高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷
2020版高中数学 第一章 导数及其应用章末检测试卷 新人教A版选修2-2
第一章 导数及其应用章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．由曲线y ＝x 2，直线y ＝0和x ＝1所围成的图形的面积是( ) A.18 B.16 C.13D.12考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 C解析 由题意知，其围成的图形的面积为ʃ10x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 310＝13. 2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a <x 1<x 2<x 3<b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上单调递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上单调递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s ＝13t 3＋ln t ，则该物体在t ＝4时的速度为( )A.649B.645C.657D.654考点 求瞬时速度题点 用极限的思想求瞬时速度 答案 D解析 s ′(t )＝t 2＋1t，则该物体在t ＝4时的速度为s ′|t ＝4＝42＋14＝654.4．函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0，⎝⎛⎦⎥⎤0，22 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A解析 因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以f ′(x )≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x 2－1≤0.解得0<x ≤22. 5．已知曲线f (x )＝ln x 在点(2，f (2))处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0平行，则实数a 的值为( ) A.12 B ．－2 C ．2 D ．－12答案 D解析 f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1x，可得曲线f (x )＝ln x 在点(2，f (2))处的切线斜率为12，由切线与直线ax ＋y ＋1＝0平行，可得－a ＝12，解得a ＝－12.故选D.6．若函数f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(－1)f (－1)等于( )A ．－34B.34 C ．－65D ．－56考点 导数公式的应用 题点 导数公式的应用 答案 C解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝－4＋2x ，f ′(－1)＝－6， 又f (－1)＝－2f ′(1)＋1＝5，∴f ′(－1)f (－1)＝－65.7．下列定积分不大于0的是( ) A ．ʃ1－1|x |d x B ．ʃ1－1(1－|x |)d x C ．ʃ1－1|x －1|d x D ．ʃ1－1(|x |－1)d x考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 D解析 A 项，ʃ1－1|x |d x ＝2ʃ10x d x ＝1>0；B 项，ʃ1－1(1－|x |)d x ＝ʃ1－11d x －ʃ1－1|x |d x ＝2－1>0； C 项，ʃ1－1|x －1|d x ＝ʃ1－1(1－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 21－1＝2>0； D 项，ʃ1－1(|x |－1)d x ＝ʃ1－1|x |d x －ʃ1－11d x ＝1－2<0，故选D.8．若函数y 1＝sin 2x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.212π＋52－64B.2π12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52－642D.(π－33＋15)272考点 导数的综合运用 题点 导数的综合运用 答案 D 解析(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y 1上与直线y 2平行的切线的切点到直线y 2的距离． ∵y ′1＝2cos 2x 1，令y ′1＝1， ∴cos 2x 1＝12，∵x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∴x 1＝π6，∴y 1＝1＋32，故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1＋32，切点到直线y 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π6－1＋32＋32＝π－33＋1562，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为(π－33＋15)272.故选D.9．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝x －33x. 令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；令f ′(x )＝0得x ＝3. 故函数f (x )在区间(0,3)内为减函数，在区间(3，＋∞)内为增函数， 在x ＝3处有极小值f (3)＝1－ln 3<0. 因为f (1)＝13>0，f (e)＝e3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点． 10．函数f (x )在定义域R 上的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0.设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( ) A ．c <a <b B ．a >b >c C ．a <b <cD ．a <c <b考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A解析 ∵当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0， ∴f ′(x )>0，∴f (x )在区间(－∞，1)上为增函数．又∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数．∵a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)＝f (3)， ∴c <a <b .11．如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m ，则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 考点 数学思想方法在导数中的应用 题点 转化与化归思想在导数中的应用 答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－x 2＋a ，f ′(x )＝3x 2－2x ， 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )， 满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a＝a 2－a ， ∴方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的解． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，0<13<a ，解得12<a <1.12．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 B解析 当a ＝0时，由f (x )＝－3x 2＋1＝0， 解得x ＝±33，函数f (x )有两个零点，不符合题意． 当a >0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ＝0，解得x ＝0或x ＝2a>0，此时f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∵当x →－∞时，f (x )→－∞，且f (0)＝1>0， ∴存在x 0<0，使得f (x 0)＝0，不符合题意．当a <0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ＝0，解得x ＝0或x ＝2a<0，此时f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：f (x )↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘∵f (0)＝1>0，且当x →＋∞时，f (x )→－∞， ∴存在x 0>0，使得f (x 0)＝0. 又f (x )存在唯一的零点x 0，∴极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1>0，∴a >2或a <－2. ∵a <0，∴a <－2.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－2)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切线的斜率 答案 －1解析 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.14．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [3，＋∞)解析 由题意知f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在区间(－1,1)上恒成立，故a ≥3.15.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性； ③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值． 其中正确的说法有________． 考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 ①④解析 由图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )>0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误； 当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，④正确．16．若函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)， ∴当x <－a 或x >a 时，f ′(x )>0， 当－a <x <a 时，f ′(x )<0，则当x ＝a 时，f (x )有极小值，当x ＝－a 时，f (x )有极大值，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，解得a >22. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列两个条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数； ②f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b ，若不存在，请说明理由． 考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数解 设g (x )＝x 2＋ax ＋b x ，则g ′(x )＝x 2－bx2，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， 又∵f (x )的最小值为1，则g (x )的最小值为3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝0，g (1)＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＝0，a ＋b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.经检验，当a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件．18．(12分)设函数f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝2a (x －5)＋6x(x >0)．令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． ∵切线与y 轴相交于点(0,6)， ∴6－16a ＝8a －6，∴a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝(x －5)＋6x＝(x －2)(x －3)x(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，f (x )在区间(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在区间(2,3)上为减函数． 故f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 19．(12分)已知函数f (x )＝x e x－x －ax 2. (1)当a ＝12时，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x (e x－1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，则x ＝－1或0， 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． (2)f (x )＝x (e x－1－ax )．令g (x )＝e x－1－ax ，则g ′(x )＝e x－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数， 而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0.若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0， 从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为kex (e 为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设该产品一年的销售量为Q (x )＝ke x ，则ke40＝500，所以k ＝500e 40，则该产品一年的销售量Q (x )＝500e40e x ，则该产品一年的利润L (x )＝(x －a －30)500e40e x＝500e 40·x －a －30ex(35≤x ≤41)．(2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －x e x. ①若2≤a ≤4，则33≤a ＋31≤35，当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0，L (x )单调递减， 所以当x ＝35时，L (x )取得最大值为500(5－a )e 5； ②若4<a ≤5，则35<a ＋31≤36，令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知当x ＝a ＋31时，L (x )取得最大值为500e 9－a .综上所述，当2≤a ≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5，且每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e 9－a 万元．21．(12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系． 考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小解 (1)由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x， 即g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x . 设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0， 即h (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 22．(12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 (1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． 故当x ＝e 时，g (x )有最小值且最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]．(2)由题意，得k (x )＝x －2ln x －a .令φ(x )＝x －2ln x ， 又函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2<a <3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。
数学人教A选修2-2第一章 导数及其应用单元检测.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学人教A 选修2-2第一章 导数及其应用单元检测(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后走过的路程为43215243s t t t =-+，那么速度为0的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 sD ．0 s 末，1 s 末，4 s 末2．当x 在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f ′(x )的符号变化如下表：x (－∞，1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －则函数f (x )的图象的大致形状为( )3．当x ＝a 时，函数y ＝ln(x ＋2)－x 取到极大值b ，则ab 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．π4π41cos 2d 3x x -⎰＝( )A ．13 B ．23C ．23D ．23-5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m 时F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．已知f (x )＝(x ＋a )2，且1'32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．28．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 10．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．11．若函数()241xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．．三、解答题(共34分)12．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．13．(10分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？14．(14分)已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：D 解析：s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0得t ＝0,1,4．2答案：C 解析：从表中可知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．3答案：A 解析：y ′＝[ln(x ＋2)－x ]′＝112x -+．令y ′＝0，得x ＝－1，此时y ＝ln 1＋1＝1，即a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1．4答案：A 解析：ππ44ππ441111cos 2d sin 23323x x x--=⨯=⎰． 5答案：C 解析：f ′(x )＝2bx x -++．∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )在(－1，＋∞)上小于零恒成立， 即2bx x -++≤0恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1＜－1，∴b ≤－1． 6答案：C 解析：依题意F (x )做的功是 W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )105＝825(J)．7答案：B 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2．8答案：A 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A ．9答案：a ＜0 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x (x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，则曲线f (x )上存在导数为0的点，即3ax 2＋1x ＝0有解，313a x=-，∵x ＞0，∴3103x-<．∴a ＜0．10答案：54 解析：由题意f (x )＝110,0,211010,1,2x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )＝22110,0,211010, 1.2x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010533x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝101105101553834384⎛⎫⎛⎫⨯+---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11答案：－1＜m ≤0 解析：由已知得f ′(x )＝22244(1)x x -+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤012答案：解：f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x ＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，由y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩答案：由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝22642(1)(2)x x x x x x-+--=，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2(2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )单调递增 －5 单调递减 4ln 2－8 单调递增4ln 3－9∵f (3)＝4ln 3－9＞f (1)＝－5＞f (2)＝4ln 2－8， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9．13答案：解：设CD ＝x (km)，则CE ＝3－x (km)． 由题意得所需电线的长为l ＝AC ＋BC ＝2221 1.5(3)x x +++-(0≤x ≤3)． ∴22222(3)'212 1.5(3)x x l xx --=+++-．令l ′＝0，则222301 1.5(3)x xx x --=++-，即22231 1.5(3)x x x x -=++-，平方， 得22222(3)1 1.5(3)x x x x -=++-， 即1.52x 2＋x 2(3－x )2＝(3－x )2＋x 2(3－x )2， ∴1.52x 2＝(3－x )2，∴1.5x ＝±(3－x )，解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)，经检验x ＝1.2为函数的最小值点，故当CD ＝1.2 km 时所需电线最短．14答案：解：f ′(x )＝(x 2－4)′(x －a )＋(x 2－4)(x －a )′ ＝2x (x －a )＋x 2－4＝3x 2－2ax －4．答案：由f ′(1)＝0，得3－2a －4＝0，∴12a =-． 此时f (x )＝(x 2－4)12x ⎛⎫+⎪⎝⎭，f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．∴x＝1和43x=-是函数f(x)的极值点．∵9(1)2f=-，450327f⎛⎫-=⎪⎝⎭，f(2)＝f(－2)＝0，∴f(x)max＝5027，f(x)min＝92-．答案：f′(x)＝3x2－2ax－4，如图，设f′(x)＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜x2，则有'(2)0,'(2)0,22223ffa⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⨯⎩⇒223(2)440,32440,66aaa⎧⨯-+-≥⎪⨯--≥⎨⎪-≤≤⎩⇒2,2,66,aaa≥-⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩∴－2≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．。
高中数学第一章导数及其应用章末检测试卷新人教A版选修2-2(2021年整理)
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第一章导数及其应用章末检测试卷（一)(时间：120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．由曲线y＝x2，直线y＝0和x＝1所围成的图形的面积是（）A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案C解析由题意知,其围成的图形的面积为ʃ10x2d x＝错误!错误!＝错误!。
2．函数f（x）的定义域为开区间(a,b），导函数f′（x）在(a，b）内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间（a，b)内极小值点的个数为（）A．1 B．2C．3 D．0考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案A解析设极值点依次为x1，x2，x3且a<x1〈x2<x3〈b，则f(x）在（a，x1)，(x2，x3）上单调递增，在（x1，x2)，(x3，b）上单调递减,因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s＝错误!t3＋ln t,则该物体在t＝4时的速度为（)A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!考点求瞬时速度题点用极限的思想求瞬时速度答案D解析s′(t)＝t2＋错误!，则该物体在t＝4时的速度为s′｜t＝4＝42＋错误!＝错误!。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用章末检测卷
章末检测卷（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3)C．(－2，－3) D．(－2,3)答案 B解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)．2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间是( )A．(－∞，－1)和(0,1) B．(－1,0)和(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)答案 A解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.4．函数y＝ln 1|x＋1|的大致图象为( )答案 D解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x>－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.5．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为( )A.3JB.233J C.433J D ．23J答案 C解析 由于F (x )与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30°，W ＝ʃ21(5－x 2)·cos 30°d x ＝32ʃ21(5－x 2)d x ＝32(5x －13x 3)|21＝32×83＝433(J)． 6．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点所在象限是( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 答案 C解析 ∵y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限，故二次函数y ＝f (x )的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]∪3，＋∞)B ．－3，3]C ．(－∞，－3]∪3，＋∞)D ．－3，3] 答案 B解析 在f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3. 8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，f (1)＋f ′(1)的值等于( )A ．1 B.52 C ．3 D ．0答案 C解析 由已知切点在切线上，所以f (1)＝12＋2＝52，切点处的导数为切线斜率，所以f ′(1)＝12， 所以f (1)＋f ′(1)＝3.9．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d x D ．2π40⎰(cos x －sin x )d x答案 D解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x <π4阴影部分面积的2倍．故选D.10．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点D ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点答案 C解析 由题意得f ′(x )＝x －33x，令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；f ′(x )＝0得x ＝3，故知函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0；又f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，f (1e )＝13e ＋1>0.11．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 令f (x )＝2x 3－6x 2＋7， ∴f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )>0得x >2或x <0；由f ′(x )<0得0<x <2；又f (0)＝7>0，f (2)＝－1<0，∴方程在(0,2)内只有一实根． 12．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 015的值为( ) A ．－log 2 0142 013 B ．－1 C ．(log 2 0142 013)－1 D ．1答案 B解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014(x 1·x 2·…·x 2 013)＝log 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫12·23·…·2 0132 014＝log 2 01412 014＝－1. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 答案 －1解析 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.14．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥3解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________ 答案 (－2,15)解析 y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15) 16．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________． 答案 4，－11解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b的值分别为4，－11.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0， 解得a ＝3.∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16.18．(12分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a 、b ，使f (x )同时满足下列两个条件：(1)f (x )在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数；(2)f (x )的最小值是1，若存在，求出a 、b ，若不存在，说明理由．解 设g (x )＝x 2＋ax ＋bx，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数，∴g (x )在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝0g (1)＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝0a ＋b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1经检验，a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件． 19．(12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)， 单调递减区间为(2，2)． (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值． 解 (1)由于年销售量为Q (x )＝k e x ，则ke 40＝500，所以k ＝500e 40，则年售量为Q (x )＝500e40ex 万件，则年利润L (x )＝(x －a －30)500e40e x＝500e 40·x －a －30ex(35≤x ≤41)．(2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －x e x. ①当2≤a ≤4时，33≤a ＋31≤35， 当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0；所以x ＝35时，L (x )取最大值为500(5－a )e 5. ②当4<a ≤5时，35<a ＋31≤36，令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知x ＝a ＋31时，L (x )取最大值为500e9－a.综上所述，当2≤a ≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5，每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9－a 万元．21．(12分)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝(x －2)(x －3)x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3.22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若在区间－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.以下分两种情况讨论： ①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减当x ∈－12 ，12]时，f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12)>0，f (12)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a8>05＋a 8>0.解不等式组得－5<a <5.因此0<a ≤2. ②若a >2，则0<1a <12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递 减单调递增当x ∈－2，2]时，f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12)>0，f (1a )>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a8>01－12a 2>0解不等式组得22<a <5或a <－22. 因此2<a <5.综合①②，可知a 的取值范围为0<a <5.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：第一章 导数及其应用测试卷
a 的取值范围是( ) A．(0,2] B．(0,2) C．[ 3，2) D．( 3，2) 解析：由题意可知 f′(x)＝0 的两个不同解都在区间(－1,1)内．因为 f′(x)
( ) ( ) π π π
x＋ － ， － 2sin 4 在 2 2 上恒成立．
ππ
π π 3π
∵当－2<x<2时，－4<x＋4< 4 ，
( ) ( ] ( ) π
2
π
x＋ － ，1
x＋
∴sin 4 ∈ 2 ，∴－ 2sin 4
∈[－ 2，1)．
∴a≥1，即实数 a 的取值范围是[1，＋∞)，故选 C.
y′<0；当 x>200 时，y′>0，所以当 x＝200 时，y 取得最小值，故其周长至少为 800 m.
答案：800
15．由曲线 y2＝x，直线 y＝x－2 所围成的封闭图形的面积为________．
解析：由Error!得Error!或Error!
根据定积分的几何定义可知所求封闭图形的面积
. 9
11 1 1 1 2
1
＝3·c3－4·c·c4＝12c3＝3，解得 c＝2，故选
3
5．函数 f(x)＝x＋x＋2ln x 的单调递减区间是( ) A．(－3,1) B．(0,1) C．(－1,3) D．(0,3)
3
2 x2＋2x－3 x＋3x－1
解析：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－x2＋x＝ x2 ＝ x2 . 由 f′(x)<0，得 0<x<1，∴函数 f(x)的单调递减区间是(0,1)．故选 B. 答案：B 6．函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )
高中数学 第一章《导数及其应用》单元检测 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题
江苏省苏州市第五中学高中数学第一章《导数及其应用》单元检测苏教版选修2-2一、知识点梳理二、学法指导1．本章内容共分为四节，第一节是导数的概念．教材通过实例给出了平均变化率，进而给出了函数平均变化率的概念．接着教材给出了曲线上一点处的切线、瞬时速度和瞬时加速度的概念，进而给出了导数的概念．第二节是导数的运算，教材介绍了常见函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数．第三节是导数在函数研究中的应用，主要是利用导数研究函数的单调性、求函数的极大值、极小值以及求函数在闭区间上的最大值和最小值．第四节是导数在实际生活中的应用，主要是利用导数的方法求实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等最优化的问题．2．本章的重点：一是利用导数的定义求简单函数的导数，能利用导数公式表、运算法则求导数．二是利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值、极小值、最大值、最小值．三是利用导数的方法解决实际应用问题．本章的难点是对导数概念的理解，导数方法的应用，特别是求一些实际问题的最值．3．建议：(1)借助于实例，从平均速度、瞬时速度到函数的瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念．通过例题，体会利用导数的定义求导数的方法．(2)借助于图形去认识和理解导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的作用．(3)利用基本初等函数的求导法则和四则运算求导数，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此，观察表达式的特点，对表达式进行适当的变形时优化解题过程的关键．对于复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．(4)利用导数的方法解决实际问题时，数学建模是关键．特别是对有关物理问题，能够将其物理意义与求导数联系起来．三、单元自测(一) 填空题(每小题5分，共70分)1．半径为R 的圆受热均匀膨胀，若半径增加了r ，则圆面积的平均膨胀率是__________． 2．已知函数()2x f x -=，则(2)f '=__________________． 3．已知函数y ＝log 2(3x ＋1)，则它的导数为_______________． 4．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ， 则(3)(3)f f '+= ． 5．若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--→____．6．已知函数32()32,[0,]f x x x x m =-+∈在x =0处取得最大值，在x =2处取得最小值，则m 的取值范围是 ．7．要做一个母线长为20厘米的圆锥形的漏斗，当高为 厘米时，该漏斗的体积最大? 8．设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 9．若函数f(x)=31(1)34xa x --在其定义域内没有极值，则a 的取值范围为_________． 10．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是__________． 11．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =___________． 12．设函数()()()cos30f x x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+ 是奇函数，则ϕ=__________．13．函数f (x )=x 3－3x ，1,2x a ⎡⎤∈+⎣⎦的最小值为a －2，则实数a 的值为__________．14．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-． 若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． (二) 解答题(15、16每小题13分，17~20每小题16分，共90分)15．如果曲线31y x x =++的某一条切线与直线133y x =+平行，求切点坐标和切线方程． 16．已知a 是实数，函数()()f x x x a =-，求函数()f x 的单调区间．17．如图，在矩形地块ABCD 中有两条道路AF ，EC ，其中AF 是以A 为顶点的抛物线段，EC 是线段．AB=2km ，BC=6km ，AE=BF=4km ．在两条道路之间计划修建一个公园，公园的形状为直角梯形QPRE(线段EQ 和RP 为两个底边，如图所示)．求该公园的最大面积． 18．设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 (1)求函数()f x 的单调区间；(2)已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围．19．已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ=．(1)当a =1时，求()x Φ的单调区间；(2)是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3?若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 20．已知函数2*()2cos πln (f x x a k x k =-⋅∈N ，a ∈R ，且0a >）． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若2010k =，关于x 的方程()2f x ax =有唯一解，求a 的值． 高二数学《导数及其应用》单元测试试卷答案 一、填空题：(每小题5分，共70分)1．2R r ππ+ 2．ln 24- 3．3(31)ln 2x + 4．4 5．1- 6．[]2,3 7．2038．(]0,3 9．(],1-∞ 10．(,1]-∞- 11．2- 12．6π 13．0 14．1(0,)e二、解答题：15．当切点为(2,11)时，切线方程为1315y x =-；………………………………6分 当切点为(2,9)--时，切线方程为1317y x =+．………………………………13分16．解：函数的定义域为[0)+∞，， ………………………………………………1分 ()22f x x x x'==（0x >）．………………………………………………3分 若0a ≤，则()0f x >，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．…………………………7分 若0a >，令()0f x '=，得3a x =，当03a x <<时，()0f x '<，当3ax >时，()0f x '>．()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．…13分17．解：建立如图所示的直角坐标系…………………2分 则有抛物线段的方程为x 2=y （0<x<2）………7分 E （0，4），C （2，6），EC 的方程为y=x+4．设P(x,x 2)（x∈(0,2)），则PQ=x ，QE=4－x 2，PR=4+x －x 2．面积 ……………9分，即得（舍负） (11)分+ 0 － S单调增 极大值单调减S 在时取极大值，即为最大值，最大值为……………………………15分答：该公园的最大面积为……………………………………………16分18．解 (1) '22ln 1(),ln x f x x x+=- ………………………………………………2分 若 '()0,f x = 则 1x e=………………………………………………3分 x 1(0,)e1e1(,1)e(1,)+∞'()f x+0 --()f x单调增极大值1()f e单调减 单调减 ()f x 有单调递增区间0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1+∞，．………………9分(2) 在 12ax x > 两边取对数， 得 1ln 2ln a x x >，由于01,x <<所以1ln 2ln a x x>（1）由(1)的结果可知，当(0,1)x ∈时， 1()()f x f e e≤=-， 为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立，当且仅当ln 2ae >-，即ln 2a e >-……………16分 19．解：（1）当221,()(1),'()()x x a x x x e x e x x --=Φ=++Φ=-+时． ……2分'()0,01;'()0,10.x x x x x Φ><<Φ<><当时当时或 ∴()x Φ的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为(,0)-∞，(1,)+∞． ……7分（2）22'()(2)()[(2)]x x x x x a e e x ax a e x a x ---Φ=+-++=-+-， …………9分令'()0,02x x x a Φ===-得或． ………………10分a=2时，()x Φ无极值；由表可知，()(2)(4)x a a e Φ=Φ-=-极大． ………………13分 设22()(4),'()(3)0a a a a e a a eμμ--=-=->，∴()(,2)a μ-∞在上是增函数， ∴ ()(2)23a μμ≤=<，即2(4)3a a e --≠，∴不存在实数a ，使()x Φ极大值为3． …………………………16分 20．（1）由已知得x ＞0且2()2(1)k a f x xx'=--⋅．当k 是奇数时，()0f x '>，则f (x )在(0,+∞)上是增函数; …………………3分 当k 是偶数时，则2()2a f x x x'=-． …………………5分所以当x ∈(时，()0f x '<，当x ∈(),a +∞时，()0f x '>．故当k 是偶数时，f (x )在(上是减函数，在(),a +∞上是增函数．……………7分 （2）若2010k =，则2*()2ln ()f x x a x k =-∈N ．记g (x) = f (x ) – 2ax = x 2– 2 a x ln x – 2ax , 222()22()a g x x a x ax a x x'=--=--,若方程f (x )=2ax 有唯一解，即g (x )=0有唯一解； ……………………………9分 令()0g x '=,得20x ax a --=．因为0,0a x >>，所以10 x =<（舍去），2 x ． ………………………11分 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 是单调递减函数； 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上是单调递增函数．当x =x 2时, 2()0g x '=，min 2()()g x g x =． ………………………………12分 因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =．则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，， 即22222222ln 200x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，…………………………………13分两式相减得22ln 0 a x ax a +-=，因为a >0，所以222ln 10 (*)x x +-=． …………14分设函数()2ln 1h x x x =+-，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x ) = 0至多有一解．因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =． (16)分。
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题
【数学选修2-2】导数及其应用(一)第一卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项最符合题目要求的.)1、假设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈那么000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为( )A.0()f x 'B.02()f x 'C.02()f x '-D.02、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒 3、曲线x x y 43-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( )A.34πB.2πC.4πD.6π 4、曲线3()2f x xx 在0p 处的切线平行于直线41y x ,那么0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)-- 5、假设()sin cos f x x α=-,那么()f α'等于( ) A.cos α B.sin α C.sin cos αα+D.2sin α6、假设曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,那么l 的方程为( ) A.430x y --= B.450x y +-= C.430x y -+= D.430x y ++= 7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,那么 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是( ) A.2n B.22n - C.12n + D.122n +-8、32()967,f x ax x x =++-假设(1)4f '-=,那么a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103 D.1339、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第一、二、三象限的一条直线,那么函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( )A.第一B.第二C.第三D.第四10、函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,那么(1)(1)f f '+的值等于( )A.1B.52C.3D.0 11、以下式子不．正确的选项是( ) A.()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+- B.23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()sin 22cos2x x '=D.2sin cos sin x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12、设a ∈R ,函数()e exxf x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.假设曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,那么切点的横坐标为 ( )A.ln 2B.ln 2-C.ln 22D.ln 22-第二卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-那么=∆∆xy. 14、曲线32242y x x x =--+在点(1,一3)处的切线方程是___________15、在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3:103C y x x =-+上,且在第二象限内,曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,那么点P 的坐标为 .16、函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,那么不等式()0f x >的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,假设l 与圆41:22=+y x C 相切,求a 的值.18、(12分)设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数. (1)求ϕ的值;(2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)a ∈R ,函数2()()f x x x a =-,假设(1)1f '=.(1)求a 的值并求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程()y g x =; (2)设()()()h x f x g x '=+,求()h x 在[0,1]上的最大值与最小值.20、(12分)设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.21、(12分) 设函数()bf x ax x=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. (1)求()f x 的解析式;(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22、(14分) 关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan x x =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?假设存在求出k 的值,否那么说明理由.参考答案1.B 000000()()()()limlim 2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h →→+--+--=0000()()2lim 2()2h f x h f x h f x h→+--'==.2.C ()21,(3)2315s t t s ''=-=⨯-=.3.A 21334,|1,tan 1,4x y x k y αα=''=-==-=-=π. 4.D 设切点为0(,)P a b ,22()31,()314,1f x x k f a a a ''=+==+==±,把1a =-, 代入到3()2f x x x 得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x 得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)--.5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=.7.D ()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+,所以21n n a n =+,那么数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--8.B2()3186f x ax x '=++,由(1)4,f '-=得31864a -+=,即163a =. 9.C 设2(),()2f x ax bx f x ax b '=+=+,()f x '的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故20,0a b >>,又22()24b b f x a x a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,即项点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限. 10.C 由切点在切线上,所以f (1)=25221=+,切点处的导数为切线斜率,所以1(1)2f '＝,所以(1)(1)f f '+＝311.D 2sin cos sin x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12.A '()xxf x e ae-=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x xf x e e-=-,设切点为00(,)x y ,那么0003'()2xx f x e e -=-=,得02x e =或012xe =-(舍去),∴0ln 2x =. 13.3x -∆22(1)(1)y x x -+∆=--+∆+-+∆∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 14.520x y +-= 易判断点(1,-3)在曲线32242y x x x =--+上,故切线的斜率()211|344|5x x k y x x =='==--=-,∴切线方程为()351y x +=--,即520x y +-=15.(-2,15) 231022y x x '=-=⇒=±,又点P 在第二象限内,∴2x =-,得点P 的坐标为(-2,15)16.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞.17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x a l 与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a ∴a 的值为118. 18.解:(1)()'()f x f x+))ϕϕ=+-+5)6πϕ=++,又0ϕ<<π,()'()f x f x+是奇函数,∴=ϕ6π.(2)由(1)得()'()f x f x+)=+π=-.∴()'()f x f x+的最大值为2,最小值为2-.19、解:(1)2()32f x x ax'=-,由(1)1f'=得321a-=,所以1a=;当1a=时,32()f x x x=-,(1)0f=,又(1)1f'=,所以曲线()y f x=在(1,(1))f处的切线方程为01(1)y x-=⨯-,即()1g x x=-;(2)由(1)得22113()313()612h x x x x=--=--,又(0)1h=-,(1)1h=,113()612h=-,∴()h x在[0,1]上有最大值1,有最小值1312.20.解:(1)∵()f x为奇函数,∴()()f x f x-=-,即33ax bx c ax bx c--+=---,∴0c=,又∵2'()3f x ax b=+的最小值为12,∴12b=;又直线1870x y+-=的斜率为118-,因此,'(1)318f a b=+=,∴2a=,∴2a=,12b=,0c=为所求.(2)由(1)得3()212f x x x=+,∴当0x>时,2()()f xg xx=62()2xx=+≥⋅=,∴()g x的最小值为.21.解:(1)方程74120x y--=可化为734y x=-.当2x=时,12y=. 又2()bf x ax'=+,于是1222744baba⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13ab=⎧⎨=⎩,故3()f x xx=-.(2)设00(,)P x y为曲线上任一点,由231yx'=+知曲线在点00()P x y，处的切线方程为002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭,即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令0x =得06y x =-,从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 令y x =得02y x x ==,从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，. 所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形面积为016262x x-=. 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如下图:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线. 由'()cos f x x =,∴4cos k x =,又∵44sin x kx =,于是44tan x x =. (2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413x x =. 由33sin x kx =,得4411sin 33x kx =,即441sin 3sin 3x x =. 由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴41sin(,322x ∈,有433sin (,322x ∈,即43sin (,)22x ∈,与4sin 1x <矛盾! 故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列。
汉寿一中数学选修2-2第一章导数及其应用练习卷四
汉寿一中数学选修2-2第一章导数及其应用练习卷四（单元检测）一、选择题：1．设'0()2f x =，则000()()lim 2k f x k f x k®--=（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．12 2．过原点作曲线x y e =的切线，则切点坐标是（ ）A ．(1,)eB ．(0,)eC ．(,1)eD ．(,0)e3．sin ()cos(sin )x f x e x =，则'(0)f =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．24．若曲线()y h x =在点(,())P a h a 处的切线方程为210x y ++=，那么（ ）A ．'()0h a <B ．'()0h a >C ．'()0h a =D ．'()h a 的符号无法确定5．定积分21(30x dx +ò等于（ ） A ．44ln 33- B ．42ln 3+ C ．44ln 33-- D ．42ln 3-+ 6．sin cos 0t x e tdt =ò（ ） A ．cos 1x e - B ．sin sin 1x e x - C ．sin cos 1x e x - D ．sin 1x e -7．函数4()4f x x x =-在[1,2]-上的最大、最小值分别为（ ）A ．(1)f 与(1)f -B ．(1)f 与(2)fC ．(1)f -与(2)fD ．(2)f 与(1)f -8．对于函数3()x f x xì=íî (0)(0)x x <³，下列说法正确的是（ ） A ．在(,)-¥+¥上单调递增 B ．在(,)-¥+¥上单调递减C ．在0x =处无意义D ．(0,)x Î+¥时单调递增，(,0)x Î-¥时单调递减9．已知2'()2(1)f x x xf =+，则'(0)f =（ ）A ．0B ．2-C ．4-D ．210．函数()(4)0x f x t t dt =-ò在[1,5]-上（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值和最小值C ．有最小值，无最大值D ．无最值11．在半径为r 的半圆内作一个内接梯形，使其底为直径，其他三边为半圆的弦，则当梯形面积最大时，其上底长为（ ）A ．2rB ．2rC ．3r D ．r 12．关于函数32()3f x x x =-，给出下列命题：①()f x 在R 上单调递增，无极值；②()f x 在R 上单调递减，无极值；③()f x 的单调递增区间为(,0)-¥和(2,)+¥，单调递减区间为(0,2)；④(0)0f =是极大值，(2)4f =-是极小值。
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（含答案）
新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。
高中数学 第1章 导数及其应用单元检测 苏教版选修2-2-苏教版高中选修2-2数学试题
第1章 导数及其应用单元检测一、填空题1．函数y ＝sin 3x 的导数是________．2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点__________个．3．已知f (x )＝(x ＋a )2，且132f ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，则a 的值为__________． 4．若函数y ＝log a (x 2－2x －3)的增区间是(－∞，－1)，则a 的取值X 围是________． 5．aa-⎰|x |d x ＝________.6．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是__________．7．函数y ＝6x 2－12x 的极值点为________．8．函数()πsin 36f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在点π6⎛ ⎝⎭处的切线方程为________． 9．设曲线y ＝f (x )＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________.11．(2012某某高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．12．若函数24()1xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值X 围是________．二、解答题13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2. (1)某某数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．14．求C 的值，使1⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x 最小．15．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0.(1)求a ，b 的值；(2)若函数()e ()xg x f x =，讨论g (x)的单调性．参考答案1. 答案：3cos 3x2. 答案：13. 答案：－2 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a .依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2.4. 答案：0＜a ＜1 解析：定义域为{x |x ＞3或x ＜－1}，函数y ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)上为减函数，∴0＜a ＜1.5. 答案：a 2解析：aa-⎰|x |d x ＝a-⎰(－x )d x ＋a⎰x d x ＝202201122a ax x a --+=.6. 答案：0≤a ≤21 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点.7. 答案：x ＝18.答案：3π24x y =+-解析：∵()π3cos 36f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， ∴ππ33cos 632f'⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴32k =.由点斜式，得3π226y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3π24x y =+-. 9. 答案：2 解析：设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线斜率为k 1，则k 1＝f ′(0)＝a . 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率212k =-， 依题意得a ·12⎛⎫-⎪⎝⎭＝－1，∴a ＝2. 10. 答案：1 1 解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则f ′(x )＝2x ＋a ，∴曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在(0，b )处的切线斜率为a . ∴切线方程为y －b ＝ax ， 即ax －y ＋b ＝0.与切线方程x －y ＋1＝0对比，得a ＝1，b ＝1.11. 答案：54解析：由题意()110,0,211010,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则()22110,0,211010, 1.2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010101105101555333834384x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=⨯+---⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12. 答案：(－1,0] 解析：由已知得()22244(1)x f x x -'=+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤0.13. 答案：解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，又y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2， ∴240,8240.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩(2)由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝2264x x x -+＝2(1)(2)x x x--，x ∈(0,3].当∵∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9. 14. 答案：解：令y ＝1⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x＝1⎰(x 4＋2Cx 3＋C 2x 2＋2Cx 2＋2C 2x ＋C 2)d x＝542332221011125233x Cx C x Cx C x C x ⎛⎫+++++⎪⎝⎭ ＝2177563C C ++ ＝2711334240C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以当14C =时，y 最小，即当14C =时，10⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x 最小.15. 答案：解：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处取得极值，故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0相互垂直可知，该切线斜率为2，即f ′(1)＝2a ＝2，从而a ＝1.(2)由(1)知，g (x )＝()2e xg x x k=+(k ＞0)，222e (2)()()x x x k g'x x k -+=+(k ＞0)，令g ′(x )＝0，得x 2－2x ＋k ＝0.①当Δ＝4－4k ≤0，即当k ≥1时，g ′(x )≥0在R 上恒成立，故函数g (x )在R 上为增函数.②当Δ＝4－4k ＞0，即当0＜k ＜1时，方程x 2－2x ＋k ＝0有两个不相等实根x 1＝1－x 2＝1当x∈(－∞，1时，g′(x)＞0，故g(x)在(－∞，1上为增函数；当x1时，g′(x)＜0，故g(x)在(11上为减函数；当x g′(x)＞0，故g(x)在(1.。
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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第 1 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com abx
y)(xfy¢=
O
高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷 一、 选择题（每题5分，共60分） 1.满足()()fxfx¢=的函数是 A . f(x)＝1－x B. f(x)＝x C . f(x)＝0 D . f(x)＝1
2.曲线34yxx=在点（－1，－3）处的切线方程是
A . 74yx= B. 72yx= C. 4yx= D. 2yx= 3.若关于x的函数2mnymx=的导数为4yx¢=,则mn的值为 A. 3 B. 1 C. 1 D . 3 4.设lnyxx=，则此函数在区间(0,1)内为
A．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 5. 已知()fx=3x·sinxx，则(1)f¢=
A .31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos1 6．函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19 7．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则 A f(x)=g(x) B f(x)－g(x)为常数函数 C f(x)=g(x)=0 D f(x)+g(x)为常数函数
8.函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf¢在),(ba内的图象如图所示，则函数
)(xf在开区间),(ba内有极小值点 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
9．设函数()fx在定义域内可导，()yfx=的图象如图1所示，则导函数()yfx¢=可能为 （ ）
x y O A x y O B x y O C y O D x x y
O 图1 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第 2 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 10．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0， 且(3)0g=，则不等式f(x)g(x)<0的解集是 A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3) 11.给出以下命题： ⑴若()0bafxdx，则f(x)>0； ⑵20sin4xdx=;
⑶已知()()Fxfx¢=，且F(x)是以T为周期的函数，则0()()aaTTfxdxfxdx=； 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0
12.已知函数2()fxxbx=的图象在点(1,(1))Af处的切线的斜率为3，数列)(1nf
的前n项和为nS,则2011S的值为（ ） 20122011.20112010.20102009.20092008.DCBA
二.填空题（每题5分，共20分） 13.若32()33(2)1fxxaxax=有极大值和极小值，则a的取值范围是__ 14.函数32()26(fxxxmm=为常数） 在[22]，上有最大值3，那么此函数在[22]， 上的最小值为_____ 15.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为
16.已知)(xf为一次函数，且10()2()fxxftdt=，则)(xf=______ .
三．解答题（共70分）
17. (本小题满分10分) 已知曲线 32yxx= 在点 P0 处的切线 1l 平行直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限. （1）求P0的坐标；
（2）若直线 1ll , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程. 18．（本小题满分12分） 将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？
19.(本小题满分12分) 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第 3 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 已知a为实数，))(4()(2axxxf= （1）求导数)(xf¢； （2）若0)1(=¢f，求)(xf在[－2，2] 上的最大值和最小值； （3）若)(xf在(,2)和(2,)上都是递增的，求a的取值范围. 20.(本小题满分12分) 已知函数()ln(1)fxxx=．
（1）求函数f(x)的单调递减区间；
（2若1x，证明：11ln(1)1xxx． 21. (本小题满分12分)
已知函数()lnfxx=(0)x,函数1()()(0)()gxafxxfx¢=¢
（1）当0x时,求函数()ygx=的表达式; （2）若0a,函数()ygx=在(0,)上的最小值是2 ,求a的值; （3）在⑵的条件下,求直线2736yx=与函数()ygx=的图象所围成图形的面积. 22．(本小题满分12分) 若存在实常数k和b，使得函数()fx和()gx对其定义域上的任意实数x分别满足：
()fxkxb和()gxkxb，则称直线:lykxb=为()fx和()gx的“隔离直线”．已知2()hxx=，()2eln(exx=为自然对数的底数)． （1）求()()()Fxhxx=的极值； （2）函数()hx和()x是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
第 4 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 《导数及其应用》参考答案【理科】
一、选择题 CDBCB BBADD BD 二.填空题
13.2a 或1a 14. 37 15.400027 cm2 16. ()1fxx= 三．解答题 17.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1， 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4. 又∵点P0在第三象限, ∴切点P0的坐标为 (－1,－4).
⑵∵直线1ll,1l的斜率为4,∴直线l的斜率为14, ∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l的方程为14(1)4yx=即4170xy=. 18．解：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a－2x， ∴方盒的体积2(2)((0,)),2aVxaxx=
121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226aaaaaVaxaxVxxxxV=====令则由且对于 (,),'0,62aaxV∴函数V在点x＝a6处取得极大值，由于问题的最大值存在， ∴V(a6)＝2a327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a6． 19. 解：⑴由原式得,44)(23axaxxxf=∴.423)(2=¢axxxf ⑵由0)1(=¢f 得21=a,此时有43)(),21)(4()(22=¢=xxxfxxxf. 由0)(=¢xf得34=x或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(====ffff 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750 ⑶解法一:423)(2=¢axxxf的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(¢¢ff 即480840aa ∴－2≤a≤2. 所以a的取值范围为[－2,2].
解法二:令0)(=¢xf即,04232=axx 由求根公式得: 21,21212()3aaxxx= 所以.423)(2=¢axxxf在1,x和,2x上非负. 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第 5 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 由题意可知,当2x„或2x…时, )(xf¢≥0, 从而12x…, 22x„,
即612.61222aaaa 解不等式组得－2≤a≤2. ∴a的取值范围是[2,2]. 20.解：⑴函数f(x)的定义域为(1,)．()fx¢＝11x－1＝－1xx.
由()fx¢<0及x>－1，得x>0． ∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）． ⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，()fx¢＞0，当x∈（0，＋∞）时，()fx¢＜0，
因此，当1x时，()fx≤(0)f，即ln(1)xx≤0∴ ln(1)xx．
令1()ln(1)11gxxx=，则211()1(1)gxxx¢=＝2(1)xx． ∴ 当x∈（－1，0）时，()gx¢＜0，当x∈（0，＋∞）时，()gx¢＞0． ∴ 当1x时，()gx≥(0)g，即 1ln(1)11xx≥0，∴ 1ln(1)11xx．
综上可知，当1x时，有11ln(1)1xxx． 21.解:⑴∵()lnfxx=
,
∴当0x时,()lnfxx=; 当0x时,()ln()fxx= ∴当0x时,1()fxx¢=; 当0x时,11()(1)fxxx¢==. ∴当0x时,函数()aygxxx==. ⑵∵由⑴知当0x时,()agxxx=, ∴当0,0ax时, ()2≥gxa当且仅当xa=时取等号. ∴函数()ygx=在(0,)上的最小值是2a,∴依题意得22a=∴1a=.
⑶由27361yxyxx==解得2121322,51326xxyy==== ∴直线2736yx=与函数()ygx=的图象所围成图形的面积