层次分析法AHP
层次分析法
一、层次分析法简介
美国运筹学家Saaty于20世纪70年代初提出了著名的层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP)。
层次分析法是将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
该方法具有系统、灵活、简洁的优点。
运用层次分析法建模来解决实际问题，可按如下五个步骤：
步骤l 定义问题，确定目标
步骤2从最高层(目标层)，通过中间层(准则层)到最低层(方案层)构成一个层次结构模型
步骤3 两两比较打分，确定下层对上层的分数
准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
引用数字1-9及其倒数作为标度来定义判断矩阵
A=(a ij)n×n(见表1)。
表1 判断矩阵标度定义
标度含义含义
l 表示两个因素相比，具有相同重要性
3 表示两个因素相比，前者比后者稍重要
5 表示两个因素相比，前者比后者明显重要
7 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要
9 表示两个因素相比，前者比后者极端重要
2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值
倒数若因素i与因素j的重要性之比为a ij，那么因素j与因素i重要性之比为1a
ij 步骤4 层次合成计算
步骤5一致性检验
1)计算一致性指标CI(consmtency index)
CI=λmax−n n−1
其中，λmax为判断矩阵的最大特征值。
2)查找一致性指标RI(见表2)
表2 平均随机一致性指标
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
RI 0 O O.52 0．89 1．12 1.24 1.36 1.41 1．46 1．49 1．52 1．54 1．56 1．58
3)计算一致性比例CR(consistency ratio)
CR=CI RI
当CR<0.10时，认为通过了一次性检验，否则应作适当修正。
二、层次分析法权重向量W计算方法
层次分析法有四种计算方法求权重：算术平均法、几何平均法、特征向量法、最小二乘法。
1、算术平均法(求和法)
由于判断矩阵A 中的每一列都近似地反映了权值的分配情形，故可采用全部列向量的算术平均值来估计权向量。
即
W i =1
n
∑a ij ∑a kj n k=1n
j=1，i =1，2，…，n
计算步骤：
①A 的元素按列归一化，即求 a ij
∑a kj
n
k=1；
②将归一化后的各行相加；
③将相加后的向量除以n 即得权重向量。
2、几何平均法(方根法)
W i =
(∏a ij n j=1)
1
n ∑(∏a ij n j=1)1n n i=1，i
=1，2，…，n
计算步骤：
①A 的元素按行相乘得一新向量； ②将新向量的每个分量开n 次方； ③将所得向量归一化即为权重向量。
3、特征向量法
将权重向量W 右乘权重比矩阵A ，有
AW =λmax W
同上，λmax 为判断矩阵的最大特征值，存在且唯一，W 的分量均为正分量。
最后，将求得的权重向量作归一化处理即为所求。
4、最小二乘法
用拟合方法确定权重向量，使残差平方和为最小．即求解如下模型：
minZ =∑∑(a ij w j −w i )2n
j=1
n
i=1
s.t.∑w i n i=1=1，w i >0，i =1，2，…，n
三、层次分析法在选择旅游地分析中的应用
1、国庆假期打算出去旅游，有3个旅游目的地：桂林、黄山、北戴河，按照景色、费用、居住、饮食、旅途等因素选择。
2、
A=
[
112⁄433 21755 14⁄17⁄112⁄13⁄
13⁄15⁄211
13⁄15⁄311]
λmax=5.073，CI=5.073−5
5−1
=0.018
随机一致性指标RI=1.12（查表）
CR=0.018
1.12
=0.016<0.1，通过一次性检验。
第3
λmax=3.0055， CR=0.00275
0.52
=0.0053<0.1，通过一次性检验。
λmax=3.0015， CR=0.00075
0.52
=0.0014<0.1，通过一次性检验。
λmax=3， CR=0
=0<0.1，通过一次性检验。
0.52
=0.0036<0.1，通过一次性检验。
λmax=3.0037， CR=0.00185
0.52
=0.0053<0.1，通过一次性检验。
λmax=3.0055， CR=0.00275
0.52
4、层次合成计算
③特征向量法
A=
[
112⁄433 21755 14⁄17⁄112⁄13⁄
13⁄15⁄211
13⁄15⁄311]
A的最大特征值λmax=5.0721
T
相应的特征向量为W3=[0.8902 0.1128 0.8729 0.4629 0.8902 0.4132 0.3255 0.4364 0.1640 0.4132 0.1918 0.9388 0.2182 0.8711 0.1918
]
W=W3W2=[0.8902 0.1128 0.8729 0.4629 0.8902
0.4132 0.3255 0.4364 0.1640 0.4132
0.1918 0.9388 0.2182 0.8711 0.1918
]
[
0.4658
0.8409
0.0951
0.1733
0.1920]
=[0.331 0.242 0.427
]
P3> P1> P2，最后的决策为去北戴河。
5、一致性检验
CR<0.10，均通过了一次性检验。
四、结论
P1,P2,P3分别表示桂林、黄山、北戴河，故最后的决策应为去北戴河。
通过比较可以发现，运用不同的确定权重的方法，并不影响决策结果。
不同的计算方法得出的结果差异很小。
综合运用各种方法可以避免产生偏差，使得出的结果更有效，更全面。
层次分析法(AHP法)
一致性检验是层次分析法 中非常重要的步骤，可以 保证分析结果的可靠性
04
CATALOGUE
层次单排序
特征向量法
总结词
通过计算判断矩阵的特征向量来确定各因素权重的方法。
详细描述
特征向量法是层次分析法中确定权重的一种常用方法。它基于线性代数原理，通过计算判断矩阵的特 征值和特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反映各因素之间的相对重要性，广泛应用于决 策分析和多目标优化等领域。
要点一
总结词
通过计算判断矩阵的最大特征值对应的特征向量来确定各 因素权重的方法。
要点二
详细描述
最大特征值法也是层次分析法中确定权重的一种常用方法 。它基于矩阵论原理，通过计算判断矩阵的最大特征值和 对应的特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反 映各因素之间的相对重要性，并且在判断矩阵一致性检验 中具有重要作用。最大特征值法在多目标决策、系统评价 等领域有广泛的应用。
03
CATALOGUE
构造判断矩阵
标度定义
标度2
两个元素相比，前者比后者稍 重要
标度4
两个元素相比，前者比后者强 烈重要
标度1
两个元素相比，具有相同的重 要性
标度3
两个元素相比，前者比后者明 显重要
标度5
两个元素相比，前者比后者极 端重要
判断矩阵的构造
01
通过专家咨询、比较等方法，对每一层次各元素相对重要性给 出判断
02
将判断结果整理成矩阵形式
判断矩阵的元素aij表示第i个元素与第j个元素相对重要性的比值
03
判断矩阵的一致性检验
一致性检验是检验各元素 重要性判断是否具有逻辑 一致性
当CR<0.1时，认为判断 矩阵的一致性是可以接受 的；否则，需要对判断矩 阵进行调整
ahp层次分析法
ahp层次分析法
什么是AHP层次分析法？
AHP层次分析法是一种量化决策方法，用于归纳分析和比较复杂的挑选抉择，帮助利用决策者的认识和经验，把相关的变量等级排序。
AHP层次分析法是一种
以人为核心的分析方法，其目的是通过让决策者以主观的方式表达他们的决策标准和优先次序，并通过让决策者进行一系列比较和量化操作，形成一种多维度的定性分析思维模型，从而达到精准做出最优决策的目的。
AHP分析步骤：
1、定义模型维度：第一步首先定义分析模型的维度，或者叫哪些变量要参与
分析。
2、建立多视角比较矩阵：建立多个变量的比较矩阵，把它们的相互关系量化，并确定每一维度之间的优先次序。
3、计算消融系数：计算不同比较矩阵的消融系数，识别出各维度的优先次序。
4、结果评价：分析消融系数，就可以由此得出比较变量的优化决策结果。
AHP层次分析法可以用在多种场合，比如解决市场策略决策，品质控制，能
源工程，风险评估，工服位置选择等。
AHP层次分析法在学术研究和实践中受到
广泛应用，其特殊之处，在于能够使决策者可以使用他们的专业知识和认知维度辅助解决复杂的问题，提供准确的分析结果，降低分析过程的投入成本，并且可以帮助决策者更加清楚地理解决策结果。
ahp层次分析法
ahp层次分析法Ahp层次分析法(AnalyticHierarchyProcess,AHP)是一种综合决策分析方法，主要用于复杂环境下的决策分析和优选。
它是由美国管理学家托马斯Saaty于1970年提出的，是一种更具体的优先级决策分析方法。
AHP能有效的提高复杂环境下的决策效率，这个方法可以显著减少企业决策者在决策过程中所面临的不确定性和复杂度。
AHP层次分析法具有以下几个特点：一，AHP可以深入理解用户的需求，一个AHP决策结果可以迅速完成，并且可以改变决策的方向；第二,AHP的处理结果是单一的,而不会出现多种可能的结果；第三，AHP易于操作和理解；第四，AHP可以使用大量的数据量，可以得到准确的结果；第五，AHP可以获得多个决策者的协调意见；第六，AHP 简洁明了，可以迅速给出满意的决策。
AHP决策分析包括四个关键步骤：数据收集、层次结构建模、比较矩阵构建以及最后的决策结果确定。
首先是数据收集，数据收集的目的是获得参与者的意见，定义参与者关于决策的偏好，以及对不同可能解决方案的评估。
其次，层次结构建模，层次结构建模是一个重要步骤，它将决策问题和多个偏好绩效方案结合在一起，使得决策者能够更好的理解不同可能解决方案之间的区别。
第三，比较矩阵构建，比较矩阵帮助权衡不同偏好绩效方案之间的相互关系，并最终准确定义出最优解决方案。
最后，决策结果确定，通过矩阵的计算，将最终的决策结果定义出来。
Ahp层次分析法用到的模型可以大致分为三类：全局序数模型、本地序数模型和组合序数模型。
全局序数模型是指直接使用参与者提供的相对评价数据，以及计算耦合权矩阵中的权重，并利用矩阵的迭代解耦合矩阵，最终获得最优解。
本地序数模型是指首先使用参与者提供的评价数据，然后建立一个本地评价矩阵来存储这些提供的数据，然后使用全局序数模型来计算权重值，来计算最后的决策结果。
组合序数模型是指将全局序数模型和本地序数模型组合在一起，以更有效的计算出最终的决策结果。
AHP层次分析模型
AHP层次分析模型简介层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种常用的决策分析方法，通过将复杂的决策问题层次化，逐步进行比较和评估，最终得出相对权重，从而支持决策者做出合理的决策。
AHP方法最初由美国运筹学家托马斯·L·塞蒂（Thomas L. Saaty）于20世纪70年代提出，并逐渐在决策科学和管理领域得到广泛应用。
AHP模型步骤AHP模型主要分为以下几个步骤：1.建立层次结构：首先，需要将复杂的决策问题分解为不同层次的因素，并建立层次结构。
层次结构由目标、准则和方案组成。
目标是决策问题的最终目标，准则是实现目标所需要满足的条件，方案是用来实现目标的具体选择。
2.构建判断矩阵：在AHP中，判断矩阵是决策者对不同因素之间的比较矩阵。
决策者需要对每个因素进行配对比较，用1至9的尺度来表示两个因素之间的重要性差异。
例如，如果因素A相对于因素B非常重要，则可以给予A和B之间的比较矩阵一个较高的权重。
3.计算权重向量：通过对判断矩阵进行计算，可以得到不同因素的权重向量。
在AHP中，利用特征向量法来计算权重向量。
特征向量是归一化后的最大特征值对应的特征向量。
4.一致性检验：在AHP中，一致性是指决策者的意见和决策结果之间的一致性程度。
通过计算一致性比率（CR），可以评估决策者对判断矩阵的一致性程度。
一致性比率的值应该小于0.1，表示决策者对判断矩阵的一致性程度较高。
5.综合评估：根据权重向量，可以对不同方案进行综合评估。
将不同方案的得分与其权重相乘，并进行加权求和，得出最终的评估结果。
AHP模型的应用范围AHP模型在各个领域都有广泛的应用，以下是几个典型的应用案例：1.项目选择：在项目管理中，AHP模型可以帮助项目经理确定项目目标、评估不同项目方案的优劣，并选择最适合的项目方案。
通过对不同因素的权重进行评估，可以避免主观决策的影响，提高项目管理的效果。
层次分析法AHP法
心理学家以为成对比较旳原因不宜超出9个，即 每层不要超出9个原因。
成对比较阵和权向量
比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值
1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
上述两相邻判断旳中值
原因i与j比较旳判断aij，则原因j与i比较旳判断aji=1/aij
对于 n 个元素 A1, …, An 来说，经过两两比 较，得到成对比较（判断）矩阵 A = (aij)nn：
其中判断矩阵具有如下性质： （1）aij > 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我们称 A 为正旳互反矩阵。
3.一种好旳层次构造对于处理问题是极为 主要旳。层次构造建立在决策者对所面临 旳问题具有全方面进一步旳认识基础上， 假如在层次旳划分和拟定层次之间旳支配 关系上举棋不定，最佳重新分析问题，搞 清问题各部分相互之间旳关系，以确保建 立一种合理旳层次构造。
例1. 选择旅游地
目的层
怎样在3个目旳地中按照景色、 费用、居住条件等原因选择.
例2 旅游
假期旅游，是去风光秀丽旳苏州，还是 去凉爽宜人旳北戴河，或者是去山水甲天下 旳桂林？一般会根据景色、费用、食宿条件、 旅途等原因选择去哪个地方。
例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企
业等单位能够去选择，一般根据工作环境、 工资待遇、发展前途、住房条件等原因择业。
例4 科研课题旳选择 因为经费等原因，有时不能同步开展几
因为λ(A旳特征根) 连续旳依赖于aij ，则λ比n 大旳越 多，A 旳不一致性越严重。引起旳判断误差越大。 因而能够用 λ-n 数值旳大小来衡量 A 旳不一致程度。
层次分析法(AHP)
的偏离完全一致性指标C . I . 的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标
C . I . 的值便越小。
• 对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标R.I.（Random Index），下表给出了115阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标。
的相对优越程度得到定量描述。一般对单一准则来说，两个方案进行比较总能判断出
优劣，层次分析法采用1-9标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。
标度
定义与说明
1
两个元素对某个属性具有同样重要性
3
两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要 Nhomakorabea5
两个元素比较，一元素比另一元素明显重要
7
两个元素比较，一元素比另一元素重要的多
层次分析法（AHP）
层次分析法
• 美国运筹学家A.L.Saaty于本世纪70年代提出的层次分析法（Analytical Hierar-chy
Process）是一种定性与定量相结合的决策分析方法。它是一种将决策者对复杂系统
的决策思维过程模型化、数量化的过程。
• 应用这种方法，决策者通过将复杂的问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之
成组，并把它们之间的共同特性看成是系统中心的层次中的一些因素，而这些因素本
身也按照另外的特性组合起来，形成更高层次的因素，直到最终形成单一的最高层次
因素。
层次分析法具体步骤
• 建立两两比较的判断矩阵
判断矩阵表示针对上一层次某单元（元素），本层次与它有关单元之间相对重要性
的比较。
在层次分析法中，为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一准则
AHP层次分析法
AHP层次分析法层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP），也称层级分析法什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。
它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。
它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。
不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。
其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。
最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。
层次分析法的基本步骤1、建立层次结构模型。
在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。
最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。
当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
2、构造成对比较阵。
从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构追成对比较阵，直到最下层。
层次分析法AHP
AHP层次分析法原理一. AHP 层次分析法介绍•AHP 层次分析法简介AHP，即层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP）是一种系统化的、层次化的多目标综合评价方法。
在评价对象的待评价属性复杂多样，结构各异，难以量化的情况下AHP层次分析法也能发挥作用。
•AHP 基本思想AHP 把复杂的问题分解为各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成地递阶层次结构。
通过两两比较的方式确定方式确定层次中诸因素的相对重要性。
然后综合有人员的判断，确定备选方案相对重要性的总排序。
整个过程体现了入门分解问题—判断—综合，的思想特征。
•AHP 步骤1)分析问题，明确需求，确定评价指标，并建立评价层次关系。
2)构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵。
3)由判断矩阵得出层间的相对权重（层次单排序及一致性检验）。
4)计算各层对总评价目标的总权重（层次总排序），得出各备选方案的评估结果。
二. AHP 的实际问题应用案例本章节我们将在选择购买空调的过程中使用 AHP 来完成决策。
为了从三种空调，空调A、空调B、空调C，中选购最合适的空调，我们采用 AHP法对我们的需求进行分析与评估，最终完成决策。
1. 确定评价指标，建立层次关系为了选出最合适的空调，我们确定从四个指标来对空调进行评估，分别是：价格、噪声、功耗、寿命。
在AHP 中，要构建三层层次关系：目标层、准则层、方案层。
•目标层只有一个要素，是分析问题的预期结果或期望实现的最终目标，是评价的最高准则，可称为目的或目标层•准则层准则层可以是多层构成，其包括所要考虑的准则，子准则等。
•方案层表示实现目标所提供的各种方案与措施，是最终评价对象，决策的结果将从中选出。
2. 构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵对一层的每一个节点，与其下层的所有与其有关联的节点构建判断矩阵。
判断矩阵描述了下一层节点之间的相对重要性或优越性。
为了量化节点间的优劣先后，将用到以下判断矩阵标度定义。
层次分析法
1. 层次分析法（The analytic hierarchy process, 简称AHP）用于解决评价类问题,例如：选择那种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀。
评价类问题可以用打分解决。
层次分析法 (The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T. L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法, 是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的, 它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构, 把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上, 从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。
在许多情况下, 决策者可以直接使用AHP进行决策, 极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性, 但其本质是一种思维方式, 它把复杂问题分解成多个组成因素, 又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构, 通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。
整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。
1.1模型介绍1.1.1引例高考结束了，小明该选择华科还是五武大？小明最关心四个方面：学习氛围0.4、就业前景0.3、男女比例0.2、校园景色0.19（权重和为1）（1）学习氛围：经查阅资料查到“学在华工，玩在武大，爱在华师”一句话，因此在学习氛围方面给华科0.7，给武汉大学0.3.（2）就业前景：搜索两所学校就业率差不多，因此在就业前景方面对两所学校均赋予0.5的权重。
（3）男女比例：经查询，华科男女比例2：1，武大1.35：1，因此武大0.7分，华科0.3分（4）校园景色：华科0.25分，武大0.75分整理权重表格：指标权重华科武大学习氛围0.40.70.3就业前景0.30.50.5男女比例0.20.30.7校园景色0.10.250.75华科最终的得分：0.7*0.4+0.5*0.3+0.3*0.2+0.25+*0.1=0.515分武大最终得分：0.3*0.4+0.5*0.3+0.7*0.2+0.75*0.1=0.485分1.1.2 模型1、关键词：打分法、确定评价指标、形成评价体系2、解决评价类问题，首先确定以下三个问题：（1）评价的目标是什么（2）为了达到这个目标有哪几种可选的方案（3）评价的准则或者说指标是什么（我们根据什么东西来评价好坏）。
层次分析法（AHP）
层次分析法（AHP）The analytic hierarchy process⼀、内容1.主要⽤于解决评价类问题（决策）。
2.将相关元素分解成⽬标、可选⽅案、准则/指标三个层次，通过建⽴递阶层次结构，把⼈类的判断转化到若⼲两两之间重要度的⽐较上。
3.层次分析法中构造的矩阵为判断矩阵，判断矩阵均为正互反矩阵aij✖aji=1。
4.⼀致矩阵（不会出现⽭盾）：正互反矩阵满⾜aik=aij✖ajk。
⼀致矩阵有⼀个特征值为n，其余特征值均为0。
特征值为0时对应的特征向量刚好为k倍的第⼀列元素。
⼀致性检验原理：检验我们构造的判断矩阵和⼀致性矩阵是否有太⼤的差别。
判断矩阵越不⼀致时，最⼤特征值与n相差就越⼤。
5.⼀致性检验步骤：⼀致性指标、平均⼀致性指标、⼀致性⽐例。
⼀致性权重要进⾏归⼀化处理（只⽤第⼀列就可计算出权重），但判断矩阵要充分利⽤每⼀列(算术平均法、⼏何平均法、特征值法求权重）。
特征值法求权重：假如判断矩阵⼀致性可以接受，则可以仿照⼀致矩阵权重的求法。
a、求矩阵A的最⼤特征值以及其对应的特征向量b、求出的特征向量进⾏归⼀化6、层次分析法的步骤：a、分析系统中各因素的关系，建⽴递阶层次结构 b、对于同⼀层次的各元素关于上⼀层次中某⼀准则的重要性进⾏两两⽐较，构造两两⽐较矩阵 c、由判断矩阵计算被⽐较元素对于该准则的相对权重，并进⾏⼀致性检验(检验通过权重才能⽤)7、局限性：a、决策层不能太多 b、决策层中指标数据已知不可⽤。
⼆、收获1、基本了解了层次分析法的内容以及能够解决的问题。
2、层次分析法具有⼀定局限性，在指标数据已知时不可⽤。
3、为了保证结果的稳健性，可以采⽤三种⽅法分别求出权重。
4、特征向量相关知识有些遗忘。