数字的进制和进位
四年级奥数进位制
一、数的进制1．十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”．在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制．比如二进制，八进制，十六进制等． 2．二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20．二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一．注意：对于任意自然数n,我们有n 0=1． 3．k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4．k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数 如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5．k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的．二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:知识框架进位制【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的．【巩固】 852567(((=== ） ） ）；【例 2】 将二进制数2(11010.11)化为十进制数为多少？【巩固】 同学们请将258(11010101),(4203),(7236)化为十进制数，看谁算的又快又准．例题精讲【例 3】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？【巩固】 将二进制数11101001．1011转换为十六进制数．【例 4】 ①222(101)(1011)(11011)⨯-=________；②2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；【巩固】 ①在八进制中，1234456322--=________；②在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．【例 5】 若(1030)140n =，则n =________．【巩固】 在几进制中有413100⨯=？【例 6】有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工．这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付．可是不付又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环．对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付．”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，从不食言，可以请大老爷作证．”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的．这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止．老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？【巩固】现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？【例 7】如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？【巩固】如果允许在天平的两边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？【例 8】 有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个．如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次?【巩固】 一些零件箱，每个零件10g ，每箱600个，共有10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件的箱子都找出来吗？【例 9】 已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N ，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？【巩固】 在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？【例 10】在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的．如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数____________．【巩固】一个自然数，在3进制中的数字和是2007，它在9进制中的数字和最小是，最大是．课堂检测【随练1】某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几? 【随练2】算式153********⨯=是几进制数的乘法？【随练3】茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快满足顾客的需要则为优秀．结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待．原来他把茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶．别的伙计看在眼里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包．奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多．于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256．你能解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？【随练4】 古代英国的一位商人有一个15磅的砝码，由于跌落在地碎成4块，后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至15磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）．那么这4块砝码碎片各重 ， ， ，【作业1】 计算4710(3021)(605)()+= ；【作业2】 在几进制中有12512516324⨯=？【作业3】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次．家庭作业【作业4】 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有80万吨重，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推．愚公和它的子孙每人一生能搬运100吨石头．如果愚公是第1代，那么到了第 代，这座大山可以搬完．（已知10个2连乘之积等于1024）【作业5】 10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为_________克．【作业6】 计算机存储容量的基本单位是字节，用B 表示，一般用KB 、MB 、GB 作为存储容量的单位，它们之间的关系是1012KB B =，1012MB KB =，1012GB MB =．小明新买了一个MP3播放器，存储容量为256MB ，它相当于_____B ．。
数字的进位与退位认识数字的进位和退位规则
数字的进位与退位认识数字的进位和退位规则在我们日常生活中，数字无处不在，我们经常与数字打交道。
数字有各种表达方式，其中进位和退位是我们常常会遇到的问题。
了解数字的进位和退位规则，有助于我们更好地理解数字的运算和表达。
本文将介绍数字的进位和退位认识以及相应的规则。
一、进位的认识和规则进位是指从一个数位向更高位的数位上增加1的操作。
我们通常使用的十进制系统中，数字0到9代表了个位数的10个数值。
当我们在某一位上进位时，即该位的数值达到9时，需要向更高位进1，同时将当前位的数值重置为0。
下面是十进制数进位的规则：1. 个位数（10的0次方）进位：当个位数达到9时，进位到十位数，个位数重置为0。
2. 十位数（10的1次方）进位：当十位数达到9时，进位到百位数，十位数重置为0。
3. 百位数（10的2次方）进位：当百位数达到9时，进位到千位数，百位数重置为0。
4. 按照上述规则，以此类推，当某一位数达到9时，需要进位到更高位，同时当前位重置为0。
二、退位的认识和规则退位是相对于进位而言的。
当某一位数减去1后，如果结果小于0，则需要向更高位借位的操作。
下面是十进制数退位的规则：1. 个位数（10的0次方）退位：当个位数为0时，退位到十位数，个位数重置为9。
2. 十位数（10的1次方）退位：当十位数为0时，退位到百位数，十位数重置为9。
3. 百位数（10的2次方）退位：当百位数为0时，退位到千位数，百位数重置为9。
4. 按照上述规则，以此类推，当某一位数为0时，需要退位到更高位，同时当前位重置为9。
三、进位和退位在运算中的应用进位和退位不仅仅是数字表达过程中的规则，同时也在数学运算中发挥着重要的作用。
下面是进位和退位在加法和减法运算中的应用举例：1. 加法运算中的进位：当两个数位相加大于等于10时，需要向更高位进位，同时将当前位的数值减去10。
例如，计算13+9时，个位数的3和9相加等于12，需要进位到十位数并将个位数重置为2，最终结果为22。
n进制的进位规则
n进制的进位规则一、二进制二进制是计算机科学中最基础的进位制。
它只有两个数字，0和1。
当我们在二进制中进行加法运算时，如果两个数字相加的结果大于等于2，那么就需要产生进位。
进位的规则很简单，当相加结果为2时，将结果的个位数保留，十位数进1。
二、八进制八进制是一种较为常用的进位制，它有八个数字，分别是0至7。
当我们在八进制中进行加法运算时，如果两个数字相加的结果大于等于8，那么就需要产生进位。
进位的规则也比较简单，当相加结果为8时，将结果的个位数保留，十位数进1。
三、十进制十进制是我们平时最常用的进位制，它有十个数字，分别是0至9。
当我们在十进制中进行加法运算时，如果两个数字相加的结果大于等于10，那么就需要产生进位。
进位的规则与二进制、八进制相似，当相加结果为10时，将结果的个位数保留，十位数进1。
四、十六进制十六进制是计算机科学中常用的进位制之一，它有十六个数字，分别是0至9和A至F。
当我们在十六进制中进行加法运算时，如果两个数字相加的结果大于等于16，那么就需要产生进位。
进位的规则与其他进位制相同，当相加结果为16时，将结果的个位数保留，十位数进1。
除了上述常见的进位制外，还有更高进位制的存在，如三十二进制、六十四进制等。
它们的进位规则与前面介绍的进位制类似，只是进位的条件会相应改变。
总结一下，不同进位制下的进位规则基本相同，当相加结果大于等于进位制的基数时，就需要产生进位。
进位的规则是将结果的个位数保留，高位进1。
无论是二进制、八进制、十进制还是十六进制，进位规则都是数学运算中的基础规则，掌握好进位规则对于我们进行数学运算非常重要。
希望通过本文的介绍，读者对不同进位制下的进位规则有更深入的了解，能够在数学运算中灵活运用进位规则，提高计算的准确性和效率。
数字进位制
数字进位制一、十进制（Decimal System）十进制是我们日常生活中最常用的进位制。
它由0-9这10个数字组成。
每一位的权值都是10的幂次方，从右往左依次为10^0、10^1、10^2...以此类推。
在十进制中，数字的数值大小由高位到低位依次递增，方便人们理解和计算。
二、二进制（Binary System）二进制是计算机系统中最基础的进位制。
它只由0和1这两个数字组成。
每一位的权值都是2的幂次方，从右往左依次为2^0、2^1、2^2...以此类推。
二进制中的数值大小由高位到低位递增，与十进制不同的是，每一位只能是0或1，所以运算更加简单高效。
三、八进制（Octal System）八进制是一种较为少见的进位制，它由0-7这8个数字组成。
每一位的权值都是8的幂次方，从右往左依次为8^0、8^1、8^2...以此类推。
八进制在计算机领域中用得较少，但在Unix系统中经常使用，例如文件权限的表示就是用八进制。
四、十六进制（Hexadecimal System）十六进制是计算机系统中常见的进位制之一。
它由0-9和A-F这16个数字组成，其中A-F分别表示10-15。
每一位的权值都是16的幂次方，从右往左依次为16^0、16^1、16^2...以此类推。
十六进制在计算机领域中广泛应用，例如表示颜色、内存地址等。
五、三进制（Ternary System）三进制是一种基于3的进位制。
它由0-2这3个数字组成。
每一位的权值都是3的幂次方，从右往左依次为3^0、3^1、3^2...以此类推。
三进制在现实生活中较少使用，但在某些领域如电子工程中有一定应用，例如存储器中的三值逻辑。
六、五进制（Quinary System）五进制是一种基于5的进位制。
它由0-4这5个数字组成。
每一位的权值都是5的幂次方，从右往左依次为5^0、5^1、5^2...以此类推。
五进制在现实生活中较少使用，但在某些领域如音乐理论中有一定应用，例如五线谱的音符表示就是用五进制。
进制转换基础知识
二进制、十进制、八进制、十六进制的相互转换1、 几个特殊字符的ASCII 码：A ——65、a ——97、0——48，其它依此类推，如B 为66，b 为98等。
2、 十进制的进位法则：逢十进一，用0～9之间的数字表示。
表示方法：(179)10或(179)D 。
二进制的进位法则：逢二进一，用0、1两个数字表示。
表示方法：(101)2或(101)B 八进制的进位法则：逢八进一，用0～7之间的数字表示。
表示方法：(107)8或(107)O十六进制的进位法则：逢十六进一，用0～9、A 、B 、C 、D 、E 、F 表示。
表示：(1A)16或(1A)H 进制的加减法练习： 二进制的加法： （逢二进一原则） 1 1 0 1 1 1 + 1 1 0 11 0 0 0 1 0 0二进制的减法： （借一进二原则） 1 0 0 0 1 0 0 － 1 1 0 11 1 0 1 1 1八进制的加法： （逢八进一原则）7 3 5 5 + 6 2 71 02 0 4八进制的减法： （借一进八原则）1 02 0 4 － 6 2 77 3 5 5十六进制的加法： （逢十六进一原则）C D 0 A + 6 F 7D 40 1十六进制的减法： （借一进十六原则）D 4 0 1 － 6 F 7C D 0 AN 进制的加法原则是逢N 进一；N 进制的减法原则是借一进N 。
各进制之间的数字对照：数据时从下往上读取。
十进制转二进制 十进制转八进制 十进制转十六进制 (125)10=(1111101)2、 (125)10=(175)8、 (125)10=(7D)162 125 …… 1 2 62 …… 0 2 31 …… 1 2 15 …… 1 2 7 …… 1 23 …… 1 2 18 125 …… 5 8 15 …… 7 116 125 (7)4、 小数的十进制转二进制、十进制转八进制、十进制转十六进制的方法：乘以进制取整数部分。
进位的知识点总结
进位的知识点总结一、十进制的进位原理十进制是我们日常生活中最常用的计数方式，它使用10个基本数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9来表示任意的数量。
在十进制中，每当某一位的数字达到9时，就需要进位到更高一位，这是因为十进制的基数是10，超过10的数字需要进位。
例如，当个位上的数字是9时，再加1就需要进位到十位，再来看一个例子，当个位上的数字是7时，再加3也需要进位到十位。
十进制的进位操作是一种非常基本的数学概念，而我们通过十进制这种计数系统来进行日常的计数、计算和表示数字。
二、二进制的进位原理二进制是一种只使用0和1两个基本数字来进行计数的计数系统，它是计算机中最常用的计数方式。
在二进制中，每当某一位的数字达到1时，就需要进位到更高一位，这是因为二进制的基数是2，超过2的数字需要进位。
例如，当个位上的数字是1时，再加1就需要进位到十位，再来看一个例子，当个位上的数字是1时，再加1也需要进位到十位。
二进制的进位操作和十进制类似，只不过它是基于2的计数系统，进位的规则也是一样的。
三、八进制的进位原理八进制是一种使用0到7这8个基本数字来进行计数的计数系统。
在八进制中，每当某一位的数字达到7时，就需要进位到更高一位，这是因为八进制的基数是8，超过8的数字需要进位。
例如，当个位上的数字是7时，再加1就需要进位到十位，再来看一个例子，当个位上的数字是5时，再加3也需要进位到十位。
八进制的进位操作和十进制、二进制类似，只不过它是基于8的计数系统，进位的规则也是一样的。
四、十六进制的进位原理十六进制是一种使用0到9以及A到F这16个基本数字来进行计数的计数系统。
在十六进制中，每当某一位的数字达到F时，就需要进位到更高一位，这是因为十六进制的基数是16，超过16的数字需要进位。
例如，当个位上的数字是F时，再加1就需要进位到十位，再来看一个例子，当个位上的数字是B时，再加5也需要进位到十位。
十六进制的进位操作和十进制、二进制、八进制类似，只不过它是基于16的计数系统，进位的规则也是一样的。
数字的进位与退位掌握数字进位和退位的规则
数字的进位与退位掌握数字进位和退位的规则数字进位和退位是数学中的基本概念，它们在日常生活和各种计算中都起着重要作用。
掌握数字进位和退位的规则对我们正确进行计算和解决问题非常重要。
下面将介绍数字的进位和退位的概念及其规则。
一、数字的进位数字的进位是指在计算或比较中，当某一位的数值达到或超过一定的范围时，它前面一位的数值要增加1的现象。
通常情况下，数字的进位是以十进制为基础进行的。
以十进制为例，当某一位的数值达到9时，就需要进位。
进位后，这一位的数值变为0，而前一位的数值加1。
比如：123 + 9 = 132这里，当个位数字3加上9后，进位到十位，个位变为2，十位加1变为3，最后结果为132。
又如：299 + 6 = 305这里，个位数字9加上6后，进位到十位，个位变为5，十位加1变为3，最后结果为305。
而对于其他进制的计算，如二进制、八进制、十六进制等，也存在进位的情况，其规则与十进制类似。
只需根据不同进制的规则进行相应的进位操作即可。
二、数字的退位数字的退位与进位相反，是指在计算或比较中，当某一位的数值不足或小于一定的范围时，它前面一位的数值要减少1的现象。
同样，退位也是以十进制为基础进行的。
以十进制为例，当某一位的数值为0时，就需要退位。
退位后，这一位的数值变为9，而前一位的数值减1。
比如：132 - 9 = 123在这个例子中，个位数字2减去9后，退位到十位，个位变为3，十位减1变为2，结果为123。
又如：305 - 6 = 299在这个例子中，个位数字5减去6后，退位到十位，个位变为9，十位减1变为2，结果为299。
同样地，对于其他进制的计算，数字的退位也遵循各自进制的规则。
总结：通过以上的介绍，我们可以得出数字的进位和退位的规则：1. 数字的进位：当某一位的数值达到当前进制的最大值时，进位到更高一位，该位数值变为0，更高一位数值加1。
2. 数字的退位：当某一位的数值为0时，退位到更高一位，该位数值变为当前进制的最大值减1，更高一位数值减1。
数字的进位和退位
数字的进位和退位在日常生活中，我们经常会遇到数字的进位和退位。
无论是计算、统计数据、货币计算，还是日常交流中的数字表达，了解数字的进位和退位规则是非常重要的。
本文将详细探讨数字的进位和退位，并且给出实际应用的例子。
一、进位与退位的概念进位和退位是指在数字运算中的一种规则，当某一位上的数字超过规定的进位界限时，就要向更高位进一位或者退位。
进位和退位的具体情况取决于进位界限的设定和运算的规则。
二、十进制进位和退位1. 进位十进制是我们日常使用最广泛的数字系统。
在十进制中，当个位上的数字达到9时，就会进位到十位，十位上的数字再次达到9时，就会进位到百位，以此类推。
例如，当我们进行加法运算时，如果相加的两个数字个位的和超过了9，就需要进位。
例如，将37和49相加：```37+ 49------```首先，个位上的数字7加上9等于16，超过了9，所以我们需要进位，进位到十位上。
然后，十位上的数字3加上4再加上进位的1，等于8。
最终，结果为86。
类似地，在减法和乘法运算中，当某一位上的被减数或乘数不够减或不够乘时，需要向高位借位或进位。
2. 退位退位与进位相反，当某一位上的数字不足时，需要从高位借位或退位。
在十进制中，只有在个位上的数字是0时，才需要退位。
十位上的数字是0时，需要退位到个位，百位上的数字是0时，需要退位到十位，以此类推。
例如，当我们进行减法运算时，如果被减数小于减数，就需要退位。
例如，计算58减去79：```58- 79------```首先，个位上的数字8小于9，我们需要向高位退位。
然后，十位上的数字5减去7再减去退位的1，等于-3。
最终，结果为-21。
同样地，在加法和乘法运算中，如果某一位上的数字不足以进行加法或乘法运算，就需要退位或借位。
三、其他进位制和退位制除了十进制，还存在其他进位制和退位制，例如二进制、八进制、十六进制等。
这些进位制和退位制中，进位和退位的规则与十进制有所不同。
1. 二进制进位和退位二进制是计算机系统中广泛使用的数字系统。
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数字的进制和进位
数字的进制是指数码系统中所采用的基数，常见的进制有十进制、
二进制、八进制和十六进制等。
进位是指在进行数值计算或表示时，
某一位的数值达到进制基数时，将进到更高一位，这是数学计算中常
见的规则之一。
一、十进制
十进制是我们日常生活中最常用的数字进制。
十进制采用十个数字
0-9，并且每一位的权值为10的n次方。
比如，数值613表示6个一百、1个十和3个个位数。
二、二进制
二进制是计算机中最基础、最常见的数字进制。
二进制采用两个数
字0和1，并且每一位的权值为2的n次方。
比如，数值1101表示1
个八、1个四、0个二和1个个位数，其转化为十进制为13。
在二进制中，计算机的通信与储存是通过电的开和关来实现，因此
使用二进制可以更直接地表示和处理数字。
三、八进制
八进制是一种较少使用的数字进制。
八进制采用八个数字0-7，并
且每一位的权值为8的n次方。
比如，数值247表示2个八十和7个个位数，其转化为十进制为167。
八进制常用于Unix和Linux系统中的权限设置，每个权限位可以用三位的八进制数表示。
四、十六进制
十六进制是一种常见的数字进制，特别是在计算机领域。
十六进制采用16个数字0-9和A-F，其中A代表10，B代表11，依此类推。
每一位的权值为16的n次方。
比如，数值3F2表示3个2的十六次方、15个1的一次方和2个个位数，其转化为十进制为1010。
十六进制在计算机中常用于表示内存地址、颜色等信息，可以提供更紧凑的表达方式。
五、进制转换
在不同进制之间进行转换是我们在计算和程序设计中经常面对的问题。
下面举例说明如何进行进制转换：
1. 十进制转二进制：通过不断除2取余，最后反向排列所得的余数即为二进制表示。
例如，将十进制数45转换为二进制，步骤如下：
45 ÷ 2 = 22 余 1
22 ÷ 2 = 11 余 0
11 ÷ 2 = 5 余 1
5 ÷ 2 = 2 余 1
2 ÷ 2 = 1 余 0
1 ÷
2 = 0 余 1
所以，45的二进制表示为101101。
2. 二进制转十进制：将二进制数每一位按权展开并相加，即可得到
其十进制表示。
例如，将二进制数11001转换为十进制，步骤如下：
1 × 2^4 + 1 × 2^3 + 0 × 2^
2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25
所以，11001的十进制表示为25。
类似地，八进制和十六进制转换也可以通过类似的方法进行。
六、进位
进位是指在进行数值计算和表示时，某一位的数值达到进制基数时，将进到更高一位。
进位在数学和计算机科学中起着重要的作用。
在十进制中，进位通常是指个位数达到10，需要进到十位数。
而在二进制中，进位通常是指个位数达到2，需要进到十位数。
七、结语
数字的进制和进位是数字领域中重要的概念。
不同进制的选择和灵
活的进位规则使得数字能够用更有效和可读的方式进行表示和处理。
深入理解数字的进制和进位原理对于数字计算和程序设计等领域的学
习和应用具有重要意义。