沪科新版九年级(上) 中考题同步试卷：23.2 解直角三角形及其应用(01)
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形含答案
沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，，，那么的值等于（）A. B. C. D.2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于,则AB的长度是（）A.3B.4C.5D.3、如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A.扩大为原来的两倍B.缩小为原来的C.不变D.不能确定4、如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）A. sin30°＜x＜sin60°B.cos30°＜x＜cos45°C.tan30°＜x＜tan45 D. cot45°＜x＜cot30°5、在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=1，AB=2，那么下列结论正确的是（）A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.cotB=6、如图，斜坡AB长130米，坡度i=1：2.4，BC⊥AC，现在计划在斜坡AB的中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE，若斜坡BE的坡角为30°，则平台DE的长约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A.24.8米B.43.3米C.33.5米D.16.8米7、如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1：的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8 m，则所铺设水管AC的长度为（）A.8mB.12mC.14mD.16m8、如图，CD是Rt△ABC斜边AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，则=（）A. B. C. D.9、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D等于（）A. B. C. D.10、在中，，，若，则的长为（）．A. B. C. D.11、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（）A. B. C. D.12、如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A.不变B.增大C.减小D.先变大再变小13、3tan45°的值等于（）A. B.3 C.1 D.314、在△ABC中，∠C＝90°，AC= ，AB= ，则cosB的值为( )A. B.C.D.15、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、在中，，AB=3，BC=1，那么的正弦值是________．17、如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O 内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为________．18、一条排水管截面圆的半径为2米，∠AOB＝120°，则储水部分（阴影部分）的面积是________平方米.19、如图，小杨沿着有一定坡度的坡面前进了5米，这个坡面的坡度为1:2，此时他与水平地面的垂直距离为________米.20、如图所示，在四边形中，，，.连接，，若，则长度是________.21、计算：tan60°﹣cos30°=________ .22、如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是________.23、将边长为2的正方形OABC如图放置，O为原点．若∠α=15°，则点B的坐标为________．24、在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，D为边AB上的一点，若AD=2，则tan∠BDC的值为________。
初中数学沪科版九年级上册23.2 解直角三角形及其应用
航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔 M在北偏东30°方向上，那么该船继续 航行__1_5___分钟可使渔船到达离灯塔
60º A
距离最近的位置.
北 M
30º
东 B
4．光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西 方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑 物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在 北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．
解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角. 4.坡度（坡比）、坡角
如图， 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上 方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹 角叫做俯角.
例题
如图,在水平地面上离旗杆BC底部8米的A处,用测角 仪测得旗杆顶端C的仰角为52°,已知测角仪AD的高为 1.6米，求旗杆BC的高(精确到0.1米).
解： 过点D作DE ⊥ BC于E.
由题意可知：
DE=AB=8米, BE=AD=1.6米, ∠CDE=52°.
在Rt△DCE中
∵tan∠CDE=
CE DE
∴CE=DE ·tan∠CDE=8·tan52°≈10.24(米).
∴BC=BE+CE≈1.6+10.24=11.84≈11.8(米).
答:旗杆BC的高约为11.8米.
A. 5 3米 B. 10米 C.15米 D.10 3米
2．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要 想在夏至的正午时阳光刚好不能射入窗户，则 AB的长度是 3 米.（假设夏至的正午时 阳光与地平面夹角为60°）
3．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航
行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，北
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形含答案
沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则的值是（）A. B. C. D.2、河堤横断面如图所示，迎水坡米，迎水坡的坡比为(坡比是坡面的铅直高度与水平度之比)，则的长是（）A. 米B. 米C.15米D.10米3、如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD于点F，则的值为( )A. B. C. D.4、某人沿坡度i=1：的坡面向上走50米，则此人离地面的高度为（）A.25米B.50米C.25 米D.50 米5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、已知锐角α满足tan(α-20°)=1，则锐角α的值为（）A.50°B.25°C.45°D.65°7、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A.44°B.34°C.54°D.64°8、在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（）A. B. C. D.9、如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（）A.800sinα米B.800tanα米C. 米D. 米10、在正方形网格中，如图放置，则等于（）A. B. C. D.11、2cos60°=（）A.1B.C.D.12、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B 重合），则cosC的值为（）A. B. C. D.13、如图，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，，则tan∠BAC 的值是（）A. B. C. D.14、如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC 为（）A.5mB. mC.2 mD.10m15、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，且点A在x轴上，点B 在双曲线y= 上，则△OAB的边长是________．17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=________ ．18、已知一个矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于，，若，则的值为________．19、中，如果锐角满足,则________度20、如图，是的边上一点，且点的横坐标为3，，则________．21、在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距________ m．22、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，cotA=，则BC=________23、①sin2A+cos2A=________，②tanA•cotA=________．24、请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是________边形．B．用计算器计算：sin15°32'________（精确到0.01）25、如图，在菱形ABCD中，tan∠A＝，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：-2|+ 3 tan 30 ° - 2 cos 45 °．27、数学兴趣小组活动课上测量电线杆的高度．在位于电线杆同侧的A、B处（点A、B及电线杆底部F在同一条直线上），测得电线杆顶部E的仰角分别为36°和45°（如图所示）．已知测量仪器距离地面都是1.5m，两测点A、B的距离是12m，求电线杆的高度（，结果精确到0．1m）28、如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB 的倾斜角为43°．AB=1.5米，CD=1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）29、下表所示的是数学兴趣小组填写的数学实践活动报告的部分内容.已知四边形ABCD为矩形，DG丄EF于点G，且点A、B、C、D、E、F、G都在同一竖直平面内，求铁塔FE的高度.（结果精确到1米；参考数据：sin 44°0.69，cos 44°0.72， tan 44°0.97）30、如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为0.2米，当踏板连杆绕着点旋转到处时，测得，此时点距离地面的高度为0.45米，求和的长（参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C3、C4、A5、C6、D7、A8、C9、D10、D11、A12、D13、C14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
沪科版九年级上《第23章解直角三角形》测试题含答案
第23章 解直角三角形一、选择题(每小题4分，共40分) 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则sin B 等于( ) A. 12B. 22C. 32D ．1 2．如图23－Z －1，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边AC 的长是( ) A ．m ·sin35° B ．m ·cos35° C. m sin35° D. mcos35°图23－Z －13．△ABC 在网格中的位置如图23－Z －2所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( ) A ．sin α＝cos α B ．tan ∠ACD ＝2 C ．sin β＝cos β D ．tan α＝1图23－Z －24．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝4，c ＝5，则tan A 的值是( )A. 34B. 43C. 35D. 45 5．下列式子中不成立的是( ) A. 2cos45°＝2sin30°B ．sin30°×cos60°＝12sin 245°C ．cos45°－sin45°＝0D ．sin(30°＋30°)＝sin30°＋sin30°6．如图23－Z －3，已知45°＜∠A ＜90°，则下列各式中成立的是( ) A ．sin A ＝cos A B ．sin A ＞cos A C ．sin A ＞tan A D ．sin A ＜cos A图23－Z －37．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35，D 是AB 的中点，则 tan ∠BCD ＋ tan ∠ACD 等于( )A. 2512B.75C. 43D. 838．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，点B 在x 轴上，且sin ∠OAB ＝45，则点B 的坐标为( )A ．(4，0)B ．(－4，0)C ．(4，0)或(－4，0)D ．(5，0)或(－5，0)9．如图23－Z －4所示，小明从A 地沿北偏东30°方向走100 3m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明离A 地( )A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．120 m图23－Z －410．如图23－Z －5，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1图23－Z －5二、填空题(每小题5分，共20分)11．如图23－Z －6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________.图23－Z －612.如图23－Z －7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则 tan ∠BCD 的值是________．图23－Z －713．如图23－Z－8，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝1, cos B＝513，则这个菱形的面积是________．图23－Z－814．如图23－Z－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，tan∠DCA＝错误!，AC＝8，则AB的长度是________．图23－Z－9三、解答题(共40分)15．(8分)如图23－Z－10，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求AB的长．图23－Z－1016．(8分)如图23－Z－11是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图23－Z－1117．(12分)如图23－Z－12，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望．李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他测量了一些数据．他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.图23－Z－1218．(12分)如图23－Z －13，台风中心位于点O 处，并沿北偏东45°方向﹙OC 方向﹚以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离60 2千米的地方有一城市A .(1)A 市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O 的北偏东15°方向上，距离80千米的地方还有一城市B ，则B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受影响，请说明理由．图23－Z －131. B2．B [解析] cos A ＝AC AB ，即cos 35°＝ACm，∴AC ＝m·cos 35°.3．C [解析] 先构建直角三角形，再根据三角函数的定义，sin α＝cos α＝22 2＝22，tan ∠ACD ＝21＝2，sin β＝cos (90°－β)，故选C .4．A 5.D6．B [解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小判断．也可用特殊值检验．7．A [解析] 如图，由sin A ＝35，设BC ＝3k ，AB ＝5k.由勾股定理得AC ＝4k.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD ＝AD ＝BD ，∴∠BCD ＝∠B，∠ACD ＝∠A，故tan ∠BCD ＋tan ∠ACD ＝43＋34＝2512.8．C [解析] ①如图，点B 在x 轴的正半轴上． ∵sin ∠OAB ＝45，∴设OB ＝4x ，AB ＝5x ，∴由勾股定理，得32＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝1，∴OB ＝4. 则点B 的坐标是(4，0)；②同理，当点B 在x 轴的负半轴上时，点B 的坐标是(－4，0)． 则点B 的坐标是(4，0)或(－4，0)． 9．C10．A [解析] 如图，过点D 作DE⊥AB，垂足为E.易证△ADE 为等腰直角三角形，AE ＝DE.在Rt △BDE 中，tan ∠DBA ＝DE BE ＝AE BE ＝15，所以BE ＝5AE.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，由勾股定理可求出AB ＝6 2，所以AE ＝ 2.在等腰直角三角形ADE 中，利用勾股定理可求出AD 的长为2.故选A .11．17 [解析] ∵tan A ＝BC AC ，即158＝15AC ，∴AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17.12.34 [解析] 在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∵∠A ＋∠B＝90°，∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠BCD.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝68＝34.故答案为34.13.3916 [解析] 设BE ＝5x ，由cos B ＝513，得AB ＝13x ，AE ＝12x ，则13x ＝5x ＋1，解得x ＝18.所以菱形的面积＝BC·AE＝13x·12x＝3916. 14．6 [解析] 由题意，得∠DCA＝∠DAC＝∠ACB.在Rt △ABC 中求解．15．解：如图，过点C 作CD⊥AB 于点D ，则∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B＝45°，∴CD ＝BD. ∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3. 由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.16．解：如图，过点A 作AE⊥直线CD 于点E ，过点B 作BF⊥AE 于点F. ∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°，∴AE ∥OD ， ∴∠A ＝∠BOD＝70°.在Rt △ABF 中，∵AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918(m )，∴AE ＝AF ＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m )．答：端点A 到底面CD 的距离约是1.1 m .17．解：如图，过点A 作AE⊥CD 于点E. 在Rt △BCD 中，∵tan ∠CBD ＝CDBD ，∴CD ＝BD·tan 60°＝3BD. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE ＝CEAE ，∴CE ＝AE·tan 30°＝BD·tan 30°＝33BD. ∵CD －CE ＝AB ， 即3BD －33BD ＝42， ∴BD ＝21 3. ∴CD ＝3BD ＝63(米)． 答：⑪号楼的高度CD 为63米．18．解：(1)不会．理由：如图，过点A 作AE⊥OC 于点E.在Rt △AOE 中，sin 45°＝AEOA ，∴AE ＝60 2×22＝60(千米)． ∵60千米＞50千米，∴A 市不会受到此台风的影响．(2)会．如图，过点B 作BF⊥OC 于点F.精品 Word 可修改 欢迎下载 在Rt △BOF 中，∵∠BOF ＝45°－15°＝30°，sin 30°＝BF OB，∴BF ＝80×12＝40(千米)． ∵40千米＜50千米，∴B 市会受到台风的影响．如图，以B 为圆心，50千米为半径作圆交OC 于点G ，H.在Rt △BGF 中，∵BF ＝40千米， ∴GF ＝502－402＝30(千米)．同理，FH ＝30千米．∴GH ＝60千米，60÷40＝1.5(时)，∴B 市受到台风影响的时间为1.5小时．。
沪科版九年级数学上册《第23章解直角三角形》单元同步测试题(附答案)
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形单元测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.中，，，，则的值等于（）Rt △ABC ∠ABC =90∘AB =3BC =4tan∠ACB A.35B.45C.43D.342.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡AB αBC 50面的长度是（）ABA.米50⋅tanα B.米50⋅sinαC.米50tanα D.米50sinα 3.如图，已知在中，，是边上一点，，Rt △ABC ∠C =90∘D BC AD =5，且，则的长为（）∠CAD =∠ABC =αtanα=12BDA.2B.3C.4D.54.如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过G 来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是C ∠FDC =30∘DG 米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡1.6BG =0.7BG AC AB i =4:3长米，则此时小船到岸边的距离的长为（）米．（，结果AB =10.5C CA 3≈1.7保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.105.如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行A C 60∘了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离12B B C C 是（）A.海里123B.海里63C.海里6 D.海里43 6.一根竹竿长米，先像靠墙放置，与水平夹角为，为了减少占地空间，a AB 45∘现将竹竿像放置，与水平夹角为，则竹竿让出多少水平空间（）A'B'60∘A.(22‒12)aB.22aC.12a D.(32‒22)a7.如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为α米，那么这两树在坡面上的距离为（）5ABA.5cosαB.5cosαC.5sinαD.5sinα8.如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）31010A.1:10B.3:10C.1:3D.3:19.如果等边三角形的边长为，那么它的外接圆的半径为（）6A.23B.4C.5D.6A B C AB BC10.如图，，，表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，，表示连A B C AA1BB1CC1130接缆车站的钢缆．已知，，所处位置的海拔，，分别为米，4001000A B30∘B C45∘米，米．由点测得点的仰角为，由点测得点的仰角为，AB BC那么和的总长度是（）A.1200+2702B.800+2702C.540+6002D.800+6002二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）CD A11.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，他们先在点处测得树顶C30∘AD10m B B C的仰角为，然后沿方向前行，到达点，在处测得树顶的仰角为60∘A B D CD （、、三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树的高度是________米．（结果保留根号）B15∘A12.如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南北偏西方向的处，75∘40C若渔船沿北偏西方向以海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，C B C60∘B C在处观测到在的北偏东方向上，则，之间的距离为________海里．100A B13.如图，在高出海平面米的悬崖顶处，观测海平面上一艘小船，并测得45BC=它的俯角为゜，则船与观测者之间的水平距离________米．14.一船向东航行，上午时到达处，看到有一灯塔在它的南偏东距离为8B 60∘海里的处，上午时到达处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的72A 10C 速度为________．15.河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度110AB 26AB 是________．i16.如图，已知中，，是边的中点，，垂足为△ABC ∠ACB =90∘D AB CE ⊥AB 点，若，则________．E sin∠DCE =35cotA =17.为了测量楼房的高度，在距离楼房米的处，测得楼顶的仰角为，BC 30A B α那么楼房的高为________．BC 18.如图，中，，，，现将绕点顺时△ABC ∠C =90∘∠A =30∘AB =8△ABC B 针旋转至，交于点，则线段的长为________．30∘△DEB DE AB F EF19.如图，在平行四边形中，，，平分，交ABCD AD =5cm AP =8cm AP ∠DAB 于点，过点作于点，交于点，则________．DC P B BE ⊥AD E BE AP F tan∠BFP =20.如图，无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为、，如果C A B 60∘45∘无人机距地面高度为米，点、、在同一水平直线上，则、两点CD 1003A D B A B 间的距离是________米．（结果保留根号）三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸平行于，河岸上有PQ MN PQ 一排间隔为米的彩灯柱、、、…，小华在河岸的处测得50C D E MN A ，然后沿河岸走了米到达处，测得，求这条河的∠DAN =21∘175B ∠CBN =45∘宽度（参考数据：，）．sin 21∘≈925tan 21∘≈3822.人要使用斜靠在墙面上的梯子安全地攀到梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个的梯子．问：α50∘≤α≤75∘6m使用这个梯子最高可以安全攀到多高的墙？（精确到）(1)0.1m 当梯子的底端距离墙面时，此时人是否能够安全地使用这个梯子？(2) 2.4m(sin50∘≈0.77, cos50∘≈0.64, tan50∘≈1.19, sin75∘≈0.97, cos75∘≈0.26, tan75∘≈3.73)40A M23.如图，一艘船以每小时海里的速度向西南方向航行，在处观测灯塔在75∘9B M船的南偏西的方向，航行分钟后到达处，这时灯塔恰好在船的正西方9向．已知距离此灯塔海里以内的海区有暗礁，这艘船继续沿西南方向航行是否2≈1.413≈1.73，）24.一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是905长为米、宽为米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水AB1:0.751:3坡的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水9坡面分成块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．(1)求整修后背水坡面的面积；(2)2520如果栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，那么种植花草至少需要多少元？10A 25.已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午点，在处P75∘15测得小岛的方向是北偏东，以每小时海里的速度继续向东航行，中午12B P60∘25点到达处，并测得小岛的方向是北偏东，若小岛周围海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？A B C C A B26.某海域有、、三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向、两船发B A72∘A24出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船海里的海域，C A33∘B78∘船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向．(1)∠ABC求的度数；A30（2）船以每小时海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果0.01精确到小时）．2≈1.4143≈1.732，）答案1.D2.D3.B4.A5.D6.A7.B8.C9.A10.C11.5312.20213.10014.海里/时18315.1:2.416.217.30tanα18.43319.4320.100(1+3)21.峨眉河的宽度约为米．7522.解：当，则，(1)α=75∘sinα=BCAB =BC 6故，BC =6×0.97=5.82(m)故使用这个梯子最高可以安全攀到的墙；当梯子的底端距离墙面5.82m (2)时，2.4m ，cosα=2.46=0.4∵，，cos 50∘≈0.64cos 75∘≈0.26∴，50∘<α<75∘∴此时人能够安全地使用这个梯子．23.解：这艘船继续沿西南方向航行有触礁的危险．理由如下：过点作于．M MC ⊥AB C 由题意得：，，∠WAC =∠SAC =45∘∠SAM =75∘∴，…∠1=∠SAM ‒∠SAC =30∘设（海里），MC =x 在中，Rt △MAC （海里）…AC =MCtan∠1=x tan 30∘=3x∵灯塔恰好在船的正西方向．M∴MB // WA∴∠2=∠WAC =45∘∴在中 （海里）…Rt △MAC BC =MC =x ∵（海里）AB =40×960=6∵AC =AB +BC ∴，…3x =6+x 解得：，…x =33+3∵海里海里．MC =33+3≈8.19<9∴有触礁的危险．…24.解：作于．(1)AE ⊥BC E ∵原来的坡度是，∴，1:0.75AE EB =10.75=43设，，∴，AE =4k BE =3k AB =5k 又∵米，∴，则米，AB =5k =1AE =4设整修后的斜坡为，由整修后坡度为，有，AB'1:3tan∠AB'E =AE EB'=13∴，∠AB'E =30∘∴米，∴整修后背水坡面面积为米．AB'=2AE =890×8=7202∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是块，有一种是块，而栽花的成(2)54本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，2520∴两种方案中，选择种草块、种花块的方案花费较少．54∵整修后背水坡面面积为米，7202∴每一小块的面积是米，7209=802∴需要花费元．20×5×80+25×4×80=1600025.解：过作于点．P PD ⊥AB D ∵∠PBD =90∘‒60∘=30∘且，∠PBD =∠PAB +∠APB ∠PAB =90‒75=15∘∴∠PAB =∠APB∴（海里）BP =AB =15×2=30∵在直角中，△BPD ∠PBD =∠PAB +∠APB =30∘∴海里海里PD =12BP =15<25故若继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．26.约小时能到达出事地点． 0.57。
沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》章节测试卷(含解析)
第23章《解直角三角形》章节测试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =32，cosB =12，则△ABC 是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A ．12B ．34C ．1D ．433．如图，△ABC 的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．5B ．55C ．12D ．2534．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD=CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．455．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（ ）A. (−3−33,33)B ．(−3+3,3)C ．(−3+33,33)D ．(−3−3,33)6．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6，若点P 在直线AC 上（不与点A 、C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为（ ）A ．6或23B ．6或43C ．23或43D ．6或23或437．如图，延长等腰Rt ΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．23B ．1C ．13D ．128．如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin∠BCD=35，则tan ∠CDB 的值为（ ）A ．23B ．34C ．710D ．9139．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =2，则该“风车”的面积为（ ）A ．2+1B ．22C ．4−2D ．42二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD=10，cos ∠AFD=32，则AE 的长为 ．11．如图，在菱形ABCD 中，tan ∠ABC =43，AE ⊥BC 于点E ，AE 的延长线与DC 的延长线交于点F ，则S △ECF :S 四边形ADCE = ．（S 表示面积）12．如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．13．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．14．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D 于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的2．其中结论正确的序号有．最小值是3215．如图，△A B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．16．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°． (2)(π−1)0+4sin45°−8+|−3|．18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．21．（9分）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．23．（9分）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE=120°，若AB =6，DB=23，求CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD=∠BCE ，AE BE=23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．答案解析一.选择题1．B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，即可解答．【详解】解：∵sinA=32，cosB=12，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．2．B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出B C2+C E2=B E2，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B C2+C E2=B E2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．3．B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB =32+42=5，AC =32+62=35∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD =5∴sin ∠CAB=BD AB =55故选：B ．4．C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF ≌△DBF (AAS )，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =ACBC，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵{∠G =∠DBF∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF ≌△DBF (AAS )，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB ，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC=12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC=AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．5．D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC =10，求出BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt △ACO 中，AC =A O 2+C O 2=12+32=10，在Rt △ABC 中，∠CBA=30°，∴ tan ∠CBA=CA BC ，∴ BC =CA tan ∠CBA =10tan30°=30，∴ BE3=3010=EC1，解得BE =33，EC =3，∴ EO =EC +CO =3+3，∴点B 的坐标为(−3−3，33)．故选：D ．6．D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=3cos30°=332=23如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BCcos30°=632=43故选：D7．A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得tan∠BCD．【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=A C2+B C2=2a，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22a，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin45°=2a，BE=BD·cos∠DBE=22a·cos45°=2a，∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=DECE =2a3a=23，故选：A．8．D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝B C2−B E2＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得y2−9＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35，∴sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝B C2−B E2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×AC•BC，∴y•CF＝5ax，∴CF＝5axy，在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝B C2−C F2＝25a2−(5axy )2＝25ya，∴BF＝CG＝25ya，在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝B D2−B E2＝y2−9a2，∴CD＝CE+ED＝4a +y2−9a2，∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×BD•CG，∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a +y2−9a2)×3＝y×25ya，∴y2−9a2＝133a，∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE ＝3ay2−9a2＝913．故选：D．9．B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB= ∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=12×45°=22.5°易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH 又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA= 2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO =aa+2a=2−1∴IHIA=tan∠A=2−1设IH=（2−1）x，AI=x ∴IH+IA=2x=2，即x=1∴S△ABH =12×AB×IH=2−1又∵SΔBOHSΔABH =OHAH=12∴S△BOH =1−22∴S△AOB =S△ABH+S△BOH=2−1+1−22=22∴S风车=4S△AOB=4×22=22．故选B．二．填空题10．53【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作DH⊥BG，证明G,H重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=32∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12∴DH=12DB=5,∴G,H重合，∴AE=BG=BH=53故答案为：53．11．4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出AB=5k，然后证明△CEF∽△DAF，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵tan∠ABC=43，AE⊥BC，∴tan∠ABC=43=AEBE，设AE=4k，则BE=3k，∴AB =A E 2+B E 2=5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC −BE =2k ，∵CB ∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S△DAF =(CE DA )2=(2k 5k )2=425，∴S △CEFS 四边形ADCE =S △CEF S △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．12．2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD=90°，∴BD =A B 2+A D 2=32+42=5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD=AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD −BE =BD −2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD −BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG ∥AD ，AG =GB ，∴BE ED=BG AG =1，∴DE =12BD=52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．13．33【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE −PF =PE −PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC=120°，AB =6，可得∠BAD=60°，根据EM=AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=33，∴PE−PF=33，故答案为：33．14．①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1(180°−∠DPC)．2∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1(180°−∠CPG)．2∴∠PCD+∠PCG=1[360°−(∠DPC+∠CPG)]．2∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∠CGF=1．∴②的结论正确；∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB=12∠FPB=12×90°=45°．∴点F在对角线AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4×22=22．∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．15．220233【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠C B1A1=90°，∠C B1A=30°，然后求出C B1=2O B1=43=22×3，C B2=2C B1=83=23×3，C B3=2C B2=163=24×3，…，进而可得C B2022=22023×3，C B2023=22024×3，再求出B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y =33x +2与x 轴交于点C ，当x =0时，y =2；当y =0时，x =−23，∴ A (0,2)，C (−23,0)，∴ OA=2，OC =23，∴ tan ∠ACO =OA OC=223=33，∴ ∠ACO=30°，∵ △A B 1A 1是等边三角形，∴ ∠A A 1B 1=∠A B 1A 1=60°，∴ ∠C B 1A 1=90°，∠C B 1A =30°，∴ AC =A B 1，∵ AO⊥C B 1，∴ O B 1=OC =23，∴ C B 1=2O B 1=43=22×3，同理，C B 2=2C B 1=83=23×3，C B 3=2C B 2=163=24×3，……，∴ C B 2022=22023×3，C B 2023=22024×3，∴ B 2022B 2023=22024×3−22023×3=220233，故答案为：220233．16．8+46【分析】先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK ⊥FH ，可求得EH:EF =2:6；作∠ARH=∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，构造“一线三等角”，先求得FT 的长，进而根据相似三角形求得ER ，进而求得AE ，于是得出∠AEH =30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt △PMN 中，∠P =15°，NQ =PQ ，∠MQN =30°，设MN=1，则PQ =NQ =2，MQ=3，PN =6+2，∴cos15°=6+24，tan15°=2−3，如图2，作EK ⊥FH 于K ，作∠AHR =∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C ，在△AEH 与△CGF 中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH ≌△CGF(SAS)，∴EH =GF ，同理证得△EBF ≌△GDH ，则EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，设HK=a ，则EH=2a ，EK =3a ，∴EF =2EK =6a ，∵∠EAH =∠EBF =90°，∴∠R=∠T =75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+36+24=26，AR=AH⋅tan15°=4−23，△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴26ER =62，∴ER=4，∴AE=ER−AR=23，∴tan∠AEH=223=33，∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26，∴EH+EF=4+26=2(2+6)，∴2(EH+EF)=4(2+6)，∴四边形EFGH的周长为：8+46，故答案为：8+46．三．解答题17．（1）原式=2×32−12−33×3−2×32+6×(22)2=3−12−1−3+6×12=3−1−3+3=2．（2）原式=1+4×22−22+3 =1+22−22+3=4．18．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC−CD=8，∴AB=A D2+B D2=10，在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB =35，即sin∠ABC=35．19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b 将点A、C的坐标代入，得得：{7k+b=8b=6，解得：{k=27b=6，故直线AC的表达式为：y＝27x+6；（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴∴则点D（t，0），点E（7，s）∵DE∥AC可设直线DE的解析式为y＝27x+c将点D的坐标代入0＝27t+c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y＝27x﹣27t，将点E的坐标代入，得s＝2﹣27t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；（3）存在，理由：设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t，四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴ODOC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．20．（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =12+12=2，DF =32+32=32，∴tan ∠D =BF DF=232=13，∵CE =1，BE =3，∴tan ∠ABC=CE BE=13，∴tan ∠D =tan ∠ABC ，∴∠ABC=∠D ；（2）解：如图，取格点D ，E ，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=1，2，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．21．（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt △CDE 中，DE =CE ⋅tan ∠DCE=6×tan30°=23（米），∴FG =23（米）．答：F 距离地面CE 的高度为23米；（3）解：∵斜坡CF 的坡度为i =1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG = 2.5FG =23× 2.5=53（米），∴FD =EG =(53+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD=45°，∴AD =FD =(53+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=63（米），∴AB =AD +DE −BE =53+6+23−63=(6+3)（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6+3)米．22．（1）解：如图，∠BAC=90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC=22,∴sad90°=BCAB = 2.（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sadA =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sadA =BCAB 逐渐接近0，sad A =BCAB >0；∴0<sadA <2（3）解：如图，在AB 上截取AH=AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sinA =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD =A H 2−H D 2=4x ,∴DC =AC −AD =5x −4x =x ．Rt △HDC 中，HC =C D 2+H D 2=10x ，∴sadA =CH AH =10x 5x =105．23．（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，{∠ANB=∠BHA=90°∠ABD=∠DABAB=BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN=AH，∴12BC=AH，∴BC=2AH；（2）如图2，在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠EAC，∵AB=AC，∴∠ABE=∠C=∠CFE=30°，∴∠ABD=∠AFE=150°，∴△ABD∽△AFE，∴ABAF =BDEF，即6AF=23EF，∴AFEF=3，设EF=a，则AF=3a，∵EF=CE=a，∠C=30°，∴CF=2EF·cos30°=3a，∴6−3a=3a，∴a=3，∴CE=EF=3；（3）如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE=2m，BE=3m，则AB=AC=5m，∵tan∠ABC=34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG ∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．。
沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用同步练习(含答案)
23.2 解直角三角形及其应用一、选择题（共4题）1．如图，已知一商场自动扶梯的长为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于()．A． B． C． D．2．如图，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD ＝145°，BD＝500 m，∠D＝55°，要A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是()．A．500sin 55° m B．500cos 55° mC．500tan 55° m D．3.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A. B. C. D.4.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)二、填空题（共5题）5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是__________ m.6．如图，小明在操场上距离旗杆18 m的C处，用测角仪测得旗杆AB的顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.4 m，那么旗杆AB的高为________ m．(保留三位有效数字)7.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）三、计算与解答题（共4题）8. 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程(计算过程和结果均不取近似值)．9．如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的距离是6 km，仰角是43°.1 s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是6.13 km，仰角为45.54°，解答下列问题：(1)火箭到达B点时距离发射点有多远(精确到0.01 km)?(2)火箭从A点到B点的平均速度是多少(精确到0.1 km/s)?10．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5 m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．(结果精确到0.1 m)11．关于三角函数有如下的公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，①cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，②tan(α＋β)＝(1－tan α·tan β≠0)．③利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan 105°＝tan(45°＋60°)＝＝－(2＋)．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高．参考答案1.A2.解析：∵∠E＝180°－55°－35°＝90°，∴DE＝BD·cos D＝500cos 55°(m)．答案：B3.解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为.答案：C4.解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,∴AE=a·tanα.在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,∴AB=a·tanβ.∴CD=AB－AE=a·tanβ－a·tanα.答案:D5.6.解析：AE＝DE·tan 30°＝18×≈10.4(m)，EB＝1.4 m，∴AB＝AE＋BE＝10.4＋1.4＝11.8(m)．答案：11.87.解析:AB=BC·tanC=12(米).答案:128.解：由已知，可得∠ACB=30°.在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=500.∵tan∠ACB=，∴BC==.因此该军舰行驶的路程为米．9.解：(1)在Rt△OCB中，sin 45.54°＝，OB＝6.13×sin 45.54°≈4.38(km)，答：火箭到达B点时距发射点约4.38 km.(2)在Rt△OCA中，sin 43°＝，∴OA＝6×sin 43°≈4.09(km)，v＝(OB－OA)÷t＝(4.38－4.09)÷1≈0.3(km/s)．答：火箭从A点到B点的平均速度约为0.3 km/s.10.解：小亮的说法正确．在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，BA＝10，∴tan∠BAD＝.∴BD＝10×tan 18°.∴CD＝BD―BC＝10×tan 18°－0.5.在△ABD中，∠CDE＝90°－∠BAD＝72°，∵CE⊥ED，∴sin∠CDE＝.∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin 72°×(10×tan 18°－0.5)≈2.6(m)．答：CE为2.6 m，即限高为2.6 m.11.解：过点D作DE⊥AB于E，依题意，在Rt△ADE中，∠ADE=∠α=60°，AE=ED·tan 60°=BC·tan 60°=.在Rt△ACB中，∠ACB=∠β=75°，AB=BC·tan 75°.∵tan 75°=tan(45°+30°)==，∴AB=42×(2+)=84+ ，CD=BE=AB-AE=84+ =84(米)．答：建筑物CD的高为84米．。
2021年沪科版九年级数学上册23.2.1解直角三角形同步练习
23.2 解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B 所对的边分别为a ，b ，a ＝6，b ＝2，那么∠B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．［2021·蚌埠十二中月考］在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin A ＝13，那么BC 等于( )A ．45B ．5 C. 15 D. 1453．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设AB ＝5，sin A ＝35，那么斜边上的高等于 ( )A.6425 B. 4825 C. 165 D. 1254．［2021·南宁］如图34－K －1，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B ＝36°，那么中柱AD (D 为底边中点)的长是( )图34－K －1A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米5．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c .a ＝3，c ＝6，那么以下所解该直角三角形的结果中完全正确的一组是( )A ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝2 33B ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝ 3C ．∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝ 3D ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝626．［2021·六安期末］如图34－K －2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，且BE ＝2AE ，AD ＝3 3，tan ∠BCE ＝33，那么CE 等于 ( ) A ．2 3 B ．3 3－2 C ．5 2 D ．4 3图34－K －2二、填空题 7．［2021·安庆16中期末］在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝14 cm ，那么AB 边上的高为________cm.8．如图34－K －3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，那么DE ＝________．图34－K －39．［2021·合肥瑶海区期末］如图34－K －4，将一副三角尺按图中方式叠放，BC ＝4，那么BD 的长度为________．图34－K －410．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，那么△ABC 的面积为______________. 三、解答题11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c .a ＝6，c ＝2 2，解这个直角三角形．12．如图34－K －5，AC ⊥BC 于点C ，点D 在AC 上，cos ∠ADC ＝45，tan B ＝33，AD＝10，求AC 和BD 的长.图34－K －513．如图34－K －6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝13，AC ＝2，E 为BC 的中点，DE ⊥AB 交AB 于点D .求AB 和BD 的长度．图34－K －614．如图34－K －7，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 是边AC 上一点．假设tan ∠DBA ＝15，求AD 的值.图34－K －715．如图34－K －8所示，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15 cm ，CD ＝3 2 cm ，请据此解答如下问题：(1)求四边形ABCD 的周长和面积(结果保存整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)；(2)求∠ACD 的余弦值．图34－K －816探究题我们知道：sin30°＝12，cos30°＝32，可得sin 230°＋cos 230°＝14＋34＝1，那么对于任意的锐角A ，是否都有sin 2A ＋cos 2A ＝1呢？(1)如图34－K －9所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 对边分别为a ，b ，c ，可得sin A ＝a c ，cos A ＝bc，求证：sin 2A ＋cos 2A ＝1；(2)假设sin A ＝23，利用(1)的结论求cos A 的值； (3)用以上探究的方法你能得出sin A ，cos A ，tan A 三者之间的关系吗？请直接写出答案．图34－K －91．A2．[解析] B ∵sin A ＝13＝BCAB，AB ＝15，∴BC ＝5.3．[解析] D 由题意可知BC ＝3，那么AC ＝AB 2－BC 2＝4，∴斜边上的高为3×45＝125.4．[解析] C ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝10米， ∴BD ＝DC ＝5米．在Rt △ADB 中，∠B ＝36°，∴tan 36°＝ADBD ，即AD ＝BD·tan 36°＝5tan 36°米．应选C . 5．C6．[解析] D ∵tan ∠BCE ＝33，∴∠BCE ＝30°，∴∠B ＝90°－∠BCE ＝60°.又∵在Rt △ABD 中，AD ＝3 3，∴BD ＝3，AB ＝6.∵BE ＝2AE ，∴BE ＝4，AE ＝2.在Rt △BEC 中，BE ＝4，∠BCE ＝30°，∴CE ＝4 3.7.7328．[答案]154[解析] ∵BC ＝6，sin A ＝35，∴AB ＝6÷35＝10，因此AC ＝8.由于D 是AB 的中点，那么AD ＝5.根据三角形相似得出DE ＝BC·AD AC ＝6×58＝154.9．[答案] 2 6[解析] 在Rt △ABC 中，AB ＝sin C ·BC ＝2 2；在Rt △ABD 中，BD ＝ABtan D ＝2 6.10．[答案] 2 3＋5或2 3－ 5 [解析] 分两种情况讨论．(1)当∠B 为钝角时，如图①，过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵∠BAC ＝30°，AB ＝4，∴BD ＝12AB ＝2，AD ＝AB 2－BD 2＝42－22＝2 3，CD ＝BC 2－BD 2＝32－22＝5，∴AC ＝AD ＋CD ＝2 3＋5，故S △ABC ＝12AC·BD ＝12×(2 3＋5)×2＝2 3＋ 5.(2)当∠C 为钝角时，如图②，过点B 作BD ⊥AC 交其延长线于点D.∵AB ＝4，∠BAC ＝30°，∴BD ＝12AB ＝2，AD ＝AB 2－BD 2＝42－22＝2 3，CD ＝32－22＝5，∴AC ＝AD －CD ＝2 3－5，故S △ABC ＝12AC·BD ＝12×(2 3－5)×2＝2 3－ 5.故填2 3＋5或2 3－ 5.11．解：在Rt △ABC 中，由sin A ＝a c ＝62 2＝32，得∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.由勾股定理，得b ＝c 2－a 2＝〔2 2〕2－〔6〕2＝ 2. 12．解：在Rt △ACD 中，CD ＝cos ∠ADC ·AD ＝45×10＝8，那么AC ＝AD 2－CD 2＝102－82＝6.在Rt △ACB 中，BC ＝ACtan B ＝6 3.故BD ＝BC －CD ＝6 3－8. 13．解：在Rt △ABC 中，BC ＝AC tan B ＝213＝6，AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋62＝210. 由余弦的定义可知：cos B ＝BC AB ＝62 10＝3 1010， 那么BD ＝cos B ·BE ＝31010×3＝91010.14．解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，如图．∵△ACB 为等腰直角三角形，∠C ＝90°， ∴BC ＝AC ＝3，∠A ＝45°，∴AB ＝2AC ＝3 2.在Rt △ADE 中，设AE ＝x ，那么DE ＝x ，AD ＝2x.在Rt △BED 中，tan ∠DBE ＝tan ∠DBA ＝DE BE ＝15，那么BE ＝5x ，∴AB ＝AE ＋BE ＝x ＋5x ＝3 2，解得x ＝22， ∴AD ＝2×22＝1，故AD 的值为1. 15．解：(1)∵AB ＝BC ＝15 cm ，∠B ＝90°， ∴AC ＝15 2 cm . 又∵∠D ＝90°，∴AD ＝AC 2－CD 2＝〔15 2〕2－〔3 2〕2＝12 3(cm )， ∴四边形ABCD 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝30＋32＋12 3≈30＋4.23＋20.76≈55(cm )．四边形ABCD 的面积＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×15×15＋12×12 3×3 2＝2252＋186≈157(cm 2)．(2)cos ∠ACD ＝CD AC ＝3 215 2＝15.16解：(1)证明：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴a 2＋b 2＝c 2.又∵sin A ＝a c ，cos A ＝bc ，∴sin 2A ＋cos 2A ＝(a c )2＋(bc )2＝a 2＋b 2c2＝1. (2)∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A ＝23， ∴cos 2A ＝1－(23)2＝79， ∴cos A ＝73(锐角的正弦、余弦都是正数)． (3)∵sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝ab ，∴cos A ·tan A ＝b c ·a b ＝ac ＝sin A ，即sin A ＝cos A·tan A.。
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形含答案
沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知Rt△ABC∽Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,且AB=2A'B',则sinA与sinA'的关系为( )A.sinA=2sinA'B.sinA=sinA'C.2sinA=sinA'D.不能确定2、如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A. 米2B. 米2C. 米2 D. 米23、如图，马航370失联后，“海巡31”船匀速在印度洋搜救，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B，海巡船继续向北航行4小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若海巡船继续向北航行，那么要再过多少时间海巡船离灯塔B最近？（）A.1小时B.2小时C. 小时D.2 小时4、sin60°+tan45°的值等于（）A. B. C. D.15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则cos B的值为A. B. C. D.6、如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）A.11.1米B.11.8米C.12.0米D.12.6米7、的值等于（）A. B. C. D.8、如图，已知中，，，，则的值为（）A. B. C. D.9、如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是（）A. B. C.10 D.810、Rt△ABC中，∠C=90°， a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A.30°B.37°C.38°D.39°11、如图，在6×6网格中，∠α的顶点在格点上（网格线的交点），两边分别经过格点，则tanα的值是（）A.2B.C.D.12、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.13、在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于（）A.3B.C.D.14、在平面直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是( )A.－2B.－8C.2D.815、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.30 海里B.30 海里C.60海里D.30 海里二、填空题(共10题，共计30分)16、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．17、cos51°10′=sin________．18、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．19、如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，，则的值为________．20、一山坡的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了20米，那么这人垂直高度上升了________ 米．21、（在△ABC中，AB=AC=10，cosB= ，如果圆O的半径为2 ，且经过点B、C，那么线段AO的长等于________．22、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝8 ，BC＝20，∠A＝60°，P是边AD上一动点，连结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是________.23、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则sin∠ABC的值等于________．24、如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是________．25、⊙O的半径为1，弦AB= ，弦AC= ，则∠BAC度数为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：27、如图1，圆规两脚形成的角α称为圆规的张角．一个圆规两脚均为12cm，最大张角150°，你能否画出一个半径为20cm的圆？请借助图2说明理由．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）28、如图，山顶有一塔AB，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）29、先化简，再求值：|﹣2|﹣（﹣π）0+tan45°+（）﹣1．30、“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B3、B4、B5、C6、D7、A8、A9、D10、B11、A12、C13、D14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、30、。
【沪科版】九年级数学上 23.2 解直角三角形及其应用课时练习(含解析)
九年级上学期数学课时练习题（23.2 解直角三角形及其应用）一.选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝35，则斜边上的高等于（）A.6425 B.4825C.165D.1252.已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+3，则BC等于（）A.3B.3C.23D.3+13.在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cos B＝2，则BC边长为（）A.7B.8C.8或17D.7或174.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A.13 B.2－1 C.2－3 D.14第5题图第6题图第7题图6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝35，则tan B的值为（）A.32 B.23C.56D.437.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，若tan B＝53，则tan∠CAD的值为（）A.3B.3C.13 D.158.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A.20海里B.40海里C.203海里D.403海里9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan ＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（）A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm第8题图第9题图第10题图10.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）33二.填空题11. 在△ABC中，，∠C＝90°，tan a＝23，AC＝6，则BC＝___________. 12.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是____________.13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡AB的水平宽度BE＝33m，那么斜坡AB的长为_________m.第14题图第15题图第16题图15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A.D.B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cos B＝4，EC＝2，P是AB5边上的一动点，则线段PE的长度的最小值是___________.三.解答题17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值.14，AD＝12，sin B＝4518.如图，已知矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝6，AD＝8，求sin∠OEA的值．19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(3≈1.7)20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°. （1）求调整后的滑梯AD的长度（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）22.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD＝4，sin B＝4，若E是AC边5上的点，且满足AE：EC＝2：3，连接DE，求sin∠ADE的值.23.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A.B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触2≈1.413≈1.73）23.2解直角三角形及其应用课时练习题参考答案一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBDAABDCBC1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝5，则斜边上的高等于（ ） A.6425B.4825C.165D.125解答：∵在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB＝35，AB ＝4，∴BC ＝125，由勾股定理得：AC ＝165，∵在Rt △ADC 中，sin A ＝CD AC，∴CD ＝165×35＝4825.故选：B.2.已知：△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC +AC ＝3+3，则BC 等于（ ）A.3 B.3 C.23 D.3+1解答：设BC ＝x ，则AC ＝tan BCA＝33x ，∵BC +AC ＝3+3，∴x +33x ＝3+3，解得：x ＝3，即BC ＝3， 故选：B.3.在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝2，则BC 边长为（ ）A.7B.8C.8或17D.7或17 解答：∵cos ∠B ＝2，∴∠B ＝45°，当△ABC 为钝角三角形时，如图1， ∵AB ＝122，∠B ＝45°， ∴AD ＝BD ＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选：D．4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°解答：如图，AB＝AC，AD为BC边上的高，由题意得：BC：AD＝2：3，由等腰三角形的“三线合一”得BD＝12BC，∴BD：AD＝1：3，即ADBD＝3，∴tan B＝3，∴∠B＝60°，∴此三角形为等边三角形，故顶角为60°，故选：A.5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A.13 B.2－1 C.2－3 D.14解答：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝2AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝12AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝22DC＝24AC．∴tan∠DBC＝DEBE ＝24224ACAC AC-＝13，故选：A．6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝35，则tan B的值为（）A.32 B.23C.56D.43解答：在Rt△ACM中，sin∠CAM＝CMAM ＝35，设CM＝3x，则AM＝5x，根据勾股定理得：AC＝22AM CM-＝4x，又M为BC的中点，∴BC＝2CM＝6x，在Rt△ABC中，tan B＝ACBC ＝46xx＝23，故选：B.7.如图，在Rt△ABC中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，若tan B＝53，则tan CAD的值为（）A.33 B.35C.13D.15解答：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝53，即ADAB＝53，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴CEAB ＝DEAD＝CDBD＝12，∴CE＝32x，DE＝52x，∴AE＝152x，∴tan∠CAD＝ECAE ＝15，故选：D．8.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A.20海里B.40海里C.203海里D.403海里解答：根据题意可知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∵∠CBD＝∠CAD+∠ACB，∴∠CAD＝30°＝∠ACB，∴AB＝BC＝40海里，在Rt△CBD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝CDBC ，∴sin60°＝CDBC，∴CD＝40×sin60°＝40×32＝203（海里），故选：C．9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan ＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（）A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm解答：根据题意可知：：△AFO ∽△ABD ，OF ＝12EF ＝30cm ∴OF DC ＝AF AC ，即30DC ＝2.56， ∴DC ＝72cm ， ∵tan α＝52，∴AD DC ＝52， ∴AD ＝52×72＝180cm ． 故选：B ．10.如图，为了测得电视塔高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB （单位：米）为（ ）A.503B.51C.503+1D.101解答：设AG ＝x ，在Rt △AEG 中，∵tan ∠AEG ＝AG EG， ∴EG ＝3＝3x ，在Rt △ACG 中，∵tan ∠ACG ＝AG CG， ∴CG ＝tan 30x ︒＝3x ，∴3x ﹣33x ＝100， 解得：x ＝503，则AB ＝503+1（米），故选：C ．二.填空题 11. 4 12. （4，0）. 13. 182米.14. 6. 15. 2003+200． 16. 4.8.11.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝23，AC ＝6，则BC ＝___________.解答：∵∠C＝90°，tan A＝23，∴BCAC＝23，∴BC＝6×23＝4，故答案为：4.12.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是____________.解答：如图，∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，∴k+b＝1①，点A，点B分别与x轴，y轴的正半轴相交，且点B坐标为（0，b），∴OB＝b，在Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝3，∴OA＝3OB＝3b，∴点A的坐标为（3b，0），∴3bk+b＝0，∴k＝－13，把k＝－13代入①得：b＝43，∴点A的坐标为（4，0），故答案为：（4，0）.13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）解答：设电视塔高为x米，由题意得：x＝500tan20°≈500×0.3640＝182（米），故答案为：182米.14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡AB的水平宽度BE＝33m，那么斜坡AB的长为_________m.解答：∵斜坡AB 的坡度为1：3， ∴tan B ＝3，∴∠B ＝30°，∵cos B ＝BE AB， ∴AB ＝sin30BE＝6（m ）， 故答案为：6.15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A 处的俯角为30°，B 处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C 处的高度CD 为200米，点A .D .B 在同一直线上，则AB 两点的距离是_________________米．解答：由已知，得∠A ＝30°，∠B ＝45°，CD ＝200，∵CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，tan A ＝CD AD， ∴AD ＝3＝2003，在Rt △BCD 中，∠CDB ＝90°，∠B ＝45°∴DB ＝CD ＝200，∴AB ＝AD +DB ＝2003+200， 故答案为：2003+200．16.如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，若cos B ＝45，EC ＝2，P 是AB 边上的一动点，则线段PE 的长度的最小值是___________.解答：设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝2，所以BE ＝x ﹣2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中，cos B ＝2x x -，又cos B ＝45， 于是2x x -＝45， 解得x ＝10，即AB ＝10．所以易求BE ＝8，AE ＝6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值．故由三角形面积公式有：12AB PE ＝12BE AE ， 求得PE 的最小值为4.8，故答案为 4.8.三.解答题17.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，sin B ＝45，求：（1）线段DC 的长；（2）tan ∠EDC 的值. 解答：（1）∵AD 是边BC 上的高，AD ＝12，∴sin B ＝AD AB ＝45，∴AB ＝15， 在Rt △ABD 中，BD ＝22AB AD -＝9，∴DC ＝BC －BD ＝14－9＝5；（2）∵E 是斜边AC 的中点，∴DE ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，在R t△ADC 中，tan C ＝AD DC ＝125， ∴tan ∠EDC ＝tan C ＝125. 18.如图，已知矩形ABCD 的对角线AC .BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，若AB ＝6，AD ＝8，求sin ∠OEA 的值．解答：连结EC，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝8，OA＝OC，∠ABC＝90°，由勾股定理得：AC＝22AB BC+＝10，则OA＝5，∵OE⊥AC，∴OE是A C的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△EDC中，设EC＝AE＝x，则有ED＝AD－AE＝8－x，DC＝AB＝6，根据勾股定理得：x2＝(8－x)2+62，解得：x＝254，∴AE＝254，在Rt△AOE中，sin∠OEA＝OAAE ＝45.19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(3≈1.7)解答：作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12，在Rt△BCE中，BE＝tan CECBE∠＝12tan30︒＝123，在Rt△BDE中，DE＝BE tan∠DBE＝123tan45°＝123，∴CD＝CE+DE＝12+123≈32.4，所以，楼房CD的高度约为32.4米.20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.（1）求调整后的滑梯AD 的长度（2）调整后的滑梯AD 比原滑梯AB 增加多少米？（精确到0.1米） （参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）解答：（1）Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝30°，AC ＝6米，∴AD ＝2AC ＝12（m ）∴AD 的长度为12米；（2）∵Rt △ABC 中，AB ＝sin30AC ︒＝43（m ）， ∴AD －AB ＝12﹣43≈5.1（m ）．∴改善后的滑梯会加长5.1m ．21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽为6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i ＝1：2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）解答：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为点E ，F ，则四边形BCFE 是矩形， 由题意知：BC ＝EF ＝6米，BE ＝CF ＝20米，斜坡AB 的坡度i ＝1：2.5， 在Rt △ABE 中，i ＝BE AE ＝12.5， ∴AE ＝50米，在Rt △CFD 中，∠D ＝30°，∴DF ＝tan 30CF ︒＝203米， ∴AD ＝AE +EF +DF ＝50+6+203≈90.6（米）， 答：坝底AD 的长度约为90.6米.22.如图，AD 是等腰△ABC 底边上的高，且AD ＝4，sin B ＝45，若E 是AC 边上的点，且满足AE ：EC ＝2：3，连接DE ，求sin ∠ADE 的值.解答：过点A 作AF ∥BC ，交DE 的延长线于F ，∵AD是等腰△ABC底边上的高，∴BD＝CD，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵sin B＝ADAB ＝45，而AD＝4，∴AB＝5，∴BD＝22AB AD-＝3，∴CD＝BD＝3，∵AF∥CD，∴∠DAF＝90°，△AEF∽△CED，∴AFCD ＝AEEC，即3AF＝23，∴AF＝2，在Rt△DAF中，D F＝22AD AF+＝25，在Rt△DAF中，sin∠ADF＝AFDF ＝25＝5，即sin∠ADE的值为55．23.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A.B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）解答：过点C作CE⊥AB于点E，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE tan60°＝3x；在Rt △BCE 中，BE ＝CE， ∴AE +BE ＝x＝，解得：x ＝100，∴AC ＝cos60AE＝2x ＝200． 在△ACD 中，∠DAC ＝60°，∠ADC ＝75°，则∠ACD ＝45°， 过点D 作DF ⊥AC 于点F ，设AF ＝y ，则DF ＝CF，∴AC ＝y＝200， 解得：y ＝－1)， ∴DF×1)≈126.3海里，∵126.3＞100，所以巡逻船A 沿直线AC 航线，在去营救的途中没有触暗礁危险.。
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沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：23.2 解直角三角形及
其应用（01）
一、选择题（共8小题）
1．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7B．8C．8或17D．7或17
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）
A．B．﹣1C．2﹣D．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）
A．B．C．D．2
5．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）
A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S2
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，cos A＝，tan A＝，则BC的长为（）A．6B．7.5C．8D．12.5
7．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°
8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）
A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，
二、填空题（共10小题）
9．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．
10．BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．
12．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝．
13．请运用你喜欢的方法求tan75°＝．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
15．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为．
16．△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为．
17．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为．
三、解答题（共12小题）
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC 的长．
20．如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD＝42°
（1）求∠CEF的度数；
（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长（结果保留两位小数）．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
21．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°+cos230°＝；①
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°+cos245°＝；②
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°+cos260°＝．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cos A＞0）且sin A＝，求cos A．
22．如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．（结果保留根号）
24．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．
（1）求sin B的值；
（2）如果CD＝，求BE的值．
26．已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠DAB＝90°，∠ACB＝2∠D，AD＝2，AC＝，根据题意画出示意图，并求tan D的值．
27．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长；
②求tan C的值．
28．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C 的值．
29．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tan A＝，求sin B+cos B 的值．
30．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．
沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：23.2 解直角三
角形及其应用（01）
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．D；2．D；3．A；4．C；5．C；6．A；7．D；8．D；
二、填空题（共10小题）
9．4﹣4；10．2或2﹣或；11．；12．6；13．2+；14．24；15．3+；16．2+或2﹣；17．6或2或4；18．4；
三、解答题（共12小题）
19．；20．；21．1；1；1；1；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。