2第二章 命题逻辑等值演算
合集下载
离散数学-命题逻辑等值演算名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
(分配律) (矛盾律) (同一律) (德摩根律) (结合律) (排中律) (零律)
等值演算旳例子
解：⑵ (p∨¬p)→((q∧¬q)∧r)
1→((q∧¬q)∧r)
(排中律)
1→(0∧r)
(矛盾律)
1→0
(零律)
0
(条件联结词旳定义)
由此可知，⑵为矛盾式。
⑶ (p→q)∧¬p
(¬p∨q)∧¬p
(蕴涵等值式)
范式存在定理
定理2.3
• 任一命题公式都存在着与之等值旳 析取范式
求•范任式旳一环命节题如公下式：都存在着与之等值旳合 ⑴取消范去式联结词“→”和“↔”
⑵ 利用双重否定律消去否定联结词“¬”或 利用德摩根律将否定联结词“¬”移到各命题 变元前(¬内移)。
⑶ 利用分配律，结合律将公式归约为合取 范式和析取范式。
极大项：简朴析取式中满足如上条件。
极小（大）项旳关键性质
• 定理：n个命题变元共有2n个极小项（极大项）。
p
q p∧q p∧¬q
¬p∧q
¬p∧¬q
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
• 每个极小（大）项只有一种成真（假）赋值，且 各极小项旳成真赋值互不相同。
• 极小项和它旳成真赋值构成了一一相应旳关系。
¬p
(吸收律)
由此可知，⑶是可满足式。
练习
1.用等值演算验证等值式 （1） (p∨q)→r (p→r)∧ (q→r) （2） （(p∨q)∧ ¬（p∧q））
第二章命题逻辑等值演算
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等 值演算下也有标准形--范式 （公式的规范化）
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 如：p、┐p、p∨┐q∨r等是简单析取式 p、┐p、 p∧q∧┐r 等是简单合取式 注:一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
(p→r)∧(q→r) （ ┐p∨ r)∧(┐q∨ r) (┐p ∧ ┐q ) ∨ r ┐(p ∨q ) ∨ r (p∨q)→r
一般情况下，不能用等值演算法直接验证两个公 式不等值。 例2.4 证明：(p→q)→r p→(q→r)
证： 方法一：真值表法。 方法二：观察法。 易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是p→(q→r)的 成真赋值，所以原不等值式成立。 方法三：设A=(p→q)→r, B=p→(q→r) A= (p→q)→r (┐p∨q)→r ┐(┐p∨q)∨r (p∧┐q)∨r B= p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) ┐p∨┐q∨r 容易观察到， 000，010是A 的成假赋值， 而它们是B的 成真赋值。
A∨ 0 A ， A∧ 1 A A∨┐A 1
11. 矛盾律
12. 蕴涵等值式 13. 等价等值式 14. 假言易位
A∧┐A 0
A→ B ┐ A∨ B (A B) (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A A B ┐A ┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
Hale Waihona Puke (p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨
02-命题逻辑的等值演算
第二章 命题逻辑的等值演算 6
证明：P→（Q→R） ⇔P∧Q→R
证明： P→（Q→R） ⇔P→(Q∨R)（化归） ⇔ P∨(Q∨R)（化归） ⇔(P∨Q)∨R（结合律） ⇔ (P∧Q)∨R（德.摩根律） ⇔P∧Q→R（化归）
第二章 命题逻辑的等值演算 7
例：在某次讨论会的中间休息时间，3名 与会者根据王教授的口音对他的籍贯进 行判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人； 乙说:王教授不是上海人，是苏州人； 丙说:王教授既不是上海人，也不是杭州 人； 听完三人判断，王教授说他们三人中 有一个人说的全对，一人说的对了一半， 另一人全不对,试判断王教授的籍贯。
第二章 命题逻辑的等值演算 11
进一步思考
王教授只可能是其中一个城市的人或者三个城市都 不是。 所以，丙至少说对了一半。 因此，可得甲或乙必有一人全错了。 又因为，若甲全错了，则有p∧┐q，因此乙全对。 同理，乙全错则甲全对。 所以丙必是一对一错。 根据上述推理，可对公式E进行简化，方便等值演 算。 (如何简化，请同学们课后思考)
第二章 命题逻辑的等值演算 13
总结:公式判定问题及判定方法
方法1: 真值表法; 方法2: 等值演算法. 方法3: 当命题变元的数目较多时, 可把 命题公式化成标准型(主析取范式和主 合取范式).使同一真值函数所对应的所 有命题公式具有相同的标准型
第二章 命题逻辑的等值演算 14
2.2析取范式与合取范式
(2)一个简单合取式是矛盾式,当且 仅当它同时含一个命题变元及其 否定.
第二章 命题逻辑的等值演算 16
析取范式 合取范式
(1)仅由有限个简单合取式构成的析取式称为
析取范式;
离散数学第2章 命题逻辑等值演算
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 15
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授不是上海人，也不是杭州人。 听完3人的判断，王教授笑着说，他们3人中有一人说得全对， 有一人说对了一半，有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析 王教授到底是哪里的人？ 解： 设命题 p, q, r分别表示 ： 王教授是苏州、上海、杭州人。 则p, q, r中必有一个真命题，两个假命题。要通过逻辑演算将 真命题找出来。 设： 甲的判断为： A1= ┐p∧q; 乙的判断为：A2= p∧┐q; 丙的 判断为：A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时，用上述方法判断两个公式是否 等值计算量很大。为此，人们将一组经检验为正确的等值式作 为等值式模式，通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。 常用的等值式模式如下：
1.双重否定律：A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律：A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律：A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式，置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律，置换规则）
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律，置换规则） 为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 10
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授不是上海人，也不是杭州人。 听完3人的判断，王教授笑着说，他们3人中有一人说得全对， 有一人说对了一半，有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析 王教授到底是哪里的人？ 解： 设命题 p, q, r分别表示 ： 王教授是苏州、上海、杭州人。 则p, q, r中必有一个真命题，两个假命题。要通过逻辑演算将 真命题找出来。 设： 甲的判断为： A1= ┐p∧q; 乙的判断为：A2= p∧┐q; 丙的 判断为：A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时，用上述方法判断两个公式是否 等值计算量很大。为此，人们将一组经检验为正确的等值式作 为等值式模式，通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。 常用的等值式模式如下：
1.双重否定律：A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律：A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律：A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式，置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律，置换规则）
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律，置换规则） 为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 10
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
第2章命题逻辑等值演算离散数学介绍
解答 方法一、真值表法。
方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是 p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值式成立。
方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴涵等值式）
┐(┐p∨q)∨r
（蕴涵等值式）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律）
(┐p∨q)∨q)∧p)∨q
（蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）
(1∧(┐q∨┐p))∨q
（排中律）
(┐q∨q)∨┐p
（同一律）
1∨┐p
（排中律）
1
B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r)
（蕴涵等值式）
┐p∨┐q∨r
（结合律）
000，010是A的成假赋值，而它们是B的成真赋值。
例题2.5 用等值演算判断下列公式的类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
(1) (p→q)∧p→q
离 散 数 学介绍
本章的主要内容
– 等值式与基本的等值式 – 等值演算与置换规则 – 析取范式与合取范式、主析取范式与主合取范式 – 联结词完备集(不讲) – 可满足性问题与消解法（不讲）
本章与后续各章的关系
– 是第一章的抽象与延伸 – 是后续各章的现行准备
两公式什么时候代表了同一个命题呢？ 抽象地看，它们的真假取值完全相同时即
一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1
那么同时 把∨和∧互换 把0和1互换
命题逻辑等值演算
8
应用举例——证明两个公式等值 证明两个公式等值 应用举例
例2 证明 (p ∨ q)→r ⇔ (p → r) ∧ (q → r) → 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 证 (p → r) ∧ (q → r) 蕴涵等值式） ⇔(¬p ∨ r ) ∧ (¬ q ∨ r) ¬ ¬ （蕴涵等值式） 分配律） ⇔ (¬p ∧ ¬ q ) ∨ r ¬ （分配律） 德摩根律） ⇔ ¬ (p ∨ q) ∨ r （德摩根律） ⇔ (p ∨ q)→r → （蕴涵等值式） 蕴涵等值式）
11
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 (续) 续
(2) (p→q)↔(¬q→¬ →¬p) → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ ∨¬p) （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ 交换律） ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) （交换律） ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 由最后一步可知，该式为重言式. 由最后一步可知，该式为重言式 最后一步为什么等值于1？ 问：最后一步为什么等值于 ？
18
于是,由同一律可知: E ⇔ ( ¬p ∧ q ∧ ¬r ) ∧ (p ∧ ¬ q ∧ r ) 但因为王教授不能既是上海人,又是杭州人,因 而p, r必有一个假命题,即p ∧ ¬ q ∧ r ⇔ 0,于是 于是 E ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r 为真命题. 因而必有p, r为假命题, q为真命题, 即王教授 为上海人.甲说得全对,丙说对了一半,而乙全说 错了.
17
由王教授所说,可推出 E= (B1 ∧ C2 ∧ D3) ∨ (B1 ∧ C3 ∧ D2) ∨(B2 ∧ C1 ∧ D3) ∨(B2 ∧ C3 ∧ D1) ∨(B3 ∧ C1 ∧ D2) ∨(B3 ∧ C2 ∧ D1) 为真命题.而 B1 ∧ C2 ∧ D3 ⇔ 0 B1 ∧ C3 ∧ D2 ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r B2 ∧ C1 ∧ D3 ⇔ 0 B2 ∧ C3 ∧ D1 ⇔ 0 B3 ∧ C1 ∧ D2 ⇔ p ∧ ¬ q ∧ r B3 ∧ C2 ∧ D1 ⇔ 0
第二章命题逻辑的等值和推理演算
2.1.1 等值的定义
给定两个命题公式A和B, 而P1…Pn是出现于A和B中的 所有命题变项, 那么公式A和B共有2n个解释, 若对其 中的任一解释, 公式A和B的真值都相等, 就称A和B是 等值的(或等价的)。记作A = B或AB 显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等 值的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1: 证明(P∧P)∨Q = Q
第二章 命题逻辑的等值和推理演算
推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 推理形式是由前提和结论经蕴涵词联结而成的 推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推 导出结论的过程 重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式、等 值式都是重言式
本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以语义 的观点进行的非形式的描述，不仅直观且容易理 解，也便于实际问题的逻辑描述和推理。 严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统。
2.1 等值定理
若把初等数学里的＋、－、×、÷等运算符看作是数 与数之间的联结词，那么由这些联结词所表达的代数 式之间，可建立许多等值式如下： x2－y2 = (x＋y)(x－y) (x＋y)2 = x2＋2xy＋y2 sin2x＋cos2x = 1 ……
在命题逻辑里也同样可建立一些重要的 等值式
证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出等式 是成立的。
例2: 证明P∨P = Q∨Q
证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看出它 们是等值的, 而且它们都是重言式。
说明
从例1、2还可说明, 两个公式等值并不一定要 求它们一定含有相同的命题变项
若仅在等式一端的公式里有变项P出现, 那么等式 两端的公式其真值均与P无关。 例1中公式(P∧P)∨Q与Q的真值都同P无关 例2中P∨P, Q∨Q都是重言式, 它们的真值也都 与P、Q无关。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ห้องสมุดไป่ตู้
方法3，等值演算法
(p q) r
( p ∨ q) r
(蕴涵等值式)
( p ∨ q) ∨ r
(蕴涵等值式)
(p ∧ q) ∨ r
(德摩根律)
p (q r)
p ∨(q ∨ r)
(蕴涵等值式)
p ∨q ∨ r
(结合律)
18
【例2.5】 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) (p q) ∧p q (2) (p (p ∨ q)) ∧r (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q)
( p∨q) (p∧ q ) ( p∨q)∨ (p∧ q )
❖若对多个变元进行代入, 则代入必须同时进行。 11
【定义】由已知的等值式推演出另外一些等值式的 过程为等值演算。
等值演算是布尔代数或逻辑代数的重要组成部分， 但是在等值演算过程中，要不断的用到一条重要的 规则，即置换规则。
【定理 】(置换规则) (replacement) 设Φ(A)是含公 式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A) 中 某些的A后得到的命题公式，若AB，则Φ(A) Φ(B) 。
(p ∨q) ∨ r
(分配律)
(p ∧ q )∨ r
(德摩根律)
(p∨q) r
(蕴涵等值式)
16
例 证明 A∨(A∧B) A∨B 证明 A∨(A∧B)
(A∨A)∧(A∨B) 1∧(A∨B) A∨B
例 证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
(A∧B)∨(A∧C)
证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
解： p q r p(qr) (p∧q)r (pq)r
000 1
1
0
001 1
1
1
010 1
1
0
011 1
1
1
100 1
1
1
101 1
1
1
110 0
0
0
111 1
1
1
5
区别: 1. 符号“”不是命题联结词而是公式间的关 系符号。A B不表示公式, 即不代表命题, 而表示 公式A和公式B有逻辑等值关系。
第二章 命题逻辑等值演算
1
本章内容 2.1 等值式 2.2 析取范式与合取范式 2.3 联结词的完备集 2.4 可满足性问题与消解法 本章小结
2
§2.1 等值式
【定义 2.1】设A和B是两个命题公式, 若AB为重 言式, 则称公式A和B是等值的公式, 记为AB .
❖ 显然, 当且仅当A和B真值表完全相同时, A和B是等 值的公式。 【例2.1】 证明(pq) (qP) ; p∨p p 。
证 用列真值表法证明:
p q pq qp pq qp
0 01
1
1
1
0 11
0
0
1
1 00
1
1
0
1 11
1
1
1
从真值表可知, 正命题pq和逆否命题q p的对
应项真值完全相同, 所以它们等值。
同理, 逆命题qp和否命题p q等值。
4
【例2.2】判断下列各组公式是否等值： (1) p (q r) 与 (p∧q) r (2) (p q) r 与 (p∧q) r
❖ 注意代入规则和替换规则的区别, 祥见表 2.1。
13
使用对象 代换对象 代换物
表2.1 代入规则 等值式 命题变元 命题公式
代换方式 代换同一命题 的所有出现
代换结果 等值式
置换规则 命题公式 子公式 与代换对象等值 的命题公式 代换子公式 某些出现 与原公式等值
❖ 引入代入规则和置换规则, 我们可将公式变形,
27
【定义 2.3】 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称 为析取 (disjunctive)范式。具有形式A1∨A2∨… ∨An (n≥1), 其中Ai (1≤i≤n)都是简单合取式。
23
❖ 根据标准化, 同一真值函数对应的所有命题公式具有 相同的标准形式。
❖ 这样, 根据命题的形式结构就能判断两命题公式是否 等值以及判断公式的类型。
❖ 主范式的思想和平面上的二次曲线标准方程的思想 是类似的。一般形式的二次方程难以知道方程所代 表的曲线形状, 如果将它化为标准方程, 便可知道二 次方程所代表的是圆、椭圆、双曲线或是抛物线。
类似可得 B1∧C3∧D2 p ∧q ∧ r B2∧C1∧D3 0
B2∧C3∧D1 0 B3∧C1∧D2 p ∧q ∧ r (假命题)
B3∧C2∧D1 0
E(p∧q∧r)
22
§2.2 析取范式和合取范式
❖ 命题真假的判定问题总是可解的, 我们已有两种判 定方法: 真值表技术和等值演算法。
(E6) 德摩根律 (A∨B) A∧B
(A∧B) A∨B
(E7) 吸收律 A∨(A∧B) A
A∧(A∨B) A
(E8) 零律 A∨1 1A∧0 0
(E9) 同一律 A∨0 A
A∧1 A
(E10) 排中律 A∨A 1
(E11) 矛盾律 A∧A 0
(E12) 蕴涵等值式 AB A∨B
9
(E13) 等价等值式 AB (AB)∧(BA) (E14) 假言易位 AB BA (E15) 等价否定等值式 AB A B (E16) 归谬论 (AB)∧(A B) A
【例 2.2】证明等值式 AB A∨B
AB (AB)∧(BA)
(AB)∧(A B) A
证明 分别列出它们的真值表，真值表所列值完全
等值 Equivalent 表2.1
(E1) 双重否定律 A A
(E2) 幂等律 A∨A A
A∧A A
(E3) 交换律 A∨B B∨A A∧B B∧A
(E4) 结合律 A∨(B∨C) (A∨B)∨C
A∧(B∧C) (A∧B)∧C
8
(E5) 分配律 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
相同就证明它们等值。
10
【定义】以上的等值式，由于A,B,C可以代表任意 的公式，因而以上各等式都是用元语言符号书写 的，称以上的等值式为等值式模式。
每个等值式模式都给出了无穷多同类型的具体的等 值式，这些具体的等值式称为原来的等值式模式的 代入实例。（代入规则）
例如：蕴涵等值式AB A∨B中 取 A=p，B＝q 可得等值式pq p∨q 取 A= p∨q，B= p∧ q ，则
则 甲的判断全对： B1= A1= p ∧q 甲的判断对一半：B2=( p ∧q)∨(p ∧q) 甲的判断全错： B3=p ∧ q
乙的判断全对： C1= A2= p ∧ q 乙的判断对一半：C2= (p ∧q)∨( p ∧q) 乙的判断全错： C3= p∧ q
丙的判断全对： D1= A3= q ∧ r
❖ 此外, 正是表达式的不唯一, 才使得命题演算在简化 电子线路和程序设计中成为必不可少的武器。
15
等值演算的用途：
验证等值式、判断公式的类型、解决工作和生活中 的判定问题。
【例2.3 】 证明等值式
(p∨q) r (p r)∧(q r)
证明： (p r)∧(q r)
(p ∨ r)∧( q ∨r) (蕴涵等值式)
(2)一个简单合取式为矛盾式当且仅当它同时包 含某个命题变项及其否定式。
证明 我们只证明(1), (2)的证明方法同(1), 留给读 者自证。
充分性: 命题变元p, p∨p是重言式。因此, 若有p∨p在简单析取式中出现, 则这个简单析取 式必为重言式。
26
必要性: 假设一个简单析取式为重言式, 但式中 不同时包含任一命题变元及其否定, 那么, 我们对该析取式中出现在后面的命题变元指派 值1, 而对不出现在后面的命题变元指派值0, 则整个析取式取值必为0, 这与假设矛盾。
解: (2) (p (p ∨ q)) ∧r ( p ∨ p ∨ q) ∧ r (p ∧ p ∧ q) ∧ r 0∧r 0
(1) (p q) ∧p q 1 (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q) p
19
【例2.6】在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者 根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断: 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。
❖ 命题逻辑所研究的思维规律, 很多是以等值式给出。
❖ 我们知道可以用真值表判断任何两个公式是否等值, 但是这样做很麻烦。因此人们验证了一组基本的又
是重要的等值式。
7
下面给出的等值式, 它们的正确性均可由真值表验证。 这些等值式也就是通常所说的布尔代数或逻辑代数 的主要组成部分。
以它们为基础进行公式之间的演算，判断公式之间 是否等值。
❖ 范式在线路设计方面、自动机器理论和人工智能方 面也有极其重要的作用。
24
【定义2.2 】命题变项及其否定统称为文字(literal). 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例： p、p ∧ q、 p ∧q ∧ p等都是简单合取式。 p、p∨q、p∨q∨p、 q∨q等都是简单析取式 单个的文字既是简单合取式，又是简单析取式。
(A∧B)∨(A∧C)∨((A∨A)∧(B∧C))
(A∧B)∨(A∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧C∧B)
(A∧B)∨(A∧B∧C)∨(A∧C)∨(A∧C∧B)
(A∧B)∨(A∧C)
E7(吸收律) 17
【例2.4】 证明等值式 (p q) r p (q r)
证明： 方法1，真值表法
方法2，观察法，对公式给予赋值
❖ 由所学知识可知, 含有n个命题变元的公式有2n组不 同的真值指派, 对于每个指派有真、假两种可能,即 共有22 n个不同的真值函数。
❖ 每种真值函数都可以用无穷多种命题公式表示。很 多从形式上看不尽相同的命题公式, 实质上是等值 的。为了解决上述问题, 我们引入范式的概念, 把命 题公式规范(标准)化。
方法3，等值演算法
(p q) r
( p ∨ q) r
(蕴涵等值式)
( p ∨ q) ∨ r
(蕴涵等值式)
(p ∧ q) ∨ r
(德摩根律)
p (q r)
p ∨(q ∨ r)
(蕴涵等值式)
p ∨q ∨ r
(结合律)
18
【例2.5】 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) (p q) ∧p q (2) (p (p ∨ q)) ∧r (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q)
( p∨q) (p∧ q ) ( p∨q)∨ (p∧ q )
❖若对多个变元进行代入, 则代入必须同时进行。 11
【定义】由已知的等值式推演出另外一些等值式的 过程为等值演算。
等值演算是布尔代数或逻辑代数的重要组成部分， 但是在等值演算过程中，要不断的用到一条重要的 规则，即置换规则。
【定理 】(置换规则) (replacement) 设Φ(A)是含公 式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A) 中 某些的A后得到的命题公式，若AB，则Φ(A) Φ(B) 。
(p ∨q) ∨ r
(分配律)
(p ∧ q )∨ r
(德摩根律)
(p∨q) r
(蕴涵等值式)
16
例 证明 A∨(A∧B) A∨B 证明 A∨(A∧B)
(A∨A)∧(A∨B) 1∧(A∨B) A∨B
例 证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
(A∧B)∨(A∧C)
证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
解： p q r p(qr) (p∧q)r (pq)r
000 1
1
0
001 1
1
1
010 1
1
0
011 1
1
1
100 1
1
1
101 1
1
1
110 0
0
0
111 1
1
1
5
区别: 1. 符号“”不是命题联结词而是公式间的关 系符号。A B不表示公式, 即不代表命题, 而表示 公式A和公式B有逻辑等值关系。
第二章 命题逻辑等值演算
1
本章内容 2.1 等值式 2.2 析取范式与合取范式 2.3 联结词的完备集 2.4 可满足性问题与消解法 本章小结
2
§2.1 等值式
【定义 2.1】设A和B是两个命题公式, 若AB为重 言式, 则称公式A和B是等值的公式, 记为AB .
❖ 显然, 当且仅当A和B真值表完全相同时, A和B是等 值的公式。 【例2.1】 证明(pq) (qP) ; p∨p p 。
证 用列真值表法证明:
p q pq qp pq qp
0 01
1
1
1
0 11
0
0
1
1 00
1
1
0
1 11
1
1
1
从真值表可知, 正命题pq和逆否命题q p的对
应项真值完全相同, 所以它们等值。
同理, 逆命题qp和否命题p q等值。
4
【例2.2】判断下列各组公式是否等值： (1) p (q r) 与 (p∧q) r (2) (p q) r 与 (p∧q) r
❖ 注意代入规则和替换规则的区别, 祥见表 2.1。
13
使用对象 代换对象 代换物
表2.1 代入规则 等值式 命题变元 命题公式
代换方式 代换同一命题 的所有出现
代换结果 等值式
置换规则 命题公式 子公式 与代换对象等值 的命题公式 代换子公式 某些出现 与原公式等值
❖ 引入代入规则和置换规则, 我们可将公式变形,
27
【定义 2.3】 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称 为析取 (disjunctive)范式。具有形式A1∨A2∨… ∨An (n≥1), 其中Ai (1≤i≤n)都是简单合取式。
23
❖ 根据标准化, 同一真值函数对应的所有命题公式具有 相同的标准形式。
❖ 这样, 根据命题的形式结构就能判断两命题公式是否 等值以及判断公式的类型。
❖ 主范式的思想和平面上的二次曲线标准方程的思想 是类似的。一般形式的二次方程难以知道方程所代 表的曲线形状, 如果将它化为标准方程, 便可知道二 次方程所代表的是圆、椭圆、双曲线或是抛物线。
类似可得 B1∧C3∧D2 p ∧q ∧ r B2∧C1∧D3 0
B2∧C3∧D1 0 B3∧C1∧D2 p ∧q ∧ r (假命题)
B3∧C2∧D1 0
E(p∧q∧r)
22
§2.2 析取范式和合取范式
❖ 命题真假的判定问题总是可解的, 我们已有两种判 定方法: 真值表技术和等值演算法。
(E6) 德摩根律 (A∨B) A∧B
(A∧B) A∨B
(E7) 吸收律 A∨(A∧B) A
A∧(A∨B) A
(E8) 零律 A∨1 1A∧0 0
(E9) 同一律 A∨0 A
A∧1 A
(E10) 排中律 A∨A 1
(E11) 矛盾律 A∧A 0
(E12) 蕴涵等值式 AB A∨B
9
(E13) 等价等值式 AB (AB)∧(BA) (E14) 假言易位 AB BA (E15) 等价否定等值式 AB A B (E16) 归谬论 (AB)∧(A B) A
【例 2.2】证明等值式 AB A∨B
AB (AB)∧(BA)
(AB)∧(A B) A
证明 分别列出它们的真值表，真值表所列值完全
等值 Equivalent 表2.1
(E1) 双重否定律 A A
(E2) 幂等律 A∨A A
A∧A A
(E3) 交换律 A∨B B∨A A∧B B∧A
(E4) 结合律 A∨(B∨C) (A∨B)∨C
A∧(B∧C) (A∧B)∧C
8
(E5) 分配律 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
相同就证明它们等值。
10
【定义】以上的等值式，由于A,B,C可以代表任意 的公式，因而以上各等式都是用元语言符号书写 的，称以上的等值式为等值式模式。
每个等值式模式都给出了无穷多同类型的具体的等 值式，这些具体的等值式称为原来的等值式模式的 代入实例。（代入规则）
例如：蕴涵等值式AB A∨B中 取 A=p，B＝q 可得等值式pq p∨q 取 A= p∨q，B= p∧ q ，则
则 甲的判断全对： B1= A1= p ∧q 甲的判断对一半：B2=( p ∧q)∨(p ∧q) 甲的判断全错： B3=p ∧ q
乙的判断全对： C1= A2= p ∧ q 乙的判断对一半：C2= (p ∧q)∨( p ∧q) 乙的判断全错： C3= p∧ q
丙的判断全对： D1= A3= q ∧ r
❖ 此外, 正是表达式的不唯一, 才使得命题演算在简化 电子线路和程序设计中成为必不可少的武器。
15
等值演算的用途：
验证等值式、判断公式的类型、解决工作和生活中 的判定问题。
【例2.3 】 证明等值式
(p∨q) r (p r)∧(q r)
证明： (p r)∧(q r)
(p ∨ r)∧( q ∨r) (蕴涵等值式)
(2)一个简单合取式为矛盾式当且仅当它同时包 含某个命题变项及其否定式。
证明 我们只证明(1), (2)的证明方法同(1), 留给读 者自证。
充分性: 命题变元p, p∨p是重言式。因此, 若有p∨p在简单析取式中出现, 则这个简单析取 式必为重言式。
26
必要性: 假设一个简单析取式为重言式, 但式中 不同时包含任一命题变元及其否定, 那么, 我们对该析取式中出现在后面的命题变元指派 值1, 而对不出现在后面的命题变元指派值0, 则整个析取式取值必为0, 这与假设矛盾。
解: (2) (p (p ∨ q)) ∧r ( p ∨ p ∨ q) ∧ r (p ∧ p ∧ q) ∧ r 0∧r 0
(1) (p q) ∧p q 1 (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q) p
19
【例2.6】在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者 根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断: 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。
❖ 命题逻辑所研究的思维规律, 很多是以等值式给出。
❖ 我们知道可以用真值表判断任何两个公式是否等值, 但是这样做很麻烦。因此人们验证了一组基本的又
是重要的等值式。
7
下面给出的等值式, 它们的正确性均可由真值表验证。 这些等值式也就是通常所说的布尔代数或逻辑代数 的主要组成部分。
以它们为基础进行公式之间的演算，判断公式之间 是否等值。
❖ 范式在线路设计方面、自动机器理论和人工智能方 面也有极其重要的作用。
24
【定义2.2 】命题变项及其否定统称为文字(literal). 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例： p、p ∧ q、 p ∧q ∧ p等都是简单合取式。 p、p∨q、p∨q∨p、 q∨q等都是简单析取式 单个的文字既是简单合取式，又是简单析取式。
(A∧B)∨(A∧C)∨((A∨A)∧(B∧C))
(A∧B)∨(A∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧C∧B)
(A∧B)∨(A∧B∧C)∨(A∧C)∨(A∧C∧B)
(A∧B)∨(A∧C)
E7(吸收律) 17
【例2.4】 证明等值式 (p q) r p (q r)
证明： 方法1，真值表法
方法2，观察法，对公式给予赋值
❖ 由所学知识可知, 含有n个命题变元的公式有2n组不 同的真值指派, 对于每个指派有真、假两种可能,即 共有22 n个不同的真值函数。
❖ 每种真值函数都可以用无穷多种命题公式表示。很 多从形式上看不尽相同的命题公式, 实质上是等值 的。为了解决上述问题, 我们引入范式的概念, 把命 题公式规范(标准)化。