最新高中高二数学二倍角的三角函数教案设计.doc
《3.2二倍角的三角函数(二)》教学案
《3.2二倍角的三角函数（二）》教学案第2课时 二倍角的三角函数的应用●三维目标 1．知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式．(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换． (3)会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2．过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力．●重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用． 难点：运用所学公式解决简单的实际问题．教学方案设计●教学建议 关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角θ的三角函数值，表示角θ2的三角函数值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出降幂公式与半角公式，并总结公式的特点及作用.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用降幂公式进行三角函数式的化简与证明的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学已知cos α的值，如何求sin α2的值？【提示】 由cos α＝1－2sin 2α2得sin 2α2＝1－cos α2， ∴sin α2＝± 1－cos α2. (1)降幂公式①sin 2α2＝1－cos α2； ②cos 2α2＝1＋cos α2； ③tan 2α2＝sin 2α2cos 2α2＝1－cos α1＋cos α.(2)半角公式 ①sin α2＝± 1－cos α2； ②cos α2＝± 1＋cos α2； ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.课堂互动探究例1 【思路探究】 此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．【自主解答】 cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ ＝1＋θ＋2＋1＋θ－2－32cos 2θ＝1＋12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－32cos 2θ ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－32cos 2θ ＝1＋12×2cos 2θcos 30°－32cos 2θ ＝1＋32cos 2θ－32cos 2θ＝1. 规律方法1．应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”．2．三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．互动探究如将本例改为“sin 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋32cos 2θ”，如何化简？ 【解】 原式＝1－θ＋2＋1－θ－2＋32cos 2θ＝1－12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋32cos 2θ ＝1－12()2cos 2θ·cos 30°＋32cos 2θ ＝1－32cos 2θ＋32cos 2θ＝1.例2 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈[π4，7π24]的最小值，并求其单调减区间．【思路探究】化简f x 的解析式→f x＝Aωx ＋φ＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4(32cos 2x －12sin 2x ) ＝33＋4(sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ) ＝33＋4sin(π3－2x ) ＝33－4sin(2x －π3)， ∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4.∴sin(2x －π3)∈[12，22]． ∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin(2x －π3)在[π4，7π24]上单调递增， ∴f (x )在[π4，7π24]上单调递减． 规律方法1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba )，化同名函数．变式训练(2013·济宁高一检测)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在(0，π3]上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin(2x ＋π6)＋4. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5. 当x ＝π6时，2x ＋π6＝π2，函数f (x )取得最大值为6.例3 ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？【思路探究】 首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．【自主解答】 如图，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°， P A ＝cos α，PB ＝sin α. 又PT 切圆于P 点， ∴∠TPB ＝∠P AB ＝α，∴S 四边形ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB ＝12P A ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋1－cos 2α4＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14.∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4.∴当2α－π4＝π2，即当α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大，最大为1＋24. 规律方法解决实际问题时，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解．一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决．变式训练某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积为________．【解析】 如图，连结OC ，设∠COB ＝θ，则0°＜θ＜45°，OC ＝1， ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－BC ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－π4)－12， 当2θ－π4＝0， 即θ＝π8时， S max ＝2－12(m 2)，∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2. 【答案】2－12 m2易错易误辨析三角函数式化简时忽视角的范围致误典例 已知3π2＜α＜2π， 化简12＋1212＋12cos α. 【错解】12＋1212＋12cos α＝12＋121＋cos α2＝12＋12cos 2α2＝ 12＋12cos α2＝ 1＋cos α22＝cos 2α4＝cos α4.【错因分析】 上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．【防范措施】 应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝对值符号时，要注意角的范围问题．【正解】12＋1212＋12cos α＝12＋12 1＋cos α2 ＝ 12＋12cos 2α2＝12＋12|cos α2|.因为3π2＜α＜2π， 所以3π4＜α2＜π， 所以cos α2＜0，所以原式＝12－12cos α2＝1－cos α22＝sin 2α4＝|sin α4|.因为3π2＜α＜2π，所以3π8＜α4＜π2， 所以sin α4＞0，所以原式＝sin α4.(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2. (2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理．由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．当堂双基达标1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为________． 【解析】 ∵α∈(0，π)，∴α2∈(0，π2)， ∴sin α2＝1－cos α2＝13＝33.【答案】 332．已知cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝________. 【解析】 ∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55.【答案】 －553．已知tan α2＝3，则cos α＝________. 【解析】 由tan α2＝1－cos α1＋cos α＝3可得：1－cos α1＋cos α＝9，则cos α＝－45. 【答案】 －454．化简：＋sin θ＋cos θθ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．【解】 原式＝θ2cos θ2＋2cos 2θ2θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ22θ2－cos 2θ2|cos θ2|＝－cos θ2cos θ|cos θ2|. ∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2. ∴cos θ2＞0. ∴原式＝－cos θ. 课后知能检测 一、填空题 1．sin π8＝________. 【解析】 sin π8＝ 1－cos π42＝1－222＝2－22. 【答案】2－222.－23＋43cos 2 15°＝________. 【解析】 原式＝－23＋43×1＋cos 30°2 ＝－23＋23＋23cos 30°＝33. 【答案】 333．5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝________. 【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a 2.【答案】 －1－a 24．函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为________．【解析】 f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin(2x＋π4)＋1.故最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π5.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________． 【解析】 原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4. ∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4. 【答案】 －2sin 46．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，则角B 的度数为________．【解析】 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，得4·1－A ＋C 2－2cos 2B ＋1＝72，∴4cos 2B －4cos B ＋1＝0.∴cos B ＝12，B ＝60°. 【答案】 60°7．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α的值是________． 【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈(π2，π)，sin α≠0， ∴cos α＝－12.又∵α∈(π2，π)，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan(π＋π3)＝tan π3＝ 3. 【答案】38．设f (x )＝1＋cos 2x π2－x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 【解析】 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)． 依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.【答案】 ±3二、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a ，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin 2θ4的值． 【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π，又cos θ2＝a ，∴sin θ2＝1－cos 2θ2＝1－a 2， ∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2a 1－a 2. (2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝2a 2－1. (3)sin 2θ4＝1－cos θ22＝1－a2. 10．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 【解】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0. ∴原式＝sin α2＋cos α222|cos α2|－2|sin α2|＋sin α2－cos α222|cos α2|＋2|sin α2|＝sin α2＋cos α22－2sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α222sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 11．(2013·山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx＝－sin(2ωx －π3)． 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin(2x －π3)．当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin(2x －π3)≤1.因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.教师备课资源备选例题已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2β＝sin θcos θ，求证：2cos 2α＝cos 2β.【思路探究】 观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角θ，因此从已知条件中消去角θ，问题即得证．【自主解答】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin α＝sin θ＋cos θ， ①sin 2β＝sin θcos θ. ②①2－②×2，得4sin 2α－2sin 2β＝1.变形为1－2sin 2β＝2－4sin 2α，则有cos 2β＝2cos 2α.规律方法对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法．将条件角转化为结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角的某个三角函数值，代入结论等式便消去某个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明问题，这就是代入法的基本思想方法．备选变式已知cos θ＝cos α＋cos β1＋cos αcos β，求证：tan 2θ2＝tan 2α2tan 2β2.【证明】 ∵1－cos θ1＋cos θ＝2sin 2θ22cos 2θ2＝tan 2θ2，同理有1－cos α1＋cos α＝tan 2α2，1－cos β1＋cos β＝tan 2β2，∴tan 2θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－cos α＋cos β1＋cos αcos β1＋cos α＋cos β1＋cos αcos β＝1＋cos αcos β－cos α－cos β1＋cos αcos β＋cos α＋cos β ＝－cos α－cos β＋cos α＋cos β ＝tan 2α2tan 2β2.。
最新整理高二数学教案二倍角的三角函数(一)导学案.docx
最新整理高二数学教案二倍角的三角函数（一）导学案二倍角的三角函数（一）导学案学习目标1、在倍角公式的推导中，领会从一般到特殊的数学思想方法，进一步增强数学化归意识；2、能利用和角公式推导出二倍角公式，理解公式特点并熟记公式；3、能够灵活运用公式进行简单的化简、求值。
学习重点二倍角公式推导及其应用。
学习难点关于二倍角的理解及公式应用学习过程一、预习自学1、复习：（1）424导学案二倍角的三角函数（一）424导学案二倍角的三角函数（一）424导学案二倍角的三角函数（一）（2）同角三角函数的基本关系：平方关系：商数关系：2、自学：阅读课本第124至125页内容，思考回答下列问题（1）用424导学案二倍角的三角函数（一）替换复习问题（1）中的424导学案二倍角的三角函数（一），试运用两角和的三角函数和同角三角函数的基本关系推导424导学案二倍角的三角函数（一），424导学案二倍角的三角函数（一），424导学案二倍角的三角函数（一）公式（2）思考二倍角公式左边的角与右边的角有何变化？幂指数又有何变化？由左到右角减半，幂指数；由右到左角增倍，幂指数；（3）试思考424导学案二倍角的三角函数（一）之间的三角函数关系是二倍角与单角间的三角函数关系吗？试写出其中一组角的三角函数关系。
二、合作探究问题1、不查表，求下列各式的值：（1）sin15°cos15°（2）424导学案二倍角的三角函数（一）（3）1-2sin215°（4）424导学案二倍角的三角函数（一）（4）424导学案二倍角的三角函数（一）问题2、已知424导学案二倍角的三角函数（一），求424导学案二倍角的三角函数（一）。
问题3、已知424导学案二倍角的三角函数（一），求424导学案二倍角的三角函数（一）的三角函数。
问题4、要把半径为R的半圆形木料裁成长方形，怎样裁取才能使长方形面积最大？三、达标检测1、已知424导学案二倍角的三角函数（一），求424导学案二倍角的三角函数（一）。
数学《二倍角的三角函数》教案
数学《二倍角的三角函数》教案【教学目标】1. 了解二倍角的定义及常用公式；2. 能够用二倍角公式化简三角函数表达式；3. 掌握二倍角公式的应用及解题方法。
【教学重点】1. 二倍角公式的掌握；2. 用二倍角公式化简三角函数表达式。
【教学难点】1. 二倍角公式的应用；2. 解题方法的掌握。
【教学过程】一、导入新知识教师出示一个直角三角形，以及较短的直角边a和斜边c，问同学们能否利用已知数据求出三角函数的值。
引导同学们思考，指导同学们简化计算公式，然后利用正弦函数和余弦函数进行计算。
让同学们探究计算公式的规律，引出二倍角的定义及常用公式。
二、讲解二倍角公式1. 二倍角的定义：正弦函数和余弦函数的二倍角定义如下：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ - sin2θ2. 二倍角的常用公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ - sin2θtan2θ =2tanθ / (1 - tan2θ)三、练习1. 让同学们观察黑板上的三角函数式子，然后使用二倍角公式化简，答案给出后再验证是否正确；2. 让同学们根据已知三角函数值，计算出未知的三角函数值，使用二倍角公式化简和三角函数表达式的正负性基本思路进行计算；3. 介绍一些常见的二倍角法则练习。
四、解题方法1. 让同学们提高使用二倍角公式化简三角函数表达式的能力；2. 强化运用三角函数表达式的正负性，通过根据三角函数所在的象限，对三角函数进行分类，从而使化简后的结果更加准确；3. 展示一些实例，教导同学们如何利用二倍角公式进行解题。
【课堂总结】1. 总结二倍角公式的应用；2. 确认同学们是否掌握了二倍角公式的应用及解题方法；3. 布置作业并提醒同学认真完成。
北师大版高二数学必修四《二倍角的三角函数》教案及教学反思
北师大版高二数学必修四《二倍角的三角函数》教案及教学反思一、教案设计1.1 教学目标1.了解二倍角的概念及性质；2.掌握二倍角的基本公式；3.熟练掌握二倍角三角函数的计算方法。
1.2 教学重难点教学重点：二倍角的概念及性质，基本公式的推导。
教学难点：二倍角三角函数的应用。
1.3 教学内容知识点1：二倍角的概念及性质知识点2：二倍角的基本公式知识点3：二倍角三角函数的计算方法1.4 教学方法1.讲授法：详细讲解二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法；2.练习法：通过例题引导学生熟练掌握二倍角的计算方法；3.归纳法：总结二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法。
1.5 学情分析学生已经学习了三角函数，对角度、弧度制有一定的认识，但对于二倍角的概念还不够熟练，需要教师进行详细的讲解和引导。
1.6 教学过程环节内容方法引入通过例题引出二倍角的概念，并让学生思考二倍角的性质及应用讲授法引入知识点1二倍角的概念及性质的详细讲解讲授法详细知识点2二倍角的基本公式的推导及讲解讲授法详细知识点3二倍角三角函数的计算方法的演示及练习引导讲授法演示，练习法引导，通过例题和练习巩固和熟练掌握计算方法课堂练习课堂练习及答疑练习法引导总结总结二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法，让学生熟练掌握归纳法总结二、教学反思本次教学中，教师通过精心设计的教学方案，把二倍角的概念、基本公式和计算方法更加清晰明了地呈现给学生。
教师在讲解的过程中通过多个例题，让学生更加深入地理解和应用二倍角三角函数。
在课堂教学中，教师采用了讲授法、练习法和归纳法相结合的教学模式。
在引入环节中，通过例题引出二倍角的概念，并让学生思考二倍角的性质及应用；在知识点的讲解中，教师详细地讲解了二倍角的概念、性质和基本公式，并通过多个例题帮助学生掌握基本公式的运用；在知识点3的环节中，通过一些例题和练习，让学生更好地应用所学知识解决问题。
在教学的过程中，教师注重学生的思维能力和动手能力的培养。
教学设计2：二倍角的三角函数【区一等奖】
二倍角的三角函数（第2课时）教学目标：1. 理解化归思想在公式推导中的作用2．灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。
重点：二倍角公式的灵活运用难点: 灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换教学过程：一、回顾：二倍角公式. ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα，（Ｓ２α）ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α，（Ｃ２α）二、学生活动（数学应用）：例1 化简.sin )6(sin )6(sin 222απαπα-++-例2 求证：1)10tan 31(50sin 00=+例 3 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？解 如图，设 ∠ＡＯＢ ＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为Ｒ ，则面积最大的矩形ＡＢＣＤ 必内接于半圆Ｏ，且两边长分别为ＡＢ ＝Ｒｓｉｎθ，ＤＡ ＝２ＯＡ ＝２Ｒｃｏｓθ．这个矩形的面积为Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＤＡ ＝Ｒｓｉｎθ·２Ｒｃｏｓθ＝Ｒ２ｓｉｎ２θ．所以，当ｓｉｎ２θ＝１（θ为锐角），即θ＝４５°时，矩形ＡＢＣＤ 的面积取得最大值Ｒ２．答 2时，所截矩形的面积最大．例4 已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=22512cos 21sin 211313αα⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-．三 练习：课本122页 练习1，2，3。
四 小结：二倍角公式进行三角恒等变换，体会化归转化思想和函数思想在解题中的应用。
五 作业：课本 123页 习题 4，5，6，7。
《3.2二倍角的三角函数(一)》教学案
《3.2二倍角的三角函数（一）》教学案第1课时二倍角的三角函数●三维目标1．知识与技能能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换．2．过程与方法通过公式的推导过程，使学生认识整个公式体系的形成过程，领会体现出的数学基本思想和方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养学生辩证唯物主义观点．●重点难点重点：二倍角公式的推导及运用．难点：二倍角公式的灵活运用．教学方案设计●教学建议1．关于二倍角公式推导的教学教学时，建议教师先复习和角公式T(α＋β)，S(α＋β)，C(α＋β)，然后令α＝β，利用特殊化的推理方式，让学生自主推导出二倍角公式；在此基础上借助同角三角函数关系，引导学生得出C2α的其他两种形式．通过公式推导，让学生进一步体会公式间的密切联系，提高学生熟练应用公式解题的能力．2．关于二倍角公式应用的教学教学时，建议教师处理好以下两点：(1)强调“倍角”的相对性，打破学生习惯认为只有α与2α才具有二倍角关系．(2)通过例题教学让学生熟悉公式的正向、逆向和变形运用，特别是余弦公式的变式较多，教学中应适当通过题目强化训练．●教学流程创设问题情境，引出问题，如何用α的三角函数表示出sin 2α，cos 2α与tan 2α？⇒引导学生结合公式Sα＋β、Cα＋β及Tα＋β推导出倍角公式，并探究二倍角余弦公式的变形.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握灵活运用倍角公式进行求值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用倍角公式解决给值求值问题的求解策略及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数式的化简方法及要求.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学课标解读1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2.会借助同角三角函数的关系导出C2α的另两种表示形式．(难点)3.能利用二倍角公式进行简单的化简、求值和证明．(重点)倍角公式1．如何利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin 2α，cos 2α？【提示】sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos(α＋α)＝cos2α－sin2α，即cos 2α＝cos2α－sin2α.2．如何利用两角和的正切公式推导出tan 2α？【提示】tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan2α，即tan 2α＝2tan α1－tan2α.(1)sin 2α＝2sin_αcos_α(S2α)；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α(C2α)；(3)tan 2α＝2tan α1－tanα(T2α).二倍角的余弦公式的变形你还能得到二倍角的余弦公式其他变形吗？【提示】利用sin2α＋cos2α＝1，公式C2α可变形为cos 2α＝2cos2α－1或cos 2α＝1－2sin 2α.cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α. 课堂互动探究例1 (1)cos π8cos 3π8； (2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.【思路探究】 (1)中两角互余，故可以转化为同角正余弦的积的形式．(2)中的角的倍角为特殊角，故可以用降幂公式解决．(3)式可化为正切倍角公式的形式．(4)中可用公式的变形：cos α＝sin 2α2sin α来解决．【自主解答】 (1)cos π8cos 3π8＝cos π8sin π8 ＝12sin π4＝24.(2)12－cos 2 π8＝12(1－2cos 2π8)＝－12cos π4＝－24.(3)tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tan π6＝－233＝－2 3.(4)cos 20°cos 40°cos 80°＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·sin 160°2sin 80°＝18. 规律方法1．解答本类题关键是抓住公式及其变形式的特征，观察分析题目中具有的与公式相似的结构特征，从而找到解题的切入点．2．对于倍角公式应做到灵活运用，即根据所给式子的特点构造出倍角形式，正用、逆用或变形用倍角公式进行化简和求值．变式训练求下列各式的值：(1)2tan 15°1－tan 215°；(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)∵sin 10°sin 50°sin 70° ＝sin 20°sin 50°sin 70°2cos 10° ＝sin 20°cos 20°sin 50°2cos 10° ＝sin 40°sin 50°4cos 10°＝sin 40°cos 40°4cos 10° ＝sin 80°8cos 10°＝18，∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.给值求值例2 (1)已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α的值；(2)已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，求tan(α－2β)的值．【思路探究】 (1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系求解；(2)已知α的余弦值和范围可求出tan α的值，利用诱导公式可求出tan β的值，然后利用倍角公式求出t an 2β的值，结合两角差的正切公式求解．【自主解答】 (1)sin α＋cos α＝13两边同时平方，得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，因为sin 2α＋cos 2＝1，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－89.(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－－452＝35，tan α＝sin αcos α＝－34，由tan β＝－tan(π－β)＝－12得tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－11－14＝－43，所以tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β ＝－34－－431＋－34×－43＝724.规律方法对于给值求值问题，注意寻找已知式与未知式的联系，有以下两种解题方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．变式训练已知sin(π4－x )＝513，0＜x ＜π4，求cos 2xcos π4＋x 的值． 【解】 原式＝sin π2＋2xcos π4＋x＝2sin π4＋x ·cos π4＋x cos π4＋x ＝2sin(π4＋x )． ∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513，且0＜x ＜π4， ∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos2π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.三角函数式的化简例3 化简：1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α.【思路探究】 本题主要考查二倍角公式的应用．基本思路是能化简成使该分式的分子与分母有公因式进行约分，解法有两种：一是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，cos 4α＝2cos 22α－1，cos 4α＝1－2sin 22α代入进行化简；二是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，1＋cos 4α＝2cos 22α，1－cos 4α＝2sin 22α代入进行化简．【自主解答】 法一 原式 ＝1＋2sin 2αcos 2α－1＋2sin 22α1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－1 ＝2sin 2αcos 2α＋sin 2α2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α.法二 原式＝1－cos 4α＋sin 4α1＋cos 4α＋sin 4α＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α＋sin 2α2cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α. 规律方法1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．对三角函数式化简结果的一般要求： (1)函数种类最少； (2)项数最少； (3)函数次数最低； (4)能求值的求出值； (5)尽量使分母不含三角函数； (6)尽量使分母不含根式． 变式训练 化简：(1)11＋tan θ－11－tan θ； (2)2cos 2α－12tan π4－αsin 2π4＋α. 【解】 (1)原式＝1－tan θ－1＋tan θ1＋tan θ1－tan θ＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ. (2)原式＝cos 2α2tan π4－αcos 2π2－π4－α ＝cos 2α2tan π4－αcos 2π4－α＝cos 2α2sinπ4－αcos π4－α＝cos 2αsin 2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 易错易误辨析选择公式不恰当致误典例 已知cos α＋sin α＝33(0＜α＜π)，求cos 2α的值． 【错解】 ∵(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝13，∴sin 2α＝－23，∴cos 2α＝±1－sin 22α＝±53.【错因分析】 利用二倍角公式的变形形式cos 2α＝±1－sin 22α时，忽略了α角的取值范围，导致错解．【防范措施】 在三角恒等变换中，运用不同的公式有不同的解题过程，若在解题过程中选择恰当的公式，则能使解题过程更严密，不容易出错．【正解】 ∵(cos α＋sin α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(cos α－sin α)2＝2－13＝53，∴cos α－sin α＝±153. ∵cos α＋sin α＝33，∴(cos α＋sin α)2＝13，sin αcos α＝－13.∵0＜α＜π且sin αcos α＝－13＜0， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴cos α－sin α＝－153.∴cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－153×33＝－53.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；……又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…. (2)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(3)公式逆用异向转移，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝c os 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.当堂双基达标1．计算1－2sin 2 22.5°的结果等于________． 【解析】 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.【答案】 222．(2012·济宁高一检测)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x ＝________. 【解析】 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 【答案】 －2473．计算：(1)2sin 37.5°·cos 37.5°＝________； (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝________； (3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝________.【解析】 (1)2sin 37.5°cos 37.5°＝sin 75°＝6＋24. (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝－cos 135°＝22.(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15° ＝2－32. 【答案】 (1)6＋24 (2)22 (3)2－32 4．已知sin x 2－2cos x2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos π4＋x ·sin x的值． 【解】 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2， ∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x222cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x cos x －sin x sin x ＝cos x ＋sin xsin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14. 课后知能检测 一、填空题1．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】 原式＝cos(2×π12)＝cos π6＝32. 【答案】 322．计算sin 105°cos 75°的值为________．【解析】 sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°＝14.【答案】 143．若sin α＝13，则cos 2α＝________. 【解析】 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝79. 【答案】 794．若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________.【解析】 由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22， ∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 【答案】 225．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为________． 【解析】 由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2.又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π， 所以有tan θ＝－22. 【答案】 －22 6．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.【解析】 ∵tan θ2＝3，∴原式＝2sin 2θ2＋sin θ2cos 2θ2＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan 2θ2＋tan θ21＋tan θ2＝tanθ2＝3.【答案】 37．θ是第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ＝________. 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59， ∴sin 22θ＝89，又θ为第三象限角， ∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ＝2sin θcos θ>0，∴sin 2θ＝223.【答案】 2238．若sin 2α＝45，则tan 2α＋1tan 2α＝________.【解析】 tan 2α＋1tan 2α＝sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 4α＋cos 4αsin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2α14sin 22α＝1－12sin 22α14sin 22α ＝1－12×45214×452＝174. 【答案】 174二、解答题9．(2013·巢湖市质检)已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)．(1)求sin 2x 的值；(2)求tan(2x ＋π4)的值．【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45.(2)由(1)得，tan x ＝sin x cos x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43， ∴tan(2x ＋π4)＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝－7.10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α及tan α的值． 【解】 由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α，∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12.∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33.11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x＝2sin x cos x ＝sin 2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π，∴－32≤sin 2x ≤1，∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.教师备课资源 备选例题 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【思路探究】 从左边入手，从角的构成看，化4A 为2A ，再化为A ，从函数名称构成看，化弦为切．从左、右两边的结构看，将左边分式化简为右边的整式形式．【自主解答】 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A )2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .规律方法证明恒等式问题的两个原则：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构‘变量集中’”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．变式训练求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 【证明】 要证1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ， 只需证1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.上式：左边＝1－cos 4θ＋sin 4θ1＋cos 4θ＋sin 4θ＝2sin 22θ＋2sin 2θcos 2θ2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ＝2sin 2θsin 2θ＋cos 2θ2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝右边．∴原等式成立．。
二倍角公式教案.doc
二倍角公式教案【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）【教学目标】知识目标：掌握二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是二倍角公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】明确二倍角的概念．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．例9中，要想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值．求cos2α时，使用的公式有利用同角三角函数关系、利用cos α和利用sin α的三类公式可供选择．选用公式2cos212sin αα=-的主要原因是考虑到sin α是已知量．例10中，讨论2α角的范围是因为利用同角三角函数关系求sin 2α时需要开方．旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式．教材在求sin 4α时，利用了升幂公式，由讨论2α角的范围来决定开方取正号还是负号．虽然这里就是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍．例11是三角证明题．证明的基本思路是将角用半角来表示，再进行三角式的化简．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题1．1．4 二倍角公式 *创设情境 兴趣导入问题 两角和的正弦公式内容是什么？介绍播 了解观引导 启发0 5过 程行为 行为 意图 间两角和的余弦公式内容是什么？两角和的正切公式内容是什么？放 课件 质疑 看 课件 思考 学生得出结果*动脑思考 探索新知在公式（1.3）中，令αβ=，可以得到二倍角的正弦公式sin2sin cos cos sin 2sin cos ααααααα=+=．即sin22sin cos ααα= (1.7)同理，公式（1.1）中，令αβ=，可以得到二倍角的余弦公式22cos2cos sin ααα=-(1.8) 因为22sin cos 1αα+=，所以公式总结 归纳思考启发引导学生发现过 程行为 行为 意图 间(1.8)又可以变形为2cos22cos 1αα=-，或 2cos212sin αα=-.还可以变形为 21cos2sin 2αα-=， 或 21cos2cos 2αα+=. 在公式（1.5）中，令αβ=，可以得到二倍角的正切公式22tan tan 21tan ααα=- （1.9）公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的仔细 分析讲解 关键 词语理解记忆解决问题的方法10过 程行为 行为 意图 间应用．*巩固知识 典型例题例9 已知3sin 5α=，且α为第二象限的角，求sin 2α、cos2α的值．解 因为α为第二象限的角，所以 2234cos 1sin 1()55αα=--=--=-， 故 24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos212sin 25αα=-=．例10 已知1cos 23α=-，且(π,2π)α∈，求sin α、cos 4α的值． 分析 2α与α，2α与4α之间都是具有二倍关系的角．解 由(π,2π)α∈知π(,π)22α∈，所以 2122sin 1cos 12293αα=-=-=， 故 22142sin 2sin cos 2()22339ααα==⨯⨯-=-． 由于ππ(,)442α∈，且引领 讲解 说明 引领观察思考 主动 求解 观察注意 观察学生 是否理解 知识 点过 程行为 行为 意图 间211()1cos 132cos4223αα+-+===．所以3cos 43α=． 【注意】使用公式（1.8）的变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，要首先确定角的范围． 例11 求证 1cos tan2sin ααα-=． 证明右边=2cos cos22tan 22sincos2sin 222αααααα===右边．分析说明思考 理解学生 自我 发现 归纳过 程行为 行为 意图 间引领 讲解 说明思考 主动求解15*运用知识 强化练习1．已知5sin 13α=，且α为第一象限的角，求sin 2α、cos2α． 2．已知4cos25α=，且2[π,2π]α∈求sin α． 3．求下列各式的值提问动手及时 了过 程行为 行为 意图 间（1）sin 6730cos6730''''⋅； （2）212sin75-．巡视 指导 求解 解 学生 知识掌握 情况10 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：二倍角公式内容分别是什么？ 结论：二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα= (1.7)二倍角的余弦公式22cos2cos sin ααα=-质疑小组 讨论师生共同归纳强调重过 程行为 行为 意图 间(1.8)二倍角的正切公式22tan tan 21tan ααα=-（1.9）归纳强调 回答 理解强化点突破难点2*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆2*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材说明记录分层教学过程教师行为学生行为教学意图时间(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做）(3)实践调查：通过公式推导，了解公式间内在联系次要求1【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；第1章三角公式及应用（教案）是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；第1章三角公式及应用（教案）。
高中高二数学二倍角的三角函数教案设计
高中高二数学二倍角的三角函数教案设计一、知识与技能1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联络;提醒知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生剖析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合剖析能力.2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。
3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联络，培养逻辑推理能力。
二、过程与方法1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，体会从一般化归为特殊的数学思想，领会公式所蕴涵的融洽美，激发学生学数学的兴趣;2.通过例习题解说，总结归纳方法.通过做练习,稳固所学知识.三、情感、态度与价值观1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联络，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
2.培养用联络的观点看问习题的观点。
【教学重点与难点】：重点：半角公式的推导与应用(求值、化简、证明)难点：半角公式与倍角公式之间的内在联络，以及运用公式时正负号的选取。
【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，体会从一般化归为特殊的数学思想，领会公式所蕴涵的融洽美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反应练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学方法：观察、汇总、启发、探究相结合的教学方法。
引导学生复习二倍角公式，按课本知识构造设置发问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在教师引导下，以学生为主体，剖析公式的构造特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，教师为学生创设问习题情景，鼓舞学生积极探究。
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，提醒课习题二、研探新知四、稳固深化，反应矫正五、汇总整理，整体认识1.稳固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。
2.相熟"倍角"与"二次"的关系(升角--降次，降角--升次).3.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方;公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5.注意公式的构造，尤其是符号.六、承上启下，留下悬念七、板书设计(略)八、课后记：略。
2.2《二倍角的三角函数(2)》教学设计
2.2《二倍角的三角函数（2）》一、内容分析本节课是高中数学第二册《第2章二倍角的三角函数》的第二课时，前面已经学习了诱导公式，两角和差公式等三角函数公式，本节课将加深对二倍角公式的运用，并结合所学公式解决一些综合性问题，同时引导学生学会分析问题，提高解决实际问题的能力。
课程标准对本节课内容提出要求：1.能熟练运用二倍角公式进行三角恒等变换；2.将数学建模渗透于教学过程之中，强化数学核心素养的达成.二、教学目的通过例题，熟练掌握二倍角公式的“正用”，“逆用”以及“变形用”，结合诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决综合性问题，增强灵活运用数学知识的能力；运用公式解决一些简单实际应用问题，引导学生通过自主、合作、探究学习，构建数学模型，培养建模思维以及逻辑推理能力.三、重点难点重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的综合运用.难点：建立三角函数模型，运用公式解决实际问题.四、核心素养直观想象、数学运算、数据分析、数学抽象、逻辑推理、数学建模．五、教学准备课件.六、教学流程->->->->七、教学过程15==22cos x-㈡新知探索问题1：二倍角公式有哪些变形形式？问题2：观察这些变形公式，你是如何记忆这些公式的？答：升幂缩角，降幂扩角通过问题，引发学生思考，引出降幂公式和升幂公式.加深学生对二倍角公式的记忆和理解.2分钟㈢典例剖析例1．已知α为第二象限的角，3sin5α=，β为第一象限角，5cos13β=，求()tan2αβ-的值.例2．化简：222sin sin sin66ππααα⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3. 证明：tan tan2tan244ππααα⎛⎫⎛⎫+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4．求证：半径为R的圆的内接矩形的最大面积为22R.1. 给出例1，引导学生综合运用所学知识解决问题.2. 给出例2和变式1，引导学生思考二倍角公式的“变形用”.3. 给出例3，引导学生熟练运用公式，证明三角恒等式.4. 给出例4，利用GGB软件演示矩形的面积随角度的变化而变化，引发学生思考，如何利用所学知识解决实际应用问题.例1、例2、例3综合了二倍角的正切公式与诱导公式，两角差公式，对综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力有一定的要求.解决化简求值和证明问题.例2用两种方法解答，让学生体会二倍角公式的作用.例4是建模思想的运用，强调“贵在设角”，构造三角函数模型，渗透数学建模思想.18分钟㈣讨论升华问题1：三角函数求值问题的一般思路？答：（1）题设条件变形；（2）结论变形.问题2：化简的方法？答：（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角；（2）降幂或升幂.问题3：证明三角恒等式的方法？答：（1）综合法;（2）比较法;（3）分析法.这三个问题分是对三个典例的总结归纳，强调培养学生自主总结规律方法的能力.总结一般规律，寻找通性通法.5分钟㈤练习巩固练习1.已知α是第一象限角，且3cos5α=，求12cos24sin2παπα⎛⎫+-⎪⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭的值.练习2. 化简()222cos cos cos33ππαααπ⎛⎫⎛⎫-++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习3. 如图，C是以AB为直径的圆上一点，2OABCSSπ=，求证：ABC的较小锐角为15.依次给出练习1、练习2，练习3，学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案.依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点.练习1强化学生记忆公式，利用公式熟练进行三角函数恒等变换.练习2和例题3形式类似，一个为正弦，一个为余弦，称为“对偶命题”，显示对称美、和谐美.练习3是对例题3的巩固，提高学会分析问题，构建模型解决问题能力.10分钟㈥归纳小结本节课学习了一些什么？总结.系统梳理整节课所学内容.2分钟八、板书设计大致板书如下：（二倍角公式）（二倍角公式变形）课件投影区域（三角函数求值步骤）（化简的方法）（证明三角恒等式的方法）。
高中高二数学二倍角的三角函数教案设计
高中高二数学二倍角的三角函数教案设计教案设计：高中高二数学二倍角的三角函数一、教学目标：1. 理解二倍角的概念，并掌握二倍角的性质。
2. 掌握二倍角的三角函数公式。
3. 能够运用二倍角的三角函数公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 二倍角的概念和性质。
2. 二倍角的三角函数公式。
三、教学过程：步骤一：导入新知识1. 谈论平时的学习和应用中是否有用到过二倍角的概念和公式。
2. 引出本节课的学习内容：二倍角的三角函数。
步骤二：概念讲解和性质说明1. 给出二倍角的定义：在原角的基础上，角度扩大一倍后得到的角即为二倍角。
2. 分析二倍角的正弦、余弦、正切的性质，带入图像和具体数值进行说明。
步骤三：三角函数公式的推导与运用1. 讲解二倍角的三角函数公式的推导过程，并给出公式的表达形式。
2. 讲解公式中的特殊情况，如角度为0°、90°、180°等情况下的三角函数值。
3. 运用二倍角的三角函数公式解决一些实际问题，如角度为30°、45°、60°等情况下的三角函数值的计算。
步骤四：练习与巩固1. 设计一些针对二倍角的三角函数公式的练习题，让学生进行练习并互相交流解题方法。
2. 布置相关的课后习题，供学生进行巩固和拓展。
四、教学手段：1. 板书：绘制二倍角的三角函数公式推导过程和相关例题。
2. 多媒体：播放相关的视频和动画，引导学生更好地理解和掌握知识。
五、教学评价：1. 教师针对学生在课堂上的表现进行口头评价，并及时纠正和解答学生的问题。
2. 布置课后作业，检验学生对二倍角和三角函数公式的掌握情况。
六、教学延伸：可以设计更多的实际问题和练习题，帮助学生进一步巩固和应用二倍角的三角函数知识。
也可以引导学生研究更多二倍角的性质和相关公式。
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高中高二数学二倍角的三角函数教案设计
一、知识与技能
1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系;揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。
3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。
二、过程与方法
1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣;
2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
三、情感、态度与价值观
1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
2.培养用联系的观点看问题的观点。
【教学重点与难点】：
重点：半角公式的推导与应用(求值、化简、证明)
难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
二、研探新知
四、巩固深化，反馈矫正
五、归纳整理，整体认识
1.巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。
2.熟悉”倍角”与”二次”的关系(升角--降次，降角--升次).
3.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方;公式的”本质”是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5.注意公式的结构，尤其是符号.
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计(略)
八、课后记：略。