第三章随机变量的数字特征
概率论第三章部分习题解答
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.
第三章-多维随机向量的分布及数字特征
xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。 解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。 当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二 维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推 广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨 论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则
3-8切比雪夫不等式
概率论与数理统计教程（第四版）
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
[例] 从某工厂生产的产品中任取 200 件来检查， 是否相信该工厂的产品 结果发现其中有 6 件次品， 的次品率 p ≤ 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p ≤ 1%, 则检查 200 件产品 发现其中次品数 X ≥ 6的概率
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
小结
D X) ( [ 1. 切比雪夫不等式： P X −E(X) ≥ε] ≤ 2 .
2. 大数定律及其含义. 3. 小概率事件的实际不可能性原理. .
ε
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
D X) ( ≥1− 2 .
ε
切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系， 可用它 注： 来估计 [ X − E ( X ) < ε ] 的概率.
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
2.大数定律 .
[定义 对随机变量序列 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯, 若存在 定义] 定义 常数 a , 使得对于任意的 正数 ε ,
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第三章 随机变量的数字特征
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系 列定理统称为大数定律.
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征教案章节一：随机变量的期望值教学目标：1. 理解期望值的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的期望值。
3. 学会计算连续随机变量的期望值。
教学内容：1. 期望值的定义及性质。
2. 离散随机变量的期望值的计算方法。
3. 连续随机变量的期望值的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解期望值的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的期望值的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固期望值的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的期望值。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对期望值的理解和计算能力。
教案章节二：随机变量的方差教学目标：1. 理解方差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的方差。
3. 学会计算连续随机变量的方差。
教学内容：1. 方差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的方差的计算方法。
3. 连续随机变量的方差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解方差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的方差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固方差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的方差。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对方差的理解和计算能力。
教案章节三：随机变量的标准差教学目标：1. 理解标准差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的标准差。
3. 学会计算连续随机变量的标准差。
教学内容：1. 标准差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的标准差的计算方法。
3. 连续随机变量的标准差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解标准差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的标准差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固标准差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的标准差。
3-6原点矩与中心矩
(3) µ4 = v4 − 4v3v1 + 6v v − 3v .
2 2 1 4 1
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§3.6 原点矩与中心矩
[例] 设随机变量X 服从指数分布e(λ ) , 求X 的 k 阶原点 例 矩及三、四阶中心矩. 解： 因为随机变量 X 的概率密度
第三章 随机变量的数字特征
§3.6 原点矩与中心矩
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§3.6 原点矩与中心矩
原点矩 [定义 随机变量X 的 k 次幂的数学期望（k 为正整数） 定义1] 定义
v 叫做随机变量 X 的 k阶原点矩. 记作：k ( X ), 即
vk (X) = E(Xk ).
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§3.6 原点矩与中心矩
原点距与中心矩的一些关系
记 µ k = µ k ( X ), vk = vk ( X ).
(1) µ 2 = v2 − v ,
2 1
D ( X ) = E ( X ) − [ E ( X )] ;
2 2
( 2) µ3 = v3 − 3v2v1 + 2v ;
§3.6 原点矩与中心矩
vk ( X ) =
1
λ
k 0
∫
+∞ k
t e dt =
−t
Γ(k + 1)
λ
k
=k!λkFra bibliotek,X 的三阶中心矩
3!
k = 1 ,2 ,3 ,4 ,⋯
随机变量的数字特征
2
矩存在的条件： 若一随机变量的各阶绝对矩都存 在，则它相应的各阶矩都存在。
3
一维随机变量的矩 原点矩 中心矩
4
一维随机变量的原点矩
k 阶绝对原点矩 E X k
若 E X k p k 0, 1, 2,
⑵ DX EX 2 EX 2 ； ⑶ DC X DX ； ⑷ DCX C2DX ； ⑸ D X1 X 2 L X n DX1 DX 2 L DX n，
X i 相互独立；
12
二维随机变量的原点矩
联合原点矩 E X kY l
k 0时， EY l 是随机变量 Y 的 l 阶原点矩 l 0时， EX k 是随机变量 X 的 k 阶原点矩 k 1, l 1时， EXY RXY 是随机变量 X 和Y 的互相关
18
为简化运算，使算法更稳定，将得到的观 测数据进行预处理。数据预处理由两部分 组 成 ： 中 心 化 （ centralized ） 和 预 白 化 （prewhitening）。
中心化（观测数据），即从观测数据中减 去其均值得到零均值向量。
中心化观测数据后，为去除各观测分量之 间二阶统计相关，要对进行预白化。白化， 即将线性变换为一个新的向量，的各个分 量互不相关且方差为1。
p 0，则称 X 和Y 负相关；
⑸当 X 和Y 均服从高斯分布时， X 和Y 不相关等价于 X 和Y 独立。
21
不相关与独立的关系
若随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y必定互不相关。
X 和 Y 互不相关，则 X 和Y不一定相 互独立。
若两个随机变量的联合矩对任意n和k 有 E X nY k E X n • E Y k
2.3随机变量的数字特征
E[X-E(X)]2
为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X). 称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
2. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代 表性差;
如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X)
它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
例3 已知某种股票每股价格X的平均值为1元 ，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或 低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 P(X>1+a∪X<1-a)<0.01 0.01 P{| X 1 | a} 2 ; a
0.01 0 .1 2 a
令
a 0.1
2
a 0.32
O
1000 1000
x x
2组
O
随机变量在期望周围的波动情况 ——方差、标准差
如何定义？
E| X-E(x) |
方便计算
E{X-E(X)}2
X1
O
X2
1000
Xn
x
E(X)=1000
1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称
其中 f ( x ) 为X的概率密度.
例1 将资金投资在房地产和商业，收益都与市场状 态有关。把未来市场划分为好、中、差三个等级， 其发生的概率分别为0.2、0.7、0.1。 投资房地产的收益X（万元）和投资商业的收益Y （万元）的分布列为： 房地产 X 11 3 -3 问：该投资者如何选择？ P 0.2 0.7 0.1
第三章 随机变量和随机分布
理、工程及生产管理等方面问题，首先建立一个概
率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然 后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求 随机参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。 蒙特卡洛方法以概率统计为主要理论基础，以
随机抽样为主要手段。通过实验获得样本特征值以
机性、试验的独立性以及前后的一致性。 2. 产生的随机数要有足够长的周期，以满足仿真的
实际需要。 3. 产生随机数的速度要快，占用的内存空间要小。
31
计算机产生随机数的算法
计算机产生随机数的通常方法是利用一个递推公式：
X n f X n1 , X n2 , , X nk
给定了k个初始值 X n1, X n2 , , X nk ，就可以利用这个递推
概率函数。其中Pn必须满足下列两个条件：
（1）
Pn 0 , n 1,2,,
（2）
P
n 1
n
1
7
离散型随机变量
概率分布函数
离散型随机变量x的累积分布函数 定义:当x小于或等 于某个给定值x`的概率函数，记为P(x ≤x`) = F(x)。 设随机变量x可能取值x1，x2，…，xn，…，则x的累积 分布函数为
16
3.2 蒙特卡洛方法与随机数
蒙特卡洛方法也称统计模拟方法，该方法利用
随机数进行统计实验，以期求得均值、概率等特征
值作为待解问题的数值解。源于二战期间研制原子 弹的“曼哈顿计划”，用赌城的名字作为中子随机 扩散的模拟研究代号。后人将计算机随机仿真方法 称为蒙特卡洛方法。
17
3.2 蒙特卡洛方法与随机数
(x)曲线围出的面积(图中阴影部分)必
随机变量的5个数字特征
随机变量的5个数字特征。
随机变量的5个数字特征
随机变量是一种可以在多种不同情况下表现出不同数值的变量，它的数字特征可以帮助我们更加深入的了解一个随机变量的性质。
下面就介绍随机变量的5个数字特征：
首先是均值，它是一个随机变量的平均数，用来反映其数值的平均水平，可以帮助我们预测其可能表现出的数值范围；
其次是方差，它反映了一个随机变量的数值水平差异程度，当方差较低时，意味着随机变量的数值波动不大；
接着是标准差，它是方差的平方根，可以反映一个随机变量的数值分散程度，标准差越小，意味着数值的分布越集中；
最后还有三个数字特征，分别是偏度、峰度和相关系数，它们分别反映一个随机变量数值分布的偏斜程度、峭度以及与其他变量之间的关联程度。
总之，随机变量的5个数字特征，即均值、方差、标准差、偏度、峰度和相关系数，可以帮助我们更加深入地了解一个随机变量的性质，从而更好地分析和预测数据作出正确的决策。
CDIO随机课件_3数字特征
正交、不相关、独立
正交：随机变量X 和Y 满足 RXY E[ XY ] 0 不相关、独立和正交的关系：
一定
独立
不能得出
互不相关
不存在必然关系 由计算推出关系
正交
举例（三者关系）
解： E[ X ] cos f ( )d 1
1 E[ XY ] E[cos sin ] E[sin 2 ] 0 2
2 0
2
cos d 0
E[Y ] 0
正交 互不相关
CXY E[( X mX )(Y mY )] E[ XY ] 0
随机矢量的数字特征
数学期望
矩
相关理论
新
定义
一维 n维
特征函数
性质
特征函数的定义（一维）
QX u E[e
juX
]
f x e
2
1 ju 2 2 j sin (u 2) ju ju 2 ju 2 e e e e ju ju u ju 2 e Sa ( ) 2
一元特征函数的性质
1、 QX (u) QX (0) 1
Q u f x e X
E[Y ]
可得
yf ( y)dy g ( x) f X ( x)dx E[ g ( x)]
g(· )是多值变换
E[Y ]
Dx1
fY ( y)dy f X ( x1 )dx1 f X ( x2 )dx2
Dx 2
g ( x1 ) f X ( x1 )dx1
*
jux
du f x e jux du QX u
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第三章 随机变量的数字特征
1．填空题
（1）已知随机变量X的分布密度为
⎩
⎨
⎧
≤≤++=其它010
)(
2
xcbxax
xp
且，则15.0 ,5.0==DXEX=a ，=b ，
=c
。
（2）已知随机变量X的分布密度为122e1)(−+−=xxxpπ则EX= ，
=
DX
。
（3）设随机变量
X的分布律为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−41121616131212101，则EX
= ，
=+−)1(XE；=
2
EX
。
（4）设随机变量X服从泊松分布，则X的分布律为 ，
=−
)3(2XXE
。
（5）设随机变量服从
分布，已知),(pnB6.1=EX，28.1=DX，则参数 =n，
=
p
。
（6）设随机变量X服从分布，已知),(2σµN=≤=−≤}9.5{ ,036.0}6.1{XPXP
758.0
，则EX= ，=DX ，
=>
}0{XP
。
（7）设随机变量
X
的分布密度为
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<
−
=
1011)(2x
x
x
A
xp
则 =A，EX=
=2EX ，=
DX
。
（8）若随机变量相互独立，YX,1 ,1 ,0===DXEYEX，则
=−+
)]2([YXXE
。
（9）设随机变量X的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它003)(32AxAxxp，若87}1{=>XP，则
=A，=EX
。
2．把10个球掷进四个盒子，设每个球落在每个盒子里的可能性相等，求落在第一个盒子里
的球数的数学期望与方差。
3．设",2,1,0),,0()1(}{1=>+==+kkXPkk常数ααα；试求。
DXEX,
4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的5分钟，25分钟和55分钟从
底层起行，假设一游客在早上8点的第X分钟到达底层电梯处，且X服从[0,60]上的均
匀分布，求该游客等候时间的数学期望。
5．设
X服从分布，其分布密度为 −Γ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
Γ
=
−−000e)()()(1xxxaxpxa
β
β
β
其中
0 ,0>>βa是常数，求EX及DX
。
6．设二维随机变量
的密度函数为
),(YX
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>>=+−其它0,0,0,e4),()(22yxxy
yxp
yx
试求： （1）； （2）DXEX ,)( ),(22YXEXYE+
7．设二维随机变量
的密度函数为
),(YX
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤≤≤+
=其它,020,20),sin(),(
ππ
yxyxA
yxp
试求： （1）常数；（2）；（3）ADXEX ,XYYXρ ),,cov( 。
8．设随机变量
X的分布密度为+∞<<−∞=−xxpx,e21)(
，
（1）求和；
)(XE)(XD
（2）求X与X的协方差，并问X与X是否相关；
（3）X与X是否独立？为什么？
9．设
X、Y、Z为随机变量，若==−=−==)()( ,1)( ,1)()(YDXDZEYEXE
0 ,21 ,1)(====YZXZXYZD
ρρρ
，求：（1）)2(ZYXE−+；
（2）
)32(ZYXD+−
10．是非题（对、号；错号），填充题
（1）； （ ）
DYDXYXD+=±)(
（2）若为独立的正态随机变量，则YX,0=XYρ； （ ）
（3）若为正态随机变量，YX,0=XYρ，则独立； （ ）
YX,
（4）若
为常数，则ba,aDXbaXD=+)(； （ ）
（5）若
相互独立，YX,bEYaEX==,，则=)(XYE ； （ ）
（6）设X与Y独立，并有相同分布，令),(2σµNYXVYXUβαβα−=+= ,，则相关
系数=UVρ ；
（7）设
相互独立，YX,1,0====DYDXEYEX，则
=++2)1(YXE
；
（8）若
，且),2,1( ,)1()(1"=−==−kppkXPk2=EX，则=p ；
（9）若X服从参数为1的指数分布，则 =+−}{2XeXE。
11．设二维随机变量
的分布密度为
),(
YX
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤+
=
其它
,0
1,
1
),(
22
yx
yxp
π
（1）问X与Y是否相互独立？为什么？
（2）X与Y是否不相关？为什么？
12．设随机变量X与Y相互独立，)43,0(~ ),1,0(~NYNX，若YXZ2−=，求ZE与
ZD
。
13．设
是两个相互独立且均服从同一分布的两个随机变量，已知YX,X的分布律为
3,2,1 ,31}{===iiXP，又设),min( ),,max(
YXYX==
ηξ
（1）写出二维随机变量),(ηξ的联合分布律；
（2）问
ξ
与η是否相互独立？为什么？
（3）问
ξ与η
是否不相关？为什么？
14．设是独立的随机变量,试求“权”
n
XXX
,,,
21
"∞<=2)(iiXDσnααα,,,21"
，
0 ,11>=∑=iniiαα，使的方差最小。 ∑=niiiX
1
α
15．在每次试验中，事件
发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立
A
试验中，事件发生的次数AX在400~600之间的概率。
16．用卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（单位：kg）服从分布，问最多装
多少袋水泥使总重量超过2000公斤的概率不大于0.05。
)5.2,20(2N