课件 二次函数与一元二次方程
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二次函数与一元二次方程_课件
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＜0 △=0
△＞0
求抛物线与坐标轴的交点 如何求抛物线与坐标轴的交点？ 如何确定抛物线与x轴的交点个数？
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第二步：取平均数 取2和3的平均数2.5， 当x=2.5，y=-0.75<0． 那根是在2与2.5之间， 还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第三步：取异号缩小范围 一定得让相应的y值异号， 这样才能保证抛物线穿过x轴， 即根在该范围之间． 当x=2.5时，y<0， 当x=2时，y<0， 当x=3时，y>0， 所以根是在2.5与3之间
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考 （4）球从飞出到落地要用多少时间? 解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ， 即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第四步：再取平均数 取2.5和3的平均数2.75， 当x=2.75，y=0.0625 > 0． 第五步：再取异号 所以根是在2.5与2.75之间
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
《二次函数与一元二次方程的关系》PPT课件
要化成 一般式
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课堂小结
1.二次函数y=ax2+bx+c与X轴交点个数的确定
2. 二次函数与一元二次方程的关系
数
y=ax2+bx+c
ax2+bx+c=k 形
与直线 y=k
y取定值k
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
y
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－2）
x
因为 点M( 0,2 )在抛物线上
o
所以：a(0+1)(0-2)=2 得 ： a=-1
故所求的抛物线为 y=- (x＋1)(x-2) 即：y=－x2+x+2
九年级数学(上)第30章 二次函数
二次函数与一元二次方程的关系
复习提问
1、 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = b2-4a。c
有两个不等实数根
方程根的情况是：当△﹥0 时方程
；
当△=0时，方程 有两个相等实数根 ； 当△﹤0时，方程 没有实数根 。
2 、 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像
y=x2+2x与 x轴交点 令
y=0 x2+2x=0方程的根是
(-2,0) (0,0） X1 =-2 X2 =0
y=x2-6x+8与x轴交点是 （2, 0）（4,0 ）
《二次函数与一元二次方程》(上课)课件PPT1
有两个交点:
有两个不相等的 实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
学习目标(1分钟)
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根.
2.能利用图象确定方程的根和不等式的解集。
还可以解一元二自次学方指导一(3分钟) 思程考求：近由似图值象如何估计一元二次方程x2 +2x-10=0的根？ 由图象知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2 和3之间. (1)先求-5和-4之间的根.
(2)经过_1_0_s ，炮弹落在地上爆炸．
3.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数 y=ax2+bx+c与直线__y_=_h___交点的__横__坐标.
变式：（2019春•天心区校级期中）函数y=ax²+bx+c 的图象 如图所示，那么关于一元二次方程ax²+bx+c-2=0的根的情况
对应值：
x
1
1.1 1.2 1.3 1.4
y
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x²+3x-5=0的一个近似根是( C )
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)
与飞行时间x(s)的关系满足:y=-x2＋10x． (1)经过_5___s，炮弹达到最高点，最高点的高度是_2_5_m．
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此x=-4.3是方程的一用个图近象似法根求一元二次 (2)另一个根可以类似的方求程出的：近似根时，结 x 2.1 2.2 2.3 果只2.取4到十分位
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件
情境引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的
横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？
由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
（2）y=x2-6x+9
（3）y=x2-x+1
两
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，
-2,1
它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐
第二十二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。
t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，
t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
第04课二次函数与一元二次方程不等式(课件)
| 综上，当 a>2 或 a<－2 时，原不等式的解集为 x
a－ a2－4≤x≤a＋ a2－4
2
2
；当 a＝2 时，原不等式的解集为{1}；当
a＝－2 时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<2 时，原不等式的解集为∅. 【反思】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数．
＝－1－t2. 4
③当 t ≤－1，即 2
t≤－2
时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以
f(x)min＝f(－1)＝t.
t，t≤－2，
综上，g(t)＝ －1－t2，－2＜t＜4， 4 3－2t，t≥4.
【反思】闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
解得－2<a<2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]．
【反思】恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分 离参数求最值或分类讨论．
一、【考点逐点突破】
故选 C.
【反思】注意二次项的系数是正还是负.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法
【典例】解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法 【解析】由题意知，Δ＝a2－4，①当 a2－4>0，即 a>2 或 a<－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a2－4，
二次函数与一元二次方程及不等式(课件)
记忆口诀： (前提a>0). 大于取两边，小于取中间
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
随堂检测
(1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}.
(2) x2-3x+4≥0的解集是
R
.
(3) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2 } .
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
y
x1 x2
y
x
x1(x2) x
y x
⊿=b2-4ac
⊿>0
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2}
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
⊿=0 有两个 相等实 根x1=x2
高考见真章
（2014 课标卷理 2）设集合M={x∣x2-3x-4<0} ，N={x∣0≤x<5} ，则M∩N=（B ）.
A． (0,4] B． [0,4) C．[-1,0) D．(-1,0]
（2015 课标卷理 1）已知集合A={-2，-1,0,1,2} ，B={x∣（x-1）（x+2）<0} ，则
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
感谢各位聆听
The best preparation for tomorrow is doing your best today.
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
随堂检测
(1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}.
(2) x2-3x+4≥0的解集是
R
.
(3) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2 } .
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
y
x1 x2
y
x
x1(x2) x
y x
⊿=b2-4ac
⊿>0
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2}
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
⊿=0 有两个 相等实 根x1=x2
高考见真章
（2014 课标卷理 2）设集合M={x∣x2-3x-4<0} ，N={x∣0≤x<5} ，则M∩N=（B ）.
A． (0,4] B． [0,4) C．[-1,0) D．(-1,0]
（2015 课标卷理 1）已知集合A={-2，-1,0,1,2} ，B={x∣（x-1）（x+2）<0} ，则
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人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优秀课件
函数
与一元二次方程
人教版九年级上册数学
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。
当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0
ax²+ bx + c = 0
这是什么方程？ 一元二次方程与二次函数 有什么关系？
上一章中我们学习了“一元二次方程”
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
y
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的 飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
探究
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
3
o
x 1 =－ ，x 2 = 1
x
2
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
2.8二次函数与一元二次方程上课课件
1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
2.二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关 系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
5
6
1.已知竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关 系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的 高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动 时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？ 解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流.
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
当堂训练
九年级数学(下)第二章 二次函数
8. 二次函数与一元二次方程
学习目标：
1.会根据二次函数的图象和 横轴交点的个数判别一元二 次方程的根的情况 2.理解一元二次方程的根就 是二次函数与x轴交点的横坐 标。
自学指导：
1.完成课本70页的两个问题。 2.完成课本71页的议一议。 3.二次函数的图象与x轴的交点有几种 情况？即y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有 什么关系？
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
2.二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关 系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
5
6
1.已知竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关 系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的 高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动 时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？ 解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流.
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
当堂训练
九年级数学(下)第二章 二次函数
8. 二次函数与一元二次方程
学习目标：
1.会根据二次函数的图象和 横轴交点的个数判别一元二 次方程的根的情况 2.理解一元二次方程的根就 是二次函数与x轴交点的横坐 标。
自学指导：
1.完成课本70页的两个问题。 2.完成课本71页的议一议。 3.二次函数的图象与x轴的交点有几种 情况？即y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有 什么关系？