用∨对∧的分配律求合取范式
2020年3月31日3时11分
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§2.2 析取范式与合取范式
p,q,r形成的极小项与极大项
2020年3月31日3时11分
§2.1 等值式
定义2.1 设A,B是两个命题公式,若A,B构成的等价式 AB 为重言式,则称A与B是等值的,记为A B
16组(24个)重要的等值式
双重否定律 A ⇔ ┐┐A
幂等律
A ⇔ A∨A , A ⇔ A∧A
交换律
A∨B ⇔ B∨A ，A∧B ⇔ B∧A
设mi与Mi是命题变项 p1,p2,…,pn 形成的极小项和大项 ， 则 ┐mi ⇔ Mi ，┐Mi ⇔ mi
2020年3月31日3时11分
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§2.2 析取范式与合取范式
任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式 并且是唯一的。
注意：
由公式的主析取范式求主合取范式 反之，也可以由公式的主合取范式确定主析取范式
A∧(A∨B) ⇔ A
零律
A∨1 ⇔ 1 , A∧0 ⇔ 0
2020年3月31日3时11分
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§2.1 等值式
同一律
A∨0 ⇔A ， A∧1 ⇔ A
排中律
A∨┐A ⇔ 1
矛盾律
A∧┐A ⇔ 0
蕴涵等值式
A→B ⇔ ┐A∨B
等价等值式 (A ↔ B) ⇔ (A→B)∧(B→A)
假言易位
A→B ⇔ ┐B → ┐A