最短路径算法及应用
图论中的最短路径算法及其应用
在图论中，最短路径是指在一个给定的加权有向图或无向图中，两个顶点之间连接的最小权值总和的路径。
最短路径问题是图论中常见且重要的问题，而最短路径算法则是解决这类问题的关键。
最短路径算法有多种，其中最经典且常用的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
这些算法都有各自的特点和适用范围，下面将逐一介绍。
首先是Dijkstra算法。
Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，用于计算从单个源点到图中所有其他顶点的最短路径。
算法的基本思想是通过逐步更新起始点到其他各点的最短路径，直到找到所有最短路径为止。
该算法对边的权值没有要求，可以是正值也可以是零或负值，但不能存在负权回路。
因此，Dijkstra算法适用于求解正边权的最短路径问题。
其次是Bellman-Ford算法。
Bellman-Ford算法也是一种单源最短路径算法，与Dijkstra算法相比，Bellman-Ford算法对边的权值没有任何限制，可以存在负权边和负权回路。
算法的基本思想是通过逐步松弛边来更新起始点到其他各点的最短路径，直到找到所有最短路径为止。
但由于负权回路的存在，算法可能会无限循环下去，因此需要通过限制循环次数来避免算法陷入死循环。
最后是Floyd-Warshall算法。
Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，用于计算图中任意两个顶点之间的最短路径。
算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐步更新任意两个顶点之间的最短路径长度。
与Dijkstra算法和Bellman-Ford算法不同的是，Floyd-Warshall算法对边的权值也没有要求，可以是正值、零值或负值。
但该算法的时间复杂度较高，适用于图中顶点较少的情况。
这些最短路径算法在实际应用中有各自的优势和应用场景。
比如，Dijkstra算法常用于网络路由设计、GPS导航系统等需要求解单源最短路径的问题。
Bellman-Ford算法常用于检测负权回路、寻找图中的负环等。
最短路径算法及其应用
湖北大学本科毕业论文（设计）题目最短路径算法及其应用姓名学号专业年级指导教师职称2011年 4月 20 日目录绪论 (1)1 图的基本概念 (1)1.1 图的相关定义 (1)1.2 图的存储结构 (2)1.2.1 邻接矩阵的表示 (2)1.2.2 邻接矩阵的相关结论 (3)2 最短路径问题 (3)2.1 最短路径 (4)2.2 最短路径算法 (4)2.2.1Dijkstra算法 (4)2.2.2Floyd算法 (5)3 应用举例 (5)3.1 Dijkstra算法在公交网络中的应用 (5)3.1.1 实际问题描述 (5)3.1.2 数学模型建立 (5)3.1.3 实际问题抽象化 (6)3.1.4 算法应用 (6)3.2 Floyd算法在物流中心选址的应用 (7)3.2.1 问题描述与数学建模 (7)3.2.2 实际问题抽象化 (7)3.2.3 算法应用 (8)参考文献 (10)附录 (11)最短路径算法及其应用摘要最短路径算法的研究是计算机科学研究的热门话题，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实用价值。
最短路径问题有广泛的应用，比如在交通运输系统、应急救助系统、电子导航系统等研究领域。
最短路径问题又可以引申为最快路径问题、最低费用问题等，但它们的核心算法都是最短路径算法。
经典的最短路径算法——Dijkstra和Floyd算法是目前最短路径问题采用的理论基础。
本文主要对Dijkstra和Floyd算法进行阐述和分析，然后运用这两个算法解决两个简单的实际问题。
【关键字】最短路径 Dijkstra算法 Floyd算法图论Shortest path algorithms and their applicationsAbstractThe research about the shortest path is a hot issue in computer science. It has both important theoretical significance and important utility value. The shortest path problem has broad application area, such as transport system, rescue system, electronic navigation system and so on. The shortest path problem can be extended to the problem of the fastest path problem and the minimum cost problem. But their core algorithms are all both the shortest path algorithms. The classical algorithms for the shortest path——Dijkstra and Floyd are the theoretical basis for solving the problems of the shortest path. The article mainly through the demonstration and analysis of the Dijkstra and Floyd algorithms, then use the algorithms to solve the two simple practical problems.【keywords】shortest path Dijkstra algorithm Floyd algorithm graph绪论随着知识经济的到来，信息将成为人类社会财富的源泉，网络技术的飞速发展与广泛应用带动了全社会对信息技术的需求，最短路径问题作为许多领域中选择最优问题的基础，在电子导航，交通旅游，城市规划以及电力，通讯等各种管网，管线的布局设计中占有重要的地位。
最短路径算法在网络路由中的应用
最短路径算法在网络路由中的应用网络路由是指在计算机网络中，确定从源节点到目标节点的最优路径的过程。
在网络通信中，如何快速准确地选择最短路径显得尤为重要。
最短路径算法作为一种重要的数学工具，被广泛应用于网络路由中。
本文将介绍最短路径算法在网络路由中的应用。
一、最短路径算法概述最短路径算法，顾名思义，是一种用于计算图中从起点到终点的最短路径的算法。
在网络路由中，图的顶点代表网络节点，图的边代表网络链接，边的权重代表路径的距离或成本。
最短路径算法通过计算路径的距离或成本，来选择出从源节点到目标节点的最优路径。
二、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种常用的最短路径算法。
该算法以源节点为起点，逐渐扩展路径，直到找到目标节点的最短路径。
Dijkstra算法使用一个优先队列来存储尚未访问的节点，并通过不断更新节点的距离值来选择最短路径。
该算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V为节点数量，E为边数量。
Dijkstra算法在网络路由中的应用广泛。
路由器通过使用Dijkstra算法，能够快速计算出从本地节点到目标节点的最短路径，并将数据包发送至该路径上的下一跳节点。
该算法能够保证网络通信的快速与高效。
三、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。
与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法能够处理存在负权边的图。
该算法通过迭代求解节点之间的最短路径，直到收敛为止。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点数量，E为边数量。
在网络路由中，Bellman-Ford算法常被用于处理含有负权边的情况。
在某些网络拓扑中，节点之间的链接可能会出现故障或拥塞，导致路径的距离值发生变化。
Bellman-Ford算法能够准确计算出最短路径，帮助网络路由器调整数据包的传输路径，维持网络通信的稳定性。
四、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种全局最短路径算法，能够计算图中任意两个节点之间的最短路径。
计算机网络之路由算法：最短路径法则,提升路由效率!
计算机网络之路由算法：最短路径法则,提升路由效率!计算机网络之路由算法：最短路径法则，提升路由效率1. 概述计算机网络中的路由算法是实现网络数据包传输的重要组成部分。
最短路径法则是一种常用的路由算法，它通过选择最短的路径来提高路由效率。
本文将介绍最短路径法则的原理和应用。
2. 最短路径法则的原理最短路径法则的基本原理是通过计算各个节点之间的距离，选取距离最短的路径作为数据包传输的路径。
常用的最短路径计算算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是一种常用的单源最短路径算法，它通过不断选择当前距离起点最近的节点，逐步更新节点的距离值，直到找到起点到目标节点的最短路径。
该算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为网络中节点的数量。
Bellman-Ford算法是一种能够处理带有负权边的图的最短路径算法，它通过不断松弛边的权值来计算最短路径。
该算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为网络中节点的数量，E为网络中边的数量。
3. 最短路径法则的应用最短路径法则广泛应用于计算机网络中的路由选择和网络优化等方面。
通过选取最短路径，可以提高数据包传输的效率和速度，减少网络拥塞等问题。
在实际应用中，最短路径法则可以通过路由器和交换机等网络设备的配置来实现。
通过配置路由表和控制数据包的流向，可以实现数据包按照最短路径进行传输。
4. 总结最短路径法则是一种提高路由效率的常用算法，在计算机网络中具有广泛的应用。
通过选取最短路径，可以实现数据包的快速传输，并减少网络拥塞等问题。
不同的最短路径计算算法适用于不同的场景，选择适合的算法可以提升路由效率。
该文档提供了最短路径法则的概述、原理和应用，帮助读者理解和应用最短路径算法。
通过合理的路由算法选择和配置，可以优化网络性能，提高数据传输效率。
---*注意：本文档仅提供概述和基本原理，具体网络配置和算法细节需根据实际情况进行进一步研究和探索。
*。
dijkstra最短路径 应用案例
Dijkstra算法是一种用于解决图的单源最短路径问题的算法，由荷兰计算机科学家埃德斯格·迪克斯特拉提出。
该算法被广泛应用于网络路由算法、城市交通规划、通信网络等领域。
本文将从几个具体的案例出发，介绍Dijkstra最短路径算法的应用。
一、网络路由算法在现代计算机网络中，Dijkstra算法被应用于路由器之间的数据传输。
路由器之间通过Dijkstra算法计算出最短路径，以确保数据包能以最短的路径传输，从而提高网络的传输效率和稳定性。
假设有一个由多个路由器组成的网络，每个路由器之间存在多条连接线路，而每条线路都有一个权重值，代表数据传输的成本。
当一个路由器需要发送数据时，Dijkstra算法可以帮助它找到到达目的地最短且成本最小的路径。
这样，网络中的数据传输就能以最高效的方式进行，从而提升了整个网络的性能。
二、城市交通规划Dijkstra算法也被广泛应用于城市交通规划领域。
在城市交通规划中，人们通常需要找到最短路径以及最快到达目的地的方法，而Dijkstra算法正是能够满足这一需求的算法之一。
假设某城市有多条道路，每条道路都有不同的行驶时间。
当一个人需要从城市的某个地点出发到达另一个地点时，可以利用Dijkstra算法计算出最短行驶时间的路径。
这样，城市交通规划部门就可以根据这些信息对城市的交通流量进行合理分配和调度，提高城市交通的效率。
三、通信网络另一个Dijkstra算法的应用案例是在通信网络中。
通信网络通常是由多个节点和连接这些节点的线路组成的。
而节点之间的通信是通过传送数据包来实现的。
在这种情况下，Dijkstra算法可以帮助确定数据包传输的最短路径，以提高通信网络的效率和稳定性。
在一个由多个节点组成的通信网络中，当一个节点需要向另一个节点发送数据时，Dijkstra算法可以帮助确定最短路径，从而确保数据包能够以最短的路径传输到目的地。
这样一来，通信网络就能够更加稳定地进行数据传输，提高了通信网络的效率。
八年级上册最短路径知识点
八年级上册最短路径知识点在学习数学中，最短路径是一个重要的概念。
在八年级上册中，我们会学习到最短路径的相关知识。
本文将系统地介绍最短路径的概念、算法和应用。
1、最短路径的概念最短路径是指从一个起点到达一个目标点的路径中，使得路径上的边权值之和最小的路径。
在最短路径的计算中，边权值常常代表距离或花费等。
最短路径可以用图表示，通常被称为权重图。
在权重图中，每个节点代表一个地点，每条边代表两个地点之间的路径。
边上的权重可以是任何非负实数。
2、最短路径算法在计算最短路径时，存在多种算法可供选择。
以下是几种较常见的最短路径算法：A、Dijkstra算法：Dijkstra算法通过计算起点到其他点的最短路径，找到整个图的最短路径。
该算法适用于边权值为非负数的图。
B、Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法通过对边进行松弛操作，多次更新起始点到其他点的最短路。
该算法适用于边权值非负的图。
C、Floyd算法：Floyd算法通过迭代计算任意两点之间的距离来找到最短路径。
该算法适用于边权值可以是任何实数的图。
3、最短路径的应用最短路径的应用十分广泛，以下是几个实际应用场景的例子：A、导航：最短路径可用于帮助我们规划驾车或步行路线。
例如，谷歌地图利用最短路径算法帮助用户寻找最合适的路线。
B、运输：最短路径可用于计算货车或船只的最佳路线。
例如，国家邮政公司使用最短路径算法优化邮递路线。
C、电器布线：最短路径可帮助我们规划电气线路。
例如，一个高层建筑物中，我们需要通过最短路径算法来找到电路的最佳路径。
D、金融：最短路径可用于计算银行间的最佳借贷路线。
例如，银行可以使用最短路径算法来计算最优的借贷方案。
4、总结最短路径是一个十分有用的数学概念，可以应用于各个领域。
在八年级上册，我们学习了最短路径的定义、计算方法和应用场景。
希望本文能够帮助大家更好地理解最短路径的相关知识。
最短路径算法及应用
最短路径算法及应用最短路径算法通常基于图的表示，其中图由节点和边组成。
每个节点代表一个位置，每条边代表两个位置之间的连通关系。
每条边都有一个权重，表示该路径的长度、成本或时间等。
最短路径算法的目标是找到从起始节点到目标节点的最短路径，使得路径上所有边的权重之和最小。
最短路径算法有多种实现方法，包括迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法和A*算法等。
迪杰斯特拉算法是一种广泛使用的算法，它适用于无负权边的图。
该算法通过维护一个候选集合，逐步选择离起始节点最近的节点，并更新与其相邻节点的最短路径。
该过程重复直到找到到目标节点的最短路径。
另一种常见的最短路径算法是贝尔曼-福特算法，该算法适用于存在负权边的图。
它通过反复迭代图的所有边来不断更新每个节点的最短路径估计值。
该算法的一个特点是，它可以处理存在负权环的图，并且可以检测到这种情况。
A*算法是一种常用于路径规划的启发式算法。
它根据每个节点的预估成本（通常使用启发函数）来选择下一个要探索的节点。
该算法通过评估每个节点的实际距离加上启发式函数的估计距离，来选择最有希望导致最短路径的节点。
1.路径规划：最短路径算法可以被用于规划最短的路径，以避开交通拥堵，节约时间和成本。
2.交通网络优化：最短路径算法可以用于优化交通网络，找到使整个网络中车辆流量最小的路径。
3.通信网络路由：在通信网络中，最短路径算法可以被用于确定数据包传输的最短路径，以最大程度地减少延迟和拥塞。
4.GPS导航：GPS导航系统使用最短路径算法来计算最短和最快的路径，以引导驾驶员到目的地。
5.配送服务：在配送服务领域，最短路径算法可以被用于确定最佳的交付序列，以减少总运输时间和成本。
6.网页排名：在引擎中，最短路径算法可以被用于计算网页之间的关联程度，以确定网页的排名和结果排序。
总而言之，最短路径算法是图论中重要的算法之一，被广泛应用于各种领域。
通过找到最短路径，这些算法可以帮助我们节约时间、成本和资源，并优化各种系统的性能。
矩阵最短路径算法
矩阵最短路径算法矩阵最短路径算法是一种用于求解矩阵中最短路径的常见算法。
它可以应用于多个领域，例如网络路由、图像处理、路径规划等。
本文将介绍矩阵最短路径算法的原理、应用场景以及具体实现方法。
一、算法原理矩阵最短路径算法的核心思想是通过动态规划的方式，逐步计算出从起点到终点的最短路径。
算法采用一个二维矩阵来表示路径的权重，其中每个元素代表从起点到当前位置的最短路径的权重。
通过迭代更新矩阵中的元素，最终得到起点到终点的最短路径。
具体实现过程如下：1. 创建一个与原始矩阵相同大小的二维矩阵，用于存储最短路径的权重。
2. 初始化起点位置的权重为0，其他位置的权重为无穷大。
3. 从起点出发，逐步更新矩阵中的元素，直到到达终点位置。
4. 对于每个位置，计算从起点到达该位置的路径权重。
路径权重等于上方、左方、右方、下方位置的最小路径权重加上当前位置的权重。
5. 更新矩阵中当前位置的权重为计算得到的最小路径权重。
6. 重复步骤4和步骤5，直到到达终点位置。
7. 最终得到的矩阵中，终点位置的权重即为起点到终点的最短路径权重。
二、应用场景矩阵最短路径算法在实际应用中具有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：1. 网络路由：在计算机网络中，路由器需要选择一条最短路径来转发数据包。
矩阵最短路径算法可以帮助路由器计算出最短路径，从而实现高效的数据传输。
2. 图像处理：在图像处理中，常常需要对图像中的某些特定区域进行处理。
例如，对于一张包含多个物体的图像，我们可以使用矩阵最短路径算法来计算出从图像中的某个位置到达目标物体的最短路径，从而实现目标物体的定位和处理。
3. 路径规划：在导航系统中，我们需要找到一条最短路径来指引用户从起点到达目的地。
矩阵最短路径算法可以帮助导航系统计算出最短路径，并提供给用户最优的行驶路线。
三、实现方法矩阵最短路径算法可以使用多种编程语言来实现。
以下是一种常见的实现方法：1. 创建一个与原始矩阵相同大小的二维矩阵，用于存储最短路径的权重。
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最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。
如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。
那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。
在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。
在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。
最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。
一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。
首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。
例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。
Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。
执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。
在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。
例1中，s=1。
因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。
这时，v1是具P标号的点。
现在考察从v1发出的三条弧，(v1, v2), (v1, v3)和(v1, v4)。
如果某人从v1出发沿(v1, v2)到达v2，这时需要d(v1, v1)+w12=6单位的费用；如果他从v1出发沿(v1, v3)到达v3，这时需要d(v1, v1)+w13=3单位的费用；类似地，若沿(v1, v4)到达v4，这时需要d(v1, v1)+w14=1单位的费用。
因为min{ d(v1, v1)+w12，d(v1, v1)+w13，d(v1, v1)+w14}= d(v1, v1)+w14=1，可以断言，他从v1到v4所需要的最小费用必定是1单位，即从v1到v4的最短路是(v1, v4)，d(v1, v4)=1。
这是因为从v1到v4的任一条路P，如果不是(v1, v4)，则必是先从v1沿(v1, v2)到达v2，或者沿(v1, v3)到达v3。
但如上所说，这时他已需要6单位或3单位的费用，不管他如何再从v2或从v3到达v4，所需要的总费用都不会比1小(因为所有wij≥0)。
因而推知d(v1, v4)=1，这样就可以使v4变成具P标号的点。
现在考察从v1及v4指向其余点的弧，由上已知，从v1出发，分别沿(v1, v2)、(v1, v3)到达v2, v3，需要的费用分别为6与3，而从v4出发沿(v4, v6)到达v6所需的费用是d(v1, v4)+w46=1+10=11单位。
因min{ d(v1, v1)+w12，d(v1, v1)+w13，d(v1, v4)+w46}= d(v1, v1)+w13=3。
基于同样的理由可以断言，从v1到v3的最短路是(v1, v3)，d(v1, v3)=3。
这样又可以使点v3变成具P 标号的点，如此重复这个过程，可以求出从v1到任一点的最短路。
在下述的Dijstra方法具体步骤中，用P，T分别表示某个点的P标号、T标号，si表示第i步时，具P标号点的集合。
为了在求出从vs到各点的距离的同时，也求出从Vs到各点的最短路，给每个点v以一个λ值，算法终止时λ(v)=m，表示在Vs到v的最短路上，v的前一个点是Vm；如果λ(v)=∞，表示图G中不含从Vs到v的路；λ(Vs)=0。
Dijstra方法的具体步骤：{初始化}i=0S0={Vs}，P(Vs)=0 λ(Vs)=0对每一个v<>Vs，令T(v)=+ ∞，λ(v)=+ ∞，k=s{开始}①如果Si=V，算法终止，这时，每个v∈S i，d(Vs,v)=P(v)；否则转入②②考察每个使(Vk,vj)∈E且vj Si的点vj。
如果T(vj)>P(vk)+wkj，则把T(vj)修改为P(vk)+wkj，把λ(vj)修改为k。
③令如果，则把的标号变为P标号，令，k=ji，i=i+1，转①，否则终止，这时对每一个v∈Si，d(vs,v)=P(v)，而对每一个。
算法实现：1、数据结构＊用邻接矩阵表示图G＊用一维数组D[I]存放从源点到I点的最短路径长度或其上界。
（上面算法中的P 标号与T标号实际上存放着源点到某点的最短路径长度或其上界，因此我们可以统一用D 数组来表示）。
＊用一维数组P，其中P[I]记录到I点的最短路径中前一个顶点的序号。
{$R+}2、源程序（二）Bellman-Ford算法在单源最短路径问题的某些实例中，可能存在权为负的边。
如果图G＝（V，E）不包含从源s可达的负权回路，则对所有v∈V，最短路径的权定义d(s,v)依然正确，即使它是一个负值也是如此。
但如果存在一从s可达的负回路，最短路径的权的定义就不能成立。
S到该回路上的结点就不存在最短路径。
当有向图中出现负权时，则Dijkstra算法失效。
当不存在源s可达的负回路时，我们可用Bellman-Ford算法实现。
下面我们介绍有向图中，存在具有负权的弧时，求最短路的方法。
为了方便起见，不妨设从任一点vi到任一点vj都有一条弧（如果在Gk ,(vi,vj)不存在，则添加(vi,vj)且令wij=+∝）。
显然，从vs到vj的最短路总是从vs出发，沿着一条路到某个点vi，再沿(vi,vj)到vj的（这里vi可以是vs本身），由本章开始时介绍的一个结论可知，从vs到vi的这条路必定是从vs到vi的最短路，所以d(vs,vi)必满足如下方程：为了求得这个方程的解（这里P为图G中的顶点数目），可用如下递推公式：开始时，令对t=2,3,...,若进行到某一步，例如第k步时，对所有j=1,2,...,p,有：则即为vs到各点的最短路的权。
不难证明：（1）如果G是不含回路的赋权有向图，那么，从vs到任一个点的最短路必可取为初等路，从而最多包含P－2个中间点；（2）上述递推公式中的是在至多包含t-1个中间点的限制条件下，从vs 到vj的最短路的权。
由（1）（2）可知：当G中不含负回路时，上述算法最多经过p-1次迭代必定收敛，即对所有的j=1,2,...,P,均有，从而求出从vs到各个顶点的最短路的权。
如果经过p-1次迭代，存在某个j，使，则说明G中包含有负回路。
显然，这时从vs到vj的路是没有下界的。
根据以上分析，Bellman-Ford算法可描述为：算法实现1、数据结构（同Dijkstra算法，略）2、源程序（三）有向无回路图中的单源最短路径若图G是一个无回路有向图，求图G的单源最短路径问题可以在O(V+E)时间内计算出单源最短路径。
在有向无回路图中最短路径总是存在的，这是因为即使图中有权为负的边，也不可能存在权为负的回路。
算法开始时先对有向无回路图进行拓朴排序，以便获得结点的线性序列。
如果从结点u 到结点v存在一通路，则在拓扑序列中u先于v。
在拓扑排序过程中我们仅对结点执行一趟操作。
当对每个结点进行处理时，从该结点出发的所有边也被松驰。
算法描述如下：二、每对结点间的最短路径我们要讨论找出图中每对结点间最短路径问题。
这个问题在实践中常常会出现。
例如，对一公路图，要造表说明其上的每对城市间的距离时就可能出现这种问题。
对于有向图G（V，E，W），要求每对结点间的最短路径，我们可以把单源最短路径算法运行｜V｜次来解决，每次依序把图中的每个结点作为源点。
如果所有边的权为非负，可以采用Dijkstra算法，算法的运行时间为O（V3）；如果允许有负权边的存在，我们必须对每个结点运行一次速度较慢的Bellman-Ford算法，其中运行时间为O（V2E），对稠密图则为O（V4）。
下面我们介绍一种动态程序设计方案来解决可以存在负权边但无负回路的有向图G＝（V，E），每对结点间的最短路径问题，所产生的算法称为Floyd-Warshall算法，其运行时间为O（V3）。
（一）最短路径的结构在Floyd-Warshall算法中，考察的是一条最短路径上的"中间"结点，其中某条简单路径P=<V1,V2,...,Vj>的中间结点是P中除V1和Vj以外的任何结点，即任何属于集合｛V2,V3...,Vj－1｝的结点。
该算法主要基于下列观察。
设G的结点为V＝｛1,2,...,n｝，并对某个k考察其结点子集｛1,2，...,k｝。
对任意一对结点i,j∈V，考察从i到j且其中间结点皆属于集合｛1,2，...,k｝的所有路径，设P是其中一条最小权路径（因为我们假定G中不包含负权回路，所以P是简单路径）。
Floyd-Warshall算法利用了路径P与从i到j间的最短路径（所有中间结点皆属于集合｛1,2，...,k-1｝之间的联系。
这一联系取决于k是否是路径p的一个中间结点。
如果k是路径p的中间结点，由如下图所示，我们把p分解为p1（i k）,p2（k j）。
由前面可知，p1是从i到k的一条最短路径，且其所有中间结构均属于集合｛1,2，...,k｝。
事实上，结点k不是路径p1的中间结点，所以p1是从i到k的一条最短路径，且满足所有中间结点均属于｛1,2，...,k-1｝。
类似地，p2是从k到j的一条最短路径，且其中间结点皆属于集合｛1,2，...,k-1｝。
（二）解决每对结点间最短路径问题的一种递归方案基于上述观察，我们将给出定义最短路径估计的一个递归公式。
设为从结点i到结点j且满足所有中间均属于集合｛1,2，...,k｝的一条最短路径的权。
当k=0时，从结点i到结点j的路径中根本不存在中间结点，因此它至多包含一条边，则有，递归定义由下式给出：矩阵给出了最后解，对所有的i,j∈V成立――因为其所有中间点皆属于｛1,2，...,n｝。
（三）自底向上计算最短路径的权基于以上给出的递归定义，我们可以运用下面自底向上过程按k值的递增顺序计算。
过程的输入是n*n的矩阵W。
其返回值关于最短路径的权的矩阵。