四川省乐山市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析
四川省乐山市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共60分）注意事项1.选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.sin 210︒的值为（ ） A.12B.3 C. 12-D. 3-【答案】Csin210°=sin （180°+30°）=﹣sin30°=﹣12． 故选C ．2.已知全集U R =，则正确表示集合{-1,0,1}A =和2{x|}B x x ==关系的韦恩图是（ ）A. B.C. D.【答案】B∵集合{}2|B x x x ==∴集合{}0,1B = ∵集合{}1,0,1A =- ∴B A ⊆ 故选B3.某司机看见前方50m 处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车速度v 是关于刹车时间t 的函数，其图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小. 故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程. 4. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知tan 2θ=，则22sin sin cos cos θθθθ--=（ ） A.15B. 15-C.25 D. 25-【答案】A变形处理222222sin sin cos cos sin sin cos cos sin +cos θθθθθθθθθθ----=，分子分母同时除以2cos θ，即可得解.【详解】222222sin sin cos cos sin sin cos cos sin +cos θθθθθθθθθθ----= 22tan tan 1tan +1θθθ--= 4214+1--==15 故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象的一个对称中心是7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则ϕ的可能取值为（ ） A.712π B. 712π-C.4π D. 4π-【答案】D 根据题意解77()sin 0124f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭即可求得7,4k k Z πϕπ=+∈，结合选项即可得解.【详解】由题：函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象的一个对称中心是7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭， 必有77()sin 0124f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭， 7,4k k Z πϕπ-+=∈ 7,4k k Z πϕπ=+∈，当2k =-时，4πϕ=-.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数()f x 是定义在(,2][2,)-∞-+∞上的奇函数，且当2x ≥时，2()log (2)f x x =+，则(6)f -的值为（ ） A. 2 B. 3C. -2D. -3【答案】D根据解析式求出2(6)log (62)3f =+=，根据奇偶性可得()(6)63f f -=-=-. 【详解】()f x 是定义在(,2][2,)-∞-+∞上的奇函数， 当2x ≥时，2()log (2)f x x =+，2(6)log (62)3f =+= 则()(6)63f f -=-=- . 故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性的辨析，准确进行对数化简求值.8.在ABC ∆中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ∆一定是（ ） A. 直角三角形 B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】2sin cos sin A B C =，由正弦定理可得2cos a B c =,由余弦定理得22222a c b a c ac+-⨯=，化简得a=b ，所以三角形为等腰三角形， 故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设1()2a f =-，(2)b f =，(3)c f =，则,,a b c 的大小关系为 ( )A. c b a <<B. b a c <<C. b c a <<D. a b c <<【答案】B分析：首先根据题意知函数图像关于1x =对称，即可知15()()22a f f =-=，再结合()y f x =在(1,)+∞上单调递增，得出5(2)()(3)2f f f <<，即可得出答案.详解：因为函数图像关于1x =对称，所以15()()22a f f =-=，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，所以5(2)()(3)2f f f <<，即b a c <<，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设cos2019a ︒=，则( ) A. 32,2a ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭B. 21,22a ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭C. 12,2a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭D. 23,a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A先由诱导公式得到a ＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围. 【详解】a ＝cos2019°＝cos （360°×5+180°+39°）＝–cos39° ∵393045︒∈︒︒（，），∴233922cos ︒∈（，）可得：–39cos ︒∈（32-，22-），a ＝322019360518039?3922cos cos cos ︒︒⨯+︒+︒︒∈＝（）＝（-，-）. 故选A ．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数12λλ≠时，连续函数(0)1xy x xλ=+的图象分别对应曲线1C 和2C ，则（ ）A. 120λλ<<B. 210λλ<<C. 120λλ<<D.210λλ<<【答案】B根据函数单调递增判断0λ>，根据对于一切0x >，2111x x xxλλ>++恒成立得出21λλ<．【详解】考虑函数1x y xλ=+，由图可得：当0x >时，111x y x xλλ==>++恒成立， 即10xλ+>对于一切0x >恒成立，所以0λ>，由图可得：对于一切0x >，2111x x x x λλ>++，即211111x xλλ>++， 所以21λλ<，所以210λλ<<. 故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数22(0)()3(0)ax x a x f x ax x ⎧++≤=⎨->⎩有且只有1个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. 0a <或1a >B. 0a =或1a >C. 01a <D. 1a >或0a ≤【答案】B分类讨论当0a <时，当0a =时，当0a >时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数22(0)()3(0)ax x a x f x ax x ⎧++≤=⎨->⎩，当0a <时，①0x >，30ax -<，无零点，②0x ≤，方程220ax x a ++=要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和20a->，两根之积为1，即有两个正根，与0x ≤矛盾，所以当0a <时，函数不可能有且只有一个零点；当0a =时，2(0)()3(0)x x f x x ≤⎧=⎨->⎩，有且仅有一个零点0x =符合题意；当0a >时，0x >，30ax -=一定有且仅有一个根3x a=，所以，必有220ax x a ++=在0x ≤无解，下面进行讨论： 当2440a ∆=-<时，满足题意，即1a >，当2440a ∆=-=时，1a =，2210x x ++=有一个负根-1，不合题意，舍去， 当2440a ∆=->时，根据韦达定理220ax x a ++=的两根之和20a-<一定有负根，不合题意舍去，综上所述：0a =或1a >. 故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y 是x 的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________. 234【答案】 (1). (]0,4 (2). {}1,2,3,4 （1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域； （2）函数值的取值范围构成的集合就是值域. 【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：()(](][](]0,11,22,33,40,4=；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：{}1,2,3,4. 故答案为：①(]0,4；②{}1,2,3,4【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数()sin 0,06I A t A πωω⎛⎫=+>≠ ⎪⎝⎭的图象如图所示，则当150t =时，电流强度是_________．【答案】5安．先由函数的最大值得出A 的值，再结合图象得出周期T ，得2Tπω=，最后再将150t =代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，10A =，且该函数的最小正周期411230030050T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 则2100T πωπ==，10sin 1006I t ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，当150t =时，110sin 10010sin 210sin 550666I πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（安）， 故答案为5安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数()()sin 0y A x b A ωϕ=++>的解析式，其步骤如下：①求A 、b ：max min 2y y A -=，max min 2y y b +=； ②求ω：利用一些关键点求出最小正周期T ，再由公式2Tπω=求出ω； ③求ϕ：代入关键点求出初相ϕ，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角ABC 中，90︒∠=C ，点D,E 分别是BC 的三等分点，则tan α=_______，tan β=__________.【答案】 (1).13 (2). 311（1）根据直角三角形关系，在ADC 中即可求得；（2）在AEC 中，求出()tan αβ+，结合（1），()()tan tanβαβα=+-即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角ABC 中，90︒∠=C ，点D,E 分别是BC 的三等分点， 在ADC 中，1tan 3CD AC α==； （2）在AEC 中，()2tan 3CE AC αβ+==， ()()()()21tan tan 333tan tan 211tan tan 11133αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯.故答案为：(1)13； (2)311【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当1x ≥时，2log ,12()41,2x x f x x x <⎧=⎨--⎩，则方程1()2f x =的所有实根之和为__________. 【答案】6根据解析式求出当1x ≥时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以，(1)(1)f x f x +=-即()f x 关于直线1x =对称，当1x ≥时，2log ,12()41,2x x f x x x <⎧=⎨--⎩，当12x <，21log 2x =得12x =，当2x 时，解1412x --=得：252x =，3112x =， 根据对称性得：当1x <时，方程也有三个根123,,x x x '''，满足1122332x x x x x x '''+=+=+=， 所以所有实根之和为6. 故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17.已知角α的终边经过点(4,3)P - （1）求cos2α的值；（2）求cos sin()211cos sin 22παπαππαα⎛⎫+⋅-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）725（2）34- （1）根据角的终边上的点的坐标，求出3sin 5α=，3tan 4α=-，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解. 【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，3tan 4α=- 则2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭ （2）cos sin()211cos sin 22παπαππαα⎛⎫+⋅-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin [sin()]cos cos 2απαπαα-⋅-+=⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭sin sin sin cos αααα-⋅=-⋅tan α= 34=-【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合{}{|32},|128,{|13}x A x x B x C x m x m =-<<=<<=-<<+（1）求()R A B ；（2）若()C A B C ⋂⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(){|30}R A B x x ⋂=-<；（2）0m（1）解不等式128x <<得到{|03}B x x =<<，求出{|0R B x x =或3}x ，即可得解； （2）()C A B C ⋂⋃=，即()C AB ⊆，分类讨论当C =∅时，当C ≠∅时，求出参数范围.【详解】（1）128x <<可化为03222x <<则03x <<，即{|03}B x x =<<所以{|0R B x x =或3}x ，故(){|30}R A B x x ⋂=-<.（2）由（1）知{|33}A B x x ⋃=-<<，由()C A B C ⋂⋃=可知，()C A B ⊆，①当C =∅时，13m m -+，1m ∴-②当C ≠∅时，13331m m m --⎧⎪+⎨⎪>-⎩，解得10m -<.综上所述，0m .【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数()2()1mf x m m x =+-是幂函数，且在(0,)+∞上是减函数.（1）求实数m 的值；（2）请画出()f x 的草图.（3）若(21)(),f a f a a R ->∈成立，求a 的取值范围.【答案】（1）2m =-（2）见解析（3）111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）根据幂函数的定义得211m m +-=，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y 轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解|21|||a a -<.【详解】（1）由函数()f x 是幂函数，则211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为()f x 在(0,)+∞上是减函数，故2m =-.（2）由（1）知，2()f x x -=，则()f x 的大致图象如图所示：（3）由（2）知，()f x 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上递减，则由(21)()f a f a ->，得|21|||a a -<，即22(21)a a -<，可得(1)(31)0a a --<， 解得113a <<, 又12a ≠ a ∴的取值范围为111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x （万元）与收益y 万元）之间的关系，小王选择了甲模型2y ax bx c =++和乙模型x y pq r =+.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r 的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）1257171,2,1,,,1452-；（2）甲模型更好. （1）根据待定系数法列方程组44299316a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，234916pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，求解即可；（2）两种模型分别求出当4x =时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型2y ax bx c =++，由题意得：44299316a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若选择乙模型x y pq r =+，由题意得：234916pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：1251475172p q r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以实数a,b,c,p,q,r 的值为1257171,2,1,,,1452-； （2）由（1）可得：甲模型为221y x x =++，乙模型为：1257171452xy ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 若选择甲模型，当4x =时，25y =，若选择乙模型，当4x =时，412571725.81452y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数2()sin ()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点(1,2)（1）求ϕ的值；（2）计算(1)(2)(100)f f f ++⋯+的值；【答案】（1）4πϕ=（2）100（1）根据最大值为2求出2A =，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得24,24ππωω==，结合过点(1,2)，求得4πϕ=；（2）根据函数周期为4，只需求出(1)(2)(3)(4)21014f f f f +++=+++=，即可求解(1)(2)(100)f f f ++⋯+的值.【详解】（1）由题可知，1cos(22)()cos(22)222x A A f x A x ωϕωϕ-+=⋅=-++因为()y f x =的最大值为2， 则有222A A A +==， 又因为()f x 图象相邻对称轴的距离为2， 所以22T =，即24,24ππωω== 所以()cos 212f x x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 又()y f x =的图象过点(1,2)， 则2cos 212πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 即cos 212πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭ 则有22,2k k z πϕππ+=+∈， 又因为02πϕ<<，则4πϕ=.（2）由（1）知()cos 1sin 1222f x x x πππ⎛⎫=-++=+⎪⎝⎭ 其周期为4T =，所以(1)(2)(3)(4)21014f f f f +++=+++=，故(1)(2)(100)25[(1)(2)(3)(4)]254100f f f f f f f ++⋯+=+++=⨯=.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知()21,f x log a a R x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∈. （1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若关于x 的方程()()220f x log x +=的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值； （3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(0,1)（2）0a =或14a =-，（3）23a ≥ （1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据a 分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数()f x 单调性，确定()f x 最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当1a =时，()22111f x log a log x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⎭+ ()211112101111log x x x x f x ⎛⎫>++>∴>∴∴ ⎪⎝>⎭<∴< 不等式解集为(0,1)（2）()()()22222100f x log x log a log x x ⎛+=∴+⎫ ⎝⎭+⎪= 222111,0,010a x a x ax x x x ⎛⎫ ⎪⎝+=+>∴+-⎭>= ①当0a =时，210ax x +-=仅有一解1x =，满足题意；②当0a ≠时，则0∆≥， 若10140,4a a ∆=⇒+==-时，解为2x =，满足题意；若10140,4a a ∆>⇒+>>-时，解为0x =≠此时11=0a x x =+=> 即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，0a =或14a =-， （3）因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差为()(1)t f f t -+，因此2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 因为0a >，所以2(1)1y at a t =++-在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以21131(1)1(1)1=4242y at a t a a a =++-≥⨯++⨯-- 因此3120423a a -≥∴≥ 【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.。
2019-2020学年四川省乐山市高一上学期期末数学试题就答案解析版
2019-2020学年四川省乐山市高一上学期期末数学试题就答案解析版一、单选题1．sin 210︒的值为（ ） A ．12 B ．32C ．12-D ．3-【答案】C【解析】sin210°=sin （180°+30°）=﹣sin30°=﹣12． 故选C ．2．已知全集U R =，则正确表示集合{-1,0,1}A =和2{x|}B x x ==关系的韦恩图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵集合{}2|B x x x==∴集合{}0,1B = ∵集合{}1,0,1A =- ∴B A ⊆故选B3．某司机看见前方50m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2. 5．已知tan 2θ=，则22sin sin cos cos θθθθ--=（ ）A ．15B ．15-C ．25D ．25-【答案】A 【解析】变形处理222222sin sin cos cos sin sin cos cos sin +cos θθθθθθθθθθ----=，分子分母同时除以2cos θ，即可得解. 【详解】222222sin sin cos cos sin sin cos cos sin +cos θθθθθθθθθθ----=22tan tan 1tan +1θθθ--=4214+1--==15 故选：A 【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6．已知函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象的一个对称中心是7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭，则ϕ的可能取值为（ ）A ．712πB ．712π-C ．4πD ．4π-【答案】D【解析】根据题意解77()sin 0124f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭即可求得7,4k k Z πϕπ=+∈，结合选项即可得解. 【详解】由题：函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象的一个对称中心是7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭， 必有77()sin 0124f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭， 7,4k k Z πϕπ-+=∈ 7,4k k Z πϕπ=+∈，当2k =-时，4πϕ=-.故选：D 【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7．已知函数()f x 是定义在(,2][2,)-∞-+∞上的奇函数，且当2x ≥时，2()log (2)f x x =+，则(6)f -的值为（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-3【答案】D【解析】根据解析式求出2(6)log (62)3f =+=，根据奇偶性可得()(6)63f f -=-=-.【详解】()f x 是定义在(,2][2,)-∞-+∞上的奇函数，当2x ≥时，2()log (2)f x x =+，2(6)log (62)3f =+=则()(6)63f f -=-=- . 故选：D 【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性的辨析，准确进行对数化简求值.8．在ABC ∆中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形【答案】D【解析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案. 【详解】2sin cos sin A B C =，由正弦定理可得2cos a B c =,由余弦定理得22222a c b a c ac +-⨯=，化简得a=b ，所以三角形为等腰三角形， 故选D 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题. 9．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设1()2a f =-，(2)b f =，(3)c f =，则,,a b c 的大小关系为 ( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于1x =对称，即可知15()()22a f f =-=，再结合()y f x =在(1,)+∞上单调递增，得出5(2)()(3)2f f f <<，即可得出答案. 详解：因为函数图像关于1x =对称，所以15()()22a f f =-=，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，所以5(2)()(3)2f f f <<，即b ac <<，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性. 10．设cos2019a ︒=，则( )A ．22a ⎛∈-- ⎝⎭B ．1,22a ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,22a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭D ．22a ⎛∈ ⎝⎭【答案】A【解析】先由诱导公式得到a ＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围. 【详解】a ＝cos2019°＝cos （360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵393045︒∈︒︒（，），∴3922cos ︒∈，可得：–39cos ︒∈（-2-），a ＝322019360518039?3922cos cos cos ︒︒⨯+︒+︒︒∈＝（）＝（-，-）.故选A ． 【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础. 11．如图，当参数12λλ≠时，连续函数(0)1xy x xλ=+的图象分别对应曲线1C 和2C ，则（ ）A ．120λλ<<B ．210λλ<<C ．120λλ<<D ．210λλ<<【答案】B【解析】根据函数单调递增判断0λ>，根据对于一切0x >，2111x xxx λλ>++恒成立得出21λλ<．【详解】考虑函数1x y x λ=+，由图可得：当0x >时，1011x y x xλλ==>++恒成立， 即10xλ+>对于一切0x >恒成立，所以0λ>， 由图可得：对于一切0x >，2111xxx x λλ>++，即211111xxλλ>++，所以21λλ<，所以210λλ<<. 故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质． 12．已知函数22(0)()3(0)ax x a x f x ax x ⎧++≤=⎨->⎩有且只有1个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a <或1a > B ．0a =或1a > C ．01a <D ．1a >或0a ≤ 【答案】B【解析】分类讨论当0a <时，当0a =时，当0a >时，分别讨论函数零点个数，即可得解. 【详解】 函数22(0)()3(0)ax x a x f x ax x ⎧++≤=⎨->⎩， 当0a <时，①0x >，30ax -<，无零点，②0x ≤，方程220ax x a ++=要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和20a->，两根之积为1，即有两个正根，与0x ≤矛盾，所以当0a <时，函数不可能有且只有一个零点；当0a =时，2(0)()3(0)x x f x x ≤⎧=⎨->⎩，有且仅有一个零点0x =符合题意； 当0a >时，0x >，30ax -=一定有且仅有一个根3x a =， 所以，必有220ax x a ++=在0x ≤无解，下面进行讨论： 当2440a ∆=-<时，满足题意，即1a >，当2440a ∆=-=时，1a =，2210x x ++=有一个负根-1，不合题意，舍去，当2440a ∆=->时，根据韦达定理220ax x a ++=的两根之和20a-<一定有负根，不合题意舍去，综上所述：0a=或1a>.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.二、填空题13．下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.234【答案】(]1,2,3,40,4{}【解析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：()(](][](]=；0,11,22,33,40,4（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：{}1,2,3,4. 故答案为：①(]1,2,3,40,4；②{}【点睛】此题考查求函数的定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式. 14．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数()sin 0,06I A t A πωω⎛⎫=+>≠ ⎪⎝⎭的图象如图所示，则当150t =时，电流强度是_________．【答案】5安．【解析】先由函数的最大值得出A 的值，再结合图象得出周期T ，得2Tπω=，最后再将150t =代入解析式可得出答案． 【详解】由图象可知，10A =，且该函数的最小正周期411230030050T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 则2100T πωπ==，10sin 1006I t ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，当150t =时，110sin 10010sin 210sin 550666I πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（安）， 故答案为5安． 【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数()()sin 0y A x b A ωϕ=++>的解析式，其步骤如下： ①求A 、b ：max min2y yA -=，max min2y y b +=；②求ω：利用一些关键点求出最小正周期T ，再由公式2Tπω=求出ω；③求ϕ：代入关键点求出初相ϕ，如果代对称中心点要注意附近的单调性． 15．如图，在等腰直角ABC 中，90︒∠=C ，点D,E 分别是BC 的三等分点，则tan α=_______，tan β=__________.【答案】13311【解析】（1）根据直角三角形关系，在ADC 中即可求得；（2）在AEC 中，求出()tan αβ+，结合（1），()()tan tan βαβα=+-即可求解. 【详解】（1）由题：在等腰直角ABC 中，90︒∠=C ，点D,E 分别是BC 的三等分点， 在ADC 中，1tan 3CD AC α==； （2）在AEC 中，()2tan 3CE AC αβ+==， ()()()()21tan tan 333tan tan 211tan tan 11133αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯.故答案为：(1)13； (2)311 【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解. 16．已知()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当1x ≥时，2log ,12()41,2x x f x x x <⎧=⎨--⎩，则方程1()2f x =的所有实根之和为__________. 【答案】6【解析】根据解析式求出当1x ≥时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和. 【详解】()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以，(1)(1)f x f x +=-即()f x 关于直线1x =对称，当1x ≥时，2log ,12()41,2x x f x x x <⎧=⎨--⎩，当12x <，21log 2x =得1x =，当2x 时，解1412x --=得：252x =，3112x =， 根据对称性得：当1x <时，方程也有三个根123,,x x x '''，满足1122332x x x x x x '''+=+=+=，所以所有实根之和为6. 故答案为：6 【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题17．已知角α的终边经过点(4,3)P - （1）求cos2α的值；（2）求cos sin()211cos sin 22παπαππαα⎛⎫+⋅-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）725（2）34-【解析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出3sin 5α=，3tan 4α=-，结合二倍角公式即可得解； （2）根据诱导公式化简即可得解. 【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，3tan 4α=-则2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭（2）cos sin()211cos sin 22παπαππαα⎛⎫+⋅-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin [sin()]cos cos 2απαπαα-⋅-+=⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭sin sin sin cos αααα-⋅=-⋅tan α= 34=-【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算. 18．已知集合{}{|32},|128,{|13}x A x x B x C x m x m =-<<=<<=-<<+（1）求()RA B ；（2）若()C A B C ⋂⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(){|30}RA B x x ⋂=-<；（2）0m【解析】（1）解不等式128x <<得到{|03}B x x =<<，求出{|0RB x x =或3}x ，即可得解；（2）()C A B C ⋂⋃=，即()C AB ⊆，分类讨论当C =∅时，当C ≠∅时，求出参数范围.【详解】（1）128x <<可化为03222x << 则03x <<，即{|03}B x x =<< 所以{|0RB x x =或3}x ，故(){|30}RA B x x ⋂=-<.（2）由（1）知{|33}A B x x ⋃=-<<， 由()C A B C ⋂⋃=可知，()C A B ⊆，①当C =∅时，13mm -+，1m ∴-②当C ≠∅时，13331m m m --⎧⎪+⎨⎪>-⎩，解得10m -<.综上所述，0m . 【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19．已知函数()2()1mf x m m x =+-是幂函数，且在(0,)+∞上是减函数.（1）求实数m 的值； （2）请画出()f x 的草图. （3）若(21)(),f a f a a R ->∈成立，求a 的取值范围.【答案】（1）2m =-（2）见解析（3）111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）根据幂函数的定义得211m m +-=，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y 轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解|21|||a a -<. 【详解】（1）由函数()f x 是幂函数， 则211m m +-=， 解得2m =-或1m =，又因为()f x 在(0,)+∞上是减函数， 故2m =-.（2）由（1）知，2()f x x -=， 则()f x 的大致图象如图所示：（3）由（2）知，()f x 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上递减， 则由(21)()f a f a ->，得|21|||a a -<，即22(21)a a -<，可得(1)(31)0a a --<，解得113a <<,又12a ≠a ∴的取值范围为111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20．小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x （万元）与收益y 万元）之间的关系，小王选择了甲模型2y ax bx c =++和乙模型x y pq r =+.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？ 【答案】（1）1257171,2,1,,,1452-；（2）甲模型更好.【解析】（1）根据待定系数法列方程组44299316a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，234916pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，求解即可； （2）两种模型分别求出当4x =时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型. 【详解】（1）若选择甲模型2y ax bx c =++，由题意得：44299316a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 若选择乙模型x y pq r =+，由题意得：234916pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：1251475172p q r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以实数a,b,c,p,q,r 的值为1257171,2,1,,,1452-；（2）由（1）可得：甲模型为221y x x =++，乙模型为：1257171452xy ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 若选择甲模型，当4x =时，25y =，若选择乙模型，当4x =时，412571725.81452y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好. 【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析. 21．已知函数2()sin ()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点(1,2) （1）求ϕ的值；（2）计算(1)(2)(100)f f f ++⋯+的值； 【答案】（1）4πϕ=（2）100【解析】（1）根据最大值为2求出2A =，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得24,24ππωω==，结合过点(1,2)，求得4πϕ=；（2）根据函数周期为4，只需求出(1)(2)(3)(4)21014f f f f +++=+++=，即可求解(1)(2)(100)f f f ++⋯+的值.【详解】 （1）由题可知，1cos(22)()cos(22)222x A Af x A x ωϕωϕ-+=⋅=-++因为()y f x =的最大值为2，则有222A AA +==，又因为()f x 图象相邻对称轴的距离为2，所以22T =，即24,24ππωω==所以()cos 212f x x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，又()y f x =的图象过点(1,2)，则2cos 212πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 即cos 212πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则有22,2k k z πϕππ+=+∈， 又因为02πϕ<<，则4πϕ=. （2）由（1）知()cos 1sin 1222f x x x πππ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭其周期为4T =，所以(1)(2)(3)(4)21014f f f f +++=+++=， 故(1)(2)(100)25[(1)(2)(3)(4)]254100f f f f f f f ++⋯+=+++=⨯=. 【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质. 22．已知()21,f x log a a R x ⎛⎫⎪⎝⎭=+∈.（1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若关于x 的方程()()220f x log x +=的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【答案】（1）(0,1)（2）0a =或14a =-，（3）23a ≥【解析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据a 分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数()f x 单调性，确定()f x 最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果. 【详解】（1）当1a =时，()22111f x log a log x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⎭+ ()211112101111log x x x x f x ⎛⎫>++>∴>∴∴ ⎪⎝>⎭<∴<不等式解集为(0,1) （2）()()()22222100f x log x log a log x x ⎛+=∴+⎫⎝⎭+⎪=222111,0,010a x a x ax x x x ⎛⎫ ⎪⎝+=+>∴+-⎭>= ①当0a =时，210ax x +-=仅有一解1x =，满足题意； ②当0a ≠时，则0∆≥， 若10140,4a a ∆=⇒+==-时，解为2x =，满足题意；若10140,4a a ∆>⇒+>>-时，解为102x a-±=≠此时11=0a x x =+=> 即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意； 综上，0a =或14a =-， （3）因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差为()(1)t f f t -+，因此第 21 页 共 21 页 2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 因为0a >，所以2(1)1y at a t =++-在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以21131(1)1(1)1=4242y at a t a a a =++-≥⨯++⨯-- 因此3120423a a -≥∴≥ 【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.。
2019-2020学年四川省乐山市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年四川省乐山市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知数列则是它的第( )项．A. 19B. 20C. 21D. 222.已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|y =√x −1}，则( )A. A ∩B =⌀B. A ⊆BC. B ⊆AD. A =B3.设是非零实数，若，则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.4.在△ABC 中，已知面积S = (a 2+b 2−c 2)，则角C 的度数为( )A. 135°B. 45°C. 60°D. 120°5.两平行直线x +y +3=0与ax +2y +2=0之间的距离是( )A. 12B. 1C. √2D. 26.给出集合序列{1}，{2,3}，{4,5，6}，{7,8，9，10}，…，设S n 是第n 个集合中元素之和，则S 21为( )A. 1113B. 4641C. 5082D. 53367.已知等比数列{a n }的首项a 1=e ，公比q =e ，则数列{lna n }的前10项和S 10=( )A. 45B. 55C. 110D. 2108.实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +2y −3≥02x +y −6≤0，若3x −2y ≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [9,+∞)B. [−13,+∞)C. [−53,+∞)D. [−13,9]9.如图，在△ABC 中，AB =2，∠ABC =30°，AD 是边BC 上的高，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( )A. √32B. 2C. 1D. √2210. 如图，a ∈(0,π)，且a ≠π2，当∠xOy =e 时，定义平面坐标系xOy为a 仿射坐标系，在α−仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 分别为与x 轴、y 轴正向相同的单位向量，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ，则记为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，若在仿射坐标系中，已知a ⃗ =(m,n)，b ⃗ =(s,t)，下列结论中不正确的是( )A. 若a ⃗ =b ⃗ ，则m =s ，n =tB. 若a ⃗ //b ⃗ ，则mt −ns =0C. 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则ms +nt =0D. 若m =t =1，n =s =2，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角π3，则a =2π311. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2)，则log 2f(4)的值为( )A. 2B. −3C. −2D. 312. 已知向量m⃗⃗⃗ =(1,1)，n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1，则向量n ⃗ =( ) A. (−1,0) B. (0,−1) C. (−1,0)或(0,−1)D. (−1,−1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知两点A(−1,2)、B(3,6)，则直线AB 的倾斜角为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n(2n +1)，则a 5= ______ ．15. 已知点P 1(1,3)，P 2(4,−6)，P 是直线P 1P 2上的一点，且P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么点P 的坐标为______ ． 16. 设向量a ⃗ =(x,1)，b ⃗ =(3,4)，a ⃗ //b ⃗ ，则实数x =______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知平面上点A(4,1)，B(3,6)，D(2,0)，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)若点M(−1,4)，用基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．18. 证明：如果两条直线斜率的乘积等于−1，那么它们互相垂直．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，且A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，b =√3，求a +c 的值；(2)若A<C，求2sin2A+sin2C的取值范围．20.(本小题满分10分)已知等差数列{}，公差，前n项和为，，且满足成等比数列．(1)求{}的通项公式；(2)设，求数列的前项和的值．21.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，CB⊥C1B，BC=1，CC1=2，A1B1=√2，(1)试在棱CC1(不包含端点C，C1)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；(2)在(Ⅰ)的条件下，求AE和BC1所成角．22.设正项等比数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且____．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=−log13a n+1，求数列{anb n}的前n项和T n．在①S n=3n+1；②S n=3n−12；③S3=13.这三个条件中，请选择一个满足题意的正确的条件将上面的题目补充完整，并解答本题．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：观察式子，其中根式里面的数字为以6为公差的等差数列.而，所以答案为C．考点：等差数列2.答案：B解析：本题考查了集合的表示法和子集与真子集，属于基础题．利用集合的表示法，结合一元二次不等式的解法得A=(1,3)，再利用集合的表示法得B=[1,+∞)，最后利用子集的定义得结论．解：集合A={x|x2−4x+3<0}={x|(x−3)(x−1)<0}=(1,3)，B=[1,+∞)，显然A⊆B．故选B．3.答案：C解析：本题主要考查一元二次不等式的应用及不等关系与不等式，属于基础题．由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故也可利用特例进行讨论得出正确选项．解：A选项不正确，因为a=−2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为，只知道a<b，ab的符号是不能确定的，故不等式就不成立；C选项正确，因为，故当a<b时一定有；D选项不正确，因为a=−1，b=2时，不等式就不成立；故选C．4.答案：B解析：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角．根据△ABC的面积为，求得c2=a2+b2−2ab⋅sinC，再由余弦定理得tanC=1，由此求得C的值．解：∵△ABC的面积为，∴c2=a2+b2−2ab⋅sinC．又根据余弦定理得c2=a2+b2−2ab⋅cosC，∴−2absinC=−2abcosC，即sinC=cosC，∴tanC=1，∴C=45°，故选B．5.答案：C解析：解：∵两平行直线x+y+3=0与ax+2y+2=0，∴a=2，∴ax+2y+2=0化为：x+y+1=0，∴两平行直线x+y+3=0与ax+2y+2=0之间的距离：=√2．d=22故选：C．利用平行线的性质求出a=2，ax+2y+2=0化为：x+y+1=0，由此能求出两平行直线x+y+ 3=0与ax+2y+2=0之间的距离．本题考查两平行线间的距离的求法，考查两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：第n个集合中有n个数，S21 前边共有1+2+3+4+⋯+20=210项,S21中共有21个数，这21个数成等差数列，最小的一个是211，×1=4641；∴S21=211+222+223+⋯共21项的和，S21=21×211+21×202故选B．第一个集合中有一个数，第二个集合中有2个数，第三个集合中有3个数，…第n个集合中有n个数，S21中共有21个数，这21个数成等差数列，最小的一个是211，利用等差数列求和公式计算S21的值．本题考查数列求和的方法，注意集合中元素的特征及元素个数的规律．7.答案：B解析：解：根据题意可得，a n=a1q n−1=e⋅e n−1=e n，所以lna n=lne n=n，=55，所以数列{lna n}的前10项和S10=1+2+3+⋯+10=10(1+10)2故选：B．先写出等比数列{a n}的通项公式a n=e n，则lna n=n，数列{lna n}为首项为1，公差为1的等差数列，由等差数列的前n项和公式即可得出答案．本题考查等比数列通项公式，等差数列的前n项和公式，属于基础题．8.答案：A解析：解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A(3,0)时，3x−2y有最大值9，故m≥9，故选：A．由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x−2y的最大值，从而求恒成立问题．本题考查了线性规划问题的变形应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想方法应用．9.答案：C解析：解：AD ⊥BC ，AB =2，∠ABC =30° 可得AD =1Rt △CAD 中，AC =ADcos∠DAC =1cos∠DAC则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DAC =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 故选：C ．由AD ⊥BC ，AB =2，∠ABC =30°可求AD ，在Rt △CAD 中，AD =ACcos∠DAC ，由向量的数量积的定义可得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DAC ，代入可求 本题主要考察了向量的数量积的定义a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ的应用，解答本题的关键是在直角三角形中，利用三角函数的定义表示出AD ．10.答案：C解析：解：根据斜坐标的定义，a ⃗ =(m,n),b ⃗ =(s,t)； ∴a ⃗ =m e 1⃗⃗⃗ +n e 2⃗⃗⃗ ,b ⃗ =s e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ ；A .若a ⃗ =b ⃗ ，根据平面向量基本定理得：m =s ，n =t ，∴该结论正确；B .若a ⃗ //b ⃗ ，则存在实数k ，使b ⃗ =k a ⃗ ，k a ⃗ =mk e 1⃗⃗⃗ +nk e 2⃗⃗⃗ ； ∴{s =mkt =nk；∴sm =tn； ∴mt −ns =0； ∴该结论正确；C .若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则：a ⃗ ⋅b ⃗ =(m e 1⃗⃗⃗ +n e 2⃗⃗⃗ )⋅(s e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ )=ms +(mt +ns)e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +nt =0； e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≠0； ∴ms +nt ≠0； ∴该结论错误；D .若m =t =1，n =s =2，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ,b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，a⃗ ,b ⃗ 的夹角为π3，则：cos π3=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |； a ⃗ ⋅b ⃗ =2+5e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +2=4+5cosa ，|a ⃗ |=√a ⃗ 2=√5+4cosa ，|b ⃗ |=√b ⃗ 2=√5+4cosa ；∴12=4+5cosa5+4cosa ； 解得cosα=−12； ∴a =2π3；∴该结论正确． 故选：C ．根据在仿射坐标系中斜坐标的定义，便可得到a ⃗ =m e 1⃗⃗⃗ +n e 2⃗⃗⃗ ,b ⃗ =s e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ ，然后由平面向量基本定理及共线向量基本定理，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式即可判断每项结论的正误．考查对仿射坐标系的理解，及对定义的斜坐标的理解，以及平面向量基本定理、共面向量基本定理，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式．11.答案：D解析：推导出f(2)=2a =2√2，从而f(x)=x 32，进而f(4)=432=8，由此能求出log 2f(4)的值． 本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 解：∵幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2)， ∴f(2)=2a =2√2，a =32 解得f(x)=x 32， ∴f(4)=432=8， ∴log 2f(4)=log 28=3． 故选D ．12.答案：C解析：解：设n⃗ =(x,y)， ∵向量m ⃗⃗⃗ =(1,1)，n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1， ∴cos3π4=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2×√x 2+y 2，x +y =−1．化为{x +y =−1x 2+y 2=1，解得{x =−1y =0或{x =0y =−1． ∴n ⃗ =(−1,0)或(0,−1)． 故选：C ．设n ⃗ =(x,y)，由于向量m ⃗⃗⃗ =(1,1)，n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1，可得cos 3π4=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√x 2+y 2，x +y =−1.联立解出即可．本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：45°解析：【试题解析】 解：∵A(−1,2)、B(3,6)， ∴k AB =6−23−(−1)=1，由斜率等于倾斜角的正切值可得，直线AB 的倾斜角为45°． 故答案为：45°．由两点求斜率公式求得AB 的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线AB 的倾斜角． 本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．14.答案：19解析：解：∵数列{a n }的前n 项和为S n =n(2n +1)，∴a 5=S 5−S 4=5⋅11−4⋅9=19， 故答案为：19．根据a 5=S 5−S 4，计算求得结果．本题主要考查数列的前n 项和与第n 项之间的关系，属于基础题．15.答案：(3,−3)解析：解：设点P(x,y)， 且P 1(1,3)，P 2(4,−6)， P1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −3)， PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x,−6−y)， 又P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{x −1=2(4−x)y −3=2(−6−y)， 解得{x =3y =−3，∴点P 的坐标为(3,−3)． 故答案为：(3,−3)．设出点P ，表示出向量P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量相等列出方程组，即可求出点P 的坐标． 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．16.答案：34解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ； ∴4x −3=0；∴x =34． 故答案为：34．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出4x −3=0，解出x 即可． 考查向量坐标的定义，以及平行向量的坐标关系．17.答案：解：(1)设C(x,y)，由点A(4,1)，B(3,6)，D(2,0)，可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −3,y −6)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)， 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x −3=−2y −6=−1， 解得{x =1y =5，所以点C(1,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)， 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−3)2+42=5； (2)由点M(−1,4)，可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,3)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,5)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)， 设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ∈R ， 即{−5=−λ−2μ3=5λ−μ，解得{λ=1μ=2，用基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 解析：本题考查了平面向量的坐标运算和线性表示，也考查了运算求解能力，是基础题．(1)设出点C 坐标，利用平面向量的坐标表示和向量相等列方程求出点C 的坐标，再计算AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模长； (2)把AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示即可． 18.答案：解：设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1⋅k 2=−1，下面求证l 1⊥l 2，∵k 1⋅k 2=−1，∴k 1 与k 2 异号，不妨设k 1>0，k 2<0，如图所示：设直线l 1的倾斜角为α1，则0°<α1<90°，k 1=tanα1 设直线l 2的倾斜角为α2，则90°<α2<180°，k 2=tanα2， ∵k 1⋅k 2=−1，∴tanα1⋅tanα2=−1， ∴tanα1⋅[−tan(180°−α2)]=−1，∴tanα1⋅tan(180°−α2)=1，∴tanα1=1tan(180∘−α2)， ∴α1+180°−α2=90°，∴α2−α1=90°，∴l 1⊥l 2．解析：本题主要考查了两直线垂直的位置关系，是中档题．不妨设k 1>0，k 2<0，设直线l 1的倾斜角为α1，则0°<α1<90°，k 1=tanα1，设直线l 2的倾斜角为α2，则90°<α2<180°，k 2=tanα2，由k 1⋅k 2=−1 得tanα1⋅tanα2=−1，利用三角函数公式化简得到tanα1=1tan(180∘−α2)，所以α2−α1=90°，从而证得l 1⊥l 2． 19.答案：解：(1)∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B =A +C ，又A +B +C =π，∴B =π3，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23得，c ⋅acos 2π3=−32，∴ac =3，① 又由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accos π3，∴3=a 2+c 2−ac ，∴a 2+c 2=6②由①、②得，a +c =2√3．(2)∴B =60°，∴A =120°−C ，又0°<A <C ，可得60°<C <120°，即120°<2C <240°，∴−√32<sin2C <√32，， 即2sin 2A +sin 2C 的取值范围是(34,94).解析：(1)先由等差数列的知识求出角B 的值，再由两向量的数量积运算求出a 与c 的乘积，最后根据余弦定理a +c 的值．(2)先根据二倍角公式对2sin 2A +sin 2C 进行降幂，再将A 的关系转化为C 的关系，最后根据C 的范围求出最后答案．本题主要考查余弦定理和二倍角公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考要重视．20.答案：(1)；(2)．解析：试题分析：(1)等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;(2)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；(3)观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．试题解析：(1)由，得成等比数列解得：或3分数列的通项公式为.5分(2). 10分考点：1、等差数列的通项公式；2、裂项求数列的和．21.答案：解：(1)由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，从而B1E⊥平面ABE且BE⊂平面ABE，故BE⊥B1E．不妨设CE=x，则C1E=2−x，∵∠BCC1=60°，∴BE2=1+x2−x，∵∠BCC1=60°，∴∠B1C1C=120°，∴B1E2=x2−5x+7．在Rt△BEB1中有1+x2−x+x2−5x+7=4，从而x=1或x=2(当x=2时E与C1重合不满足题意)．故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1．(2)取BC 中点D ，则DE//BC 1，连接AD ，所以∠AED 或其补角为异面直线AE 和BC 1所成角所成的角．∵AE =√3,DE =√32,AD =32， ∴cos∠AED =(√32)2+(√3)2−(32)22×√32×3=12， ∴∠AED =60°．解析：(1)由EA ⊥EB 1，AB ⊥EB 1，AB ∩AE =A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，从而B 1E ⊥平面ABE 且BE ⊂平面ABE ，故BE ⊥B 1E .利用余弦定理及其勾股定理即可得出．(2)取BC 中点D ，则DE//BC 1，连接AD ，所以∠AED 或其补角为异面直线AE 和BC 1所成角所成的角． 利用余弦定理即可得出．本题考查了空间位置关系、空间角、余弦定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)若选①，∵S 2=32+1=1+a 2，∴a 2=9又∵S 3=28=1+9+a 3∴a 3=18，a 22≠a 1⋅a 3，所以不满足{a n }是等比数列(或a 1≠1)．若选②，因为S 2=32−12=1+a 2=4，所以a 2=3，q =a2a 1=3， a n =3n−1．若选③，因为a 1=1，S 3=13，所以S 3=1+q +q 2=13，q 2+q −12=(q +4)(q −3)=0，解得q =3或q =−4，因为a n >0，所以q =3，则：a n =3n−1．(Ⅱ)b n =−log 13a n+1=log 33n=n ． 令c n =a n b n =n ⋅3n−1，前n 项和为T n ，T n =1×30+2×31+⋯+n ×3n−1①，3T n =1×31+2×32+⋯+n +3n ②，①−②得：−2T n =30+31+⋯+3n−1−n ×3n =1−3n 1−3−n ×3n ， 所以T n =(2n−1)⋅3n 4+14． 解析：(Ⅰ)直接利用选项的条件和递推关系式的应用求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和；本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．。
高一上学期数学人教B版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高一上学期数学人教B 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，若，则实数a 取值集合的真子集的个数为( )A.2B.3C.7D.82.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在上单调递增，若关于x 的不等式，则不等式的解集为( )A. B.C. D.3.已知函数，若恒成立，则的最大值为( )A.4.若函数，在上单调递增，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.5.已知函数的定义域为R ，对任意的，且，都有成立.若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.6.“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分281{50}A x x x =-+={10}B x ax =-=B A ⊆()f x [)0,+∞()f x ][),22,-∞-+∞ ()232f x x >()(),22,-∞-+∞ ()2,2-()(),44,-∞-+∞ ()4,4-()()212e 1b x f x a x -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()0f x ≤ab ()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩(1,)-+∞[]3,9-[)3,-+∞[]0,9(],9-∞()f x 1x 2x 12x x ≠()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()()22326f x x a f x a a -+>--x ∈R ()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,10别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是( )A.该组数据的中位数为7B.该组数据的平均数为7.5C.该组数据的第60百分位数为7.5D.该组数据的极差为57.口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”则下列说法正确的是( )A.A 与B 互斥B.C 与D 互为对立C.D.A 与D 相互独立8.已知，若A.-2B.-1C.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若非空实数集M 满足任意，都有， ，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是( )A.是优集B.是优集C.若是优集，则或D.若是优集，则是优集10.已知函数是定义域为R 的偶函数，满足，当时，，则( )A.的最小值是的周期为4C. D.11.已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，.则( )A.任意交换，，的顺序，不影响X 的取值A =B =C =D =B C⊆0a ≠20212021()20a b a a b ++++=,x y M ∈x y M +∈x y M -∈A B A B A B A B ⊆B A⊆A B A B ()f x (2)(2)f x f x +=-02x ≤≤2()f x x x =-()f x ()f x (2025)2f =20271()1014i f i ==∑1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =1x 2x 3xB.满足及的排列有20个C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2，0.25，，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.13.已知函数，若恒成立，则实数k 的取值范围为__________.14.已知不等式对于恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.（1）求实数a 的值：（2）探究的单调性，并证明你的结论；（3）解关于x 的不等式.17.（15分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计解题思路，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.123x x x <<456x x x <<X =X >4:3:3(01)p p <<p ()()221f x x x kx x =-+-∈R ()0f x ≥4220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞()f x ()()42322x xf f +-⨯>(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差..记两组，则总体样本方差）18.（17分）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化某条河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为，2023年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型（，）与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，）.19.（17分）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；lg30.48≈[)60,70[)60,80[)70,80122()()222221122m ns s x w s x wm n m n⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++236m248m2m xy ka=0k>1a> 2(0)y mx n m=+>220m2810mlg20.30≈否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.答案以及解析1.答案：C解析：由，得，解得或，所以.当时，，满足；当时，，因为，解得，所以实数a 取值集合的真子集的个数为，故选C.2.答案：B解析：令为偶函数，且在上递增，，结合题设知，在上，在上，令上递增，，若上，则有，在上，则有，综上，结合题设的性质，不等式的解集为.故选：B 3.答案：C解析：由，解得，令，解得，则，，不符合题意；当，则，，不符合题意；所以，则当时等号成立，4.答案：A解析：当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，28150x x -+=(3)(5)0x x --=3x =5x ={3,5}A =0a =B =∅B A ⊆0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B ⊆=5=a ==110,,35⎫⎬⎭3217-=()3||g x x =()0,+∞(2)6g =(2)6f =(,2)(2,)-∞-+∞ ()()g x f x >()2,2-()()g x f x <3()2h x =)0,+∞(2)(2)(2)6h g f ===23()()3||3||2y h x g x x x x =-=-=(,2)(2,)-∞-+∞ 0y >()()()h x g x f x >>()2,2-0y <()()()h x g x f x <<()f x ()232f x x >()2,2-120a x --=12x a =-2e10bx --=x =2a ->,122b x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x -->2e 10b x -->12a -<12,2b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x --<2e10bx --<12a -=24a =-()21124444ab a a a ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭a =1=13x -<≤2log (1)y x =+(,2]-∞()f x (1,)-+∞在，即；综上，.故选：A5.答案：C解析：不妨设，又，所以，即，所以在R上单调递增，所以对任意恒成立，即，即对任意恒成立，所以，解得或，故选：C.6.答案：B解析：首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8，9，9，该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确；，因此B说法不正确；，因此C说法正确；又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确；故选：B.7.答案：D解析：令2个红球和2个白球分别为从中随机不放回地依次摸出2个球有：，共12种，事件A对应事件为，有6种，事件B对应事件为，有6种，23aa+≥⇒≥-)+∞ay xx=+309a<≤39a-≤≤12x x<()()()1212f x f x x x-->⎡⎤⎣⎦()()12f x f x-<()()12f x f x<()f x()()22326f x x a f x a a-+>--x∈R 22326x x a x a a-+>--224270x x a a-++>x∈R()()2244270a a∆=--+<4a<-a>()1,4,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭7.5=945-=1,2,1,2R R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(1,2),R R R W R W R R R W R W W R W R W W(2,1),(2,2),(2,1)W R W R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)R R R W R W R R R W R W(1,2),(2,1),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R R R R W R W R W R W R事件C对应事件为，有2种，事件D对应事件为，有8种，综上，A与B不互斥，C与D互斥但不对立，，且事件对应事件为，有4种故故A、B、C错，D对故选：D8.答案：A，则，所以由，得，即，亦即.当且，即时，等式显然成立.当时，则有，所以.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则.这与矛盾，所以不成立.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则，这与矛盾，所以不成立.综上可知，.故选A.9.答案：ACD解析：对于A中，任取，，因为集合A，B是优集，则，，则，，，则，所以A正确；对于B中，取，，则或，令，，则，所以B不正确；对于C中，任取，，可得，因为是优集，则，，若，则，此时；若，则(1,2),(2,1)R R R R(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),R W R W R W R W W R W R(2,1),(2,2)W R W RC B⊆1(),2P A P=AD(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R W R W R W R W()P AD=()()()P A P D P AD=k=b ak=20212021()20a b a a b++++=20212021()20a ak a a ak++++=20212021[(1)1](2)0a k a k++++=20202021(1)1(2)0a k k⎡⎤++++=⎣⎦2021(1)10k++=20k+=2k=-2021(1)10k++≠2020a=0≠202020212(1)1kak+=->++20k+<2021(1)10k++>20212021(1)(1)k+>-2021y x=20212021(1)(1)k+>-11k+>-20k+>20k+<2021(1)10k++> 20k+>2021(1)10k++<20212021(1)(1)k+<-2021y x=20212021(1)(1)k+<-11k+<-20k+<20k+>2021(1)10k++<2k=-x A B∈ y A B∈ x y A+∈x y B+∈x y A B+∈ x y A-∈x y B-∈x y A B-∈{|2,}A x x k k==∈Z{|3,}B x x m m==∈Z{|2A B x x k==3,}x k k=∈Z 3x=2y=5x y A B+=∉x A∈y B∈,x y A B∈ A Bx y A B+∈x y A B-∈ x y B+∈()x x y y B=+-∈A B⊆x y A+∈，此时，所以C 正确；对于D 中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D 正确.故选：ACD.10.答案：ABD解析：由于，所以的图象关于直线对称，由于是定义在R 上的偶函数，所以的图象关于y 轴对称，所以是周期为4的周期函数，故B 正确.当时，的图象开口向上，对称轴为直线，，，，的周期性、图象的对称性可知，的最小值是，故C 错误.因为，，，，所以，所以，故D 正确.故选ABD.11.答案：ABD解析：对于A ，注意到当，，被确定后，，，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的，，的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即.注意到任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及.注意到，整体交换，，和，，也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，，将满足以上条件的排列列举如下：()y x y x A =+-∈B A ⊆A B A B ⊆A B A = B A ⊆A B B = A B (2)(2)f x f x +=-()f x 2x =()f x ()f x ()f x 02x ≤≤2()f x x x =-12x =(0)0f =(2)2f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭max ()(2)2f x f ==min 1()2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x ()f x 2(2025)(50641(1)110)f f f =⨯+==-=(1)0f =(2)2f =(3)(1)(1)0f f f =-==(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=202712024()2(1)(2)(3)101202010144i f i f f f ==⨯+++=+++=∑1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 36C 20=1x 2x 3x 4x 5x 6x 123x x x <<456x x x <<1x 2x 3x 4x 5x 6x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =12.答案：解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故p 的取值范围是.13.答案：解析：由题意得，当时，由恒成立，得，解得；当时，由上单调递增，所以，解得；当时，由恒成立，得，即，所以.综上，实数k 的取值范围是.故答案为：14.答案：解析：不等式对于恒成立，即不等式对于恒成立，令，则，所以不等式对于恒成立，所以恒成立，令，函数在上单调递减，所以，即[0.2,0.26]4330.20.250.1550.30.233433433433p p ⨯+⨯+⨯=+≤++++++0.26p ≤0.2p ≥[]0.2,0.26[]1,1-()221,111,11x kx x x f x kx x ⎧--≥≤-=⎨-+-<<⎩或1x ≥()2210x f x kx --≥=2k x ≤-2y =11x x-≥1k ≤1x ≤-()2210x f x kx --≥=],1-∞-121x x -≤-1k ≥-11x -<<()0f x ≥()()1010f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩1010k k +≥⎧⎨-+≥⎩11k -≤≤[]1,1-[]1,1-()1,-+∞4220xxa ⋅-+>(],0x ∈-∞()22220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞2x t =(]0,1t ∈220at t -+>(]0,1t ∈22212t a t t -⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭(]0,1∈m =[)1,∈+∞221224y m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭[)1,+∞()2max21m m-+=-，所以，即实数a 的取值范围是.故答案：为2max 1121t t ⎡⎤⎛⎫-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1a >-()1,-+∞()1,-+∞16.答案：（1）（2）增函数，证明见解析（3）解析：（1）因为函数的图像关于点中心对称，所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，即函数的图像关于点中心对称，因此函数是奇函数，于是有，即因为，所以符合题意；（2）因为设，是任意两个实数，且，因为，所以，因此，所以函数（3）因为函数的图像关于点中心对称，所以，即，所以由，因为函数所以，或，解得，或，因此原不等式的解集为.2a =()(),01,-∞+∞ ()f x a =-x ∈R ()0,1()0,0()2121x g x a =--+()0,0()2121x g x a =--+()2010211g a a =--=⇒=+()1g x =()()222221*********x x x x g x g x -⨯+-+=-+-=-=+++()1g x =a =1x 2x 12x x <()()121222222121x x f x f x -=--+=++12x x <1222x x <()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<()2f x =(f x ()0,1()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-()()()()()4232242232232x x x x x f f f f f ⎡⎤+-⨯>⇒>--⨯=--⨯⎣⎦()2f x =()()()42322122022x x x x x --⨯⇒-->⇒>>21x <1x >0x <()(),01,-∞+∞17.答案：(1)平均数为71，众数为75；(2)88；(3)平均数为76，方差为12.解析：（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均数.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.（2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组，设为x ，则，解得.“防溺水达人”的成绩至少为88分.（3）)的频率为0.15，)的频率为0.30，的频率与的频率之依题意有，，解得，所以内的平均成绩为76，方差为12.18.答案：（1）；（2）至少到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到解析：（1）若选择模型（，），则解得.若选择模型，则解得，450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.100.150.150.300.700.90+++=<0.700.250.950.90+=>90%()0.70800.0250.90x +-⨯=88x =[60,70[70,80=)70,80[)60,8012736733=⨯+76=()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦2212s =[)70,8081443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭21213255y x =+2810m x y ka =0k >1a >2336,48,ka ka ⎧=⎨=⎩a ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭2(0)y mx n m =+>436,948,m n m n +=⎧⎨+=⎩1205m =>n =故函数模型为（2）把代入，可得，把代入，因为26.4与20相差比较大，故选择模型更合适.，可得，两边取对数可得，即，所以，至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到.解析：(1)甲同学所有可能的选择答案有11种：，，，，，，，，，，，其中正确选项只有一个，样本空间，共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为(2)由题意得乙得0分的概率为乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件B ：乙得10分，丙得5分，则事件C ：乙得7分，丙得2分，则AB AC AD 2125y x =+0x =81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭8120.254y ==0x =2125y x =+13226.45y ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭48103x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4403x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4lg lg 403x ≥lg 402lg 2120.3113.3342lg 2lg 320.30.48lg 3x +⨯+≥=≈≈-⨯-14x ≥2810m BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD {},,,,,,,,,,AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD Ω=P =11124--=1162--=()111111226336P B ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()1111111124422323P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭事件D ：乙得5分，丙得0分，则所以乙比丙总分刚好多得5分的概率()111111244233P D ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()111361236P P B C D =++=++=。
2019-2020学年四川省乐山市高一(下)期末数学试卷
2019-2020学年四川省乐山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线l:√3x +y −3=0的倾斜角为（ ） A.30∘ B.60∘C.120∘D.90∘2. 已知数列√3，√5，√7，√11，…，√2n +1，…，则5是这个数列的（ ） A.第12项 B.第13项C.第14项D.第25项3. 如图，在正方形ABCD 中，下列命题中正确的是（ ）A.AB →=BC →B.AB →=CD →C.AC →=√2AB →D.|AC →|＝|BD →|4. 若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A.1a <1b B.a 2>b 2C.a|c|>b|c|D.a c +1>bc +15. 已知AB →=(−5, 4)，AC →=(3, −2)，BC 边的中点为D ，则AD 的长为（ ） A.√22 B.1 C.2 D.√26. 已知等差数列{a n }中，a 1＝−2，公差d =32，则a 2与a 6的等差中项为（ ）A.52 B.72C.112D.67. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，∠A ＝45∘，S △ABC ＝2，则a ＝（ ） A.5B.25C.√41D.5√28. 已知不等式(x +y)(1x+ay )≥4对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.69. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n −2，a 1＝2，则a 2020＝（ ） A.22019 B.22020 C.22021 D.22021−210. 已知向量a →、b →为单位向量，|2a →−3b →|=√19，则向量a →，b →的夹角为（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π611. 如图，在矩形ABCD 中，AB =√2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →⋅AF →=√2，则AE →⋅BF →的值是（ ）A.2−√2B.1C.√2D.212. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A.289B.1024C.1225D.1378二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．不等式x+32x−1<0的解集为________．如图，已知平行四边形ABCD ，O 为平面内任意一点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则用a →，b →，c →表示OD →为________．在等差数列{a n }中，a 1＝2020，其前n 项的和为S n ，若S1212−S 1010=−2，则S 2020的值为________．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．已知两条直线l 1:mx +4y −2＝0和l 2:x +my +1＝0． （1）当l 1 // l 2时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求l 1、l 2间的距离．已知向量OA →=(1, 2)，OB →=(m, −2)，OC →=(−3, 1)，O 为坐标原点． （1）若AB →⊥AC →，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为多少？在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A =(2b +c)sin B +(2c +b)sin C ． (1)求A 的大小；(2)若sin B +sin C =1，试判断△ABC 的形状．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b ＝c ，∠A 的平分线为AD ，若AB →⋅AD →=mAB →⋅AC →． （1）当m ＝2时，求cos A（2）当a b∈(1, 2√33)时，求实数m 的取值范围．已知点(1, 13)是函数f(x)＝a x (a >0, a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)−c ，数列{b n }(b n >0)首项为c ，且前n 项和S n 满足：S n −S n−1=√S n +√S n−1(n ≥2)． （1）求数列{a n }和{b n}的通项公式；（2）若数列{1b n ⋅b n+1}的前n 项和为T n ．求满足T n >10002019的最小正整数n 的值；（3）若c n =−2b n a n ，求数列{c n }的前n 项和P n ．参考答案与试题解析2019-2020学年四川省乐山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 C【考点】 直线的倾斜角 【解析】将直线方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，再由斜率公式，即可得到所求倾斜角． 【解答】解：直线l:√3x +y −3=0， 可得y =3−√3x ，即有直线的斜率为k =−√3， 设倾斜角为α，即有tan α=−√3，由α为钝角，可得α=120∘. 故选C . 【点评】本题考查直线的倾斜角，注意运用直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题． 2.【答案】 A【考点】数列的函数特性 【解析】由√2n +1=5，解得n ．即可得出． 【解答】由√2n +1=5，解得n ＝12． ∴ 5是这个数列的第12项， 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】 D【考点】平行向量（共线） 【解析】根据两向量的模长相等，方向相同，即可判断是相等向量． 【解答】正方形ABCD 中，向量AB →、BC →方向不同，不是相等向量，A 错误；向量AB →、CD →大小相等，方向相反，不是相等向量，B 错误； 向量AC →与√2AB →的方向不同，不是相等向量，C 错误； |AC →|＝|BD →|=√2|AB →|，模长相等，D 正确．【点评】本题考查了判断两向量是否相等的应用问题，是基础题． 4. 【答案】 D【考点】 不等式的概念 【解析】本题中a ，b ，c ∈R ，a >b ，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项． 【解答】A 选项不对，当a >0>b 时不等式不成立，故排除；B 选项不对，当a ＝0，b ＝−1时不等式不成立，故排除；C 选项不对，当c ＝0时，不等式不成立，故排除；D 选项正确，由于1c 2+1>0，又a >b 故ac 2+1>bc 2+1【点评】本题考查不等式与不等式关系，考查不等式的性质，根据不等式的性质作出正确判断得出正确选项，本题易因考虑不全面选错答案，如武断认为a >b 得出1a <1b 致使出错． 5.【答案】 D【考点】 中点坐标公式向量的概念与向量的模 【解析】先根据条件求出AD →的坐标，进而求出结论． 【解答】∵ AB →=(−5, 4)，AC →=(3, −2)，BC 边的中点为D ； 如图；则AD →=12(AB →+AC →)＝(−1, 1)；∴ AD 的长为：√(−1)2+12=√2； 【点评】本题考查了向量的应用以及模长的求解，属于基础题目． 6. 【答案】 A【考点】等差数列的通项公式 【解析】根据等差中项的定义即可得出a 2，a 6的等差中项为a 4，然后根据等差数列的通项公式即可得出a 4的值． 【解答】∵ a 1=−2,d =32，a 2与a 6的等差中项为a 4=−2+(4−1)×32=52．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差中项的定义，考查了计算能力，属于基础题． 7. 【答案】 A【考点】 正弦定理 【解析】由已知利用三角形面积公式可求b 的值，利用余弦定理即可解得a 的值． 【解答】在△ABC 中，∵ c ＝1，∠A ＝45∘，S △ABC =12bc sin A =12×b ×1×√22=2，∴ 解得：b ＝4√2， ∴ a =√b 2+c 2−2bc cos A =√32+1−2×4√2×1×√22=5．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 8. 【答案】 A【考点】基本不等式及其应用 【解析】先将不等式恒成立转化为左边函数的最小值大于等于4恒成立；将不等式的左边展开，利用基本不等式求出最小值，令最小值大于等于4，解不等式求出a 的范围，求出a 的最小值． 【解答】∵ (x +y)(1x +ay )≥4对任意正实数x ，y 恒成立，∵ (x +y)(1x +a y )＝1+a +ax y+yx ≥1+a +2√a ，∴ 1+a +2√a ≥4， 解得a ≥1， 【点评】本题考查解决不等式恒成立问题常转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值． 9. 【答案】 B【考点】 数列递推式 【解析】利用已知条件推出{a n }是等比数列，然后求解通项公式，推出结果． 【解答】数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n −2， 所以数列S n−1＝2a n−1−2，n ≥2，n ∈N +， 可得a n ＝2a n −2−(2a n−1−2)，即a n a n−1=2，所以数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2，a n ＝a 1q n−1＝2⋅2n−1＝2n ， 所以a 2020＝22020． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力． 10.【答案】 C【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据条件，对|2a →−3b →|=√19两边平方即可得出a →⋅b →=−12，从而可求出cos <a →,b →>=−12，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 【解答】∵ a →,b →为单位向量，且|2a →−3b →|=√19；∴ |2a →−3b →|2=4a →2−12a →⋅b →+9b →2=4−12a →⋅b →+9=19；∴ a →⋅b →=−12； ∴ cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →||b →|=−12；又0≤<a →,b →>≤π；∴ 向量a →,b →的夹角为2π3．【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围． 11.【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，可分别以边AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A ，B ，E 的坐标，并设F(x, 2)，根据AB →⋅AF →=√2即可求出x 值，从而得出F 点的坐标，从而求出AE →⋅BF →的值． 【解答】据题意，分别以AB 、AD 所在直线为x ，y 轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则： A(0, 0)，B(√2, 0)，E(√2, 1)，设F(x, 2)； ∴ AB →⋅AF →=(√2,0)⋅(x,2)=√2x =√2； ∴ x ＝1；∴ F(1, 2)，AE →=(√2,1),BF →=(1−√2,2)； ∴ AE →⋅BF →=√2−2+2=√2．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算． 12. 【答案】 C【考点】 数列的应用 归纳推理【解析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果． 【解答】由图形可得三角形数构成的数列通项a n =n2(n +1)， 同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2， 则由b n ＝n 2(n ∈N +)可排除D ，又由a n =n 2(n +1)，n 2(n +1)=289与n2(n +1)=1024无正整数解，【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题． 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分． 【答案】 (−3, 12)【考点】其他不等式的解法 【解析】由题意把分式不等式转化为与之等价的一元二次不等式，从而求得它的解集． 【解答】 不等式x+32x−1<0，即 (x +3)(2x −1)<0，求得−3<x <12，【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题． 【答案】a →+c →−b →【考点】平面向量的基本定理 【解析】由题意可得，AB →=DC →，然后结合向量的减法运算即可求解． 【解答】由题意可得，AB →=DC →， ∴ OB →−OA →=OC →−OD →， 即b →−a →=c →−OD →， ∴ OD →=a →+c →−b →．【点评】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，属于基础试题． 【答案】 2020 【考点】等差数列的性质 【解析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解． 【解答】由等差数列的性质可知，{Sn n}为等差数列，设公差为d ，∵ a 1＝2020，∴ S11=2020， ∵ S1212−S 1010=2d ＝−2，∴ d ＝−1，∴ S20202020=2020+2019×(−1)＝1，则S2020＝2020【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题．【答案】10【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知可得c=4b +9a，然后根据基本不等式即可求解．【解答】因为a，b，c均为正数，且abc＝4a+9b，所以c=4a+9bab =4b+9a，则a+b+c＝a+b+9a +4b≥2√a⋅9a+2√b⋅4b=10，当且仅当a=9a ，b=4b即a＝3，b＝2时取等号，【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．【答案】根据题意，直线l1:mx+4y−2＝0和l2:x+my+1＝0．若l1 // l2，必有m2−4＝0，解可得m＝±2，当m＝2时，直线l1:x+2y−1＝0，直线l2:x+2y+1＝0，两直线平行，符合题意，当m＝−2时，直线l1:x−2y+1＝0，直线l2:x−2y+1＝0，两直线重合，不符合题意，故m＝2；由（1）的结论，直线l1:x+2y−1＝0，直线l2:x+2y+1＝0，直线l1、l2间的距离d=√1+4=2√55．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系两条平行直线间的距离【解析】（1）根据题意，分析可得m2−4＝0，解可得m＝±2，分别验证m＝2和m＝−2时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．【解答】根据题意，直线l1:mx+4y−2＝0和l2:x+my+1＝0．若l1 // l2，必有m2−4＝0，解可得m＝±2，当m＝2时，直线l1:x+2y−1＝0，直线l2:x+2y+1＝0，两直线平行，符合题意，当m＝−2时，直线l1:x−2y+1＝0，直线l2:x−2y+1＝0，两直线重合，不符合题意，故m＝2；由（1）的结论，直线l1:x+2y−1＝0，直线l2:x+2y+1＝0，直线l1、l2间的距离d=√1+4=2√55．【点评】本题考查直线平行的判断以及平行线间的距离计算，关键是求出m的值，属于基础题．【答案】∵向量OA→=(1, 2)，OB→=(m, −2)，OC→=(−3, 1)，O为坐标原点，若AB→⊥AC→，则若AB→⋅AC→=(m−1, −4)⋅(−4, −1)＝4−4m+4＝0，求得m＝2．当m＝2时，AB→=(1, −4)，AC→=(−4, −1)，AB→⊥AC→，△ABC的面积为12|AB→|⋅|AC→|=12⋅√17⋅√17=172．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求得m的值．（2）先求出AB→、AC→的坐标，再根据△ABC的面积为12|AB→|⋅|AC→|，计算求得结果．【解答】∵向量OA→=(1, 2)，OB→=(m, −2)，OC→=(−3, 1)，O为坐标原点，若AB→⊥AC→，则若AB→⋅AC→=(m−1, −4)⋅(−4, −1)＝4−4m+4＝0，求得m＝2．当m＝2时，AB→=(1, −4)，AC→=(−4, −1)，AB→⊥AC→，△ABC的面积为12|AB→|⋅|AC→|=12⋅√17⋅√17=172．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求三角形的面积，属于基础题．【答案】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则{3x+2y≤12x+2y≤8x≥0,y≥0，目标函数为z＝3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z＝3x+4y得y=−34x+z4，平移直线y=−34x+z4，由图象可知当直线y=−34x+z4，经过点B 时，直线y =−34x +z4的截距最大，此时z 最大，解方程组{3x +2y =12x +2y =8 ，解得：{x =2y =3，即B 的坐标为x ＝2，y ＝3，∴ z max ＝3x +4y ＝6+12＝18．则每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．【考点】 简单线性规划 【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值． 【解答】设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 元， 则 {3x +2y ≤12x +2y ≤8x ≥0,y ≥0，目标函数为 z ＝3x +4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． 由z ＝3x +4y 得y =−34x +z4，平移直线y =−34x +z4，由图象可知当直线y =−34x +z4，经过点B 时，直线y =−34x +z4的截距最大， 此时z 最大，解方程组{3x +2y =12x +2y =8 ，解得：{x =2y =3，即B 的坐标为x ＝2，y ＝3，∴ z max ＝3x +4y ＝6+12＝18．则每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．【点评】此题考查了线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解本题的关键． 【答案】解：(1)由已知，根据正弦定理得 2a 2=(2b +c)b +(2c +b)c ， 即a 2=b 2+c 2+bc ，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=−12.∵ A ∈(0, π)， ∴ A =120∘.(2)由(1)得sin 2A =sin 2B +sin 2C +sin B sin C ， 变形得34=(sin B +sin C)2−sin B sin C . 又sin B +sin C =1，得sin B sin C =14，上述两式联立得sin B =sin C =12. 因为0∘<B <60∘，0∘<C <60∘， 所以B =C =30∘，所以△ABC 是等腰的钝角三角形． 【考点】 解三角形 正弦定理【解析】(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a ，b 和c 关系式，代入余弦定理中求得cos A 的值，进而求得A ．(Ⅱ)把(Ⅰ)中a ，b 和c 关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sin B +sin C ＝1联立求得sin B 和sin C 的值，进而根据C ，B 的范围推断出B ＝C ，可知△ABC 是等腰的钝角三角形． 【解答】解：(1)由已知，根据正弦定理得 2a 2=(2b +c)b +(2c +b)c ，即a 2=b 2+c 2+bc ， 由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=−12.∵ A ∈(0, π)， ∴ A =120∘.(2)由(1)得sin 2A =sin 2B +sin 2C +sin B sin C ， 变形得34=(sin B +sin C)2−sin B sin C . 又sin B +sin C =1，得sin B sin C =14， 上述两式联立得sin B =sin C =12.因为0∘<B <60∘，0∘<C <60∘， 所以B =C =30∘，所以△ABC 是等腰的钝角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的． 【答案】由题意得，AD →=12(AB →+AC →)； 故12AB →⋅(AB →+AC →)＝2AB →⋅AC →；故AB →2＝3AB →⋅AC →； 故cos A =AB →⋅AC →|AB →||AC →|=13；AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|cos A =2b 2−a 22；故m =AB →⋅AD →AB →⋅AC→=12AB →2AB →⋅AC→+12=b 22b 2−a 2+12 =12−(a b)2+12；∵ ab∈(1,2√33)，∴ (a b)2∈(1, 43)；故1<12−(a b)2<32； 在32<12−(a b)+12<2．【考点】平面向量的综合题【解析】（1）由题意得，AD →=12(AB →+AC →)；从而可得12AB →⋅(AB →+AC →)＝2AB →⋅AC →；从而可得cos A =AB →⋅AC →|AB →||AC →|=13；(2)AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|cos A =2b 2−a 22，从而可得m =AB →⋅AD →AB →⋅AC→=12AB →2AB →⋅AC→+12=12−(a b)2+12；从而求取值范围．【解答】由题意得，AD →=12(AB →+AC →)； 故12AB →⋅(AB →+AC →)＝2AB →⋅AC →；故AB →2＝3AB →⋅AC →； 故cos A =AB →⋅AC →|AB →||AC →|=13；AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|cos A =2b 2−a 22；故m =AB →⋅AD →AB →⋅AC→=12AB →2AB →⋅AC→+12=b 22b 2−a 2+12 =12−(a b)2+12；∵ ab ∈(1,2√33)，∴ (a b )2∈(1, 43)；故1<12−(ab)<32；在32<12−(a b)2+12<2．【点评】本题考查了平面向量的应用即解三角形的应用，属于中档题． 【答案】点(1, 13)是函数f(x)＝a x (a >0, a ≠1)的图象上一点，解得a =13， 即f(x)＝(13)x ，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)−c ， 所以当n ≥2时，a n ＝[f(n)−c]−[f(n −1)−c]=−23n ， 由于公比q =a nan−1=13，由于a 2=−29=(13−c)×13，解得c ＝1．数列{b n}(b n>0)首项为1，且前n项和S n满足：S n−S n−1=√S n+√S n−1(n≥2)．所以√S n−√S n−1=1，所以{√S n}是以1为首项、1为公差的等差数列．√S n=1+n−1=n，整理得S n=n2．所以，b n＝S n−S n−1＝2n−1，n≥2，上式对n＝1也成立，故b n＝2n−1，n∈N∗；1b n⋅b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，故T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)，由于12(1−12n+1)>10002019，解得n>901011．故n的最小值为91．由（1）得c n=−2b na n=(2n−1)⋅3n，所以P n=1⋅3+3⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n①3P n=1⋅32+3⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n+1②，①-②得：−2P n=3+2(32+33+⋯+3n)−(2n−1)⋅3n+1，−2P n=3+2[9(3n−1−1)3−1]−(2n−1)⋅3n+1=(2−2n)⋅3n+1−6．故P n=3+(n−1)⋅3n+1．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）直接利用函数的关系式求出数列的常数c的值，进一步利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步求出n的最小值．（3）利用乘公比错位相减法的应用求出数列和．【解答】点(1, 13)是函数f(x)＝a x(a>0, a≠1)的图象上一点，解得a=13，即f(x)＝(13)x，等比数列{a n}的前n项和为f(n)−c，所以当n≥2时，a n＝[f(n)−c]−[f(n−1)−c]=−23n，由于公比q=a na n−1=13，由于a2=−29=(13−c)×13，解得c＝1．数列{b n}(b n>0)首项为1，且前n项和S n满足：S n−S n−1=√S n+√S n−1(n≥2)．所以√S n−√S n−1=1，所以{√S n}是以1为首项、1为公差的等差数列．√S n=1+n−1=n，整理得S n=n2．所以，b n＝S n−S n−1＝2n−1，n≥2，上式对n＝1也成立，故b n＝2n−1，n∈N∗；1b n⋅b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，故T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)，由于12(1−12n+1)>10002019，解得n>901011．故n的最小值为91．由（1）得c n=−2b na n=(2n−1)⋅3n，所以P n=1⋅3+3⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n①3P n=1⋅32+3⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n+1②，①-②得：−2P n=3+2(32+33+⋯+3n)−(2n−1)⋅3n+1，−2P n=3+2[9(3n−1−1)3−1]−(2n−1)⋅3n+1=(2−2n)⋅3n+1−6．故P n=3+(n−1)⋅3n+1．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，裂项相消法和乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
四川省乐山市2019届高一上学期期末数学试卷Word版含解析
四川省乐山市2019届高一上学期期末数学试卷Word版含解析2018-2019学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选最温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}2．cos585°的值为（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）=，则=（）A．2 B．3 C．4 D．84．函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，2） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|a＜x＜a+1}，且B?A，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣2或a＞﹣1 B．﹣2＜a＜﹣1 C．a≤﹣2或a≥﹣1 D．﹣2≤a≤﹣16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则=（）A． B ． C ． D ．7．下列函数中为奇函数的是（）A ．y=xcosx B ．y=xsinx C ．y=|1nx | D ．y=2﹣x8．已知α满足sinα=，那么值为（）A ．B ．C ．D ．9．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为（）A ．2300元 B ．2800元 C ．2400元 D ．2000元10．已知a ＞b ，函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）的图象如图所示，则函数g （x ）=log a （x +b ）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．11．若f （x ）=2cos （ωx +φ）+k ，对任意实数t 都有成立，且，则实数k 的值等于（）A ．﹣3或1B ．1C ．﹣1或3D ．﹣312．设f （x ）=，若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为（） A ．[﹣2，3] B ．[﹣2，0]C ．[1，3]D ．[0，3]二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=．14．已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点，则tanα=．15．若f（x）=+a是奇函数，则a=．16．对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2）．给出如下三个命题：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若全集U=R，求?U A；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．18．已知sinθ﹣2|cosθ|=0，且θ为第二象限的角．（1）求tanθ的值；（2）求sin2θ﹣sinθ?cosθ﹣2cos2θ+1的值．19．设定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（1+m），求实数m的取值范围．20．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．已知函数f（x）=sinx?cosx﹣x．（1）f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）+=0在x∈[0，π]上有解，求实数m的取值范围．22．已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2018-2019学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】由绝对值不等式的解法求出B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由题意知，B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵集合A={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．cos585°的值为（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：cos585°=cos=cos=﹣cos45°=﹣．故选：D．3．已知函数f（x）=，则=（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】函数的值．【分析】先求出f（）==4，从而=f（4），由此能求出结果．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2019-2020学年四川省乐山市大为中学高一数学理上学期期末试题含解析
2019-2020学年四川省乐山市大为中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域是（）A.B. C. D.参考答案：C2. 若指数函数在上是减函数，那么（）A． B. C. D.参考答案：B3. 已知集,,则（）A． B．C．P D．Q参考答案：D4. 下列四类函数中，有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f （y）”的是（）A．幂函数 B．对数函数 C．余弦函数 D．指数函数参考答案：D5. 已知函数，则（）A.4B.C.-4D．-参考答案：B略6. （5分）在同一坐标系中，函数y=2﹣x与y=log2x的图象是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：计算题．分析：由函数y=2﹣x=是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，能得到正确答案．解答：∵函数y=2﹣x=是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，观察四个选项，只有A符合条件，故选A．点评：本题考查指数函数和对数函数的性质，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．7. 等比数列{a n}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于（）A． B．()9 C． D．()10参考答案：A8. 已知向量，.若，则x的值为（）A．－2 B．C．D．2参考答案：D向量，，因为，可得，解得，故选D.9. 如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集为( )A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）为奇函数，可得不等式即，即 x和f（x）异号，故有，或；再结合函数f（x）的单调性示意图可得x的范围．【解答】解：由函数f（x）为奇函数，可得不等式即，即 x和f（x）异号，故有，或．再由f（2）=0，可得f（﹣2）=0，由函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，结合函数f（x）的单调性示意图可得，﹣2＜x＜0，或 0＜x＜2，故选 D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．10. 已知，则的大小关系是（）A. B． C. D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.参考答案：解：由已知圆可化为：。
四川省乐山市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷(I)卷
四川省乐山市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2016高一下·平罗期末) 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A . ①是棱台B . ②是圆台C . ③是棱锥D . ④不是棱柱2. （1分） (2018高一上·深圳月考) 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A .B .C .D .3. （1分）(2018·绵阳模拟) 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，该四棱锥的俯视图如图2所示，则的长是（）A .B .C .D .4. （1分）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（）A .B . 2a2C .D .5. （1分） (2019高一上·集宁月考) 下列说法正确的是（）A . 三点确定一个平面B . 四边形一定是平面图形C . 梯形一定是平面图形D . 平面和平面有不同在一条直线上的三个交点6. （1分） (2017高二下·杭州期末) 若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A . 若l∥α，m∥α，则l∥mB . 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC . 若l∥α，m⊂α，则l∥mD . 若l⊥α，l∥m，则m⊥α7. （1分） (2019高一上·武威期末) 若某直线过(3,2),(4,2+ )两点,则此直线的倾斜角为（）.A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°8. （1分） (2016高二上·镇雄期中) 过点P（4，﹣1）且与直线3x﹣4y+6=0垂直的直线方程是（）A . 4x+3y﹣13=0B . 4x﹣3y﹣19=0C . 3x﹣4y﹣16=0D . 3x+4y﹣8=09. （1分） (2016高一上·松原期中) 正方体的内切球和外接球的表面积之比为（）A . 3：1B . 3：4C . 4：3D . 1：310. （1分） (2016高一上·西安期末) 点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A .B . 2C .D . 211. （1分）(2017·吉安模拟) 直线l：ax+ y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D．给出下列命题：p：∀a＞0，S△AOB= ，q：∃a＞0，|AB|＜|CD|．则下面命题正确的是（）A . p∧qB . ￢p∧￢qC . p∧￢qD . ￢p∧q12. （1分）正方体的棱长为1，、、分别为三条棱的中点，、是顶点，那么点到截面的距离是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1 ，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)14. （1分） (2017高一上·济南月考) 己知四棱锥的底面是矩形，底面，点、分别是棱、的中点，则①棱与所在直线垂直；②平面与平面垂直；③ 的面积大于的面积；④直线与直线是异面直线．以上结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）15. （1分）直线3x﹣2y=4的截距式方程是________．16. （1分）已知过定点P（﹣2，0）的直线l与曲线y= 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为________ ．三、解答题 (共6题；共10分)17. （2分） (2018高一上·兰州期末) 已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P－ABCD的侧面积．18. （2分） (2017高一上·武邑月考) 如图，是圆柱的母线，是的直径，是底面圆周上异于的任意一点，， .（1）求证：（2）当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的大小；（3）上是否存在一点，使二面角的平面角为45°？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.19. （2分） (2016高一下·正阳期中) 在棱长为2的正方体中，（1）求异面直线BD与B1C所成的角（2）求证：平面ACB1⊥平面B1D1DB．20. （1分） (2017高一上·焦作期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（5，1），B（1，5）．（1）若A为直角△ABC的直角顶点，且顶点C在y轴上，求BC边所在直线方程；（2）若等腰△ABC的底边为BC，且C为直线l：y=2x+3上一点，求点C的坐标．21. （1分）(2019·衡阳模拟) 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．（1）求圆的方程；（2）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．22. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于两点，当时， .（1）求圆的方程；（2）当取任意实数时，问：在轴上是否存在定点，使得始终被轴平分？参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共10分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
精练03 基本不等式-高一上学期数学期末考点(新教材人教A版必修第一册)
精练03基本不等式1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D【答案】C 【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y >∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥ 故选：C2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（ ）A ．4B ．3+C ．8D ．9【答案】C 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号， 所以12x y+的最小值为8， 故选：C3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C ．y =D ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<<【详解】 对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2，A 错误； 对于B. 1sin 0sin 0sin 2y x x x x π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以1sin 2sin x x +≥=时， 即sin 1x =，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B 错误.对于C.2y =≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2，C 错误；对于D,1tan (0)tan?2y x x x π=+<<，因为tan 0x >，所以1tan 2tan x x +≥=， 当且仅当tan 1x =，即4x π=时，y 有最小值2，满足，D 正确；故选：D.4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（ ）A B C ．D ．【答案】C 【详解】 ∵21a ab +=， ∴1b a a=-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∴3a b +的最小值为5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x ＞0，y ＞0，且111x y+=，则xy 有（ ） A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最大值14D ．最小值14【答案】A 【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y+=，又11x y +≥1≤，114xy ≤， 即4xy ≥，当2x y ==时取等号, 则xy 有最小值4， 故选：A6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a ba b--+的最小值为（ ） A ．11 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【详解】解：因为正实数a ，b ，且1a b +=，所以2241a b a b--+41a b a b =-+- 41()b a a b =+-+ 41()()1b a a b =+⋅+- 44b a a b =++4≥8=当且仅当4b a a b =即223a b ==时，取等号. 所以2241a b a b--+的最小值为8. 故选：C.7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．22a b +≥D ．223a b +≥【答案】A 【详解】对于A ，0a >，0b >，a b ∴+≥12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2≤，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误； 对于C ， 不妨设32a =，12b =时，23172244a b =+=<+，故B 错误； 对于D ，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 错误. 故选：A8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．36【答案】C 【详解】()4af x x x=+≥24x a =，∴22x ==，解得：16a =， 故选：C.9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y+的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．D ．【答案】C 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为. 故选：C10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C 【详解】由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞【答案】C 【解析】正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=，则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭， 当且仅当22n m m n -=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号， 故选：B.13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A.14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．726+【答案】B 【详解】1x >，10x ->，又0y >，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y -=++- 22(1)621y x x y-+⋅-10=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ．15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?3xy xy x y zx xy y x y y xy x===-++--，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3 【详解】函数2241y x x =++， 即()224111y x x =++-+1413≥=-=， 当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3.17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【答案】(),1-∞ 【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为_____ 【答案】8【详解】 1x >，∴函数115(1)62(1)68111y x x x x x x =++=-++-+=---，当且仅当2x =时取等号． 因此函数151y x x =++-的最小值为8． 故选：A ．19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【详解】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3 【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：321．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若441x y +=，则x y +的取值范围是____________．【答案】(],1-∞- 【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________． 【答案】4 【详解】因为x ，0y >，且194x y+=，所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=，,即1,3x y ==时，取等号， 所以x y +的最小值为4， 故答案为：423．【山西省2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________. 【答案】25 【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭17172425≥+=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：2524．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.【答案】20202019-【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b =时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．【答案】10【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：1026．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.【答案】5km 处，最小值为8万元..【详解】解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元.根据题意可设1y x λ=，2y x μ=.由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=. 所以()20405y x x x =+>.根据均值不等式可得8y ≥=， 当且仅当2045x x =，即5x =时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．【答案】（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【详解】 （1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x>⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >且3a b +=．（Ⅰ）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值； （Ⅱ）求2231a b a b +++的最小值及此时a ，b 的值．【答案】（Ⅰ）32a b==时，11a b⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值为2-；（Ⅱ）6a=-，3b=-+3+；【详解】解：（Ⅰ）1133224233333333333a b a b b a b aa b a b a b a b a b+++=+=+=+++=，当且仅当33b aa b=且3a b+=，即32a b==时取等号，311423loga b⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭即最大值为2-，（Ⅱ）3a b+=，∴223313131(1)121111a ba b a ba b a b a b a b++=++-+=+-++=++++++3113(1)3(2()()332314444(1)4(1)a b b aba b a b b++=+++=+++=+++，当且仅当3(1)44(1)b aa b+=+且3a b+=，即6a=-3b=-+29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知0a>，0b>.（1）求证：()2232a b b a b+≥+；（2）若2a b ab+=，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b+-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b+≥+.（2）∵0a>，0b>，∴2ab a b=+≥2ab≥1，∴1≥ab.当且仅当1a b==时取等号，此时ab取最小值1.和分析法来一起证明，属于中档题.30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【答案】（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()80016001600 4280828084S x x x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．。
2019学年四川省乐山市高一上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年四川省乐山市高一上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名 ___________ 班级 ______________ 分数 ___________、选择题1.已知集合 J= {-1.0.1.2}， —{■v| < 1}则 “口等于（）A. {-10-1}B. {0.1.2}c. {(>1} D.2. ros.585的值为（）A.B._並C.匹D.T/?丁tr7«r1~ -: C<1FX3.已知函八）列上-则//二()10冬（工十X12丿丿A. 2B. 3C. 4D. 84. 函数. -.■■■的零点所在的区间是（）A. ' IB. ■丨C. JD. |5. 已知集合，汽|工, * 讥I —.小：-■，且 S ；，则实数的取值范围是（）A. : - 或 - ______________________B. - -C. : - 或-- ------------ D. __7. 下列函数中为奇函数的是（）A.：!■■■■ B. m- C.-，现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为（） 已知血满足= 1 ，那么LOS—+住yJT —a彳l 斗丿u )25a25 C.77B. -D.1S1R1R18. A.的值为（9.由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔d 的图象（部分）如图所示，则5年计算机的价格降低A. 2300 元___________B. 2800 元___________C. 2400 元___________D. 2000 元10. 已知a > b ,函数f（x ）= （x - a ））的图象可能为（）（x - b ）的图象如图所示，贝恼(x+bA. B.11. 若，对任意实数匸都有f—+ I = / —-/成立,I弓）丿且/匚卜-1，则实数址的值等于（）A. -3 或1B. 1C. -1 或3D. -3（X—。