苏教版2020学年九年级数学专题抛物线中的压轴题
最新苏教版初三九年级上册数学 压轴解答题章末练习卷(Word版 含解析)
最新苏教版初三九年级上册数学 压轴解答题章末练习卷（Word 版 含解析）一、压轴题1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.2．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ．（1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．3．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，0是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与BC 边交于点E 、F ，连接OD ，已知BD=3，tan ∠BOD=34，CF=83． （1）求⊙O 的半径OD ；（2）求证：AC 是⊙O 的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．4．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．5．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23．点P，Q分别是BC，AD边上的一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD．（1）若DQ＝3且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；（2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．MN=，在劣弧MN和优弧MN上分别有点6．MN是O上的一条不经过圆心的弦，4AM BM.A,B（不与M,N重合），且AN BN=，连接,（1）如图1，AB 是直径，AB 交MN 于点C ，30ABM ︒∠=，求CMO ∠的度数； （2）如图2，连接,OM AB ，过点O 作//OD AB 交MN 于点D ，求证：290MOD DMO ︒∠+∠=；（3）如图3，连接,AN BN ，试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.7．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ． （1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．8．抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4．（1）请直接写出a 的值____________；（2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等，①求b 的值；②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求c 的取值范围；（3）若1c b =--，2727b -<<AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1tan 2α=，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．9．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （ -3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点． （1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．10．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．11．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于点C ，⊙P 是△ABC 的外接圆．(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴；(2)求⊙P 的半径；(3)点D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC ＞90°，求点D 纵坐标的取值范围；(4)E 是线段CO 上的一个动点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ，求线段OF 的最小值．12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应）．（1）如图1，当点G 落在AD 边上时，直接写出AG 的长为 ；（2）如图2，当点G 落在线段AE 上时，AD 与CG 交于点H ，求GH 的长；（3）如图3，记O 为矩形ABCD 对角线的交点，S 为△OGE 的面积，求S 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) ☉O 的半径是32；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】【分析】(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可．(2) 连接OA , OB , OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证.【详解】解：(1)连接AB ，在☉0中，o APQ BPQ 45∠=∠=，o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明：连接OA , OB , OQ ,在☉0中, AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .AB//ON ∴【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．2．(1)证明见解析；(2)213；(3)23a 【解析】【分析】(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明；(2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到AF BG EF EB=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积．【详解】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°，∴∠DEB=∠D ，∴BD=BE ；(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，∵△ABC 是等边三角形，AC=6，∴BG=113 22BC AC==，∴在Rt△ABG中，333AG BG==，∵BF⊥EC，∴BF∥AG，∴AF BGEF EB=，∵AF：EF=3：2，∴BE=23BG=2，∴EG=BE+BG=3+2=5，在Rt△AEG中，()2222335213AE AG EG=+=+= (3)解：如图所示，过点O作OM⊥BC于点M，由题(2)知AF BGEF EB=，CG=BG=1122AC a=，∴3=2AF BGEF EB=，∴22113323EB BG a a==⨯=，∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a++=，∴EM=12EC=23a，∴BM=EM-BE=211333a a a-=，∵BF∥AG，∴△EBF∽△EGA，∴123=11532aBF BEAG EG a a==+，∵2AG a ==，∴25BF ==，∴△OFB 的面积＝211223BF BM a a ⋅=⨯=． 【点睛】 本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．3．（1）OD=4,（2）证明过程见详解（3）5043π- 【解析】【分析】 （1）根据AB 与圆O 相切,在Rt △OBD 中运用tan ∠BOD=34,即可求出OD 的长, （2）作辅助线证明四边形ADOG 是矩形,得DO ∥AC,sin ∠OCG=35,在Rt△OCG 中,求出OG 的长等于半径即可解题,（3）利用S 阴影=S Rt △BAC -S 正方形ADOG -14S 圆O ,求出AC 长度即可解题. 【详解】解：（1）∵AB 与圆O 相切,∴OD ⊥AB,在R t △OBD 中,BD=3,tan ∠BOD=BD OD =34, ∴OD=4,（2）过点O 作OG 垂直AC 于点G ,∵∠A=90°，AB 与圆O 相切,∴四边形ADOG 是矩形,∴DO ∥AC,∴∠BOD=∠OCG , ∵tan ∠BOD=BD OD =34, ∴sin ∠OCG=35, ∵CF=83,OF=4, ∴OG=OGsin ∠OCG=4=r,∴AC是⊙O的切线（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,在R t△ABC中,tan∠C=34,AB=4+3=7,∴AC=ABtan C∠=734=283,∴S阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-14S圆O=212817444234π⨯⨯-⨯-=5043π-【点睛】本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.4．（1）PA13O 392）见解析；（3）⊙O的半径为2或4757【解析】【分析】（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；（2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论；（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．【详解】（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝12AB＝2，AH＝AB•sin60°＝3∴HP＝BP﹣BH＝1，∴在Rt△AHP中，AP∵AB是直径，∴∠APM＝90°，在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，∴AM＝APsin60︒，∴⊙O的半径为3，即PA⊙O的半径为3；（2）当∠APB＝2∠PBE时，∵∠PBE＝∠PAE，∴∠APB＝2∠PAE，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠APB＝∠PAD，∴∠PAD＝2∠PAE，∴∠PAE＝∠DAE，∴AE平分∠PAD；（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴r＝12AB＝2；②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，∴BFAD ＝EFAE，在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，∴AF＝AB•sin60°＝BF＝12AB＝2，∴28，∴EF，在Rt△BFE中，BE5，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴r；③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，∴AE为⊙O的直径，∴∠BPE＝90°，如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，∴DN＝DC•sin60°＝CN＝12CD＝2，∴PQ＝DN＝设QE＝x，则PE＝x，在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，∴AE＝2QE＝2x，∵PE∥DN，∴△BPE∽△BND，∴PEDN ＝BPBN，∴BP 10，∴BP＝10x，在Rt△ABE与Rt△BPE中，AB2+AE2＝BP2+PE2，∴16+4x2＝（10x）2+（x）2，解得，x1＝（舍），x2，∴AE＝∴BE＝∴r，∴⊙O的半径为2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.5．（16372）BE433833．【解析】【分析】（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：（1）如图：过点P作PT⊥BQ于点T，∵AB＝2，AD＝BC＝3，DQ3∴AQ3在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ7．又∵四边形BPDQ是平行四边形，∴BP＝DQ3，∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，∴△AQB∽△TBP，∴3,37 BT BDAQ BQ==即∴BT 33 7∴BE＝2BT 63 7（2）设菱形BPDQ的边长为x，则AQ＝3x，在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得AB2+AQ2＝BQ2，即4+（3x）2＝x2，解得x 43 3.∵四边形BPDQ为菱形，∴43 3,又233即DP=2CP,∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，∴连接PQ,易得△BPQ 为等边三角形，∴PQ=BP,∴点Q 也在圆P 上，圆P 经过点B,D,Q,如图.∴点E 、Q 重合，∴BE 433∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，∴S 菱形833． 【点睛】 本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．6．（1）15°；（2）见解析；（3）16【解析】【分析】（1）先求得45AMN BMN ︒∠=∠=，再由OM OB =得到30OMB OBM ︒∠=∠=，于是可解；（2）连接,,OA OB ON .可证AON BON ∠=∠，ON AB ⊥，由//OD AB 可知90DON ︒∠=，在MON ∆中用内角和定理可证明；（3）延长MB 至点M '，使BM AM '=，连接NM '，作NE MM '⊥于点E.证明AMN BM N '≅，得到'MM N ∆是等腰三角形，然后在MNE ∆中用勾股定理即可求出16AM MB AN NB ⋅+⋅=.【详解】（1）AB 是O 的直径，90AMB ︒∴∠=AN BN =45AMN BMN ︒∴∠=∠=OM OB =30OMB OBM ︒∴∠=∠=453015CMO ︒︒︒∴∠=-=（2）连接,,OA OB ON .AN BN =AON BON ∴∠=∠，ON AB ⊥//OD AB90DON ︒∴∠=OM ON =OMN ONM ∴∠=∠180OMN ONM MOD DON ︒∠+∠+∠+∠=290MOD DMO ︒∴∠+∠=（3）延长MB 至点M '，使BM AM '=，连接NM '，作NE MM '⊥于点E.设AM a =，BM b =.四边形AMBN 是圆内接四边形180A MBN ︒∴∠+∠=180NBM MBN '︒∠+∠= A NBM '∴∠=∠AN BN =AN BN ∴=(SAS)AMN BM N '∴≅MN NM '∴=，BM AM a '==，NE MM '⊥于点E.11()22ME EM MM a b ''∴===+，()2222ME BN BE MN +-=22211()()1622a b BN b a ⎡⎤⎡⎤∴++--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化简得216ab NB +=， 16AM MB AN NB ∴⋅+⋅=【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有圆周角定理和垂径定理以及圆内接四边形的性质，综合性质较强，能够做出相应的辅助线是解题的关键.7．（1）2114y x =-；（2）点P 37(,)216-；（3）(2M --+ 【解析】【分析】（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A 、B 坐标，代入函数解析式即可求解；（2）首先求得直线OD 解析式，然后设P （21,14t t -），得到PQ 关于t 的解析式，然后求出顶点式即可求解；（3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMN CNE MNE S S S =+即可求解．【详解】（1）∵AB =4OC ，且C （0，-1）∴AB=4∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0代入A 点坐标得2021a =- 解得14a = ∴G 的解析式为2114y x =- 故答案为2114y x =-（2）当1x =-时，34y =-,即：点D 为（31,4--） ∴直线OD 为：34y x =设P （21,14t t -），则Q 为（22141,1334t t --），则： 22214141325()()33333212PQ t t t t t =--=-++=--+ ∴当32t =时，PQ 取得最大值2512，此时点P 位37(,)216- （3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ ∵C 点坐标为(0,1)-∴可设直线CM 为1y kx =-，带入M 点坐标得：14k m =∴直线CM 为114y mx =- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ，则E 点为()14,414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∴4EN m =--∵()()12CMN CNE MNE C N N M SS S x x x x EN ⎡⎤=+=-+-•⎣⎦ ∴()()104=22m m ---∴2440m m +-=解得：12m =--，22m =-+（舍去）∴M (2--+【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，是二次函数部分的压轴题，题目较难，应画出示意图，然后进行讨论分析．8．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，=CD 【解析】【分析】（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值； （2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解．【详解】解：（1）根据题意可知1二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），故二次函数顶点式为()2y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，∴a=1；故答案为：a=1．（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222b b x a =-=-= ∴4b =-故答案为：4b =-．②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R当2c =时，242y x x =-+令2y =，则2242x x =-+解得14x =，20x =此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR ==∵4QM QN +=∵QM NR =∴4QN NR QR +==∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+2242(2)6c m m m =-++=--+∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤<∴c 随着m 的增大而增大∴26c ≤<故答案为：26c ≤<．（3）∵1c b =--∴21y x bx b =+--将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tan 2α=，∴l 的解析式为2y x =221y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2(2)10x b x b +---= ∴2224(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+∴22b x -+±=∴12D b -++⎝⎭ 22244124442444AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++122442244AB D b b y y b b ⎛⎫-+-+-=-++-++= ⎪⎝⎭∵20b ≥∴110D AB y y -=≥==> ∴点1D 始终在直线AB 上方∵222b C b ⎛-+--+- ⎝⎭∴24224B C A b y y b b ⎛⎫-+-=-+--++= ⎪⎝⎭∴2222 448848416AB Cb b b by y-+++--++-+-==()2282164b-+-+=∵2727b-<<，即2028b≤<，∴22284b≤+<设28n b=+，224n≤<∴2(2)164AB Cny y--+-=∵14-<，对称轴为2n=∴当224n≤<时，AB Cy y-随着n的增大而减小∴当4n=时，0AB Cy y-=∴当224n≤<时，AB Cy y>∴区域S的边界与l的交点必有两个∵1D ABy y>∴区域S的边界与l的交点D一定在线段AB上∴D ABy y=∴2(2)164D C CABny y y y--+-=-=∴当22n=时，D Cy y-有最大值122+此时1222D Cx x+-=由勾股定理得：()()2252102C CD DCD x x y y+=-+-=，故答案为：5102=CD．【点睛】本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用，以及根与系数的关系判断二次函数交点情况，正确理解相关知识点是解决本题的关键． 9．（1）点D 的坐标为(3，12)，抛物线的解析式为24 3?1?3y x x =-++；（2）①31n m =+；②2334S m m =-+，S 的最大值为93 【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，得到OB=1，根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A 、D 、C 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）①在Rt △FEA 中，FB=12FA=2，FD=FB+BD=3，根据题意设此一次函数解析式为：n km b =+，求得3m =时，2n FB ==，23m =时，3n FD ==，代入n km b =+，即可求解；②求得NA 333m =-，过N 作NQ ⊥EA ，得到NQ=12NA=3326m -，利用面积公式得到S 关于m 的函数表达式，再利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，∴OB=1，∵∠BAO=30︒，∠BOA=90︒，∴AB=2OB=2，OA=2222AB OB 213-=-=，∠ABO=60︒，∴点A 的坐标为(3，0)，又∵四边形OBCD 是菱形，且∠ABO=60︒，∴OD=CD=OB=1，∴△DOB 为等边三角形，∴∠BOD=60︒，∠DOA=30︒，BD=BO=OD=DA=1，延长CD 交OA 于H ，则CH ⊥OA ，∴DH=12OD=12，OH=2，CH=CD+DH=32， ∴点D 的坐标为12)，点C 的坐标为32)， 将A0) ， C 的坐标为32)代入抛物线的解析式y = ax 2 + bx + 1，得：31033142a a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：43a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为24 ?1?3y x =-+； （2）①在Rt △FEA 中，∠FAE=30︒，FA=2AB=4，∴FB=12FA=2，FD=FB+BD=3， ∵动点M 、N 同时作匀速直线运动，∴n 关于m 成一次函数，故设此一次函数解析式为：n km b =+，当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合，∴m =2n FB ==，当点M 运动到点A 时，点N 恰好与点D 重合，∴m =3n FD ==，代入n km b =+，得：23b b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：31k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴此一次函数解析式为：13n m =+； ②NA=FA-FN=4- 33n m =-， 过N 作NQ ⊥EA ，则NQ=12NA=32，∴213333224S m m m m ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∵30-<， 当333432m =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，在023m ≤≤范围内，∴133********S ⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭最大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．10．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222-或222x <<.【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M与OB相切时，只有2个P点．此时OM22=，综上所述，当2x22<<3个P点．∴满足条件的x的值为0或222或2x22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．(1)点B的坐标为(﹣1，0)，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)；抛物线的对称轴为直线x＝1；(2)⊙P5；(3)1＜y＜2；(4)3﹣322．【解析】【分析】(1)分别代入y＝0、x＝0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；(2)连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值即可；(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F 为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF的长即可.【详解】(1)当y＝0时，﹣(x+1)(x﹣3)＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为(﹣1，0)，点A的坐标为(3，0)；当x＝0时，y＝﹣(0+1)×(0﹣3)＝3，∴点C的坐标为(0，3)；∵抛物线与x轴交于点(﹣1，0)、(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；(2)连接CP、BP，如图1所示，在Rt△BOC中，BC=∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，∴CP＝BP∴⊙P(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，∴[(﹣1﹣1)2+(0﹣y)2]+[(0﹣1)2+(3﹣y)2]＝10，整理，得：y2﹣3y+2＝0，解得：y1＝1，y2＝2，∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．∵AC=ACO＝45°，∴点C′的坐标为(3﹣，0)，∠AC′O′＝45°，∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣x+3﹣∵点E在线段CO上，∴点F在线段C′O′上．过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，∵△OC′F为等腰直角三角形，∴OF OC′3)＝3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；(2)利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；(3)利用极限值法求出点D纵坐标；(4)利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．12．（1）4﹣23；（2）32；（3）4﹣5≤S≤4+5【解析】【分析】（1）在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG即可解决问题；（2）首先证明AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣HD＝4﹣m，在Rt△DHC中，根据CH2＝CD2+DH2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，∵AB＝CD＝2，∴DG22CDCG-2242-3，∴AG＝AB﹣BG＝4﹣3故答案为:4﹣3．（2）如图2中，由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，∵点G在线段AE上，∴∠AGC＝90°，∵CA＝CA，CB＝CG，∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．∴∠ACB＝∠ACG，∵AB∥CD∴∠ACG＝∠DAC，∴∠ACH＝∠HAC，∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，∴m2＝22+（4﹣m）2，∴m＝52，∴AH＝52，GH22AH AG-22522⎛⎫-⎪⎝⎭32．（3）在Rt△ABC中，2225AC AB BC=+=,152OC AC，由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即△OGE的面积最小，最小值＝12×OG×EG＝12×2×（4545当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝12×E′G′×OG′＝12×2×（55综上所述，455【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小（大）时G点的位置是解决此问的关键.。
中考数学抛物线压轴题
在中考数学中，抛物线是一个常见的考点，经常以压轴题的形式出现。
以下是一个关于抛物线的中考压轴题的示例：题目：已知抛物线y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(-1,-1)，(0,1)，当x=-2时，与其对应的函数值y>1。
1. 请你求出abc的值，并判断抛物线的开口方向。
2. 设直线y=kx+d(k≠0)经过点(1,-1)，且与抛物线的对称轴平行。
请你求出该直线的解析式。
3. 设E(m,n)是抛物线y=ax^2+bx+c上的一个动点，且满足∠APE=90°，请你求出m的值。
解析：1. 根据题目条件，抛物线经过点(-1,-1)，(0,1)，可得到方程：$a-b+c=-1$ ①$c=1$ ②将x=-2，y>1代入解析式得：$4a-2b+1>1$化简得：$2a-b>0$ ③由①②③解得：$a>0$$b>0$$c=1$所以，abc=1。
由于a>0，抛物线开口向上。
2. 由题意知：直线y=kx+d经过点(1,-1)，则有：k+d=-1 ④又因为直线与对称轴平行，所以其斜率等于对称轴的斜率，即：k=-b/2a=-1/2 ⑤由④⑤解得：d=-3/2所以，直线的解析式为：y=-x/2-3/2。
3. 根据题意知：E(m,n)在抛物线上，则有：$n=am^2+bm+c$ ⑥由于∠APE=90°，所以AE与PE垂直。
根据两直线垂直的条件：斜率之积等于-1。
即：$(m-1)/(n+1)=-1$ ⑦由⑥⑦解得：m=0或m=-2综上所述，m的值为0或-2。
2020中考动点与抛物线专题复习和压轴题与答案详解
2020中考数学压轴题分类复习--抛物线与四边形的综合问题例题：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B 在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，则MA=MB=MC=ME=2，又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a=，故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2；（2）证明：连接DM，∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在．理由如下：设点P的坐标为（m，n）∵S△ABP=AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，即2|n|=5，解得：n=±，当时，（m+1）2﹣2=，解此方程得：m1=2，m2=﹣4即点P的坐标为（2，），（﹣4，），当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．同步练习1.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．2020中考数学压轴题分类复习--抛物线与相似的综合问题例题：如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴=，设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m1=m2=1，∴OC=CF=1，当x=0时，y=﹣，∴OD=，∴BF=OD，∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD≌△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，∴点B、C、D在同一直线上，∴点B与点D关于直线AC对称，∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=﹣，∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2，当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===，∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°，∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC．同步练习：1.如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B 同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2020动点与抛物线专题复习。
2020年江苏省中考数学试题汇编之压轴题精选(教师版)初中数学
2020年江苏省中考数学试题汇编之压轴题精选（教师版）初中数学1〔08江苏常州28题〕〔答案暂缺〕如图,抛物线24y x x =+与x 轴分不相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它通过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分不直截了当写出这些专门四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范畴.2〔08江苏淮安28题〕〔答案暂缺〕28．(本小题14分)如下图，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，假如△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，依照不同情形，分不用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情形给出解答过程，其它情形直截了当写出结果；判定当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．(第28题）ly x-1-2-4-3-1-2-4-312435123〔第24题图〕3〔08江苏连云港24题〕〔本小题总分值14分〕如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分不为1和2．将它们分不放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分不交于点M N ，，与x 轴分不交于点G H ，．〔1〕求直线AC 所对应的函数关系式；〔2〕当点P 是线段AC 〔端点除外〕上的动点时，试探究：①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请讲明理由；②两块纸板重叠部分〔图中的阴影部分〕的面积S 是否存在最大值？假设存在，求出那个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；假设不存在，请讲明理由．〔08江苏连云港24题解析〕解：〔1〕由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知A C ，两点的坐标分不为(12)(21)，，，． 设直线AC 所对应的函数关系式为y kx b =+． ················· 2分有221k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得13k b =-⎧⎨=⎩，．因此，直线AC 所对应的函数关系式为3y x =-+． ··············· 4分 〔2〕①点M 到x 轴距离h 与线段BH 的长总相等． 因为点C 的坐标为(21)，，因此，直线OC 所对应的函数关系式为12y x =． 又因为点P 在直线AC 上，因此可设点P 的坐标为(3)a a -，． 过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，那么有MK h =． 因为点M 在直线OC 上，因此有(2)M h h ，． ······ 6分 因为纸板为平行移动，故有EF OB ∥，即EF GH ∥．又EF PF ⊥，因此PH GH ⊥．〔第24题答图〕法一：故Rt Rt Rt MKG PHG PFE △∽△∽△，从而有12GK GH EF MK PH PF ===． 得1122GK MK h ==，11(3)22GH PH a ==-．因此13222OG OK GK h h h =-=-=．又有13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-． ··············· 8分因此33(1)22h a =-，得1h a =-，而1BH OH OB a =-=-，从而总有h BH =． ···························· 10分法二：故Rt Rt PHG PFE △∽△，可得12GH EF PH PF =-．故11(3)22GH PH a ==-．因此13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-．故G 点坐标为3(1)02a ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 设直线PG 所对应的函数关系式为y cx d =+，那么有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 因此，直线PG 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-． ············· 8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1BH OH OB a --=-，从而总有h BH =． ··············· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ONH ONG S S S =-△△1111133(1)222222a NH OH OG h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯- 22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭．··················· 12分 当32a =时，S 有最大值，最大值为38． S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫⎪⎝⎭，．···················· 14分4〔08江苏南京28题〕〔10分〕一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时动身，设慢车行驶的时刻为(h)x ，两车之间．．．．的距离．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 依照图象进行以下探究： 信息读取〔1〕甲、乙两地之间的距离为 km ； 〔2〕请讲明图中点B 的实际意义； 图象明白得〔3〕求慢车和快车的速度；〔4〕求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范畴；咨询题解决〔5〕假设第二列快车也从甲地动身驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚动身多少小时？〔08江苏南京28题解析〕28．〔此题10分〕解：〔1〕900； ······························ 1分 〔2〕图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． ······· 2分 〔3〕由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 因此慢车的速度为90075(km /h)12=； ····················3分 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，因此慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，因此快车的速度为150km/h ． ···············4分 〔4〕依照题意，快车行驶900km 到达乙地，因此快车行驶9006(h)150=到达乙地，现在两车之间的距离为675450(km)⨯=，因此点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得 044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩，因此，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-．······· 6分 自变量x 的取值范畴是46x ≤≤． ······················ 7分 〔5〕慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，现在，慢车的行驶时刻是4.5h ． 把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．现在，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，因此两列快车动身的间隔时刻是〔第28题〕y112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚动身0.75h ． ······· 10分5〔08江苏南通28题〕〔14分〕双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M 〔m ，n 〕〔在A 点左侧〕是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N 〔0，－n 〕作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ． 〔1〕假设点D 坐标是〔－8，0〕，求A 、B 两点坐标及k 的值．〔2〕假设B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．〔3〕设直线AM 、BM 分不与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．〔08江苏南通28题解析〕解：〔1〕∵D 〔－8，0〕，∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y =－2． ∴B 点坐标为〔－8，－2〕．而A 、B 两点关于原点对称，∴A 〔8，2〕．从而8216k =⨯=．……………………………………………………………………3分 〔2〕∵N 〔0，－n 〕，B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，B 〔－2m ，－2n〕，C 〔－2m ，－n 〕，E 〔－m ，－n 〕． ……………4分 S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =1122mn k =， ………………7分∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． …………………………8分由直线14y x =及双曲线4y x=，得A 〔4，1〕，B 〔－4，－1〕， ∴C 〔－4，－2〕，M 〔2，2〕．………………………………………………………9分 设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得 42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是2233y x =+．………………………………………………11分 〔第28题〕〔3〕如图，分不作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分不为A 1、M 1．设A 点的横坐标为a ，那么B 点的横坐标为－a ．因此 111A M MA a mp MP M O m-===． 同理MB m aq MQ m+==，……………………………13分 ∴2a m m ap q m m-+-=-=-．……………………14分6(08江苏苏州28题)(答案暂缺)28．(此题9分) 课堂上，老师将图①中△AOB 绕O 点逆时针旋转，在旋转中发觉图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB 旋转90°时，得到△A 1OB 1．A(4，2)、B(3，0)．〔1〕△A 1OB 1的面积是 ；A 1点的坐标为〔 ， ；B 1点的坐标为( ， )；〔2〕课后，小玲和小惠对该咨询题连续进行探究，将图②中△AOB 绕AO 的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O ′B ′，设O ′B ′交OA 于D ，O ′A ′交x 轴于E ．现在A ′、O ′和B ′的坐标分不为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O ′B ′ 通过B 点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发觉旋转中的三角形与△AOB 重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD 的面积)最小，求四边形CFBD 的面积；〔3〕在〔2)的条件一下，△AOB 外接圆的半径等于 ．7〔08江苏宿迁27题〕〔此题总分值12分〕如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切； (2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．〔第28题〕第27题〔08江苏宿迁27题解析〕解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD AD ⊥ ∵A 、O 、D 在同一条直线上 ∴︒=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情形:①如图1, 设1D 点在第二象限时,过1D 作x E D ⊥11轴于点1E ,设现在的正方形的边长为a ,那么2225)1(=+-a a ,解得4=a 或3-=a (舍去)．由BOA Rt ∆∽11OE D Rt ∆ 得OBOD BA E D OA OE 1111== ∴54,53111==E D OE ∴)54,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 34-=；②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作x E D ⊥22轴于点2E ,设现在的正方形的边长为b ,那么2225)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．由BOA Rt ∆∽22OE D Rt ∆得OBOD BA E D OA OE 2222== ∴53,54222==E D OE ∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 43-=. (3)设),(0y x D ,那么201x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-=∴x x BD S 513)1026(21212-=-==第27题图1第27题图2∵11≤≤-x∴851318513=-==+=最小值最大值，S S .8〔08江苏泰州29题〕二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象通过三点〔1，0〕，〔-3，0〕，〔0，23-〕。
2020年中考数学压轴题专题之抛物线上的特殊平行四边形问题探究
抛物线上的特殊平行四边形问题探究专题导入导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：导例如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值O A．3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±．此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3），或(225,225)--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．图3 图4 图5典例类型一：已知“两点”判断平行四边形存在性问题例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．类型二：菱形的存在性问题例2 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．类型三：正方形的存在性问题例3如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ，求的最大值；②如图3，若点P 在x 轴的上方，连接PC ，以PC 为边作正方形CPEF ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E 或F 恰好落在y 轴上，直接写出对应的点P 的坐标．【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）作PF ∥BO 交AB 于点F ，证△PFD ∽△OBD ，得比例线段，则PF 取最大值时，求得的最大值；（3）（i ）点F 在y 轴上时，P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，根据正方形的性质可证明△CPH ≌△FCO ，根据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO ＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii ）点E 在y 轴上时，过点PK ⊥x 轴于K ，作PS ⊥y 轴于S ，同理可证得△EPS ≌△CPK ，可得PS ＝PK ，则P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点E 在y 轴上时，过点PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，同理可证得△PEN ≌△PCM ，可得PN ＝PM ，则P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题． 专题突破1、如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。
2020年九年级中考数学专题专练--几何函数压轴题专练(含答案)
中考数学专题几何函数压轴题专题1.如图，抛物线y=ax2-bx+3 交x 轴于B(1，0)，C(3，0)两点，交y 轴于点A，连接AB，点P 为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 到直线AB 的距离为7 10时，求点P 的横坐标；9（3）当△ACP 和△ABC 的面积相等时，请直接写出点P 的坐标．备用图2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4 与抛物线y =-1x2 +bx +c （b，c 2是常数）交于A，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．设抛物线与x 轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点（不与点A，B 重合）．①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D，求PD的最大值；OD②如图3，若点P 在x 轴上方，连接PC，以PC 为一边作正方形CPEF．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点E 或F 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．23. 如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）交x 轴于点A(4，0)，B(-2，0)，交y 轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点Q 是x 轴上位于点A，B 之间的一个动点，点E 为线段BC 上一个动点，若始终保持∠EQB=∠CAB，连接CQ，设△CQE 的面积为S，点Q 的横坐标为m，求出S 关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时点Q 的坐标．（3）点P 为抛物线上位于AC 上方的一个动点，过点P 作PF⊥y 轴，交直线AC 于点F，点D 的坐标为(2，0)，若O，D，F 三点中，当其中一点恰好位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”，请判断这三点是否有“和谐点”的存在，若存在，请直接写出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y =-3x2 +bx +c 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，直4线y =3x + 3 经过点A，C．4（1）求抛物线的解析式．（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM∥y 轴交直线AC 于点M，设点P 的横坐标为t．①若以点C，O，M，P 为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值．②当射线MP，MC，MO 中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出t 的值．5.如图1，抛物线y=ax2+bx+2 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC 交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH 的长为a，点P 的横坐标为m，求a 关于m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出a 的最大值．（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B 两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c 的值．（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A，B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标．（3）在（2）的条件下：①求以点E，B，F，D 为顶点的四边形的面积；② 在抛物线上是否存在一点P，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．7.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=-1，抛物线交x 轴于A，C 两点，与直线y=x-1 交于A，B 两点，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，若△ABP 的面积最大，求此时点P 的坐标；（3）在平面直角坐标系中，以点B，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D 的坐标．8.如图，已知抛物线y =ax2 +3x + 4 的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A，2B 两点（B 点在A 点右侧），与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A，B 两点的坐标．（2）若点P 是抛物线上B，C 两点之间的一个动点（不与B，C 重合），则是否存在一点P，使△PBC 的面积最大？若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由．（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N，当MN=3 时，求点N 的坐标．9.如图，抛物线y=1x2 +bx +c 经过点A( 2 3（1）求该抛物线的解析式；，0)和点B(0，-2)．（2）若△OAB 以每秒2 个单位长度的速度沿射线BA 方向运动，设运动时间为t，点O，A，B 的对应点分别为D，E，C，直线DE 交抛物线于点M．①当点M 为DE 的中点时，求t 的值；②连接AD，当△ACD 为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．备用图310.如图，抛物线y=ax2+bx-2 的对称轴是直线x=1，与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，点A 的坐标为(-2，0)，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥x 轴于点D，交直线BC 于点E．（1）求抛物线解析式．（2）若点P 在第一象限内，当OD=4PE 时，求四边形POBE 的面积．（3）在（2）的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B 的坐标为(1，0)，抛物线y=-x2+bx+c 经过A，B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D，交线段AB 于点E，使PE 1DE ．2①求点P 的坐标和△PAB 的面积．②在直线PD 上是否存在点M，使△ABM 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，抛物线y=ax2+bx+2 与直线y=-x 交第二象限于点E，与x 轴交于A(-3，0)，B 两点，与y 轴交于点C，EC∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线y=-x 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH 的长为l，点P 的横坐标为m，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．13. 如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-8)，与直线y=x-4 交于B，D 两点．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点P 为直线BD 下方抛物线上的一个动点，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）点Q 是线段BD 上异于B，D 的动点，过点Q 作QF⊥x 轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG 为直角三角形时，直接写出点Q 的坐标．1314.如图，抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于点A(1，0)和点B(3，0)，交y 轴于点C，抛物线上一点D 的坐标为(4，3)．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，PE∥x 轴，PF∥y 轴，求线段EF 的最大值；（3）如图2，点M 是线段CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．15.如图，已知抛物线y=ax2+4x+c 与x 轴交于点M，与y 轴交于点N，抛物线的对称轴与x 轴交于点P，OM=1，ON=5．（1）求抛物线的解析式．（2）点A 是y 轴正半轴上一动点，点B 是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB，AM，BM，且AB⊥AM．①AO 为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；②若Rt△ABM 中有一边的长等于MP 时，请直接写出点 A 的坐标．16.如图，已知A(-2，0)，B(4，0)，抛物线y=ax2+bx-1 过A，B 两点，并与过点A 的直线y =-1x -1 交于点C．2（1）求抛物线解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M，N，C 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．17.如图，直线l：y =1x +m 与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B，抛物线2y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B 两点，且与x 轴交于另一点C(-1，0)．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，当点P 在直线l 下方的抛物线上运动时，过点P 作PM∥x 轴交l 于点M，过点P 作PN∥y 轴交l 于点N，求PM+PN 的最大值；（3）在（2）的条件下，当PM+PN 的值最大时，将△PMN 绕点N 旋转，当点M 落在x 轴上时，直接写出此时点P 的坐标．18.如图，已知抛物线y=ax2+x+c 与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于点A 和点B(3，0)，点P 是抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）若点P 是点B 与点C 之间的抛物线上的一个动点，过点P 向x 轴作垂线，交BC 于点D，求线段PD 长度的最大值；（3）当点P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠PCB=75°，请求出此时点P 的坐标．19.在平面直角坐标系内，直线y =1x + 2 分别与x 轴、y 轴交于点A，C．抛物2线y =-1x2 +bx +c 经过点A 与点C，且与x 轴的另一个交点为点B．点D2在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）若连接AD，CD，试求出点D 到直线AC 的最大距离以及此时△ADC 的面积；（3）过点D 作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD．若△CFD 与△AOC 相似，求点D 的坐标．20.如图，抛物线y=ax2+bx-3 过A(1，0)，B(-3，0)，直线AD 交抛物线于点D，点D 的横坐标为-2，点P(m，n)是线段AD 上的动点．（1）求直线AD 及抛物线的解析式．（2）过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点R（横、纵坐标都为整数），使得P，Q，D，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．21.如图，抛物线y=-x2+bx+c 交x 轴于A，B 两点，交y 轴于点C，直线y=x-5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求△BCP 面积S 的最大值；（3）在抛物线上找一点M，连接AM，使得∠MAB=∠ABC，请直接写出点M 的坐标．21参考答案：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、。
2020年江苏中考数学压轴题精选精练(含解析)
中考数学压轴题优选精练一、选择题（ 6 题）1．如图，点 A 是射线y═（ x≥ 0）上一点，过点 A 作AB⊥ x 轴于点B，以AB 为边在其右边作正方形ABCD ，过点 A 的双曲线y＝交CD 边于点E，则的值为（）A．B．C．D．12．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 4，BC＝ 2，点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．3.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 3， BC＝ 4，点 D 是 AB 的中点，点 P 是直线BC 上一点，将△BDP 沿 DP 所在的直线翻折后，点 B 落在B1处，若 B1D ⊥BC，则点 P 与点 B 之间的距离为（）A ． 1B ．5C．1或 3 D．5或5 4 44．已知直线 y＝﹣ x+7a+1 与直线 y＝ 2x﹣2a+4 同时经过点 P，点 Q 是以 M（ 0，﹣ 1）为圆心， MO 为半径的圆上的一个动点，则线段PQ 的最小值为（）A．10B．16C．8D．18 3 3 5 55．如图，平行四边形ABCD 的极点 A 的坐标为（﹣，0），极点 D 在双曲线 y＝（x＞ 0）上， AD 交 y 轴于点 E（ 0， 2），且四边形BCDE 的面积是△ ABE 面积的 3 倍，则 k 的值为（）A ．4B ．6 C． 7 D． 86．如图，已知矩形ABCD ， AB＝ 4， BC＝ 6，点M 为矩形内一点，点 E 为BC 边上随意一点，则MA +MD +ME 的最小值为（）A ．3+2B ．4+3 C． 2+2 D． 10二、填空题（ 6 题）1．如图，矩形ABCD ＝ 2，△ AEQ 沿 EQ 中， AB＝ 4， BC＝ 8， P， Q 分别是直线BC， AB 上的两个动点，翻折形成△ FEQ ，连结 PF ， PD，则 PF+PD 的最小值是AE．2．如图，在四边形ABCD 中， AB∥ CD ， AB＝ BC＝BD ＝2， AD＝ 1，则 AC＝．3．如图，四边形ABCD 的极点都在座标轴上，若AB∥ CD ，△ AOB 与△ COD 面积分别为8和 18，若双曲线y k恰巧经过BC 的中点E，则k 的值为．x第 3 题第 4 题4．如图，在边长为 1 的菱形ABCD 中，∠ABC＝ 60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D '，分别连结A'C， A'D ， B'C，则A'C+B'C 的最小值为．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（ 0， 1）， B（ 0， 1+m），C（ 0，1﹣ m）（ m＞ 0），点 P在以D（﹣ 4，﹣ 2）为圆心，为半径的圆上运动，且一直知足∠BPC＝ 90°，则m 的取值范围是．第3题第4题6．如图，在矩形ABCD 中， AB＝ 15，AD ＝ 10，点 P 是连结 PD ，以线段 PD 为直角边作等腰直角△DPQ（点连结 BQ，则 BQ 的最小值为．三、解答题（ 6 题）1．如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E、F 分别是边CF 的延伸线交BA 的延伸线于点G，GE 的延伸线交AB 边上随意一点（不与 A 点重合），Q 在直线 PD 右边），∠ DPQ ＝90°，AB、AD 上的动点，且∠ ECF ＝45°，DA 的延伸线于点H ，连结 AE、CF．（1）求证：△ AEF 的周长为定值；（2）求 AG?AH 的值；（ 3）当△ CGH 是等腰三角形时，求AF 的值．2．如图，抛物线2与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0），与 y 轴交于点 C，顶y＝ ax +bx﹣ 3点为 D．（1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标．（2）在线段 BC 下方的抛物线上，能否存在异于点 D 的点 E，使 S△BCE＝ S△BCD？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）点 M在抛物线上，点P 为 y 轴上一动点，求MP+PC 的最小值．3 ．如图①，一次函数y 1 x 2 的图象交x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，二次函数1 2y x2 bx c 的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．2（ 1）求二次函数的关系式及点 C 的坐标；（ 2）如图②，若点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点，过点P作PD∥ x轴交AB于点D，PE∥ y 轴交 AB 于点 E，求 PD+PE 的最大值；（ 3）如图③，若点 M 在抛物线的对称轴上，且∠AMB ＝∠ ACB，求出全部知足条件的点 M 的坐标．4．如图，矩形ABCD 中， AB＝ 6， AD＝8．动点 E， F 同时分别从点 A， B 出发，分别沿着射线AD 和射线 BD 的方向均以每秒 1 个单位的速度运动，连结 EF，以 EF 为直径作⊙O 交射线BD 于点 M，设运动的时间为 t．（1）当点 E 在线段 AD 上时，用对于 t 的代数式表示 DE， DM ．（2）在整个运动过程中，①连结 CM ，当 t 为什么值时，△ CDM 为等腰三角形．②圆心 O 处在矩形ABCD 内（包含界限）时，求t 的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．5．如图 1，矩形 ABCD 中， AB＝ 6，动点 P 从点 A 出发，沿 A→ B→ C 的方向在AB 和 BC 上挪动，记 PA＝ x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，y 对于 x 的函数图象由C1、C2两段构成，如图 2 所示．（ 1）求 AD 的长；（ 2）求图 2 中 C2段图象的函数分析式；（ 3）当△ APD 为等腰三角形时，求 y 的值．6．如图，极点为A 的抛物线 y＝ a（ x+2）2﹣ 4 交 x 轴于点 B（1， 0），连结 AB ，过原点 O 作射线 OM ∥AB ，过点 A 作 AD∥ x 轴交 OM 于点 D，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，连结 CD．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当t 为什么值时，OB＝ AP；（ 3）若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动，同时动点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点O 运动，当此中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连结PQ．问：当t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．【答案与分析】一、选择题1．【剖析】设点 A 的横坐标为 m（m＞ 0），则点 B 的坐标为（ m， 0），把 x＝ m 代入 y＝x 获得点 A 的坐标，联合正方形的性质，获得点 C，点 D 和点 E 的横坐标，把点 A 的坐标代入反比率函数 y＝，获得对于 m 的 k 的值，把点 E 的横坐标代入反比率函数的分析式，获得点 E 的纵坐标，求出线段 DE 和线段 EC 的长度，即可获得答案．【解答】解：设点 A 的横坐标为 m （m＞ 0），则点 B 的坐标为（ m， 0），把 x＝ m 代入 y＝ x 得： y＝ m，则点 A 的坐标为：（ m，m），线段AB 的长度为m，点 D 的纵坐标为m，∵点 A 在反比率函数y＝上，∴ k＝m2，即反比率函数的分析式为：y＝，∵四边形ABCD 为正方形，∴四边形的边长为m，点 C，点 D 和点 E 的横坐标为m+ m＝m，把 x＝m 代入 y＝得：y＝m，即点 E 的纵坐标为则 EC＝m， DE＝m，m﹣m＝m，＝，应选： A．2．【剖析】点 A，C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴运动时，点在运动过程中，点O 在到 AC 的中点的距离不变．本题可经过设出据 B、 D 、O 在一条直线上时，点 B 到原点 O 的最大可得出答案．【解答】解：作 AC 的中点 D，连结 OD 、 DB，∵ OB≤ OD+BD，∴当 O、 D、 B 三点共线时OB 获得最大值，∵D 是 AC 中点，C 随之在 y 轴上运动，AC 的中点坐标，根∴ OD ＝ AC ＝ 2，∵ BD ＝＝2 ，OD ＝ AC ＝2，∴点 B 到原点O 的最大距离为2+2，应选： D ．3．【剖析】 分点 B 在 BC 左边，点 B 在 BC 右边两种状况议论，由勾股定理可AB ＝ 5，由11平行线分线段成比率可得 ，可求 BE ，DE 的长，由勾股定理可求PB 的长．【解答】 解：如图，若点 B 1 在 BC 左边，∵∠ C ＝ 90°， AC ＝ 3， BC ＝ 4，∴AB ＝＝5∵点 D 是 AB 的中点，∴ BD ＝ BA ＝∵ B 1D ⊥ BC ，∠ C ＝ 90° ∴B 1D ∥AC∴∴ BE ＝ EC ＝ BC ＝ 2， DE ＝ AC ＝∵折叠∴ B 1D ＝ BD ＝ ， B 1P ＝ BP∴ B 1E ＝ B 1D ﹣ DE ＝ 1∴在 Rt △ B 1PE 中， B 1P 2＝ B 1E 2+PE 2，∴ BP 2＝ 1+（ 2﹣ BP ） 2，∴ BP ＝如图，若点 B 1 在 BC 右边，∵ B 1E ＝ DE+B 1D ＝ + ，∴ B 1E ＝ 4 在 Rt △EB 112＝B 122，P 中，BPE +EP∴ BP 2＝ 16+（BP ﹣2） 2， ∴BP ＝5故答案为：或5 应选：D ．4．【剖析】 先解方程组得 P 点坐标为（ 3a ﹣ 1，4a+2），则可确立点 P 为直线 y＝ x+上一动点，设直线y ＝ x+与坐标的交点为 A 、 B ，如图，则 A （﹣， 0），B （ 0， ），利用勾股定理计算出 AB ＝，过 M 点作 MP ⊥直线 AB 于 P ，交 ⊙ M 于 Q ，此时线段 PQ 的值最小，证Rt △ MBP ∽ Rt △ ABO ，利用相像比计算出MP ＝，则 PQ＝ ，即线段 PQ 的最小值为．【解答】 解：解方程组得，∴ P 点坐标为（ 3a ﹣ 1，4a+2），设 x ＝ 3a ﹣ 1， y ＝ 4a+2，∴ y ＝ x+ ，即点 P 为直线 y ＝ x+上一动点，设直线 y ＝ x+ 与坐标的交点为 A 、B ，如图，则 A （﹣， 0），B （ 0， ），∴ AB ＝＝，过 M 点作 MP ⊥直线 AB 于 P ，交 ⊙ M 于 Q ，此时线段 PQ 的值最小，∵∠ MBP ＝∠ ABO ， ∴ Rt △ MBP ∽ Rt △ ABO ，∴MP ：OA ＝BM ：AB ，即 MP ：＝：，∴MP ＝ ，∴PQ＝﹣1＝，即线段 PQ 的最小值为．应选： C．5．【剖析】连结 BD ，由四边形EBCD 的面积是△ ABE 面积的 3 倍得平行四边形ABCD 的面积是△ ABE 面积的 4 倍，依据平行四边形的性质得S△ABD＝ 2S△ABE，则AD＝2AE，即点E 为AD 的中点， E 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（﹣， 0），利用线段中点坐标公式k 的值．得 D 点坐标为，再利用反比率函数图象上点的坐标特点得【解答】解：如图，连结BD，∵四边形EBCD 的面积是△ ABE 面积的 3 倍，∴平行四边形ABCD 的面积是△ ABE 面积的 4 倍，∴ S△ABD＝ 2S△ABE，∴ AD＝ 2AE，即点 E 为 AD 的中点，∵ E 点坐标为（0， 2），A 点坐标为（﹣， 0），∴ D 点坐标为（， 4），∵极点 D 在双曲线y＝（x＞0）上，∴ k＝× 4＝6，应选：B．6．【剖析】将△ AMD 绕点 A 逆时针旋转60°获得△ AM’D’，MD ＝ M’D ’，易获得△ADD ’和△ AMM ’均为等边三角形，推出 AM＝MM ’可得 MA +MD +ME＝ D’ M+MM ’+ME ，共线时最短；因为点 E 也为动点，可适当 D’E⊥BC 时最短，此时易求得 D ’E ＝ DG+GE 的值；【解答】解：将△ AMD 绕点 A 逆时针旋转60°获得△ AM’ D ’，MD ＝ M’D ’，易获得△ADD ’和△ AMM ’均为等边三角形，∴ AM ＝MM ’，∴ MA +MD +ME＝D ’ M+MM ’ +ME，∴ D′ M、 MM ′、 ME 共线时最短，因为点 E 也为动点，∴当 D’ E⊥ BC 时最短，此时易求得D’ E＝DG +GE＝ 4+3 ，∴ MA +MD +ME 的最小值为4+3．应选：B．二、填空题．【剖析】如图作点D 对于 BC 的对称点 D′，连结 PD ′，ED′．由 DP ＝PD ′，推出 PD +PF ＝ PD′ +PF ，又 EF ＝ EA＝ 2 是定值，即可推出当 E、 F、P、D′共线时， PF+PD′定值最小，最小值＝ ED′﹣ EF．【解答】解：如图作点 D 对于 BC 的对称点 D ′，连结PD′， ED ′．在 Rt△EDD ′中，∵ DE ＝ 6，DD ′＝ 8，∴ ED′＝＝10，∵DP＝ PD′，∴PD+PF＝ PD′+PF，∵ EF＝ EA＝ 2 是定值，∴当 E、 F 、P、 D′共线时， PF+PD′定值最小，最小值＝ 10﹣ 2＝ 8，∴PF+PD 的最小值为 8，故答案为8．2．【剖析】不可以用全等、相像的判断和性质求得AC 的状况下，考虑结构直角三角形用勾股定理来求，故过点 C 作 AB 垂线 CF．因为△ ABD 三边确立，可用勾股定理列方程求得AB 边上的高 DE 的长．依据平行线间距离到处相等，即有 CF ＝DE ，从而求得 BF 和 AF，再在Rt△ ACF 顶用勾股定理求 AC．【解答】解：过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E，过点 C 作 CF ⊥AB 交 AB 延伸线于点 F ∴∠AED＝∠ BED＝∠ F＝90°设 AE＝ x，∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝1∴BE＝ AB﹣ AE＝ 2﹣ x2 22 2 2＝BD 2∵在 Rt △ ADE 中， AE +DE＝ AD ，在 Rt △ BDE 中， BE +DE∴ DE 2＝ AD 2﹣AE 2＝BD 2﹣ BE 2得： 12﹣x 2＝ 22﹣（ 2﹣ x ）2解得： x ＝∴ DE 2＝ AD 2﹣AE 2＝12﹣（ ） 2＝∵ AB ∥ CD ∴ CF ＝ DE∴在 Rt △ BCF 中， BF ＝∴ AF ＝ AB+BF ＝ 2+ ＝∴在 Rt △ ACF 中， AC ＝3．【剖析】 由平行线的性质得∠ OAB ＝∠ OCD ，∠ OBA ＝∠ ODC ，两个对应角相等证明△OAB ∽△ OCD ，其性质得，再依据三角形的面积公式，等式的性质求出m ＝，线段的中点，反比率函数的性质求出k 的值为6．【解答】 解：如下图：∵ AB ∥ CD ，∴∠ OAB ＝∠ OCD ，∠ OBA ＝∠ ODC ， ∴△ OAB ∽△ OCD ，∴，若＝ m ，由 OB ＝ m?OD ，OA ＝ m?OC ，又∵ ， ，∴＝，又∵ S△OAB＝ 8， S△OCD＝ 18，∴，解得： m＝或m＝（舍去），设点A、 B 的坐标分别为（0， a），（ 0， b），∵，∴点 C 的坐标为（0，﹣a），又∵点 E 是线段BC 的中点，∴点 E 的坐标为（），又∵点 E 在反比率函数上，∴＝﹣＝，故答案为6．4．【剖析】依据菱形的性质获得AB＝ 1，∠ ABD＝ 30°，依据平移的性质获得A′ B′＝ AB ＝ 1，A′ B′∥ AB，推出四边形 A′ B′CD 是平行四边形，获得 A′ D＝ B′C，于是获得A'C+B'C 的最小值＝ A′ C+A′D 的最小值，依据平移的性质获得点 A′在过点 A 且平行于 BD 的定直线上，作点 D 对于定直线的对称点E，连结 CE 交定直线于A′，则 CE 的长度即为A'C+B'C 的最小值，求得 DE ＝CD，获得∠ E＝∠ DCE＝ 30°，于是获得结论．【解答】解：∵在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC＝ 60°，∴ AB＝ CD ＝ 1，∠ ABD＝ 30°，∵将△ ABD 沿射线 BD 的方向平移获得△A'B'D '，∴ A′ B′＝ AB＝1， A′B′∥ AB，∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB＝ CD ，AB ∥ CD，∴∠ BAD＝ 120°，∴ A′ B′＝ CD， A′B′∥ CD ，∴四边形A′B′ CD 是平行四边形，∴A′D＝B′ C，∴ A'C+B'C 的最小值＝ A′ C+A′D 的最小值，∵点 A′在过点 A 且平行于BD 的定直线上，∴作点 D 对于定直线的对称点 E，连结 CE 交定直线于 A′，则 CE的长度即为 A'C+B'C 的最小值，∵∠ A′ AD＝∠ ADB ＝ 30°， AD＝ 1，∴∠ ADE＝ 60°， DH ＝ EH＝AD ＝，∴DE＝ 1，∴DE＝ CD，∵∠ CDE＝∠ EDB′ +∠ CDB＝ 90° +30°＝ 120°，∴∠ E＝∠ DCE＝ 30°，∴CE＝ 2×CD＝．故答案为：．5．【剖析】由题意 PA＝ AB＝ AC＝m，求出 PA 的最大值和最小值即可解决问题；【解答】解：∵ A（ 0， 1）， B（ 0， 1+m）， C（ 0， 1﹣ m）（ m＞0），∴AB＝ AC＝ m，∵∠ BPC＝ 90°，∴PA＝ AB＝ AC，∵D（﹣ 4，﹣ 2）， A（ 0， 1），∴ AD＝＝5，∵点 P 在⊙D 上运动，∴ PA 的最小值为5﹣，PA的最大值为5+，∴知足条件的m 的取值范围为：5﹣≤ m≤ 5+故答案为5﹣≤ m≤ 5+．6．【剖析】过 Q 作 QE⊥AB 于 E，在 EP 上截取 EF＝EQ ，连结 QF，依照全等三角形的性质，即可获得AF ＝ PE＝10（定值），依照△ EFQ 是等腰直角三角形，可得FQ 与 FB 的夹角一直为45°，从而获得当BQ⊥ FQ 时， BQ 的长最小，依据△BQF 是等腰直角三角形，即可获得BQ 的长度．【解答】解：如下图，过Q 作 QE⊥ AB 于 E，在 EP 上截取 EF ＝EQ，连结 QF，∵△ DPQ 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是矩形，∴DP＝ PQ，∠ A＝∠ PEQ ，∠ ADP ＝∠EPQ，∴△ ADP≌△ EPQ（ AAS），∴AP＝ QE＝ FE， AD＝PE ＝10，∴AF＝ PE＝ 10（定值），又∵△ EFQ 是等腰直角三角形，∴∠ QFE＝ 45°，即 FQ 与 FB 的夹角一直为45°，如图，当BQ⊥ FQ 时， BQ 的长最小，此时，△ BQF 是等腰直角三角形，又∵ QE⊥BF，∴BE＝ EF ＝ QE＝ AP，又∵ PE ＝ 10，∴ BE ＝ AP ＝＝ ，∴ BF ＝ 5，∴ BQ ＝ cos45°× BF ＝，即BQ的最小值为，故答案为：．三、解答题1．【剖析】（ 1）先结构出△ CDN ≌△ CBE （ SAS ），得出 CN ＝ CE ，∠ DCN ＝∠ BCE ，从而判断出△ FCN ≌△ FCE ，即可得出结论；（ 2）利用等式的性质得出∠ AHC ＝∠ ACG ，从而判断出△ ACH ∽△ AGC ，即可得出结论；（ 3）分三种状况， ① 当 HC ＝HG 时，判断出△ HCD ≌△ GHA （AAS ），得出 AH ＝ CD ＝ 2， HD ＝ AG ＝ 4，再判断出△ AFG ∽△ BCG ，即可得出结论；② 当 GC ＝GH 时，判断出△ GBC ≌△ HAG （ AAS ），得出 AG ＝ BC ＝ 2＝ AB ，从而判断出 AF 是三角形 BCG 的中位线，即可得出结论；③ 当 CG ＝ CH 时，先判断出△ CAG ≌△ CAH （SAS ），得出∠ DCF ＝∠ ACF ＝°，在 CD 上取点 M 使 DM ＝DF ＝ m ，得出 MF ＝ CM ＝ m ，再判断出 CM ＝ MF ，得出m+m＝ 2，即可得出结论．【解答】（ 1）证明：如图，延伸 AD 至 N ，使 DN ＝ BE ， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ CDN ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ CB ， ∴△ CDN ≌△ CBE （ SAS ），∴ CN ＝ CE ，∠ DCN ＝∠ BCE ， ∵∠ ECF ＝ 45°， ∴∠ DCF +∠ BCE ＝45°， ∴∠ DCF +DCN ＝ 45°＝∠ FCN ， ∴∠ FCN ＝∠ FCE ， ∵ CF ＝ CF ， ∴△ FCN ≌△ FCE ，∴ FN ＝ EF ，∴ △ AEF 的 周 长 为 AE+AF +EF ＝ AB ﹣ BE+AF+FN ＝ AB ﹣ BE +AF+DF +DN ＝ AB ﹣BE+AF+DF +BE ＝AB+AD ＝ 2AB ＝ 4 是定值；（ 2）∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠ CAD ＝∠ CAB ＝ 45°， ∴∠ CAH ＝∠ CAG ＝ 135°，又∵∠ DAC ＝∠ AHC +∠ ACH ＝ 45°，∠ ECF ＝∠ ACF +∠ ACH ＝ 45°， ∴∠ AHC ＝∠ ACG ，∴△ ACH ∽△ AGC ，∴，∴ AC 2＝ AG?AH ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴AC＝ 2，∴AG?AH ＝ 8；（3）① 当 HC＝HG 时，∴∠ HGC ＝∠ HCG ＝45°，∴∠ CHG ＝ 90°，∴∠ CHD +∠ AHG ＝ 90°，∴∠ CHD +∠ DCH ＝ 90°，∴∠ DCH ＝∠ AHG ，∵∠CDH ＝∠ HAG ＝ 90°∴△HCD ≌△ GHA （ AAS）∴ AH＝ CD＝2， HD ＝AG＝4，∵ AF∥ BC，∴△ AFG∽△ BCG，∴，∴，∴ AF＝，②当 GC＝GH 时，∴∠ CHG ＝∠ HCG ＝ 45°，∴∠ CGH ＝ 90°，∴∠ BGC+∠ AGH ＝ 90°，∵∠ BGC+∠ BCG＝ 90°，∴∠ BCG＝∠ AGH，∵∠ CBG＝∠ GAH＝ 90°，∴△ GBC≌△ HAG（ AAS），∴AG＝ BC＝ 2＝AB，∵ AF∥ BC，∴ CF＝ GF，∴ AF ＝BC＝ 1；③当 CG＝CH 时，∴∠ CGH ＝∠ CHG ，∵AC 是正方形 ABCD 的对角线，∴∠ DAC＝∠ BAC＝ 45°，∴∠CAG＝∠ CAH＝ 135°，∵CA＝ CA，∴△ CAG≌△ CAH（ SAS），∴∠ DCF ＝∠ ACF＝°如备用图，在CD 上取点 M 使 DM ＝ DF ＝m，连结 MF ，∴MF ＝CM ＝ m，∠ DFM ＝ 45°＝∠ CFM +∠ DCF ＝∠°，∴∠ CFM ＝°＝∠ DCF ，∴ CM ＝ MF ，∴m+m＝2∴ m＝2﹣2，∴AF＝ AD ﹣ DF ＝4﹣ 2综上所述：当△CGH 是等腰三角形时，AF 的值为或1或4﹣2．2．【剖析】（ 1）依据点 A ， B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的分析式，再利用配方法可求出极点 D 的坐标；（ 2）利用二次函数图象上点的坐标特点可求出点 B 的坐标， 过点 D 作 DE ∥ BC ，交抛物线于点 E ，则 S △BCE ＝S △BCD ，由点 B ， C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解 析式，由 BC ∥DE 联合点 D 的坐标可得出直线 DE 的分析式，再连结直线 DE 和抛物线的分析式成方程组，经过解方程组可求出点E 的坐标；（ 3）利用二次函数图象上点的坐标特点可求出点 M 的坐标，过点 M 作 MF ⊥直线 BC 于点 F ，交 y 轴于点 P ，过点 B 作 BN ⊥直线 BC ，交 y 轴于点 N ，由 OC ＝ OB 联合 BN ⊥直线 BC 可得出点 N 的坐标，由点 B ，N 的坐标， 利用待定系数法可求出直线 BN 的分析式，由 MF ∥BN 联合点 M 的坐标可得出直线 MF 的分析式，联立直线MF 和直线 BC 的分析式成方程组， 经过解方程组可求出点 F 的坐标，从而可求出 MF 的长度，由∠ PCF ＝45°， ∠ PFC ＝90°可得出△ PCF 为等腰直角三角形，从而可得出 PF ＝ PC ，联合点到直线之间垂直线段最短可得出当MF ⊥ BC 时，MP+ PC 获得最小值， 最小值为 MF 的长度，本题得解．2【解答】 解：（ 1）将 A （﹣ 1， 0）， B （3， 0）代入 y ＝ ax +bx ﹣3，得：，解得： ，2∴抛物线的分析式为y ＝ x ﹣2x ﹣ 3．∴极点 D 的坐标为（ 1，﹣ 4）．（ 2）当 x ＝ 0 时， y ＝ x 2﹣ 2x ﹣3＝﹣ 3，∴点 C 的坐标为（ 0，﹣ 3）． 过点 D 作 DE ∥ BC ，交抛物线于点 E ，则 S △ BCE ＝ S △ BCD ，如图 1 所示．设直线 BC 的分析式为y ＝ kx+c （ k ≠0），将 B （ 3， 0），C （ 0，﹣ 3）代入 y ＝ kx+c ，得：，解得：，∴直线 BC 的分析式为 y ＝ x ﹣ 3．∵ BC ∥ DE ，∴设直线 DE 的分析式为 y ＝ x+d ，将 D （ 1，﹣ 4）代入 y ＝ x+d ，得：﹣ 4＝ 1+d ，解得： d ＝﹣ 5， ∴直线 DE 的分析式为y ＝ x ﹣ 5．连结直线 DE 和抛物线的分析式成方程组，得：，解得：， ，∴在线段 BC 下方的抛物线上，存在异于点D 的点E ，使 S △ BCE ＝ S △ BCD ，点 E 的坐标为（ 2，﹣ 3）．（ 3）当 x ＝﹣ 时， y ＝x 2﹣ 2x ﹣ 3＝ ，∴点 M 的坐标为（﹣，）．过点 M 作 MF ⊥直线 BC 于点 F ，交 y 轴于点 P ，过点 B 作 BN ⊥直线 BC ，交 y 轴于点 N ，如图2 所示．∵ OB ＝ OC ， ∴∠ BCO ＝ 45°， ∴∠ BNC ＝ 45°＝∠ BCO ，∴ON ＝OC ＝3，∴点 N 的坐标为（ 0， 3）．设直线 BN 的分析式为 y ＝ nx+t （ n ≠0），将 B （ 3， 0），N （ 0，3）代入 y ＝ nx+t ，得：，解得：，∴直线 BN 的分析式为 y ＝﹣ x+3． 设直线 MF 的分析式为 y ＝﹣ x+q ，将 M （﹣， ）代入 y ＝﹣ x+q ，得： +q ＝ ，解得： q ＝，∴直线 MF 的分析式为y ＝﹣ x+ ．联立直线 MF 和直线 BC 的分析式成方程组，得：，解得：，∴点 F 的坐标为（，﹣），∴MF ＝ ＝ ．∵∠ PCF ＝ 45°，∠ PFC ＝ 90°， ∴△ PCF 为等腰直角三角形，∴ PF ＝PC ，∴当 MF ⊥ BC 时， MP+PC ＝ MP +PF ＝ MF 最小，最小值为 ．3．【剖析】（ 1）先依据一次函数分析式确立A （ 4， 0），B （ 0，﹣ 2），再利用待定系数法求抛物线分析式；而后解方程﹣x 2+ x ﹣ 2＝ 0 得 C 点坐标；（ 2）如图 2，先证明△ PDE ∽△ OAB ．利用相像比获得PD ＝2PE ．设 P （ m ，﹣ m 2+ m﹣ 2），则 E （ m ，m ﹣ 2）．再利用 m 表示出 PD+PE 获得 PD +PE ＝ 3× [﹣ m 2+ m ﹣ 2 ﹣（ m ﹣ 2） ]，而后依据二次函数的性质解决问题；（ 3）议论：当点 M 在直线 AB 上方时，依据圆周角定理可判断点 M 在△ ABC 的外接圆上，如图 1，因为抛物线的对称轴垂直均分 AC ，则△ ABC 的外接圆 O 1 的圆心在对称轴上，设圆心 O 1 的坐标为（，﹣ t ），依据半径相等获得（22﹣4）） +（﹣ t+2 ） ＝（ 2+t 2，解方程求出 t 获得圆心 O 1 的坐标为 （ ，﹣ 2），而后确立 ⊙O 1 的半径半径为 ．从而获得此时 M 点坐标；当点 M 在在直线 AB 下方时，作 O 1 对于 AB 的对称点 O 2，如图 2，经过证明∠ O AB ＝∠ OAB 可判断 O 在 x 轴上，则点 O 的坐标为 （ ，0），而后计12 2 算出 DM 即可获得此时 M 点坐标．【解答】 解：（ 1）令 y ＝＝ 0，解得 x ＝ 4，则 A （ 4，0）．令 x ＝ 0，得 y ＝﹣ 2，则 B （ 0，﹣ 2）；∵二次函数 y ＝的图象经过 A 、 B 两点，∴，解得∴二次函数的关系式为y ＝﹣ x 2+ x ﹣ 2；当 y ＝ 0 时，﹣x 2+ x ﹣ 2＝ 0，解得 x 1＝ 1， x 2＝ 4，则 C （ 1， 0）；（ 2）如图 2，∵ PD ∥ x 轴， PE ∥ y 轴， ∴∠ PDE ＝∠ OAB ，∠ PED ＝∠ OBA ． ∴△ PDE ∽△ OAB ．∴＝＝ ＝2，∴ PD ＝ 2PE ．设 P （ m ，﹣ m 2+ m ﹣2），则 E （ m ， m ﹣2）．∴ PD+PE ＝ 3PE ＝ 3× [ ﹣ m 2+ m ﹣2﹣（m ﹣ 2） ]＝﹣ m 2+6m ＝﹣（ m ﹣ 2） 2+6 ；∵ 0＜m ＜ 4，∴当 m ＝ 2 时， PD+PE 有最大值 6； （ 3）当点 M 在直线 AB 上方时，则点M 在△ ABC 的外接圆上，如图1．∵△ ABC 的外接圆 O 1 的圆心在对称轴上，设圆心O 1 的坐标为（，﹣ t ），∵ O 1B ＝ O 1A ，∴（） 2+（﹣ t+2） 2＝（ ﹣ 4）2+t 2，解得 t ＝ 2．∴圆心 O 1 的坐标为（ ，﹣ 2）．∴ O 1A ＝＝ ，即 ⊙ O 1 的半径半径为 ．此时 M 点坐标为（， ）；当点 M 在在直线 AB 下方时，作 O 1 对于 AB 的对称点 O 2，如图 2．∵ AO 1＝ O 1B ＝ ，∴∠ O 1AB ＝∠ O 1BA ． ∵ O 1B ∥ x 轴， ∴∠ O 1BA ＝∠ OAB ．∴∠ O 1AB ＝∠ OAB ， O 2 在 x 轴上，∴点 O 2 的坐标为（， 0）．∴ O 2D ＝1，∴ DM ＝＝ ．此时点 M 的坐标为（ ，）．综上所述，点 M 的坐标为（ ， ）或（ ，）．4．【剖析】（ 1）在 Rt△ABD 中，依照勾股定理可求得BD 的长，而后依照MD ＝ ED?cos∠MDE ， cos∠ MDE ＝ cos∠ADB ＝，由此即可解决问题．（ 2）① 可分为点 E 在 AD 上，点 E 在 AD 的延伸线上画出图形，而后再依照MC ＝ MD ，CM ＝CD、 DM ＝DC 三种状况求解即可；②当 t＝ 0 时，圆心 O 在 AB 边上．当圆心 O 在 CD 边上时，过点 E 作 EH∥ CD 交 BD 的延伸线与点H．先求得DH 的长，而后依照平行线分线段成比率定理可获得DF ＝ DH ，而后依照DF ＝ DH 列出对于t 的方程，从而可求得t 的值，故此可获得t 的取值范围．【解答】解：（ 1）如图 1 所示：连结ME ．∵AE＝ t， AD＝ 8，∴ED＝ AD﹣AE ＝8﹣ t．∵ EF 为⊙O 的直径，∴∠ EMF ＝90°．∴∠ EMD ＝90°．∴ MD ＝ ED?cos∠ MDE ＝．（ 2）① a、如图 2 所示：连结MC ．当 DM ＝ CD ＝ 6 时，＝6，解得t＝；b、如图 3 所示：当MC ＝MD 时，连结MC，过点 M 作 MN ⊥ CD，垂足为N．∵MC＝ MD ， MN⊥CD，∴DN＝NC．∵MN⊥ CD， BC⊥CD ，∴ BC∥ MN．∴M 为 BD 的中点．∴ MD ＝ 5，即＝5，解得t＝；c、如图 4 所示： CM ＝ CD 时，过点 C 作 CG⊥DM ．∵CM＝ CD， CG⊥ MD ，∴GD＝MD＝．∵＝，∴DG＝ CD＝．∴＝．解得： t＝﹣ 1（舍去）．d、如图 5 所示：当CD＝ DM 时，连结EM．∵AE＝ t， AD＝ 8，∴ DE＝ t﹣ 8．∵EF 为⊙O 的直径，∴EM ⊥DM ．∴ DM ＝ ED?cos∠ EDM ＝．∴＝ 6，解得：t＝．综上所述，当t＝或 t＝或 t＝时，△ DCM 为等腰三角形．② 当如图t＝ 0 时，圆心6 所示：当圆心O在AB边上．O 在 CD 边上时，过点 E 作EH∥ CD 交BD 的延伸线与点H．∵HE∥ CD，OF ＝OE，∴DF＝ DH．∵ DH ＝＝，DF＝10﹣t，∴＝ 10﹣ t．解得：t＝．综上所述，在整个运动过程中圆心O 处在矩形ABCD 内（包含界限）时，t 的取值范围为 0≤ t≤．5．【剖析】（ 1）由图 1 和图 2 直接确立出AD ；（2）先利用互余即可得出∠ BAP＝∠ DGA ，从而判断出△ ABP∽△ DGA 即可确立出函数关系式；（ 3）分三种状况利用等腰三角形的性质和勾股定理求出x 的值，即可求出y 的值．【解答】解：（ 1）如图，当点 P 在 AB 上挪动时，点P 到 PA 的距离不变，当点P 从 B 点向 C 点挪动时，点 D 到PA 的距离在变化，由图 2 知， AD＝ 10，（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ABP＝∠ BAD ＝ 90°，∵DG ⊥AP，∴∠ AGD＝ 90°，∴∠ ABP＝∠ DGA ，∵∠ BAP+∠ GAD ＝90°，∠ CAG+∠ADG ＝ 90°，∴∠ BAP＝∠ DGA ，∴△ ABP∽△ DGA ，∴，∵AB＝ 6， AP＝x，DG ＝ y， AD＝ 10，∴，∴ y＝（6＜x≤ 2）；即：图 2 中 C2段图象的函数分析式y＝（6＜x≤2）；（ 3）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝ AB＝ 6， BC＝ AD＝ 10，∠ ABC＝∠ DCB ＝ 90°，当 AD＝AP 时，∵ AD＝10，∴ x＝ AP＝ 10，∴ y＝＝6，当 AD＝DP 时，∴ DP＝10，在 Rt△DCP 中， CD ＝ AB＝ 6， DP ＝10，∴ CP＝ 8，∴ BP＝ BC﹣ CP＝ 2，在 Rt△ABP 中，依据勾股定理得，x＝ AP＝＝＝2，∴ y＝＝＝3，当 AP＝ DP 时，点 P 是线段 AD 的垂直均分线，∴点 P 是 BC 的中点，∴BP＝ BC＝ AD ＝5，在 Rt△ABP 中，依据勾股定理得，x＝ AP＝＝＝，∴ y＝＝＝．6．【剖析】（ 1）将点 B 的坐标代入到抛物线的分析式中即可求得 a 值，从而求得其分析式；（ 2）利用两点坐标求得线段AB 的长，而后利用平行四边形的对边相等求得t＝ 5 时，四边形 ABOP 为平行四边形；若四边形ABOP 为等腰梯形，连结AP，过点 P 作 PG⊥AB ，过点 O 作 OH⊥ AB，垂足分别为G、H，依据△ APG≌△ BOH 求得线段OP＝GH ＝ AB﹣2BH ＝．（ 3）第一判断四边形ABOD是平行四边形， 而后确立S △DOC ＝× 5× 4＝10．过点P 作 PN ⊥ BC ，垂足为N ，利用△OPN ∽△ BOH获得 PN ＝t ，而后表示出四边形CDPQ的面积 S ＝S △ DOC ﹣S △OPQ ＝ 10﹣×（ 5﹣ 2t）×t ＝t 2﹣ 2 t+10 ，从而获得当 t ＝时，四边形 CDPQ 的面积 S 最小． 而后获得点 P 的坐标是 （﹣ 0），利用两点坐标公式确立 PQ 的长即可．【解答】 解：（ 1）把（ 1，0）代入 y ＝ a （ x+2） 2﹣ 4，得 a ＝．，﹣ 1），点 Q的坐标是 （﹣，∴ y ＝ （ x+2 ）2﹣ 4，即 y ＝ x 2+ x ﹣；（ 2）由题意得 OP ＝ t ，AB ＝ ＝ 5，若 OB ∥ AP ，即四边形 ABOP 为平行四边形时， OB ＝ AP ，且 OP ＝ AB ＝ 5，即当 t ＝5 时， OB ＝ AP ，若 OB 不平行于 AP ，即四边形 ABOP 为等腰梯形时， OB ＝AP ，连结 AP ，过点 P 作 PG⊥ AB ，过点 O 作 OH ⊥ AB ，垂足分别为 G 、 H ，∴△ APG ≌△ BOH ，在 Rt △OBM 中，∵ OM ＝ ，OB ＝1，∴BM ＝，∴OH ＝ ，∴ BH ＝ ，∴ OP ＝ GH ＝ AB ﹣ 2BH ＝，即当 t ＝时， OB ＝AP ；（ 3）将 y ＝ 0 代入 y ＝x 2+x ﹣ ，得x 2+x ﹣＝ 0，解得 x ＝1 或﹣ 5．∴ C （﹣ 5， 0）．∴ OC ＝5，∵ OM ∥ AB ， AD ∥ x 轴， ∴四边形 ABOD 是平行四边形， ∴ AD ＝ OB ＝ 1，∴点 D 的坐标是（﹣ 3，﹣ 4），∴S△DOC＝× 5× 4＝10，过点 P 作 PN⊥ BC，垂足为N．易证△ OPN∽△ BOH ，∴＝，即＝，∴ PN＝ t，∴四边形 CDPQ 的面积 S＝ S△DOC﹣ S△OPQ＝ 10﹣×（ 5﹣ 2t）×t＝t 2﹣ 2t+10 ，∴当 t＝时，四边形 CDPQ 的面积 S 最小，此时，点P 的坐标是（﹣，﹣ 1），点 Q 的坐标是（﹣， 0），∴ PQ＝＝．。
2020年江苏省中考数学试题汇编之压轴题精选(教师版)
2020年江苏省中考数学压轴题精选精析1（2020江苏常州28题）（答案暂缺）如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.2（2020江苏淮安28题）（答案暂缺）28．(本小题14分)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．(第28题）ly x-1-2-4-3-1-2-4-312435123（第24题图）3（2020江苏连云港24题）（本小题满分14分）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分别交于点M N ，，与x 轴分别交于点G H ，．（1）求直线AC 所对应的函数关系式；（2）当点P 是线段AC （端点除外）上的动点时，试探究：①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2020江苏连云港24题解析）解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知A C ，两点的坐标分别为(12)(21)，，，． 设直线AC 所对应的函数关系式为y kx b =+． ················ 2分有221k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得13k b =-⎧⎨=⎩，．所以，直线AC 所对应的函数关系式为3y x =-+． ·············· 4分 （2）①点M 到x 轴距离h 与线段BH 的长总相等． 因为点C 的坐标为(21)，，所以，直线OC 所对应的函数关系式为12y x =． 又因为点P 在直线AC 上，所以可设点P 的坐标为(3)a a -，． 过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，则有MK h =．因为点M 在直线OC 上，所以有(2)M h h ，． ······ 6分 因为纸板为平行移动，故有EF OB ∥，即EF GH ∥．又EF PF ⊥，所以PH GH ⊥．法一：故Rt Rt Rt MKG PHG PFE △∽△∽△，（第24题答图）从而有12GK GH EF MK PH PF ===． 得1122GK MK h ==，11(3)22GH PH a ==-．所以13222OG OK GK h h h =-=-=．又有13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-． ··············· 8分所以33(1)22h a =-，得1h a =-，而1BH OH OB a =-=-，从而总有h BH =． ··························· 10分法二：故Rt Rt PHG PFE △∽△，可得12GH EF PH PF =-．故11(3)22GH PH a ==-．所以13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-．故G 点坐标为3(1)02a ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 设直线PG 所对应的函数关系式为y cx d =+，则有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 所以，直线PG 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-． ············ 8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1BH OH OB a --=-，从而总有h BH =． ··············· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ONH ONG S S S =-△△1111133(1)222222a NH OH OG h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯- 22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭． ·················· 12分当32a =时，S 有最大值，最大值为38． S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫⎪⎝⎭，．···················· 14分4（2020江苏南京28题）（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？（2020江苏南京28题解析）28．（本题10分） 解：（1）900； ······························· 1分 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． ······· 2分 （3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 所以慢车的速度为90075(km /h)12=； ···················· 3分 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，所以快车的速度为150km/h ． ··············· 4分 （4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩，所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-． ······ 6分 自变量x 的取值范围是46x ≤≤． ····················· 7分 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ． 把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ． ······ 10分（第28题）y5（2020江苏南通28题）（14分）已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．（2020江苏南通28题解析）解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y =－2． ∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）．从而8216k =⨯=．……………………………………………………………………3分 （2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． ……………4分 S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =1122mn k =， ………………7分∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． …………………………8分由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）．………………………………………………………9分 设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得 42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是2233y x =+．………………………………………………11分 （3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1．（第28题）设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ．于是 111A M MA a mp MP M O m-===． 同理MB m aq MQ m+==，……………………………13分 ∴2a m m ap q m m-+-=-=-．……………………14分6(08江苏苏州28题)(答案暂缺)28．(本题9分) 课堂上，老师将图①中△AOB 绕O 点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB 旋转90°时，得到△A 1OB 1．已知A(4，2)、B(3，0)．（1）△A 1OB 1的面积是 ；A 1点的坐标为（ ， ；B 1点的坐标为( ， )； （2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB 绕AO 的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O ′B ′，设O ′B ′交OA 于D ，O ′A ′交x 轴于E ．此时A ′、O ′和B ′的坐标分别为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O ′B ′ 经过B 点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB 重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD 的面积)最小，求四边形CFBD 的面积；（3）在（2)的条件一下，△AOB 外接圆的半径等于 ．7（2020江苏宿迁27题）（本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切； (2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．（第28题）第27题（2020江苏宿迁27题解析）解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD AD ⊥ ∵A 、O 、D 在同一条直线上 ∴︒=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情况:①如图1, 设1D 点在第二象限时,过1D 作x E D ⊥11轴于点1E ,设此时的正方形的边长为a ,则2225)1(=+-a a ,解得4=a 或3-=a (舍去)．由BOA Rt ∆∽11OE D Rt ∆ 得OBOD BA E D OA OE 1111== ∴54,53111==E D OE ∴)54,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 34-=；②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作x E D ⊥22轴于点2E ,设此时的正方形的边长为b ,则2225)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．由BOA Rt ∆∽22OE D Rt ∆得OBOD BA E D OA OE 2222== ∴53,54222==E D OE ∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 43-=. (3)设),(0y x D ,则201x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-=∴x x BD S 513)1026(21212-=-==∵11≤≤-x∴851318513=-==+=最小值最大值，SS .第27题图1第27题图28（2020江苏泰州29题）已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，23-）。
中考数学必刷题压轴题专题：抛物线之新定义之整点专题
中考数学抛物线压轴题之新定义（整点问题）1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y轴交于点A．（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；（2）直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a围成的区域（不包括边界）记作G．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．①当a＝1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c、b（用含t的代数式表示）；（2）嘉琪认为：“当这条抛物线经过点B时，一定不会经过点C”请你通过计算说明他的说法对吗？（3）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．5．在平面直角坐标系中，y＝ax2﹣bx﹣c与y轴交于点A，将点A向右平移两个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有两个整点，结合函数图象，求a的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的各边与坐标轴平行，其中A（﹣4，2），B（2，2），反比例函数y＝的图象过B点，抛物线y＝﹣（x+m）2+2顶点在线段AB上．（1）若该抛物线与反比例函数y＝的交点在正方形的边AD上，求m的值．（2）若抛物线过原点O，判断抛物线与双曲线的交点能否在正方形的边上，试通过计算说明．（3）我们把横纵坐标都是整数的点称为整点（如A点），已知正方形，二次函数下方和反比例函数图象所形成的封闭区域（如图中阴影区域，包括边界）中的整点恰好有13个，求m的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．8．已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2的顶点为A，直线y＝x+3与抛物线交于点B，C（点B 在点C的左侧）．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在B，C两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为W．①当a＝0时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．10．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．11．如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣1）2﹣1与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．①直接写出线段AB上整点的个数；②将抛物线y＝（x﹣1）2﹣1沿x翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数．13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2+2mx+m﹣1沿x轴翻折得到抛物线C2．（1）求抛物线C2的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求抛物线C1和C2围成的封闭区域内（包括边界）整点的个数；②如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内（包括边界）恰有7个整点，求出m的取值范围．14．如图，已知二次函数y＝x2+2x﹣1的图象经过点P（1，m）．（1）求m的值和图象的顶点A的坐标；（2）点Q（n，t）在该二次函数图象上．①将点Q向左平移6单位得点Q′，若Q′恰好也在抛物线上，求n，t的值．②将横、纵坐标均为整数的点称为整点，在直线y＝t下方的抛物线上（包括边界）恰好存在7个整点，则t的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2．（1）求抛物线的对称轴及m的值（用含字母a的代数式表示）；（2）当a＞0时，抛物线a＝aa2﹣4aa+a的顶点为C，若△ABC为等边三角形，则求抛物线的解析式；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）当a＝1时，求点A，B，D的坐标；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有7个整点，结合函数图象，求a的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A（m，﹣1），点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及a的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W．①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2．（1）求抛物线的对称轴及m的值（用含字母a的代数式表示）；（2）若抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，0）之间，求a的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2的顶点为M．（1）顶点M的坐标为．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若MN∥y轴且MN＝2．①点N的坐标为；②过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N设△MPN的面积S，求S的取值范围；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点，称为“整点”若抛物线将这些“整点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．。
2020年江苏中考数学填空压轴题专题(含解析)
2020年江苏中考数学填空压轴题专题一．填空题1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P的坐标是．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH ⊥AP交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为cm2．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为cm．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为．21．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是．22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE 沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D 是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围为．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．37．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为．38．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是．三．解答题39．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求直线AB和OB的解析式．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（共38小题）1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P的坐标是P（5，2），P（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP，∴△AOB∽△PCA，∴=，∴==，设AC=m，则PC=2m，∵△PCA≌△PDA，∴AC=AD，PC=PD，∴==，如图1：当△PAD∽△PBA时，则=，则==，∵AB==2，∴AP=4，∴m2+（2m）2=（4）2，∴m=±4，当m=4时，PC=8，OC=8，P点的坐标为（8，8），当m=﹣4时，如图2，PC=8，OC=0，P点的坐标为（0，﹣8），如图3，若△PAD∽△BPA，则==，PA=AB=×2=，则m2+（2m）2=（）2，∴m=±1，当m=1时，PC=2，OC=5，P点的坐标为（5，2），当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P点的坐标为（3，﹣2）；则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是3＜x＜7．【解答】解：如图所示：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为：（7，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．故答案为：3＜x＜7．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为和．【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8，∴AB==6，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，在△ABD与△AED中，，∴△ABD≌△AED，∴∠AED=∠B=90°，BD=DE，如图1，过M作MP⊥DE于P，∵EM平分∠PEC，∴∠PEM=45°，∴PE=PM，∵△EC′M是△ECM沿EM折叠得到的，∴EC′=EC=AC﹣AE=4，设PE=PM=x，则PC′=4﹣x，∵tanC=tanC′=，∴，解得：x=，∴EM=PM=；如图2，∵tanC=，∴DE=BD=3，∴CD=C′D=5，∴C′E=2，∵tanC′=tanC=，∴EM=，∴DM===．综上所述：折痕的长度为：和．故答案为：和．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为或或．【解答】解：（1）当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，∵D为AB的中点，∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=BC=2，∴BQ=BD=，QM=﹣2=，∴∠3=90°﹣∠B，而∠2+∠3=90°，∴∠2=∠B，又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=∠B，即∠1=∠2，∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：，∴PN=，∴AP=+=；（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，DA=DC=，而Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3，∴CP=，∴AP=3﹣=；（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，∴Rt△APD∽Rt△ABC，∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，∴AP=．故答案为或或．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．【解答】解：∵AB=4，AD=3，∴BD=5，∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E，∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3，∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，∴D，C′，B三点共线，∴C′D=2，∠DC′E=90°，∵DE=4﹣CE，∵DE2=DC′2+C′E2，即（4﹣CE）2=22+CE2，∴CE=．故答案为：．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为2或5或18．【解答】解：由题意可知，AF⊥BE，∴∠BAF+∠ABE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠ABE，∴△ABE∽△DAM，∴=，∴=，∴DM=8，AM===10，①当MN=MD时，AN=AM﹣DM=10﹣8=2或AN=AM+DM=10+8=18，②当ND=NM时，易知点N是AM中点，所以AN=AM=5，综上所述，当AN=2或5或18时，△DMN是等腰三角形．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，∴A′B=AB=1，∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，∴MD=NC=，∴BN=BC﹣NC=1﹣=，在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣（）2=，所以，A′N==．故答案为：．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD、APEF是正方形，∴A、E、C共线，①当CD=CE=时，AE=AC﹣EC=2﹣，∴AP=AE=﹣1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，∴AE=AC﹣EC=1，∴AP=AE=．∴当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．故答案为﹣1或．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是60度，阴影部分的面积为．【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=CB′=CB=×2=1，∴B′D==，=×CD×DB′=×1×=，∴S△CDB′S扇形B′CB==，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案为：．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH ⊥AP交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=4﹣2、2或2．【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．∵HD=HC，∴点E为CD的中点，∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣2，或a=﹣4﹣2（舍去）；②当DH=DC时，如图2所示．∵DC=AB=2，∴DH=2．在Rt△AHD中，AD=4，DH=2，∴AH==2，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°，∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴BP=AB=2；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HE=DH．∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP，∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AF=AD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．综上所述：BP的长度为4﹣2、2或2．故答案为：4﹣2、2或2．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为2或cm2．【解答】解：如图1，等腰三角形面积为：×2×2=2，如图2，等腰三角形的高为：=，则其面积为：×2×=．故答案为：2或．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=或1．【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，设BP=BP'=a，AP=CP'=b，则PP'=a，在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，∴CP'==，∵BP的长a为整数，∴满足上式的a为1或2，当a=1时，AP=CP'=，当a=2时，AP=CP'=1，故答案为：或1．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或4．【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=BF，所以=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=CF，BF=B′F，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF的长度是或4．故答案为：或4．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，∵BP=FP，由翻折变换的性质可得BP=B′P，∴FP=B′P，∴FP⊥CD，∴B′，F，P三点构不成三角形，∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AGD，∵∠BAG=∠B′AG，∴∠AGD=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=5，∵PB′（PF）⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，∴B′C==4，∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5，∴AC：PB′=9：5，∵AC=3，∴PB′=．故答案为：．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为2或2﹣2．【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，∴AB=2，∠B=∠A′CB=45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，∵∠B=45°，∴A′C⊥AB，∴BH=BC=，DH=A′D=x，∴x+=2，∴x=2﹣2，∴AD=2﹣2；②如图2，当A′D∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，∵∠A′DC=∠ACD，∴∠A′DC=∠A′CD，∴A′D=A′C，∴AD=AC=2，综上所述：AD的长为：2或2﹣2．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是（2014，2016）．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CO=OB1cos30°=，∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，∴直线AA1的解析式为：y=x+2，∴y=×+2=3，∴A1（，3），同理可得出：A2的横坐标为：2，∴y=×2+2=4，∴A2（2，4），∴A3（3，5），…A2014（2014，2016）．故答案为：（2014，2016）．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为2πcm．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，∴AC=3cm，设⊙I的半径为x，∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，∴AE=3﹣x，BF=4﹣x，故3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，故⊙I的周长为2πcm．故答案为：2π．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为或﹣1．【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，分两种情况：①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，∴AF⊥BC，∴BF=CF=BC=，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=；②当CF=CA=2时，BF=BC﹣CF=2﹣2，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=﹣1；故答案为：或﹣121．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是6﹣π．【解答】解：连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF==π，S△ABC=AD•BC=×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣π．故答案为：6﹣π．22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE 沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为或．【解答】解：∵AD=BC=4，DF=CD=AB=6，∴AD＜DF，故分两种情况：①如图所示，当FA=FD时，过F作GH⊥AD与G，交BC于H，则HG⊥BC，DG=AD=2，∴Rt△DFG中，GF==4，∴FH=6﹣4，∵DG∥PH，∴△DGF∽△PHF，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=；②如图所示，当AF=AD=4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则Rt△AFG中，AG2+FG2=AF2，即AG2+FG2=16；Rt△DFG中，DG2+FG2=DF2，即（AG+4）2+FG2=36；联立两式，解得FG=，∴FH=6﹣，∵∠G=∠FHP=90°，∠DFG=∠PFH，∴△DFG∽△PFH，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=，故答案为：或．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵C（0，5），∴OC=5，∴OD==5，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=cos∠ODC===．故答案为：．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为或．【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=，∴AP=；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴，∴AP===．故答案为：或．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为或．【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵△BCD′为等腰三角形，∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB，∴∠DCD′=∠ABD′，在△DD′C和△AD′B中，，∴△DD′C≌△AD′B，∴DD′=AD′，∴DD′=AD′=AD，∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴DE=AE，设DE=x，则AE=2x，（2x）2﹣x2=42，解得：x=，即DE=．②：当CD'=CB时，如图，连接AC，由于AD'=4，CD'=4，而AC==＞4+4；故这种情况不存在．③当BD'=BC时，如图过D'作AB的垂线，垂足为F，延长D'F交CD于G，由于AD'=BD'，D'F=D'F；易知AF=BF，从而由勾股定理求得D'F===，又易证△AD'F∽△D'EG，设DE=x，D'E=x，∴，即；解得x=综上，故答案为：或．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D 是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．【解答】解：连接EC．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ECD=90°，∴点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，①当DB=DA时，点D与O重合，BD=OB=2，此时E（2，2）．②当AB=AD时，BD=CE=4，此时E（2，4）．③当BD=AB=2时，E（2，2）或（2，﹣2），故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为7或．【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得==，∵DN=AN，∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x，则CN=10﹣x，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得x=7，∴AN=7；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=，CD=，设AN=x，则CN=x﹣10，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得：x=，∴AN=．故答案为：7或．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为2或1．【解答】解：连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2即（7﹣x）2=25﹣x2，解得x=3或x=4，则点B′到BC的距离为2或1．故答案为：2或1．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是2．【解答】解：过点CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，即B的坐标是（0，4）．令y=0，解得：x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0）．则OB=4，OA=2．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=2，∴D的坐标是（﹣6，2），C的坐标是（﹣4，6）．将点D代入y=得：k=﹣12，则函数的解析式是：y=﹣．∴OE=6，则C的纵坐标是6，把y=6代入y=﹣得：x=﹣2．即G的坐标是（﹣2，6），∴CG=4﹣2=2．∴a=2．故答案为：2．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为或．【解答】解：分两种情况：①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，∴∠CDF=∠EFN，由折叠可得，EF=EB，∴∠EFN=∠EBN，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴FN==，∴CN=CF+NF=+=；②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴NF==，∴CN=NF﹣CF=﹣=，综上所述，CN的长为或．故答案为：或．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE 交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围为≤CF≤3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大=3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG==4，∴DG=AD﹣AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3﹣x）2+12=x2，∴x=，∴≤CF≤3．故答案为≤CF≤3．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．【解答】解：如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠B=60°，∴CK=BC•sin60°=4×=2 ，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是2 ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（ASA）；∴CE=CF，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（﹣m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∴CF=EC=，=××2 =，∴S△CEF故答案为．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．【解答】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，。
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拔高专题抛物线中的压轴题
一、基本模型构建
二、拔高精讲精练
探究点一：因动点产生的平行四边形的问题
例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2
+bx+c （a ≠0），
将A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点代入函数解析式得：1640
4420a b c c a b c -+⎪
-+⎪⎩
+⎧⎨＝＝＝
解得14
12a b c -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x −4；
（2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，12
m 2
+m −4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =
12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12
×4×4=-m 2
-2m+8-2m-8 =-m 2
-4m=-（m+2）2
+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4． （3）设P （x ，
12
x 2
+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标， 又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（
12
x 2
+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±
x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．
由此可得Q （-4，4）或（
4，-4）．
【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-2，0），B两点．
（1）a＞0，b2-4ac＞0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），
∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=1
3
，b=-
4
3
，c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y=1
3
x2-
4
3
x-4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，
则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y=1
3
x2-
4
3
x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的
平行四边形，
∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，
∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=1
3
x2-
4
3
x-4，
解得：x1，x2，
∴点E′的坐标为（，4），同理可得点E″的坐标为（，4）。
【教师总结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：
（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。
①确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。
探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题
例2: （2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
10
3
b c
c
+
⎨
⎩
+
⎧＝
＝
，解得：b=-4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；
（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3
2
，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，
，∴
或
-3
∴P1（0，
），P2（0，
）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，
∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，
）或（0，
）
或（0，-3）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=1
2
×（2-t）×2t=-t2+2t=-
（t-1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。
【变式训练】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=-x2+13
4
x+c的图象与x轴的一个交
点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将A点坐标代入y1，得-16+13+c=0．解得c=3，
二次函数y1的解析式为y=-x2+13
4
x+3，B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；
（3）直线AB的解析式为y=-3
4
x+3，AB的中点为（2，
3
2
），
AB的垂直平分线为y=4
3
x-
7
6
，当x=0时，y=-
7
6
，P1（0，-
7
6
），
当y=0时，x=9
4
，P2（
7
8
，0），
综上所述：P1（0，-7
6
），P2（
7
8
，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形。
【教师总结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角形，解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.。