2014-2015年广东省湛江一中培才学校高二上学期期中数学试卷及解析(理科)
2023-2024学年广东省湛江市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省湛江市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．英文单词peach 所有字母组成的集合记为A ，英文单词apple 所有字母组成的集合记为B ，则A ∩B ＝（ ） A ．{p } B ．{p ，e }C ．{p ，e ，a }D ．{p ，e ，a ，c }2．设z =1+i1−i+i 2，则z +z =（ ） A ．4B ．2C ．﹣2D ．﹣43．若直线a 2x +y ﹣1＝0的斜率大于﹣4，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣2，2） B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）4．在空间直角坐标系中，已知直线l 的一个方向向量为m →=(0，−1，−√3)，平面α的一个法向量为n →=(0，√3，1)，则直线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°5．已知圆C 的圆心为抛物线y ＝x 2+2x +3的顶点，且圆C 经过点（1，6），则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20 C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝16D ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝166．在四面体OABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →=（ ） A ．12OA →+14AB →+14AC →B ．OA →+14AB →+14AC →C ．12OA →+12AB →+12AC →D ．OA →+12AB →+12AC →7．某地A ，B 两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A （0，0），B （﹣2，0），一条河所在直线的方程为x +2y ﹣5＝0．若在河上建一座供水站P ，则P 到A ，B 两点距离之和的最小值为（ ） A ．4√2B ．32C ．4√3D ．488．已知点G 为△ABC 的重心，D ，E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF →=λAD →+μAE →，则1λ+4μ的最小值为（ ）A ．272B ．7C ．92D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直，则a 的值可能是（ ） A ．−32B ．−23C ．0D ．110．广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示：则（ ）A ．广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增B ．广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万C ．从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为12D ．广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万 11．圆C ：x 2+y 2﹣4x +6y +13＝r 2（r ＞0）与圆D ：x 2+y 2＝16的位置关系可能是（ ） A ．内含B ．相交C ．外切D ．内切12．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AP →=tAD 1→+(1−t)AB →，t ∈[0，1]，则（ ） A ．当BD 1⊥平面ACP 时，t =13B ．AP →⋅CP →的最小值为−13C ．当点D 到平面ACP 的距离最大时，t =23D ．当三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最大时，t =23 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f （x ）是奇函数，且f （6）＝﹣4+f （﹣6），则f （6）＝ ．14．在空间直角坐标系中，已知A （5，2，1），B （4，2，﹣1），C （0，﹣1，0），D （1，0，1），则直线AB 与CD 所成角的余弦值为 ．15．直线x cos40°﹣y sin40°+1＝0的倾斜角为 ．16．若曲线(x +√3)(√3x −y −2)=0与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2恰有4个公共点，则m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l经过直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：2x+y﹣4＝0的交点．（1）若直线l经过点（3，3），求直线l在x轴上的截距；（2）若直线l与直线l3：4x+5y﹣12＝0平行，求直线l的一般式方桯．18．（12分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知√5a sin B＝b．（1）求cos2A；（2）若A为钝角，且b=√5，c＝3，求△ABC的周长．19．（12分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别为AC，CC1，BC的中点，A1A=2√3，AB＝2．（1）证明：DF∥平面A1B1E．（2）若B1F⊥平面α，求平面α与平面A1B1E夹角的余弦值．20．（12分）已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线x﹣y＝0所得弦长等于2．（1）求圆C的标准方程；（2）求圆C截直线3x﹣y＝0所得弦长；（3）若P（x，y）是圆C上的一个动点，求z＝x2+y2+4x+6y+18的最小值．21．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥E﹣ABCD中，BC∥AD，BE⊥底面ABCD，AB＝BC＝1，BE＝AD＝3，AC=√2．（1）证明：AD⊥平面ABE．（2）延长AB至点F，使得AB＝BF，求点F到平面CDE的距离．22．（12分）已知圆C：λx2﹣2x+λy2﹣4y+6﹣5λ＝0（λ＞0）．（1）证明：圆C恒过两个定点．（2）当λ＝1时，若过点A（﹣1，0）的直线l与圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且1y1+1y2等于直线l的斜率，求直线l的斜率．2023-2024学年广东省湛江市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．英文单词peach 所有字母组成的集合记为A ，英文单词apple 所有字母组成的集合记为B ，则A ∩B ＝（ ） A ．{p }B ．{p ，e }C ．{p ，e ，a }D ．{p ，e ，a ，c }解：因为英文单词peach 所有字母组成的集合记为A ，英文单词apple 所有字母组成的集合记为B ， 所以A ＝{p ，e ，a ，c ，h }，B ＝{a ，p ，l ，e }， 所以A ∩B ＝{p ，e ，a }． 故选：C ． 2．设z =1+i1−i+i 2，则z +z =（ ） A ．4 B ．2C ．﹣2D ．﹣4解：∵z =1+i 1−i+i 2=1+i 1−i−1=1+i−i =−1+i ， ∴z +z =−1+i −1−i =−2． 故选：C ．3．若直线a 2x +y ﹣1＝0的斜率大于﹣4，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣2，2） B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）解：直线a 2x +y ﹣1＝0的斜率为﹣a 2，由题意﹣a 2＞﹣4，解得﹣2＜a ＜2． 故选：A ．4．在空间直角坐标系中，已知直线l 的一个方向向量为m →=(0，−1，−√3)，平面α的一个法向量为n →=(0，√3，1)，则直线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°解：设直线l 与平面α所成的角为β，β∈[0，π2]，则sinβ=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2√32×2=√32，则β＝60°．故选：C ．5．已知圆C 的圆心为抛物线y ＝x 2+2x +3的顶点，且圆C 经过点（1，6），则圆C 的方程为（ ）A ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝16D ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝16解：∵抛物线y ＝x 2+2x +3＝（x +1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），即圆C 的圆心坐标为（﹣1，2）， 又圆C 经过点（1，6），∴R =√(−1−1)2+(2−6)2=2√5， ∴圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣2）2＝20． 故选：B ．6．在四面体OABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →=（ ） A ．12OA →+14AB →+14AC →B ．OA →+14AB →+14AC →C ．12OA →+12AB →+12AC →D ．OA →+12AB →+12AC →解：因为D 为BC 的中点，所以AD →=12(AB →+AC →)．因为E 为AD 的中点，所以AE →=14(AB →+AC →)， 所以OE →=OA →+AE →=OA →+14AB →+14AC →． 故选：B ．7．某地A ，B 两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A （0，0），B （﹣2，0），一条河所在直线的方程为x +2y ﹣5＝0．若在河上建一座供水站P ，则P 到A ，B 两点距离之和的最小值为（ ） A ．4√2B ．32C ．4√3D ．48解：如图，设A 关于直线x +2y ﹣5＝0对称的点为A '（a ，b ），则{a 2+2⋅b2−5=0b a ⋅(−12)=−1，得{a =2b =4，即A '（2，4）， 易知|AP |＝|A 'P |，当A '，P ，B 三点共线时，|P A |+|PB |＝|P A '|+|PB |取得最小值，最小值为|A′B|=√(2+2)2+(4−0)2=4√2．故选：A ．8．已知点G 为△ABC 的重心，D ，E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF →=λAD →+μAE →，则1λ+4μ的最小值为（ ）A ．272B ．7C ．92D ．6解：因为点G 为△ABC 的重心，所以AG =23AF ，则AF →=32AG →，因为D ，G ，E 三点共线，AG →=23AF →=mAD →+(1−m)AE →，所以λ=32m ，μ=32(1−m)，所以λ+μ=32，λ，μ∈(0，1]， 所以1λ+4μ=(1λ+4μ)(λ+μ)⋅23=23(5+μλ+4λμ)≥23(5+2√4)=6，当且仅当μλ=4λμ，即μ=1，λ=12时，等号成立，故1λ+4μ的最小值为6．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直，则a 的值可能是（ ） A ．−32B ．−23C ．0D ．1解：直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直， 则a +2a （a +1）＝0，解得a ＝0或a =−32． 故选：AC ．10．广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示：则（ ）A ．广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增B ．广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万C ．从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为12D ．广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万 解：对于A ，由图可知，2021年到2022年常住人口在减少，故A 错误；对于B ，将广东省2017到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为： 11169.00，11346.00，11521.00，12601.25，12656.80，12684.00， 则极差为12684.00﹣11169.00＝1515万，故B 正确；对于C ，因为这6个数据中大于12000万的有3个，所以从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为36=12，故C 正确；对于D ，因为6×70%＝4.2，所以第70百分位数为12656.80万，故D 正确． 故选：BCD ．11．圆C ：x 2+y 2﹣4x +6y +13＝r 2（r ＞0）与圆D ：x 2+y 2＝16的位置关系可能是（ ） A ．内含B ．相交C ．外切D ．内切解：圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+（y +3）2＝r 2（r ＞0），圆D ：x 2+y 2＝16， 因为22+（﹣3）2＜16，所以圆C 的圆心在圆D 的内部， 所以两圆的位置关系可能是内含、相交、内切，不可能是外切． 故选：ABD ．12．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AP →=tAD 1→+(1−t)AB →，t ∈[0，1]，则（ ） A ．当BD 1⊥平面ACP 时，t =13B ．AP →⋅CP →的最小值为−13C ．当点D 到平面ACP 的距离最大时，t =23D ．当三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最大时，t =23 解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），D 1（0，1，1），C （1，1，0），所以BD 1→=(−1，1，1)，AD 1→=（0，1，1），AB →=（1，0，0），CA →=（﹣1，﹣1，0）， 所以AP →=tAD 1→+(1−t)AB →=（1﹣t ，t ，t ），即P （1﹣t ，t ，t ）， 所以CP →=（﹣t ，t ﹣1，t ），对于选项A ，当BD 1⊥平面ACP 时，BD 1→⋅CP →=t +t −1+t =0，解得t =13，即选项A 正确； 对于选项B ，AP →⋅CP →=−t(1−t)+t(t −1)+t 2=3t 2−2t =3(t −13)2−13，当t =13时，AP →⋅CP →取得最小值−13，即选项B 正确；对于选项C ，当P 是BD 1的中点，即t =12时，平面ACP ⊥底面ABCD ， 此时点D 到平面ACP 的距离最大，即选项C 错误； 对于选项D ，因为AD ⊥CD ，所以过斜边AC 的中点作平面DAC 的垂线，则三棱锥D ﹣ACP 外接球的球心必在该垂线上， 所以可设球心O 的坐标为(12，12，x)(0⩽x ⩽1)，球的半径为R ，因为|OP |＝|OA |＝R ，所以√(12−t)2+(t −12)2+(t −x)2=√12+x 2=R ，整理得t （3t ﹣2）＝2xt ， 在三棱锥D ﹣ACP 中，t ≠0，所以3t ﹣2＝2x ，即x =3t2−1， 所以R =√12+(32t −1)2⩾√22，当且仅当t =23时，等号成立，此时三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最小，即D 错误． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f （x ）是奇函数，且f （6）＝﹣4+f （﹣6），则f （6）＝ ﹣2 ． 解：因为f （x ）是奇函数，所以f （﹣6）＝﹣f （6）， 由f （6）＝﹣4+f （﹣6），即f （6）＝﹣4﹣f （6）， 所以2f （6）＝﹣4，则f （6）＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．在空间直角坐标系中，已知A （5，2，1），B （4，2，﹣1），C （0，﹣1，0），D （1，0，1），则直线AB 与CD 所成角的余弦值为√155． 解：因为CD →=(1，1，1)，AB →=(−1，0，−2)，所以cos ＜AB →，CD →＞=AB →⋅CD→|AB →|⋅|CD →|=−35×3=−√155，所以直线AB 与CD 所成角的余弦值为√155． 15．直线x cos40°﹣y sin40°+1＝0的倾斜角为 50° ． 解：∵直线x cos40°﹣y sin40°+1＝0的斜率为k =cos40°sin40°=sin50°cos50°=tan50°，又倾斜角的范围是[0，π）， ∴直线的倾斜角为50°． 故答案为：50°．16．若曲线(x +√3)(√3x −y −2)=0与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2恰有4个公共点，则m 的取值范围是 (−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞) ．解：因为曲线(x +√3)(√3x −y −2)=0与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2恰有4个公共点，所以直线x +√3=0，√3x −y −2=0均与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2相交，且两直线的交点(−√3，−5)不在该圆上，则有{√3＜|m||√3×0−m−2|3+1|m|(−√3)2+(−5−m)2≠m 2，解得m ∈(−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞)． 故答案为：(−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞)． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 经过直线l 1：x ﹣y +1＝0与直线l 2：2x +y ﹣4＝0的交点． （1）若直线l 经过点（3，3），求直线l 在x 轴上的截距；（2）若直线l 与直线l 3：4x +5y ﹣12＝0平行，求直线l 的一般式方桯． 解：（1）由{x −y +1=02x +y −4=0解得{x =1y =2，即l 1和l 2的交点坐标为（1，2），因为直线l 经过点（3，3），所以直线l 的斜率为3−23−1=12，所以直线l 的方程为y −2=12(x −1)，令y ＝0，得x ＝﹣3，所以直线l 在x 轴上的截距为﹣3； （2）因为直线l 与直线l 3：4x +5y ﹣12＝0平行，可得直线l 的斜率为−45，所以直线l 的方程为y ﹣2=−45（x ﹣1），即直线l的一般式方程为4x+5y﹣14＝0．18．（12分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知√5a sin B＝b．（1）求cos2A；（2）若A为钝角，且b=√5，c＝3，求△ABC的周长．解：（1）因为√5asinB=b，所以由正弦定理，可得√5sinAsinB=sinB，因为sin B＞0，所以sinA=√55，所以cos2A=1−2sin2A=3 5；（2）因为A为钝角，且sinA=√55，所以cosA=−√1−(√55)2=−2√55，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即a2=5+9−6√5×(−2√55)=26，所以a=√26，故△ABC的周长为3+√5+√26．19．（12分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别为AC，CC1，BC的中点，A1A=2√3，AB＝2．（1）证明：DF∥平面A1B1E．（2）若B1F⊥平面α，求平面α与平面A1B1E夹角的余弦值．（1）证明：因为D，F分别为AC，BC的中点，所以DF∥AB，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB∥A1B1，所以DF∥A1B1，又因为DF⊄平面A1B1E，A1B1⊂平面A1B1E，所以DF∥平面A1B1E；（2）解：取AB的中点O，连接OC，以O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(−1，0，2√3)，B 1(1，0，2√3)，E(0，√3，√3)，F(12，√32，0)， 所以A 1E →=(1，√3，−√3)，A 1B 1→=(2，0，0)，设平面A 1B 1E 的法向量为n →=(x ，y ，z)，所以n →⊥A 1B 1→，n →⊥A 1E →，则{n →⋅A 1B 1→=2x =0，n →⋅A 1E →=x +√3y −√3z =0，取y ＝1，得x ＝0，z ＝1，所以平面A 1B 1E 的一个法向量为n →=(0，1，1)，因为B 1F ⊥平面α，所有B 1F →=(−12，√32，−2√3)是平面α的一个法向量，所以|cos〈n →，B 1F →〉|=|n →⋅B 1F →||n →||B 1F →|=3√3226=3√7852． 故平面α与平面A 1B 1E 夹角的余弦值为3√7852． 20．（12分）已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线x ﹣y ＝0所得弦长等于2．（1）求圆C 的标准方程；（2）求圆C 截直线3x ﹣y ＝0所得弦长；（3）若P （x ，y ）是圆C 上的一个动点，求z ＝x 2+y 2+4x +6y +18的最小值．解：（1）∵圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，得圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，圆截直线x ﹣y ＝0所得弦长等于2，∴圆C 的直径为2r ＝2，即r ＝1．设圆心C 的坐标为（a ，a ）（a ＞0），则a ＝r ＝1，∴圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．（2）∵圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴圆的半径为r ＝1，圆心C （1，1）到3x ﹣y ＝0的距离d =10， ∴圆C 截直线3x ﹣y ＝0所得弦长为2√1−d 2=2√155．（3）z ＝x 2+y 2+4x +6y +18＝（x +2）2+（y +3）2+5=[√(x +2)2+(y +3)2]2+5，∵√(x +2)2+(y +3)2表示点P （x ，y ）与点A （﹣2，﹣3）之间的距离|P A |，又点P （x ，y ）在圆C 上，∴|P A |的最小值为|AC|−r =√(−2−1)2+(−3−1)2−1=4，∴z 的最小值为42+5＝21．21．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥E ﹣ABCD 中，BC ∥AD ，BE ⊥底面ABCD ，AB ＝BC ＝1，BE ＝AD ＝3，AC =√2．（1）证明：AD ⊥平面ABE ．（2）延长AB 至点F ，使得AB ＝BF ，求点F 到平面CDE 的距离．解：（1）证明：∵AB ＝BC ＝1，BE ＝AD ＝3，AC =√2，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴AB ⊥BC ，又BE ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴BE ⊥BC ，又AB ∩BE ＝B ，∴BC ⊥平面ABE ，又BC ∥AD ，∴AD ⊥平面ABE ；（2）以B 为坐标原点，BE →，BA →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建系如图，则E （3，0，0），C （0，0，1），D （0，1，3），F （0，﹣1，0），∴CE →=(3，0，−1)，CD →=(0，1，2)，设平面CDE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CE →=3x −z =0n →⋅CD →=y +2z =0，取n →=(1，−6，3)，又FE →=(3，1，0)，∴点F 到平面CDE 的距离d =|n →⋅FE →||n →|=3√46=3√4646． 22．（12分）已知圆C ：λx 2﹣2x +λy 2﹣4y +6﹣5λ＝0（λ＞0）．（1）证明：圆C 恒过两个定点．（2）当λ＝1时，若过点A （﹣1，0）的直线l 与圆C 交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，且1y 1+1y 2等于直线l 的斜率，求直线l 的斜率．（1）证明：圆C 的方程可化为λ（x 2+y 2﹣5）﹣2x ﹣4y +6＝0．令{x 2+y 2=5−2x −4y +6=0，得 {x =−1y =2，或{x =115y =25， 故圆C 恒过两个定点，且这两个定点的坐标为（﹣1，2）和(115，25)； （2）解：当λ＝1时，圆C 的方程可化为x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0．由题知直线l 的斜率k 存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k （x +1），联立{y =k(x +1)x 2+y 2−2x −4y +1=0，消去x 得（1+k 2）y 2﹣4k （1+k ）y +4k 2＝0， 所以{ y 1+y 2=4k(1+k)1+k 2y 1y 2=4k21+k 2，Δ＝16k 2（1+k ）2﹣16k 2（1+k 2）＞0，解得k ＞0． 因为1y 1+1y 2=y 1+y 2y 1y 2=1+k k ，所以1+kk =k ，解得k =1±√52，又k ＞0， 所以k =1+√52．。
广东省湛江第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题
湛江一中2014---2015学年度第二学期期中考试高二级数学文科试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,3,4},{1235}A B ==，，，，则AB 中元素的个数为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 2．设i 为虚数单位，则复数34ii-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量a =(2,-1), b=(x-2,-2),若a ∥b ，则a-b 等于（ ）A.(-2，-1)B.(-2，1)C.(2，-1)D.(2，1) 4．下列函数为偶函数的是( )A. y=lnx B ．()lny x x 2=+1- C ．x y =2 D ．ln y x 2=+15.若,x y 满足约束条件280306x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则z x y =+的最小值为( )A ．5B ．6C ．7D ．96.下面是一商场某一个时间制定销售计划的局部结构图,则“计划”受影响的主要因( )A.4个B.3个C.2个 D7个7、命题“2000,40x R x x ∃∈++>” 的否定是( )A.2,40x R x x ∀∈++≥ B. 2000,40x R x x ∃∈++> C. 2000,40x R x x ∃∈++<. D.2,40x R x x ∀∈++≤8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两个品牌的彩电都齐全的概率是（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D9．已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(4,4)为AB的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．24y x = B. 24y x =－ C. 24x y = D. 28y x =10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝78，则n ＝( )．A ．20B ．19C ．10D ．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11、函数2ln 1y x =+在点（1,1）处的切线方程为 .12．执行如图的程序框图，则输出S 的值为 ．13.满足方程x 2－3x －4+(y 2－6y +9)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是14．如图，P 是圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA 中点为M ，过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C ，D 两点，若PB=8,MC=2，则CD= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是2COS ρθ=，直线l 的参数方程是22,3253x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与y 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最小值.16．.(本小题满分12分)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性400人，其中有30人患色盲，调查的600名女性中有20人患色盲．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)有多大把握认为“性别与患色盲有关系”？参考公式及数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )附临界值参考表：17．（本小题满分14分）已知在等差数列{}n a 中，14a =，825a =， 11n n n b a a += （1）求n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：112n T < 18．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，BC ⊥平面ABE ，且4,BC AE EB ==，F 为CE 的中点，且BF⊥平面ACE ，.BD AC G =BA（1）求证：//AE 平面BFD ； （2）求证：AE ⊥平面BCE ； （3）求三棱锥E ADC -的体积.19．（本小题满分14分）在直角坐标系0x y 中，焦点在y 轴上，椭圆与x 轴交点坐标为（-1，0），（1，0），直线l:1y kx =+与椭圆交于A 、B 两点。
湛江市2014-2015学年度第一学期期末高中调研考试试题高中数学必修1、必修2试题
湛江市2014—2015学年度第一学期期末调研考试 高中数学（必修①、必修②）试卷 第 1 页 （共6 页）湛江市2014—2015学年度第一学期期末调研考试高中数学(必修①、必修②)试卷说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．球的表面积公式：24R S ⋅=π，其中R 是球的半径； 锥体的体积公式：h s V ⋅⋅=31，其中s 是锥体的底面积。
h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内1．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,4,3{=A ，则∁=A U A . }6,2,1{ B . }5,4,3{ C . }6,5,4,3,2,1{ D . ∅ 2．倾斜角等于 45，在y 轴上的截距等于2的直线方程是 A ．2--=x y B ．2+-=x y C ．2-=x y D ．2+=x y 3．函数x x f ln 1)(-=的定义域是 A. ),0(e B. ],0(e C. ),[∞+e D. ),(∞+e 4．已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则=)2(f A ．2- B ．2 C ．2- D ．2 5．一个棱长为1的正方体的顶点都在球面上，则这个球面的表面积是 A ．π B ．π3 C ．π4 D ．π12 6．使函数22)(x x f x -=有零点的区间是 A ．)2,3(-- B ．)1,2(-- C ．)0,1(- D ．)1,0( 7．圆088222=-+++y x y x 与圆014422=---+y x y x 的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．内含学校班级 姓 学号密封线湛江市2014—2015学年度第一学期期末调研考试 高中数学（必修①、必修②）试卷 第 2 页 （共6 页）左视图 俯视图8．正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1AD 和D C 1所成的角是A . 30B . 45C . 60D . 909．一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为A . 384+B . 20C . 344+D . 1210．已知圆的方程是3622=+y x ，记过点)2,1(P 的最长弦和最短弦分别为AB 、CD ，则直线AB 、CD 的斜率之和等于A ．1-B ．23C ．1D ．23-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在空间直角坐标系中，点)1,2,1(-A 和坐标原点O 之间的距离=||OA ．12．已知函数⎩⎨⎧≥<+=2log 2)3()(3x x x x f x f ，则=-)3(f ． 13．由直线042=-+y x 上任意一点向圆1)1()1(22=-++y x 引切线，则切线长的最小值为 ．14．下列五个命题中：①函数2015)12(log +-=x y a (0a >且1)a ≠的图象过定点)2015,1(；②若定义域为R 函数)(x f 满足：对任意互不相等的1x 、2x都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 是减函数；③若2(1)1f x x +=-，则2()2f x x x =-；④若函数1222)(+-+⋅=x x a a x f 是奇函数，则实数1-=a ； ⑤若log 8 (0,1)log 2c c a c c =>≠，则实数3=a ． 其中正确的命题是 ．（填上相应的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）计算：（1）6561312121324)6)(2(b a b a b a --； （2）251lg 4lg ln 402log 4-+-+e π．湛江市2014—2015学年度第一学期期末调研考试 高中数学（必修①、必修②）试卷 第 3 页 （共6 页）16．（本小题满分12分）已知点)0,3(-A ，)3,3(-B ，)3,1(C ．（1）求过点C 且和直线AB 平行的直线1l 的方程；（2）若过B 的直线2l 和直线BC 关于直线AB 对称，求2l 的方程．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60=∠ABC ，⊥OA 底面ABCD ，2=OA ，M 是OA 中点，P 为CD 中点． （1）证明：⊥CD 平面MAP ；（2）证明：//MP 平面OBC ；（3）求三棱锥PAD M -的体积．湛江市2014—2015学年度第一学期期末调研考试 高中数学（必修①、必修②）试卷 第 4 页 （共6 页） A 1A B CD P 1B 1C 1D 18．（本小题满分14分）如图：长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 中点．（1）证明：//1BD 平面PAC ；（2）证明：平面PAC ⊥平面11B BDD ；（3）求CP 与平面11B BDD 所成角的度数．湛江市2014—2015学年度第一学期期末调研考试 高中数学（必修①、必修②）试卷 第 5 页 （共6 页） 19．（本题满分14分） 已知以点)2,(tt C )0,(≠∈t R t 为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．（1）求OAB ∆的面积；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点N M ,，若ON OM =，求圆C 的方程．湛江市2014—2015学年度第一学期期末调研考试 高中数学（必修①、必修②）试卷 第 6 页 （共6 页） 20．（本题满分14分）已知二次函数)(x f 的图象过点)4,0(，对任意x 满足)()3(x f x f =-，且有最小值47． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数x t x f x h )32()()(--=（R t ∈）在区间]1,0[上的最小值；（3）是否存在实数m ，使得在区间]3,1[-上函数)(x f 的图象恒在直线m x y +=2的上方？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由．。
广州省湛江市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学检测试题(附解析)
一、选择题: 本题共8小题， 每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合要求的．1. 已知集合{|31}Ax x =−≤≤，{}2B xx =≤，则A B = （ ）A. {|21}x xB. {|01}x x ≤≤C. {|32}−≤≤x xD. {|12}x x ≤≤【答案】A【详解】{}{}2|22Bxx x x =≤=−≤≤，则{|21}A B x x =−≤≤ . 故选：A.2. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()4f −=（ ） A.12B. 2C. 12−D. 2−【答案】D【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，所以()24(4)log 42f f −=−=−=−. 故选：D.3.直线10x −+=的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A【详解】整理得)1y x =+,tan 30°， 所以倾斜角为30°. 故选：A4. 已知直线260x my −+=平分圆2C ：()()22124x y −+−=周长，则m =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B的广州省湛江市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学检测试题【详解】由()()22124x y −+−=，可得圆心为(1,2)，因为直线260x my −+=平分圆2C ：()()22124x y −+−=的周长，所以直线过圆的圆心，则2260m −+=，解得4m =. 故选：B.5. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的一条渐近线为y =，则C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 4【答案】C【详解】由双曲线方程易知C 的渐近线为b y x a=±，所以ba=2e故选：C6. 若α是第二象限角，且()1tan π2α−=，则πcos 2α+=（ ）A.B.C.D. 【答案】D【详解】α是第二象限角，且()1tan π2α−=， 1tan ,sin 02αα=−>，πcos sin 2αα +=− ， 故选：D.7. 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，M 为棱1AA 的中点，N 为棱1CC 上靠近点C 的一个三等分点，若记正三棱柱111ABC A B C −的体积为V ，则四棱锥B AMNC −的体积为（ ）.A.512V B.518V C. 524V D.536V 【答案】B【详解】正三棱柱111ABC A B C −中，设1,AB a AA b ==，取AC 的中点D ，连接BD ，则BD ⊥AC ，BD ，212ABC S a =×= ，正三棱柱111ABC A B C −的体积1ABC V S AA =×=1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，则1AA ⊥BD ，又BD ⊥AC ，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ，111523212AMNC ab S b b a =×+×= ，则四棱锥B AMNC −的体积1153312581B AMNC AMNC V ab V S BD −=××=×=．故选：B ．8. 已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=°，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.13C.D.【答案】C【详解】设椭圆右焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q ′为平行四边形，则QF PF ′=，因为120PFQ ∠=°，可得60FPF ∠=′°，所以42PF PF PF a ′′+==，则1||2PF a ′=，3||2PF a =， 由余弦定理可得2222(2)||||2||||cos 60(||||)3||||c PF PF PF PF PF PF PF PF ′′′=+′−°=+−，即2222974444c a a a =−=，即227.16c a =故椭圆离心率e = 故选：C .二、选择题: 本题共3小题， 每小题6分， 共18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有选错的得0分．9. 已知向量(2,1)a −，(,1)b t =− ，则（ ）A. 若ab⊥，则12t =− B. 若a，b 共线，则2t =−C. b不可能是单位向量D. 若0t =，则25a b −=【答案】AD【详解】对于A ，由a b ⊥ ，得210a b t ⋅=−−= ，解得12t =−，A 正确；对于B ，由a，b 共线，得2(1)10t −×−−⋅=，解得2t =，B 错误； 对于C ，当0t =时，b是单位向量，C 错误；对于D ，当0t =时，2(4,2)(0,1)(4,3)a b −=−−−=−，则25a b −=，D 正确． 故选：AD10. 已知,x y 为正实数，4x y +=，则（ ）A. xy 的最大值为4B.的最小值为C. 4y x y+的最小值3D. 22(1)(1)x y ++的最小值为16【答案】ACD【详解】对于A ，44x y xy =+≥⇒≤，当且仅当2xy ==时取等号，故A 正确；对于B ，令1,3x y ==，则((22148+=+<=，故B 错误；对于C ，4113y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当2x y ==时取等号，故C 正确； 对于D ，()()()()22222222(1)(1)12111616x y xy x y xy x y xy xy ++=+++=++−+=−+≥，当且仅当22x y +或22x y +等号成立，故D 正确； 故选：ACD.11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积. 如下图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12,B B ，左、右顶点分别为12,A A ，1132OP OB = ，2232OP OB =，设C 的离心率为e ，则（ ）A. 若1212//B F P A ，则23e =B. 四边形1122F B F B 面积与C 的面积之比为2πe C. 四边形1122F B F B 的内切圆方程为222222()a ab x y b−+=D. 设椭圆外阴影部分的面积为S 外，椭圆内阴影部分的面积为S 内，则S S <外内 【答案】ABD【详解】由题可得()()12,0,,0F c F c −，上、下顶点分别为()()120,,0,B b B b −， 左、右顶点分别为()()12,0,,0A a A a −，因为，1132OP OB = ，2232OP OB = ，所以12330,,0,22P b P b−， 对于A ，若1212//B F P A ，则1122OB OP OF OA =，所以32b b c a=，则32a c =， 故椭圆离心率23c e a ==，故A 正确；对于B ，四边形1122F B F B 的面积为112121122222S F F B B c b bc =⋅=⋅⋅=，椭圆C 的面积2πS ab =，则面积比为1222ππS bc e S ab ==，故B 正确； 对于C ，设四边形1122F B F B 的内切圆半径为r ，则在11Rt OF B 中可得1111OF OB F B r ⋅=⋅，所以bc r a ==1122F B F B 的内切圆方程为222222()b a b x y a −+=，故C 不正确； 对于D ，由题意有又1232OP OP b ==，所以112212121123322A P A P S A A PP a b ab =⋅=⋅⋅=， 所以112223π0A P A P S S ab ab −−<，而且11222A P A P S S −=S −外0S <内， 故S S <外内，故D 正确. 故选：ABD.三、填空题: 本题共3小题， 每小题5分， 共15分．12. 直线21y kx k =−+恒过的定点坐标为______________. 【答案】(2,1)的【详解】()21y k x =−+，令2x =，则1y =， 故其恒过点()2,1. 故答案为：()2,1.13. 已知函数,0()2,0x a x x f x a x+< = ≥ 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】(]1,2【详解】由于函数,0()2,0x a x x f x a x+< = ≥ 在R 上单调递增， 所以需要满足：012a a a >≥，解得12a <≤，故答案为：(]1,2.14. 已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=−+，则PQF △的周长的最大值为__________. 【答案】8【详解】由条件()()tan tan tan 3tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++=−+=− ，π,tan tan 0αβαβ+∴+≠ ＜ ，即11tan tan 3αβ−=− ，4tan tan 3αβ= ， 设()00,P x y，由题意：((12,0,B B，则tan tan αβ ，20204tan tan 33x y αβ∴==− ，即2200143x y += ，即椭圆C 的标准方程为22143x y += ，2,1a b c == ；设左焦点为F ，右焦点为2F ，如下图：则PFQ △ 的周长224l PF QF PQ a PF QF PQ =++=−−+ , 22PF QF PQ +≥ ，当2,,P Q F 三点共线时等号成立，48l a ∴≤= ，l 得最大值为8； 故答案为：8.四、解答题: 本题共6小题， 共70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．15. 记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()b c a b c a bc +−++=. （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3BAD CAD ∠=∠，4AC =，AD =，求sin ADB ∠.【答案】（1）2π3A = （2【解析】 【小问1详解】()()22222()2b c a b c a b c a b bc c a bc +−++=+−=++−=，则222b c a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−，因为0πA <<，所以2π3A =. 【小问2详解】的由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠， 所以π6CAD ∠=，π2BAD ∠=，如图在ACD 中，由余弦定理2222cos CD AD AC AD AC DAC ∠=+−⋅31647=+−=，即CD =在ACD 中由正弦定理sin sin CD AD DAC C∠=12=所以sin C =，因为π03C <<，故cos C ，在ABC 中,()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=−，显然B 为锐角，则sin sin cos 2ADB B B π ∠=−= . 16. 已知圆1C 与y 轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l 上． （1）求圆1C 的方程；（2）圆1C 与圆2C ：222290x y x y +−+−=相交于M 、N 两点，求两圆的公共弦MN 的长．【答案】（1）()()224316x y −+−=；（2）. 【解析】【详解】（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，即y=x ﹣1．由题意可得，圆心在直线y=3上， 由，解得圆心坐标为（4，3），故圆C 1的半径为4．则圆C 1的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2=16； （2）∵圆C 1的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2=16， 即x 2+y 2﹣8x ﹣6y+9=0， 圆C 2：x 2+y 2﹣2x+2y ﹣9=0，两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y ﹣9=0． 圆C 1的圆心到直线3x+4y ﹣9=0的距离d=．∴两圆的公共弦MN 的长为．17. （本题不能使用空间向量）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 中角B 为直角，11AA AB ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，1A B =1AC 与平面ABC 所成角为6π.（1）证明：平面ABC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角1B A C A −−的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）二面角1B A C A −−【解析】 【小问1详解】证明：因为11AA AB ==，1A B =所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥； 因为90ABC ∠=°，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11ABB A ，因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以1AA BC ⊥， 因为AB BC B = ，AB 、⊂BC 平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，又1AA ⊂平面11ACC A ， 所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；【小问2详解】因为1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1ACA ∠，所以130ACA ∠=°，因为11AA AB ==，且1A B =，12AC =，AC =BC = 作BD AC ⊥交AC 于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ， 所以BD ⊥平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，所以1BD A C ⊥， 作1DE A C ⊥交1AC 于E ，连接BE ，因为BD DE D = ，BD 、DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ， 因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A −−的平面角，因为AC BD AB BC ⋅=⋅1=，所以BD =因为11A C BE A B BC ⋅=⋅即2BE =1BE =，所以sin BD BED BE ∠=，所以二面角1B A C A −−．18. 已知椭圆C 的焦点为1(F ，2F ，左、右顶点分别为,A B ，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，12PF F 的周长为4+.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PB 交直线4x =于点T ，连接AT 交椭圆C 于点Q ，直线AP ，AQ 的斜率分别为AP k ，AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ⋅为定值；（ii ）设直线:PQ xty n =+，证明：直线PQ 过定点. 【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y += （2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析 【解析】【小问1详解】依题意可设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且c =，又12PF F 的周长为224a c +=+，即2a =，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． 【小问2详解】证明：（i ）设1(P x ,11)(2)y x ≠±，2(Q x ,2)y ，(4,)T m ，由（1）可知(2,0)A −，(2,0)B ，所以112AP k y x +=，6AQ AT m k k ==， 因为BP BT k k =，即1122y m x =−，所以1122y m x =−， 所以21111211112623(2)3(4)AP AQ y y y y m k k x x x x ⋅=×=×=++−−， 又221114x y +=，所以2211)1(44y x =−， 所以21211(4)143(4)12AP AQ x k k x −⋅=−=−−； （ii ）因为直线PQ 的方程为(2)x ty n n =+≠−，1(P x ,11)(2)y x ≠±，2(Q x ,2)y ， 联立2214x ty n x y =+ += ，得222(4)240t y tny n +++−=， 所以12221222444tn y y t n y y t +=− + − = +，22Δ16(4)0t n =−+>， 由（i ）可知，112AP AQ k k ⋅=−，即12121212122(2)(2)12y y y y x x ty n ty n ×==−++++++， 所以122212121(2)()(2)12y y t y y t n y y n =−+++++， 即22222224144212(2)()(2)44n t n tn t t n n t t −+=−−⋅++⋅−++++， 化简得22414161612n n n −=−++，解得1n =或2n =−（舍去）， 所以直线PQ 的方程为1xty =+， 所以直线PQ 经过x 轴上的定点，定点坐标为(1,0)． 19. 若坐标平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）试写出圆222()()x y r αβ−+−=的一个切立方A 的四条边所在直线的方程；（2）已知正方形A 的方程为||||1x y +=，且正方形A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一个“切立方”，求双曲线的离心率e 的取值范围；（3）已知00(,)P x y 为函数2()(0)f x ax bx a =+≠的图像上任一点，则函数()f x 在P 点处的切线方程为000(2)()y y ax b x x −=+−. 若奇函数()g x 的定义域为R ，且在0x >时2()36g x x x =−，设函数()g x 的图像为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1）,,,x r x r y r y r ααββ=+=−=+=− （2） （3）存在，理由见解析. 【解析】【小问1详解】根据“切立方”定义，结合图象可得，,,,x r x r y r y r ααββ=+=−=+=−（答案不唯一）. 【小问2详解】由正方形A 的方程为||||1x y +=，则||||11y x x =−+=±+， 由正方形A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一个“切立方”， 则222211x y a b y x −= =±+ ，联立可得22221(1)b x x a ±+−=，的整理可得222221121()10x a b b x b −±−−=， 则224241114()(1)0b a b b ∆=+−+=，整理得2210b a −+=，即22210c a −+=， 则22212(1,2)c a a=−∈，所以e ∈. 【小问3详解】由题意得2236,0()0,036,0x x x gx x x x x −−< == −>， 当0x >时，()66g xx ′=−， 设第一个切点为21111(,36)(0)x x x x −>，则11()66g x x ′=−， 则过该点的一条切线方程为：21111(36)(66)()y x x x x x −−=−−， 即211(66)3y x x x =−−，因为()g x 为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C 是存在切立方，则正方形也关于原点对称， 故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线方程为：211(66)3y x x x =−+， 设第三个切点为22222(,36)(0)x x x x −−<， 同理可得另两条切线为222(66)3y x x x =−−±，若存在正方形，即12(66)(66)1x x −−−=− =由此可设12(0,1),1x x ∈<−，1216666x x −−=− ， 12133563663x x x +∴−=−，，226x=，226x=12136353636xxx−+−=，1136353636xx−+−=，设13(6)35363636361xxf xx=−−+=−−++，且()f x在(0.907,1)上单调递减；由(0.98)0,(0.99)0f f><，由零点存在性定理可知()0f x=在(0.98,0.99)x∈上有解，因此曲线C存在切立方.。
广州省湛江市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
一、选择题: 本题共8小题， 每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一广州省湛江市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学检测试题个是符合要求的．1. 已知集合{|31}Ax x =−≤≤，{}2B xx =≤，则A B = （ ）A. {|21}x xB. {|01}x x ≤≤C. {|32}−≤≤x xD. {|12}x x ≤≤2. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()4f −=（ ） A.12B. 2C. 12−D. 2−3.直线10x +=的倾斜角为（ ） A 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 已知直线260x my −+=平分圆2C ：()()22124x y −+−=周长，则m =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 85. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的一条渐近线为y =，则C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 46. 若α是第二象限角，且()1tan π2α−=，则πcos 2α+=（ ）A.B.C.D. 7. 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，M 为棱1AA 的中点，N 为棱1CC 上靠近点C 的一个三等分点，若记正三棱柱111ABC A B C −的体积为V ，则四棱锥B AMNC −的体积为（ ）.的A512V B.518V C. 524V D.536V 8. 已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=°，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.13C.D.二、选择题: 本题共3小题， 每小题6分， 共18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有选错的得0分．9. 已知向量(2,1)a −，(,1)b t =− ，则（ ）A. 若a b ⊥ ，则12t =−B. 若a，b 共线，则2t =−C. b不可能是单位向量D. 若0t =，则25a b −=10. 已知,x y 为正实数，4x y +=，则（ ） A. xy 的最大值为4B.的最小值为C.4y x y+的最小值3 D. 22(1)(1)x y ++的最小值为1611. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积. 如下图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12,B B ，左、右顶点分别为12,A A ，1132OP OB = ，2232OP OB =，设C 的离心率为e ，则（ ）.A. 若1212//B F P A ，则23e =B. 四边形1122F B F B 面积与C 的面积之比为2πe C. 四边形1122F B F B 的内切圆方程为222222()a ab x y b−+=D. 设椭圆外阴影部分的面积为S 外，椭圆内阴影部分的面积为S 内，则S S <外内三、填空题: 本题共3小题， 每小题5分， 共15分．12. 直线21y kx k =−+恒过的定点坐标为______________.13. 已知函数,0()2,0x a x x f x a x +<= ≥ 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为______________. 14. 已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=−+，则PQF △的周长的最大值为__________.四、解答题: 本题共6小题， 共70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．15. 记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()b c a b c a bc +−++=. （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3BAD CAD ∠=∠，4AC =，AD =，求sin ADB ∠.16. 已知圆1C 与y 轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l 上． （1）求圆1C 的方程；（2）圆1C 与圆2C ：222290x y x y +−+−=相交于M 、N 两点，求两圆的公共弦MN 的长． 17. （本题不能使用空间向量）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 中角B为直角，的11AA AB ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC，1A B =1AC 与平面ABC 所成角为6π.（1）证明：平面ABC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角1B A C A −−的正弦值.18. 已知椭圆C的焦点为1(F，2F ，左、右顶点分别为,A B ，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，12PF F的周长为4+. （1）求椭圆C 标准方程；（2）设直线PB 交直线4x =于点T ，连接AT 交椭圆C 于点Q ，直线AP ，AQ 的斜率分别为AP k ，AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ⋅为定值；（ii ）设直线:PQ xty n =+，证明：直线PQ 过定点. 19. 若坐标平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）试写出圆222()()x y r αβ−+−=的一个切立方A 的四条边所在直线的方程；（2）已知正方形A 的方程为||||1x y +=，且正方形A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一个“切立方”，求双曲线的离心率e 的取值范围；（3）已知00(,)P x y 为函数2()(0)f x ax bx a =+≠的图像上任一点，则函数()f x 在P 点处的切线方程为00(2)()y y ax b x x −=+−. 若奇函数()g x 的定义域为R ，且在0x >时2()36g x x x =−，设函数()g x 的图像为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.的【详解】由()()22124x y −+−=，可得圆心为(1,2)，因为直线260x my −+=平分圆2C ：()()22124x y −+−=的周长，所以直线过圆的圆心，则2260m −+=，解得4m =. 故选：B.5. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的一条渐近线为y =，则C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 4【答案】C【详解】由双曲线方程易知C 的渐近线为b y x a=±，所以ba=2e故选：C6. 若α是第二象限角，且()1tan π2α−=，则πcos 2α+=（ ）A.B.C.D. 【答案】D【详解】α是第二象限角，且()1tan π2α−=， 1tan ,sin 02αα=−>，πcos sin 2αα +=− ， 故选：D.7. 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，M 为棱1AA 的中点，N 为棱1CC 上靠近点C 的一个三等分点，若记正三棱柱111ABC A B C −的体积为V ，则四棱锥B AMNC −的体积为（ ）.一、选择题: 本题共8小题， 每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合要求的．1. 已知集合{|31}Ax x =−≤≤，{}2B xx =≤，则A B = （ ）A. {|21}x xB. {|01}x x ≤≤C. {|32}−≤≤x xD. {|12}x x ≤≤【答案】A【详解】{}{}2|22Bxx x x =≤=−≤≤，则{|21}A B x x =−≤≤ . 故选：A.2. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()4f −=（ ） A.12B. 2C. 12−D. 2−【答案】D【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，所以()24(4)log 42f f −=−=−=−. 故选：D.3.直线10x −+=的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A【详解】整理得)1y x =+,tan 30°， 所以倾斜角为30°. 故选：A4. 已知直线260x my −+=平分圆2C ：()()22124x y −+−=周长，则m =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B的广州省湛江市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学检测试题A.512V B.518V C. 524V D.536V 【答案】B【详解】正三棱柱111ABC A B C −中，设1,AB a AA b ==，取AC 的中点D ，连接BD ，则BD ⊥AC ，BD ，212ABC S a =×= ，正三棱柱111ABC A B C −的体积1ABC V S AA =×=1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，则1AA ⊥BD ，又BD ⊥AC ，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ，111523212AMNC ab S b b a =×+×= ，则四棱锥B AMNC −的体积1153312581B AMNC AMNC V ab V S BD −=××=×=．故选：B ．8. 已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=°，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.13C.D.【答案】C【详解】设椭圆右焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q ′为平行四边形，则QF PF ′=，因为120PFQ ∠=°，可得60FPF ∠=′°，所以42PF PF PF a ′′+==，则1||2PF a ′=，3||2PF a =， 由余弦定理可得2222(2)||||2||||cos 60(||||)3||||c PF PF PF PF PF PF PF PF ′′′=+′−°=+−，即2222974444c a a a =−=，即227.16c a =故椭圆离心率e = 故选：C .二、选择题: 本题共3小题， 每小题6分， 共18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有选错的得0分．9. 已知向量(2,1)a −，(,1)b t =− ，则（ ）A. 若ab⊥，则12t =− B. 若a，b 共线，则2t =−C. b不可能是单位向量D. 若0t =，则25a b −=【答案】AD【详解】对于A ，由a b ⊥ ，得210a b t ⋅=−−= ，解得12t =−，A 正确；对于B ，由a，b 共线，得2(1)10t −×−−⋅=，解得2t =，B 错误； 对于C ，当0t =时，b是单位向量，C 错误；对于D ，当0t =时，2(4,2)(0,1)(4,3)a b −=−−−=−，则25a b −=，D 正确． 故选：AD10. 已知,x y 为正实数，4x y +=，则（ ）A. xy 的最大值为4B.的最小值为C. 4y x y+的最小值3D. 22(1)(1)x y ++的最小值为16【答案】ACD【详解】对于A ，44x y xy =+≥⇒≤，当且仅当2xy ==时取等号，故A 正确；对于B ，令1,3x y ==，则((22148+=+<=，故B 错误；对于C ，4113y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当2x y ==时取等号，故C 正确； 对于D ，()()()()22222222(1)(1)12111616x y xy x y xy x y xy xy ++=+++=++−+=−+≥，当且仅当22x y +或22x y +等号成立，故D 正确； 故选：ACD.11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积. 如下图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12,B B ，左、右顶点分别为12,A A ，1132OP OB = ，2232OP OB =，设C 的离心率为e ，则（ ）A. 若1212//B F P A ，则23e =B. 四边形1122F B F B 面积与C 的面积之比为2πe C. 四边形1122F B F B 的内切圆方程为222222()a ab x y b−+=D. 设椭圆外阴影部分的面积为S 外，椭圆内阴影部分的面积为S 内，则S S <外内 【答案】ABD【详解】由题可得()()12,0,,0F c F c −，上、下顶点分别为()()120,,0,B b B b −， 左、右顶点分别为()()12,0,,0A a A a −，因为，1132OP OB = ，2232OP OB = ，所以12330,,0,22P b P b−， 对于A ，若1212//B F P A ，则1122OB OP OF OA =，所以32b b c a=，则32a c =， 故椭圆离心率23c e a ==，故A 正确；对于B ，四边形1122F B F B 的面积为112121122222S F F B B c b bc =⋅=⋅⋅=，椭圆C 的面积2πS ab =，则面积比为1222ππS bc e S ab ==，故B 正确； 对于C ，设四边形1122F B F B 的内切圆半径为r ，则在11Rt OF B 中可得1111OF OB F B r ⋅=⋅，所以bc r a ==1122F B F B 的内切圆方程为222222()b a b x y a −+=，故C 不正确； 对于D ，由题意有又1232OP OP b ==，所以112212121123322A P A P S A A PP a b ab =⋅=⋅⋅=， 所以112223π0A P A P S S ab ab −−<，而且11222A P A P S S −=S −外0S <内， 故S S <外内，故D 正确. 故选：ABD.三、填空题: 本题共3小题， 每小题5分， 共15分．12. 直线21y kx k =−+恒过的定点坐标为______________. 【答案】(2,1)的【详解】()21y k x =−+，令2x =，则1y =， 故其恒过点()2,1. 故答案为：()2,1.13. 已知函数,0()2,0x a x x f x a x+< = ≥ 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】(]1,2【详解】由于函数,0()2,0x a x x f x a x+< = ≥ 在R 上单调递增， 所以需要满足：012a a a >≥，解得12a <≤，故答案为：(]1,2.14. 已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=−+，则PQF △的周长的最大值为__________. 【答案】8【详解】由条件()()tan tan tan 3tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++=−+=− ，π,tan tan 0αβαβ+∴+≠ ＜ ，即11tan tan 3αβ−=− ，4tan tan 3αβ= ， 设()00,P x y，由题意：((12,0,B B，则tan tan αβ ，20204tan tan 33x y αβ∴==− ，即2200143x y += ，即椭圆C 的标准方程为22143x y += ，2,1a b c == ；设左焦点为F ，右焦点为2F ，如下图：则PFQ △ 的周长224l PF QF PQ a PF QF PQ =++=−−+ , 22PF QF PQ +≥ ，当2,,P Q F 三点共线时等号成立，48l a ∴≤= ，l 得最大值为8； 故答案为：8.四、解答题: 本题共6小题， 共70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．15. 记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()b c a b c a bc +−++=. （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3BAD CAD ∠=∠，4AC =，AD =，求sin ADB ∠.【答案】（1）2π3A = （2【解析】 【小问1详解】()()22222()2b c a b c a b c a b bc c a bc +−++=+−=++−=，则222b c a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−，因为0πA <<，所以2π3A =. 【小问2详解】的由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠， 所以π6CAD ∠=，π2BAD ∠=，如图在ACD 中，由余弦定理2222cos CD AD AC AD AC DAC ∠=+−⋅31647=+−=，即CD =在ACD 中由正弦定理sin sin CD AD DAC C∠=12=所以sin C =，因为π03C <<，故cos C ，在ABC 中,()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=−，显然B 为锐角，则sin sin cos 2ADB B B π ∠=−= . 16. 已知圆1C 与y 轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l 上． （1）求圆1C 的方程；（2）圆1C 与圆2C ：222290x y x y +−+−=相交于M 、N 两点，求两圆的公共弦MN 的长．【答案】（1）()()224316x y −+−=；（2）. 【解析】【详解】（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，即y=x ﹣1．由题意可得，圆心在直线y=3上， 由，解得圆心坐标为（4，3），故圆C 1的半径为4．则圆C 1的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2=16； （2）∵圆C 1的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2=16， 即x 2+y 2﹣8x ﹣6y+9=0， 圆C 2：x 2+y 2﹣2x+2y ﹣9=0，两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y ﹣9=0． 圆C 1的圆心到直线3x+4y ﹣9=0的距离d=．∴两圆的公共弦MN 的长为．17. （本题不能使用空间向量）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 中角B 为直角，11AA AB ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，1A B =1AC 与平面ABC 所成角为6π.（1）证明：平面ABC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角1B A C A −−的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）二面角1B A C A −−【解析】 【小问1详解】证明：因为11AA AB ==，1A B =所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥； 因为90ABC ∠=°，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11ABB A ，因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以1AA BC ⊥， 因为AB BC B = ，AB 、⊂BC 平面ABC ， 所以1AA ⊥平面ABC ，又1AA ⊂平面11ACC A ， 所以平面11ACC A ⊥平面ABC ； 【小问2详解】因为1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1ACA ∠，所以130ACA ∠=°，因为11AA AB ==，且1A B =，12AC =，AC =BC = 作BD AC ⊥交AC 于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ， 所以BD ⊥平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，所以1BD A C ⊥， 作1DE A C ⊥交1AC 于E ，连接BE ，因为BD DE D = ，BD 、DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ， 因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥， 所以BED ∠是二面角1B A C A −−的平面角，因为AC BD AB BC ⋅=⋅1=，所以BD =因为11A C BE A B BC ⋅=⋅即2BE =1BE =，所以sin BD BED BE ∠=，所以二面角1B A C A −−．18. 已知椭圆C 的焦点为1(F ，2F ，左、右顶点分别为,A B ，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，12PF F 的周长为4+. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PB 交直线4x =于点T ，连接AT 交椭圆C 于点Q ，直线AP ，AQ 的斜率分别为AP k ，AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ⋅为定值；（ii ）设直线:PQ xty n =+，证明：直线PQ 过定点. 【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y += （2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析 【解析】 【小问1详解】依题意可设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且c =，又12PF F 的周长为224a c +=+，即2a =，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】证明：（i ）设1(P x ,11)(2)y x ≠±，2(Q x ,2)y ，(4,)T m ，由（1）可知(2,0)A −，(2,0)B ，所以112AP k y x +=，6AQ ATmk k ==， 因为BP BT k k =，即1122y mx =−，所以1122y m x =−， 所以21111211112623(2)3(4)AP AQy y y y mk k x x x x ⋅=×=×=++−−， 又221114x y +=，所以2211)1(44y x =−， 所以21211(4)143(4)12APAQx kk x −⋅=−=−−；（ii ）因为直线PQ 的方程为(2)x ty n n =+≠−，1(P x ,11)(2)y x ≠±，2(Q x ,2)y ，联立2214xty n x y =+ +=，得222(4)240t y tny n +++−=， 所以12221222444tn y y t n y y t+=− + − = +，22Δ16(4)0t n =−+>， 由（i ）可知，112AP AQk k ⋅=−，即12121212122(2)(2)12y y y y x x ty n ty n ×==−++++++，所以122212121(2)()(2)12y y t y y t n y y n =−+++++，即22222224144212(2)()(2)44n t n tn t t n n t t −+=−−⋅++⋅−++++， 化简得22414161612n n n −=−++，解得1n =或2n =−（舍去）， 所以直线PQ 的方程为1xty =+， 所以直线PQ 经过x 轴上的定点，定点坐标为(1,0)．19. 若坐标平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）试写出圆222()()x y r αβ−+−=的一个切立方A 的四条边所在直线的方程；（2）已知正方形A 的方程为||||1x y +=，且正方形A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一个“切立方”，求双曲线的离心率e 的取值范围；（3）已知00(,)P x y 为函数2()(0)f x ax bx a =+≠的图像上任一点，则函数()f x 在P 点处的切线方程为00(2)()y y ax b x x −=+−. 若奇函数()g x 的定义域为R ，且在0x >时2()36g x x x =−，设函数()g x 的图像为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1）,,,x r x r y r y r ααββ=+=−=+=− （2） （3）存在，理由见解析. 【解析】 【小问1详解】根据“切立方”定义，结合图象可得，,,,x r x r y r y r ααββ=+=−=+=−（答案不唯一）. 【小问2详解】由正方形A 的方程为||||1x y +=，则||||11y x x =−+=±+， 由正方形A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的一个“切立方”，则222211x y a b y x −= =±+，联立可得22221(1)b x x a ±+−=，的整理可得222221121()10x a b b x b −±−−=， 则224241114()(1)0b a b b∆=+−+=，整理得2210b a −+=，即22210c a −+=，则22212(1,2)c a a=−∈，所以e ∈. 【小问3详解】由题意得2236,0()0,036,0x x x gx x x x x −−< == −>， 当0x >时，()66g xx ′=−， 设第一个切点为21111(,36)(0)x x x x −>，则11()66g x x ′=−， 则过该点的一条切线方程为：21111(36)(66)()y x x x x x −−=−−， 即211(66)3y x x x =−−，因为()g x 为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C 是存在切立方，则正方形也关于原点对称， 故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线方程为：211(66)3y x x x =−+， 设第三个切点为22222(,36)(0)x x x x −−<，同理可得另两条切线为222(66)3y x x x =−−±，若存在正方形，即12(66)(66)1x x −−−=− =由此可设12(0,1),1x x ∈<−，1216666x x −−=− ，12133563663x x x +∴−=−，，226x=，226x=12136353636xxx−+−=，1136353636xx−+−=，设13(6)35363636361xxf xx=−−+=−−++，且()f x在(0.907,1)上单调递减；由(0.98)0,(0.99)0f f><，由零点存在性定理可知()0f x=在(0.98,0.99)x∈上有解，因此曲线C存在切立方.。
【全国百强校】广东省湛江第一中学2015-2016学年高二上学期第二次考试理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．“至多有三个”的否定为（ ）A ．至少有三个B ．至少有四个C ． 有三个D ．有四个 【答案】B 【解析】试题分析：根据命题否定的概念可知，“至多有三个”的否定为“至少有四个”，故选B ． 考点：命题否定的概念．2．如果命题“()p q ⌝∨ ”是假命题，则下列说法正确的是（ ） A ．p q 、 均为真命题 B ．p q 、中至少有一个为真命题 C ．p q 、均为假命题 D ．p q 、至少有一个为假命题 【答案】B考点：复合命题的真假及应用． 3．“1x > ”是“2x x > ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由2x x >，解得0x <或1x >，所以“1x > ”是“2x x > ”的充分而不必要条件，故选A ． 考点：充分不必要条件的判定．4．已知椭圆的焦点是12,F F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那 么动点Q 的轨迹是（ ）A ．圆B ． 椭圆C ．双曲线的一支D ． 抛物线【答案】A 【解析】试题分析：根据椭圆的定义可知，122PF PF a +=，因为2PQ PF =，所以12PF PQ a +=，即12QF a =，根据圆的定义，点Q 的轨迹是以1F 为圆心，半径为2a 的圆，故选A ．考点：椭圆的定义以及圆的方程．5．“14t <<” 是“方程22141x y t t +=-- 表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：椭圆的标准方程及必要不充分条件的判定．6．已知F 是抛物线2y x ＝的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF ＋＝，则线段AB 的中 点到y 轴的距离为（ ） A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C 【解析】试题分析：因为F 是抛物线2y x ＝的焦点，所以1(,0)4F ，准线方程14x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即1211,44AF x BF x =+=+，所以1211344AF BF x x +=+++=，解得1252x x +=，所以线段AB 的中点横坐标为54，即线段AB 的中点到y 的距离为54． 考点：抛物线简单的几何性质．7．已知双曲线2222C:=1x y a b -的焦距为10，点1(2)P ，在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．22=1 205x y -B ．22=1520x y -C ．22=18020x y -D ．22=12080x y -【答案】A考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．8．若圆心在x C 位于y 轴左侧，且被直线20x y ＋＝截得的弦长为4，则圆C 的方程是（ ）A ．22 (5x y +=B ．22 (5x y ++=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=【答案】B 【解析】试题分析：设圆的圆心坐标为(,0)(0)a a <20x y ＋＝截得的弦长为4，所以弦心距为11a ⇒=，所以圆的方程为22 (5x y ++=．考点：直线与圆的位置关系． 9．已知1()2(0)f x x x x=+-< ，则()f x 有（ ） A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为4－ D ．最小值为4－【答案】C试题分析：由题意得，22211()1(0)x f x x x x-'=-=<，当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，即函数在(,1)-∞-单调递增；当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，即函数在(1,0)-单调递减，所以函数()f x 有最大值(1)4f -=-． 考点：导数的应用．10．在以O 为中心，12F F 、 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭 圆的离心率为（ ）A B C ． 【答案】考点：椭圆的简单几何性质．11．已知P 为椭圆22=12516x y +上的一点，M N 、分别为圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝上的点，则PM PN ＋的最小值为（ ）A ．5B ．7C ．13D ．15【解析】试题分析：依据题意可得，椭圆22=12516x y +的焦点分别是圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝的圆心，所以根据椭圆的定义可得：min ()25127PM PN +=⨯--=，故选B ． 考点：椭圆的性质及圆锥曲线综合应用．【方法点晴】本题考查与圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用，本题的解答中，利用椭圆22=12516x y +的焦点分别是两圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝的圆心，再结合椭圆的定义与圆的性质可求解出PM PN ＋的最小值，其中确定椭圆的焦点恰好是两圆的圆心是解答本题的关键．12．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过点P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且||||PA AB =， 则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“ 点” B．直线l 上仅有有限个点是“ 点”C ．直线l 上的所有点都不是“ 点”D ．直线l 上有无穷多个点（不是所有的点）是“ 点” 【答案】A考点：两点间的距离公式和一元二次方程的应用．【方法点晴】本题主要考察了直线与圆锥曲线的位置关系及其应用，此类问题一般是把直线方程与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用一元二次方程的判别式来判断．本题的解答中根据题设方程分别设出点,A P 的坐标，进而表示点B 的坐标，把,A B 点的坐标代入抛物线的方程，联立消去y ，求得关于x 的一元二次方程，利用判别式大于0恒成立，可推断方程有解，进而可推断出直线上的所有的点都符合新定义，此类问题正确把握题设中的新定义是解答此类问题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．设,x y 满足约束条件x y 1x y 3x 0y 0-≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为______.【答案】3,3-［］考点：简单的线性规划及其应用．14. 已知双曲线2219x y a-=的右焦点的坐标为 ，则该双曲线的渐近线方程为_________. 【答案】230x y ±= 【解析】试题分析：由题意得，双曲线2219x y a-=的右焦点的坐标为，即c =，所以29a += 4a ⇒=，所以该双曲线的渐近线方程为230x y ±=．考点：双曲线的标准方程及几何性质．15．过焦点为F 的抛物线24y x =上一点P 向其准线作垂线，垂足为Q ，若Q F 120∠P =，则【答案】43考点：抛物线的简单的几何性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程及简单的几何性质的应用，同时以抛物线为载体，着重考查了线段长度、抛物线的定义的转化等知识的综合应用，注意解题方法的积累和总结，属于中档试题，本题的解答中通过(,)P m n （不妨令,m n 均为正数），利用QPF ∆为等腰三角形及三角形的1sin 602PQ PF =计算即可得到结论，其中本题的运算和化简也是本题的一个易错点．16. 若关于x 的不等式211022nx x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 在(]x λ∈∞－， 上恒成立，则实常数λ的取值范围是________． 【答案】(]1∞－，－ 【解析】试题分析：当*n ∈N 时，1()2n 的最大值为12，则关于x 的不等式211022nx x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 在(]x λ∈∞－， 上恒成立，即211022x x +-≥对(]x λ∈∞－， 上恒成立，因为()21122f x x x =+-的图象开口向上，且以14x =-为对称轴的抛物线，则当14λ≤时，()21122f x x x =+-在(]x λ∈∞－， 上单调递减，若()0f x ≥，即()0f λ≥，解得1λ≤-，当14λ>-时，()21122f x x x =+-在1(,]4-∞-上单调递减，在1[,]4λ-单调递增，若()0f x ≥，即1()04f -≥，不符合题意，所以1λ≤-．考点：函数的恒成立及二次函数性质的应用．【方法点晴】本题主要考查了了二次函数的图象与性质及函数的恒成立问题的求解，属于难度较大的试题，其中熟练掌握指数函数的性质及二次函数的图象与性质是解答的关键，本题的解答中根据指数函数的性质，可得当*n ∈N 时，1()2n 的最大值为12，则可将问题转化为211022x x +-≥对任意*n ∈N 在(]x λ∈∞－，上恒成立，结合二次函数的图象与性质，可求得实常数λ的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分10分) 已知命题:p “[]21,20x x a ∀∈≥，－”，命题:q “x R ∃∈，2220x ax a ＋＋－＝”．若命题“p q ∧ ”是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(]{},21a ∈-∞-⋃．考点：复合命题的真假判定及应用．18．(本小题满分12分) 在∆ABC 中，()sin 1-=C A ,1sin 3=B . （1）求sin A 的值；（2）设=AC ，求∆ABC 的面积【答案】（1）sin A =；（2） 【解析】试题分析：（1）由已知()sin 1C A -=，得2C A π-=和三角形的内角和定理得到A 与B 的关系式及A 的范围，然后两边取余弦，并把sin B 的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sin A 的方程，求出方程的解即可得到sin A 的值；（2）要求三角形的面积，根据公式求解三角形的面积，AC 已知，BC 和sin C 未知，所以要求出BC 和sin C ，由AC 和sin A 和sin B 的值根据正弦定理求出BC ，先根据同角三角形间的关系，由sin A 求出cos A ，然后由C 和A 的关系式表示出C ，两边取正弦得到sin C 与cos A 相等，即可求出sin C ，根据面积公式，求出即可．考点：正弦定理和诱导公式的应用．19．(本小题满分12分) 已知双曲线的中心在原点，焦点12F F ， ，且过点(4,-．点()3M m ， 在双曲线上． （1）求双曲线方程； （2）求证：12MF MF ⊥； （3）求12∆F MF 的面积．【答案】(1)226x y -=；（2）证明见解析；（3）6． 【解析】(3)由(2)知12⊥MF MF ，∴12∆MF F 为直角三角形．又12(-F F ，=mM 或(3,M ，由两点间距离公式得1||==MF ，121212∆F MF S MF MF ＝ ＝1112622=⨯=．即12∆F MF 的面积为6. ………………………12分 考点：双曲线的标准方程；圆与圆锥曲线的综合．20．(本小题满分12分) 设数列{}n a 的前n 项和n S ，数列{}n S 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）11=a ；（2）1322n n a -=⨯-．∴{}2n a +是以3为首项，公比为2的等比数列…………11分1232-⨯=+∴n n a 2231-⨯=∴-n n a ……………………12分考点：等差数列与等比数列及数列的递推公式．【方法点晴】本题主要考查了的首项和数列的通项的求法，属于中档试题，解题时要认真审题，注意迭代的合理运用，本题的第2问的解答中，当2n ≥时，12221n n n S S S n -=--+，得1221n n S S n -=+-，1221n n S S n +=++，故122n n a a +=+，所以122(2)2n n a n a ++=≥+，得数列{}2n a +为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式，可求解数列{}n a 的通项公式．21. (本小题满分12分) 如图, 直线12y x =与抛物线2418y x =-交于A 、B 两点, 线段AB 的垂 直平分线与直线5y =-交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A 、B) 的动点时, 求OPQ ∆面积的最大值.【答案】（1）5(5,)Q －；（2）30．第21题图考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用及直线与圆锥曲线的综合应用和点直线的距离公式，着重考查了解析几何基础知识的灵活运用．本题解答中，设出P 的坐标，利用P 到直线OQ 的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ 的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ ，利用x 的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．22. （本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的标准方程为22162x y +=，直 线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点．（1）若点E 的坐标为,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点A 连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（2）是否存在点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在， 请说明理由．【答案】（1；（2）存在，点E的坐标为()．第22题图又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， ------------11分 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=．综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB+为定值2．-------12分 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了分类讨论的数学思想方法及学生的探究能力、推理能力和计算能力，属于难度较大的试题，本题第2问解答中当直线AB 与x 轴重合时，由2211EA EB +20220122(6)x x +=-，当直线AB 与x 轴垂直时，可得22201166EA EB x +=-，利用20222001226(6)6x x x +=--，解得20x 的值，若存在点E ，此时(0)E ，则2211EA EB +为定值2；本题也可以设1122(,),(,)A x y B x y ，又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，利用根与系数的关系即可得出．高考一轮复习：。
易错汇总2014-2015年广东省湛江市高二上学期期末数学试卷与解析
12．（5 分）椭圆 + =1 的焦点为 F1，F2，P 为椭圆上一点， 若| PF1| =2，则| PF2| =
6．
【解答】解：因为 P 为椭圆上一点， F1，F2，为椭圆的焦点， 所以 | PF1|+| PF2| =2a=8，
又 | PF1| =2，则 | PF2| =8﹣| PF1| =6．
所以答案应为： 6 13．（ 5 分）已知 f （x） =ax3+3x2+1 且 f ′（﹣ 1）=3，则实数 a 的值等于 【解答】 解：由 f（ x）=ax3+3x2+1 得， f ′（x）=3ax2+6x，
时，函数有最小值为
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
15．（ 12 分）已知 p：| x﹣3| ≤2，q：（x﹣m）（x﹣m﹣ 1）≥ 0，若￢ p 是 q 充分 而不必要条件，求实数 m 的取值范围．
16．（12 分）已知 a，b，c 分别是△ ABC的三个内角 A，B，C 所对的边，且 c2=a2+b2 ﹣ab．
列的项数是（
）
A．3
B．4
【解答】 解：在等比数列 { an} 中，
C．5
D．6
∵首项为 ，末项为 8，公比为 2，
∴
，
解得 n=5．
故选： C．
8．（5 分）函数 f（ x）=（x﹣2）ex 的单调递增区间是（
）
A．（﹣∞， 1） B．（ 0，2 ）
C．（1，+∞）
【解答】 解：∵ f（x）=（x﹣2）ex，
（ 2）长方体的体积为 y=2x?x? （9﹣ 6x）=﹣6x3+9x2，定义域是（ 0， ）； ∵ y=﹣6x3+9x2，（其中 0＜x＜ ）， 求导数，得 y′﹣＝18x2+18x， 令 y′=，0解得 x=0，或 x=1； ∴当 0＜x＜1 时， y′＞0，函数 y 是增函数， 当 1＜x＜ 时， y′＜ 0，函数 y 是减函数； ∴当 x=1 时，函数 y 取得最大值，是 ymax=﹣ 6×13+9×12=3． 即长为 2，宽为 1，高为 时，长方体的体积最大，最大体积是 3．
湛江市高三数学第一学期期中试卷理科带解析
湛江市2015届高三数学第一学期期中试卷（理科带解析）湛江市2015届高三数学第一学期期中试卷（理科带解析）一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，则A∪B=（）A．{﹣1，1，3，5}B．{1，3}C．{﹣1，5}D．{﹣1，1，1，3，3，5}2．（5分）已知（1﹣i）z=1+i，则复数z等于（）A．1+iB．1﹣iC．iD．﹣I3．（5分）某校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中2014-2015学年高一的同学有30名，则n=（）A．65B．75C．50D．1504．（5分）下列函数是增函数的是（）A．y=tanx（x∈（0，）∪（，π））B．y=xC．y=cosx（x∈（0，π））D．y=2﹣x5．（5分）“sinθcosθ＞0”是“θ是第一象限角”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件6．（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．2B．4C．D．27．（5分）若存在x∈（0，1），使x﹣a＞log0.5x成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，+∞）8．（5分）在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．二.填空题（每小题5分，满分25分）必做题（9-13题）9．（5分）等差数列中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=（n∈N+）10．（5分）若一个几何体的主视图、左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是．11．（5分）在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=．12．（5分）随机抽取n种品牌的含碘盐各一袋，测得其含碘量分别为a1，a2，…，an，设这组数据的平均值为，则图中所示的程序框图输出的s=（填表达式）13．（5分）设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有．（把所有的真命题全填上）①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线．三.选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）[坐标系与参数方程选做题]14．（5分）直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为．[几何证明选讲选做题]15．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=．三.解答题（共6小题，共80分）16．（12分）已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx．（1）求函数f（x）的最大值，并取得最大值时对应的x 的值；（2）若f（θ）=，求cos（4θ+）的值．17．（12分）某校1为老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机安排2名学生，教师可任意选择一个城市．“学生a与老师去同一个城市”记为事件A，“学生a和b去同一城市”为事件B．（1）求事件A、B的概率P（A）和P（B）；（2）记在一次安排中，事件A、B发生的总次数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若EB=3CE，证明：DE∥平面A1MC1；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．19．（14分）记数列的前n项和为Sn，a1=a（a≠0），且2Sn=（n+1）an．（1）求数列的通项公式an与Sn；（2）记An=+++…+，Bn=+++…+，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．20．（14分）如图，点F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，定点P的坐标为（﹣8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：∠AFM=∠BFN；（3）记△ABF的面积为S，求S的最大值．21．（14分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论f（x）的单调性．广东省湛江市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，则A∪B=（）A．{﹣1，1，3，5}B．{1，3}C．{﹣1，5}D．{﹣1，1，1，3，3，5}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，∴A∪B={﹣1，1，3，5}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意并集性质的合理运用．2．（5分）已知（1﹣i）z=1+i，则复数z等于（）A．1+iB．1﹣iC．iD．﹣I考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先表示出复数z的表示式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，化简得到结果．解答：解：∵（1﹣i）z=1+i，∴z====i，故选C点评：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．3．（5分）某校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中2014-2015学年高一的同学有30名，则n=（）A．65B．75C．50D．150考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用分层抽样的性质求解．解答：解：由题意得：，解得n=75．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．4．（5分）下列函数是增函数的是（）A．y=tanx（x∈（0，）∪（，π））B．y=xC．y=cosx（x∈（0，π））D．y=2﹣x考点：正切函数的单调性．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据函数的定义域直接确定函数的单调性解答：解：（1）y=tanx（x）函数在定义域x不具有单调性．（2）y=cosx（x∈（0，π））在定义域内为单调递减函数．（3）y=2﹣x在定义域内为单调递减函数．故选B点评：本题考查的知识要点：函数的单调性与定义域的关系5．（5分）“sinθcosθ＞0”是“θ是第一象限角”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由sinθcosθ＞0推不出θ在第一象限，由θ在第一象限能推出sinθcosθ＞0，从而得出结论．解答：解：由sinθcosθ＞0⇒θ在第一象限或第三象限，θ在第一象限⇒sinθcosθ＞0，∴“sinθcosθ＞0”是“θ在第一象限”的必要不充分条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．6．（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．2B．4C．D．2考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．解答：解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线﹣=1的一条渐近线方程为x﹣y=0，∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D．点评：本题考查双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质，考查点到直线的距离公式的应用，求出焦点坐标和一条渐近线方程，是解题的突破口．7．（5分）若存在x∈（0，1），使x﹣a＞log0.5x成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，+∞）考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：此不等式属于超越不等式，因此借助于图象来解，注意是存在x∈（0，1），所以只要直线y=x﹣a上至少有一个点在y=log0.5x的上方即可，所以只需考虑端点处的图象间的关系即可．解答：解：在一个坐标系内做出函数y=x﹣a和y=log0.5x的图象，如图所示：当直线y=x﹣a恰好经过（1，0）时，在区间（0，1）上y=x﹣a恰好不存在点在y=log0.5x图象的上方．此时直线y=x﹣a与y轴交于点（0，﹣1），﹣a=﹣1，当直线y=x﹣a沿y轴向上移动时，就会在区间（0，1）上一直存在x，使原不等式成立．此应有﹣a＞﹣1，即a＜1．故选C．点评：本题考查了利用数形结合的思想解决一些超越不等式解的存在性问题，要注意作图的合理性．8．（5分）在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．考点：平面向量的综合题．专题：综合题．分析：由=（3，1），=（1，3），=λ+μ，知=（3λ+μ，λ+3μ），由0≤λ≤μ≤1，0≤3λ+μ≤λ+3μ≤4，由此能得到正确答案．解答：解：∵向量=，=，=（3，1），=（1，3），=λ+μ，∴=（3λ+μ，λ+3μ），∵0≤λ≤μ≤1，∴0≤3λ+μ≤4，0≤λ+3μ≤4，且3λ+μ≤λ+3μ．故选A．点评：本题考查平面向量的综合题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．二.填空题（每小题5分，满分25分）必做题（9-13题）9．（5分）等差数列中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=3n﹣5（n∈N+）考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式．解答：解：∵等差数列中，a5=10，a12=31，∴，解得a1=﹣2，d=3，∴an=﹣2+3（n﹣1）=3n﹣5．故答案为：3n﹣5．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题．10．（5分）若一个几何体的主视图、左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是．考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式做出结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高是=∴圆锥的体积是=．故答案为：．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查在旋转体中一些量一般要在轴截面上进行运算，本题是一个基础题．11．（5分）在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：角A为三角形内角，故0＜A＜π，sinA＞0，从而可求sinA=，所以由正弦定理可求a=．解答：解：由题意得，0＜A＜π，sinA＞0．故sinA==，由正弦定理知，⇒a=s inA×=×=．故答案为：．点评：本题主要考察了正弦定理的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．12．（5分）随机抽取n种品牌的含碘盐各一袋，测得其含碘量分别为a1，a2，…，an，设这组数据的平均值为，则图中所示的程序框图输出的s=（填表达式）考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，s的值，当i=n，满足条件i≤n，有s=，当i=n+1，不满足条件i≤n，退出循环，输出s的值．解答：解：执行程序框图，有s=0，i=1满足条件i≤n，有s=i=2满足条件i≤n，有s=i=3…i=n，满足条件i≤n，有s=i=n+1，不满足条件i≤n，退出循环，输出s的值．故答案为：点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．13．（5分）设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有①③⑤．（把所有的真命题全填上）①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线．考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；简易逻辑．分析：依据线面、面面平行和垂直的判断和性质定理，逐一判定5个命题得答案．解答：解：①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y．又∵x⊄平面y，故x∥y成立；②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立；③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立；④x，y，z均为直线可异面垂直，故④不成立；⑤z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，⑤成立．故答案为：①③⑤．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，是中档题．三.选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）[坐标系与参数方程选做题]14．（5分）直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为．考点：直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：先将直线的参数方程化成普通方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形求解即可．解答：解：∵直线（t为参数）∴直线的普通方程为x+y﹣1=0圆心到直线的距离为d==，l=2=，故答案为：．点评：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题．[几何证明选讲选做题]15．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．解答：解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，又∵∠CPA=30°，R=3，∴，∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键．三.解答题（共6小题，共80分）16．（12分）已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx．（1）求函数f（x）的最大值，并取得最大值时对应的x 的值；（2）若f（θ）=，求cos（4θ+）的值．考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．专题：常规题型；三角函数的图像与性质．分析：（1）先利用两角和的正弦公式化成标准形式，然后根据正弦函数的最值求解函数的最大值；（2）根据f （θ）=，得sin（2θ+）的值，然后利用倍角公式求cos （4θ+）的值．解答：解：（1）f（x）=cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）所以f（x）的最大值为2．当2x+=2kπ+，即x=k，k∈Z时取最大值．（2）由已知2sin（2θ+）=得：sin（2θ+）=．∴cos（4θ+）=cos2（2）=1﹣2sin2（2θ+）=．点评：本题考查了三角函数的图象与性质及三角函数的求值问题，研究三角函数的性质关键是化成标准形式；三角函数求值问题关键是选择适当的公式，根据角的关系建立已知表达式和求解的表达式之间的关系．17．（12分）某校1为老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机安排2名学生，教师可任意选择一个城市．“学生a与老师去同一个城市”记为事件A，“学生a和b去同一城市”为事件B．（1）求事件A、B的概率P（A）和P（B）；（2）记在一次安排中，事件A、B发生的总次数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（1）利用等可能事件的概率公式能求出事件A、B 的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望Eξ．解答：解：（1）P（A）==，P（B）==．（2）ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=2）=P（a，b与老师去同一城市）==，P（ξ=1）=P（a，b同城，但a与老师不同）+P（a，b不同，a与老师同）==，P（ξ=0）=P（a，b不同，a与老师也不同）==，∴Eξ=2×+1×+0×=．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若EB=3CE，证明：DE∥平面A1MC1；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：解法一：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得MN∥AC∥A1C1，由此能证明DE∥平面A1MC1．（2）连结B1M，由已知得四边形ABB1A1为矩形，从而直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．解法二：（1）以A为原点，以AB为x轴，以AA1为y轴，以AC 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE∥平面A1MC1．（2）由（1）知平面A1MC1的法向量=（1，1，0），=（﹣2，0，），由此利用向量法能求出直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．解答：解法一：（1）证明：取BC中点N，连结MN，C1N，∵M，N分别是AB，CB的中点，∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又EB=3CE，即E为NC的中点，∴DE∥C1N，又DE不包含于平面A1MC1，∴DE∥平面A1MC1．（2）解：连结B1M，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，∵CA⊥AA1，CA⊥AB，AB∩AA1=A，∴CA⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角，设AB=2AA1=2，且△A1MC1是等腰三角形，∴，则，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值为．解法二：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，又AC⊥AB，∴以A为原点，以AB为x轴，以AA1为y轴，以AC为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB=2AA1=2，又△A1MC1是等腰三角形，∴A1（0，1，0），M（1，0，0），，∴=（1，﹣1，0），=（0，0，），设平面A1MC1的法向量，则，取x=1，得=（1，1，0）．又，E（），D（0，），∴=（），∵=0，∴，又DE不包含于平面A1MC1，∴DE∥平面A1MC1．（2）解：由（1）知平面A1MC1的法向量=（1，1，0），B（2，0，0），C（0，0，），=（﹣2，0，），设直线BC和平面A1MC1所成角为θ，则sinθ=cos＜＞==，∴cosθ==，∴直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值为．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（14分）记数列的前n项和为Sn，a1=a（a≠0），且2Sn=（n+1）an．（1）求数列的通项公式an与Sn；（2）记An=+++…+，Bn=+++…+，当n≥2时，试比较An 与Bn的大小．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用an=Sn﹣Sn﹣1，结合条件求数列的通项公式an与Sn；（2）利用裂项法求An，利用等比数列的求和公式求Bn，再比较An与Bn的大小．解答：解：（1）n≥2时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）an﹣nan﹣1∴an=an﹣1，∴an=…a1=na1=na，n=1时也成立，∴an=na，Sn=；（2）=（﹣），∴An=+++…+=（1﹣），∵=2n﹣1a，∴Bn=+++…+=（1﹣），n≥2时，2n=…+＞1+n，∴1﹣＜1﹣．∴a＞0时，An＜Bn；a＜0时，An＞Bn；点评：本题考查数列的通项与求和，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）如图，点F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，定点P的坐标为（﹣8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：∠AFM=∠BFN；（3）记△ABF的面积为S，求S的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆方程．（2）当直线AB的斜率为0时，成立；当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my﹣8，代入椭圆方程整理，得：（3m2+4）y2﹣48my+144=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明∠AFM=∠BFN．（3）由已知条件推导出S=S△PBF﹣S△PAF≤3，由此能求出△ABF的面积S的最大值为3．解答：（1）解：∵|MN|=8，且该椭圆的离心率为，∴，解得a=4，b=，∴椭圆方程为．（2）证明：当直线AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0°，成立；当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my﹣8，代入椭圆方程整理，得：（3m2+4）y2﹣48my+144=0，∴△=576（m2﹣4），设A（xA，yA），B（xB，yB），，yAyB=，∴kAF+kBF====，∵﹣6=0，∴kAF=﹣kBF，∴∠AFM=∠BFN．（3）解：S=S△PBF﹣S△PAF====≤=3，当且仅当3=，即m=±（此时△＞0）时取等号，∴△ABF的面积S的最大值为3．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两角相等的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（14分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；分类讨论．分析：（I）欲求在点（2，f（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，，x∈（0，+∞）．所以，x∈（0，+∞）．（求导、定义域各一分）（2分）因此f′（2）=1．即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1．（3分）又f（2）=ln2+2，（4分）所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x ﹣y+ln2=0．（5分）（Ⅱ）因为，所以=，x∈（0，+∞）．（7分）令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x∈（0，+∞），①当a=0时，g（x）=﹣x+1，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（8分）当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（9分）②当时，由f′（x）=0即解得x1=1，，此时，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（10分）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；（11分）时，，此时，函数f（x）单调递减．（12分）综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在上单调递增；在上单调递减．（13分）点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，解答的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。
广东省湛江二中2013-2014学年高二数学上学期统一测试试题(一)理 新人教A版
高二上学期统一测试（一）数学（理）试题一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)． 1．已知数列，若利用如图 1所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ） A ．B ．C ．D ．2．如果执行图 2的框图，输入5=N ，则输出的数等于 ( )A ．65 B ．54 C ．56 D ． 45 3 ．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图3),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则 （ ）A ． x x <甲乙,m 甲>m 乙B ．x x <甲乙,m 甲<m 乙C ．x x >甲乙,m 甲>m 乙D ．x x >甲乙,m 甲<m 乙4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图4为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是 ( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45．如图5，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 ( ) A ．41π-B.12-π C ．22π- D.4π6．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是 ( ) A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 （ ）A ．7B ．9C ．10D ．158.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 （ ） A ．91 B. 121 C. 151 D. 181二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)．9．阅读图6的程序框图，若输入6=m ，9=n ，则输出a = ，i = ． 10 ．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生. 11．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．12．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x(个) 10 20 30 40 50 加工时间y(min) 62 75 81 89表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为________．13．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．14．在圆8)2()2(22=-+-y x 内有一平面区域E ：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥≤-0,0004m y m x y x ，点P 是圆内的任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P 落在平面区域E 内的概率最大，则m ＝________.三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15．（本题满分12分） 已知函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-，2()2sin 2xg x =（1）若α是第一象限角，且33()5f α=，求()g α的值； （2）求使)()(x g x f ≥成立的.16．（本题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92(2)所取的2道题不是同一类题的概率． 17．（本题满分14分）某企业上半年产品产量与单位成本资料如右表：(1) 求产量与单位成本之间的回归直线方程；(2) 指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少；(3) 假定产量为6000件时，单位成本为多少？18. （本题满分14分）如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是弧AB 的中点，D 为AC 的中点． (1) 证明：平面POD ⊥平面PAC ； (2) 求二面角B －PA －C 的余弦值．19.（本小题满分14分）2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .20. (本小题满分14分)已知函数)0(12)(2>++-=a b ax ax x g 在区间[]3,2上的最大值为4，最小值为1，记)()(x g x f =.(1) 求实数b a 、的值；(2) 若不等式）（）（2log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围；(3)定义在[]q p ,上的一个函数)(x m ，用分法T :q x x x x x p n i i =<<<<<<=- 110将区间[]q p ,任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式M xm x m ni i i≤-∑=-11)()(恒成立，则称函数)(x m 为在[]q p ,上的有界变差函数. 试判断函数)(x f 是否为在[]3,1上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由.(参考公式:∑=+++=ni nix f x f x f x f 121)((()( ））)湛江市第二中学2013-2014学年度第一学期高二年级月考数学试题（理科）参考答案 （其他解答过程请酌情给分）（1）由33()f α=3sin 5α=.又α是第一象限角，所以cos 0α>.从而241()1cos 11sin 155g ααα=-=-=-= ……6分（2）()()f x g x ≥3sin 1cos x x ≥-3sin cos 1x x +≥.于是1sin()62x π+≥. ………….9分 从而522,666k x k k πππππ+≤+≤+∈，即222,3k x k k πππ≤≤+∈….11分故使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合为2{|22,}3x k x k k πππ≤≤+∈……12分16.（本题满分12分）解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．……..4分用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P(A)＝615＝25. ………………….8分(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个．所以P(B)＝815. …………..12分18.（本题满分14分）解：(1)连结OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，…..4分 而AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC . ……………….6分 (2)在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，由(1)知，平面POD ⊥平面PAC ，所以OH ⊥平面PAC . 又PA ⊂面PAC ，所以PA ⊥OH .在平面PAO 中，过O 作OG ⊥PA 于G ，连结HG ， 则有PA ⊥平面OGH .从而PA ⊥HG .故∠OGH 为二面角B －PA －C 的平面角． ……………9分在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·ODPO 2＋OD 2＝2×222＋12＝105. 在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63.在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155. ..................11分 所以cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝1－1525＝105. .................13分 故二面角B －PA －C 的余弦值为105. ……………14分19．（本题满分14分）解：(1)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a …………… 2分2325=-=∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 …………… 4分在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -11211---=n n b T ,两式相减得n n n b b b 21211-=-,()2311≥=∴-n b b n n …………… 6分()*-∈=⎪⎭⎫⎝⎛=∴N n b nn n 3231321. …………… 8分 (2)()n n n n n c 3243212-=⋅-=, ……………… 9分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312353331232 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++=+132312332333123n nn n n S , …………… 10分⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫⎝⎛-⨯++-1131231131191231n n n=11344343123131312+++-=⎪⎭⎫⎝⎛---+n n n n n , ………………13分nn n S 3222+-=∴ …………… 14分。
广东省湛江第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
湛江一中2014---2015学年度第二学期期中考试高二级数学文科试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,3,4},{1235}A B ==，，，，则A B 中元素的个数为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 2．设i 为虚数单位，则复数34ii-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量a =(2,-1), b=(x-2,-2),若a ∥b ，则a -b 等于（ ） A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(2，-1) D.(2，1) 4．下列函数为偶函数的是( )A. y=lnx B．)lny x = C ．x y =2 D．ln y =5.若,x y 满足约束条件280306x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则z x y =+的最小值为( )A ．5B ．6C ．7D ．96.下面是一商场某一个时间制定销售计划的局部结构图,则“计划”受影响的主要因()A.4个B.3个C.2个 D7个7、命题“2000,40x R x x ∃∈++>” 的否定是( )A.2,40x R x x ∀∈++≥ B. 2000,40x R x x ∃∈++>C.2000,40x R x x ∃∈++<. D. 2,40x R x x ∀∈++≤8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两个品牌的彩电都齐全的概率是（ ）1.5A2.5B 3.5C 4.5D9．已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(4,4)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．24y x = B. 24y x =－ C. 24x y = D. 28y x =10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝78，则n ＝( )．A ．20B ．19C ．10D ．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11、函数2ln 1y x =+在点（1,1）处的切线方程为 .12．执行如图的程序框图，则输出S 的值为 ．13.满足方程x 2－3x －4+(y 2－6y +9)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是14．如图，P 是圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA 中点为M ，过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C ，D 两点，若PB=8,MC=2，则CD= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是2COS ρθ=，直线l 的参数方程是22,253x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与y 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最小值.16．.(本小题满分12分)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性400人，其中有30人患色盲，调查的600名女性中有20人患色盲．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)有多大把握认为“性别与患色盲有关系”？参考公式及数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )附临界值参考表：17．（本小题满分14分）已知在等差数列{}n a 中，14a =，825a =， 11n n n b a a += （1）求n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n项和为n T ，证明：112n T < 18．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，BC ⊥平面ABE ，且4,BC AE EB ==，F 为CE 的中点，且BF ⊥平面ACE ，.BDAC G =（1）求证：//AE 平面BFD ；（2）求证：AE ⊥平面BCE ； （3）求三棱锥E ADC-的体积.19．（本小题满分14分）在直角坐标系0x y ，焦点在y 轴上，椭圆与x 轴交点坐标为（-1，0），（1，0），直线l:1y kx =+与椭圆交于A 、B 两点。
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第1页（共13页） 2014-2015学年广东省湛江一中培才学校高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）不等式x（x﹣1）＜0的解集是（ ） A．{x|x＜0} B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或x＞1} 2．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0 3．（5分）等比数列{an}中，a2=18，a4=8，则数列{an}的公比为（ ） A． B． C．± D．± 4．（5分）在△ABC中，a=2，A=30°，C=135°，则边c=（ ） A．1 B． C．2 D．2 5．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若，则S6等于（ ）
A． B． C． D． 6．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则（∁US）∪T等于（ ） A．{2，4} B．{4} C．∅ D．{1，3，4}
7．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+2y的值域是（ ） A．[0，6] B．[1，9] C．[2，8] D．[3，7] 8．（5分）数列{an}满足a1=3，an﹣anan+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2014=（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
二、填空题（共6道小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）已知△ABC中，a=2，b=，c=1，则cosB= ．
10．（5分）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实 第2页（共13页）
数m的最大值为 ． 11．（5分）不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为 ． 12．（5分）f（x）=x2﹣2x+4的单调减区间是 ． 13．（5分）过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是 ． 14．（5分）已知θ∈，且cosθ=﹣，则tanθ= ．
三、解答题（共6道小题，共80分） 15．（12分）在△ABC中，AB= （1）求sinA的值； （2）求的值． 16．（12分）已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值． 17．（14分）某餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A、B蔬菜每斤的单价分别为2元和3元．根据需要，A蔬菜至少要买6斤，B蔬菜至少要买4斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元． （1）写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组； （2）在下面给定的坐标系中画出（1）中不等式组表示的平面区域（用阴影表示），并求z=2x﹣y的最大值和最小值．
18．（14分）已知数列{an}是一个递增的等比数列，数列的前n的和为Sn，且a2=4，S3=14， （1）求{an}的通项公式； （2）若cn=log2an，求数列的前n项之和Tn．
19．（14分）设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3=﹣3，S7=7． 第3页（共13页）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=4•2an+n，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（14分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*） （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{an}的通项公式an；
（Ⅲ）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）•an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 第4页（共13页）
2014-2015学年广东省湛江一中培才学校高二（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）不等式x（x﹣1）＜0的解集是（ ） A．{x|x＜0} B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或x＞1} 【解答】解：∵x（x﹣1）=0的两个根为0，1， ∴x（x﹣1）＜0的解集为{x|0＜x＜1} 故选：C．
2．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0 【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立； B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立； C、c=0时，=0，本选项不一定成立； D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0， 又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立， 故选：D．
3．（5分）等比数列{an}中，a2=18，a4=8，则数列{an}的公比为（ ） A． B． C．± D．± 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， 则q2===， ∴q=± 第5页（共13页）
故选：D． 4．（5分）在△ABC中，a=2，A=30°，C=135°，则边c=（ ） A．1 B． C．2 D．2 【解答】解：由正弦定理知=，
∴=，
∴c=2， 故选：C．
5．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若，则S6等于（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵=， ∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6
=（1﹣）+（）+…+（）
=1﹣ =． 故选：D．
6．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则（∁US）∪T等于（ ） A．{2，4} B．{4} C．∅ D．{1，3，4} 【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}， ∴（∁US）∪T={2，4}∪{4}={2，4}． 故选：A．
7．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+2y的值域是（ ） 第6页（共13页）
A．[0，6] B．[1，9] C．[2，8] D．[3，7] 【解答】解：由题意作出其平面区域，
令m=x+2y化为y=﹣x+m，m相当于直线y=﹣x+m的纵截距， 故由图象可知， 0≤x+2y≤2， 故1≤z≤9， 故选：B．
8．（5分）数列{an}满足a1=3，an﹣anan+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2014=（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【解答】解：∵a1=3， 代入an﹣anan+1=1 ① 得②
在把代入an﹣anan+1=1， 得到③ 把代入an﹣anan+1=1， 得到a4=3 ④ 由此可见a4与a1相等，以后的项也会出现对应相同的数值，即每三项一重复，循环环出现， 看2014里包含多少个三项， 第7页（共13页）
∵2014=671×3+1． ∴A2014=． 故选：A．
二、填空题（共6道小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）已知△ABC中，a=2，b=，c=1，则cosB= ．
【解答】解：∵△ABC中，a=2，b=，c=1， ∴cosB===． 故答案为：
10．（5分）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为 1 ． 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形ABC， 其中A（m，3﹣m），B（m，），C（3，0）， 再作出指数函数y=2x的图象，可得该图象与直线x+y﹣3=0交于点（1，2） 因此，当A点与（1，2）重合时，图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时m达到最大值 ∴即m的最大值为1 故答案为：1
11．（5分）不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为 （，2] ． 【解答】解：∵log3（2x﹣1）≤1， 第8页（共13页）
∴0＜2x﹣1≤31=3， ∴＜x≤2，
∴不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为（，2]， 故答案为：（，2]．
12．（5分）f（x）=x2﹣2x+4的单调减区间是 （﹣∞，1] ． 【解答】解：将函数进行配方得f（x）=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3，对称轴为x=1，抛物线开口向上， 所以函数的单调减区间为（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]．
13．（5分）过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是 x+2y﹣5=0 ． 【解答】解：设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0， 把点（1，2）代入直线方程得， 1+4+m=0，m=﹣5， 故所求的直线方程为 x+2y﹣5=0， 故答案为：x+2y﹣5=0．
14．（5分）已知θ∈，且cosθ=﹣，则tanθ= 2 ． 【解答】解：∵cosθ=﹣，θ∈， ∴sinθ=﹣=﹣， ∴tanθ==2， 故答案为：2．
三、解答题（共6道小题，共80分） 15．（12分）在△ABC中，AB= （1）求sinA的值； 第9页（共13页）
（2）求的值． 【解答】解：（1）∵cosC=，0＜C＜π， ∴sinC===， ∴由正弦定理知：，即有，从而解得：sinA=．
（2）由余弦定理知：cosC=== 从而解得：AC=2或﹣（舍去） ∴=||•||•cosC=1×2×=．
16．（12分）已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵， =4cosx（）﹣1 =sin2x+2cos2x﹣1 =sin2x+cos2x =2sin（2x+）， 所以函数的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵﹣≤x≤， ∴﹣≤2x+≤， ∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2， 当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．
17．（14分）某餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A、B蔬菜每斤的单价分别为