从广东省佛山市一道中考压轴题谈起

２０１　２年　第７－８期　＼　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｅｄｕｃａｔｉ０ｎ　ＮＯ．７—８　２０１２　：　李玉荣（江苏省南京市金陵中学河西分校）　摘要：众所周知，配方法是一种十分重要的数学思想方法。　配方法涉及初中数学的多个领域，在解决数学问题中有着不可　替代的作用．教师在课堂教学中，需要有的放矢地渗透配方法这　一数学思想方法，发展学生的数学能力．　关键词：配方法；平方和；函数方程　２００９年广东省佛山市中考压轴题：　阅读材料：把形如一　＋６　＋ｃ的二次三项式（或其一部分）　配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平　方公式的逆写，即　±２ｏｈ＋ｂ　：（口±ｂ）　．　例如，（　一１）　＋　、ｘ－２）　＋　、（｝　一２）　＋３Ｘ２是　２～　＋４的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次　项、二次项（见横线上的部分）．　试根据阅读材料解决下列问题：　（１）比照上面的例子，写出　：一４ｘ＋２的３种不同形式的　配方；　（２）将　＋Ⅱ６＋ｂ　配方（至少２种形式）；　（３）已知　＋ｂ　＋ｃ　一ａｂ一３ｂ一２ｃ＋４＝０，求。＋ｂ＋Ｃ的值．　解：（１）略．　（２）ａ２＋ａｂ＋６　＝（ｎ＋　一ａｂ＝（。＋　６）　＋｝６２．　（３）　＋６２＋Ｃ２－ａｂ一３ｂ一２ｃ＋４＝（ｎ一｝６）　＋丢（６—２）　＋　（ｃ一１）　＝０．　从而Ⅱ一　一６＝０，ｂ一２＝０，ｃ一１＝０，　即ｏ＝１，ｂ＝２，ｃ＝１．　所以０＋ｂ＋Ｃ＝４．　【评析】此题设计独特、构思巧妙，从学生熟悉的完全平方　７８　公式入手，阐述了“配方法”的概念，列举了配方法的３种形　式，再应用配方法解决第（３）小题，注意到第（３）小题含平方和　“　＋６ｚ＋ｃｚ”，一般可通过配方，利用非负数的性质求解．　中考中考查配方法的试题从未减少，尤其是近几年，中考　对配方法的考查出现了一些立意新颖、构造精巧的新题，将　“学习一理解一应用”融为一体，考查学生独立获取知识，并应　用所学知识拓展迁移的能力，突出了数学思想方法的应用价值，　更加符合新课程理念，本文现采撷几例以飨读者．　一、

求值、化简　

例１（２０１０年四川・内江卷）已知ｍ２—５ｍ一１＝０，则２ｍ　一　

５ｍ＋　：　／＇７ｔ，‘　

解：由已知，得ｍ　一５ｍ＝１，ｍ一　＝５．　

所以２ｍ２—５ｍ＋—　一：ｍ２＋１＋—ｌ＿一：ｆｍ一　一１２＋３：２８．　ｍ‘　ｍ‘　、　ｍ，　

【评析】此题求代数式的值，如果由已知条件求出ｍ后，再　

代入计算很复杂．注意到所求代数式中含有“ｍｚ＋　”，通常　可用配方法求解．　例２　（２００９年四川・内江卷）若０＋２６＋３ｃ＝ｌ２，且　＋ｂ　ｃ　＝ａｂ＋６ｃ＋ＣＯ，．则。＋ｂ。＋Ｃ　＝——．　解：由　＋ｂ　＋ｃ　＝ａｂ＋６ｃ＋ＣＯ，，得ａ—ｂ）　＋（ｂ—ｃ）　＋（Ｃ一　０）　＝０．　所以ａ—ｂ＝ｂ—ｃ＝ｃ～Ⅱ＝０，即０＝ｂ＝ｃ．　代入ｎ＋２６＋３ｃ＝１２，得Ⅱ＝ｂ＝ｃ＝２．　故０＋ｂ　＋ｃ。＝２＋４＋８＝１４．　【评析】注意到已知条件　＋ｂ　＋ｃ　＝ａｂ＋６ｃ＋ＣＯ，中出现平　方和，易想到应用完全平方公式，经配方后利用非负数的性质　求得ｎ：ｂ＝Ｃ．从而求得代数式的值．　

收稿日期：２０１２—０３—１２　作者简介：李玉荣（１９６３一），男，江苏句客人，中学高级教师，主要从事初中数学教学与命题研究　例３（２０１０年江苏・镇江卷）探　如图１，在直角坐标系　ｏｙ　中，ＲｔＡＯＡＢ和ＲｔＡ０ＣＤ的直角　顶点Ａ、ｃ始终在　轴的正半轴　上，点曰、Ｄ在第一象限内，点　在直线ＯＤ的上方，ＯＣ＝ＣＤ，ＯＤ：　２，点Ｍ为ＯＤ的中点，ＡＢ与ＯＤ　

利用已知条件转化为只含一个变量的式子，才能用配方法求最　大值．　三、比较大小　

例５（２０１０年江苏・泰州卷）已知Ｐ　古ｍ一１，Ｑ＝ｍ　一　

百８　ｍ（ｍ为任意实数），则Ｐ、Ｑ　Ｉ￣９ｋ２／］、关系为（　）．　

（Ａ）Ｐ＞Ｑ　（Ｂ）Ｐ＝Ｑ　（Ｃ）Ｐ＜Ｑ　（Ｄ）不能确定　解：因为Ｑ～Ｐ＝ｍｚ—ｍ＋１＝（ｍ一争）　＋｝＞ｏ，　

所以Ｑ＞Ｐ　故选Ｃ．　【评析】确定代数式的大小关系，常常通过作差变形，再利　用配方法做出完全平方式，利用完全平方式的非负性可确定所　得差的符号，进而判断两个代数式的大小关系．　四、确定取值范围　例６（２０１０年江苏・常州卷）　如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，　ＡＤ＝６，点Ｐ、Ｑ分别是边ＡＢ和边　ＣＤ上的动点，点Ｐ从点Ａ向点Ｂ　运动，点Ｑ从点Ｃ向点Ｄ运动，且　保持ＡＰ＝ＣＱ．设ＡＰ：　．　（１）当　／／ａｏ时，求　的值；　（２）当线段　的垂直平分线与边Ｂｃ相交时，求　的取值　范围；　（３）当线段　）的垂直平分线与　Ｃ相交时，设交点为点Ｅ，　连接Ｅ尸、ＥＱ，设ＡＥＰ￣的面积为Ｓ，求Ｓ关于　的函数关系　式，并写出Ｓ的取值范围．　解：（１）略．　

（２　７≤　≤孚．　

（３）　一＝ＢＥ‘　＝　，　＝　。　ＣＱ：半．　由题意，因为ＡＰ＝ＣＱ，　所以Ｓ梯形哪：　矩形＾　＝２４．　所以Ｓ＝Ｓ　Ｂ　一Ｊｓ　一Ｓ呦　＝２４一—－４ｘ２　＋３９ｘ－５６一一半　Ｏ　０　

：　：＝　堑±　３　’　

＝争（　）　（｝≤　≤孚）－　

所以当　＝４时。Ｓ有最小值１２：　７９　当　：｝或　＝竿时，．ｓ有最大值丁７５．　故１２≤Ｓ≤　．　【评析】这是一道压轴题，体现了几何问题代数化的思想。　第（３）小题求Ｓ的取值范围，需先确定函数关系，转化为求函数　的最值，一般可用配方法．值得注意的是此题还需考虑自变量的　条件限制．　五、证明不等式　例７（２０１０年江苏・苏州卷）如　图３，以点Ａ为顶点的抛物线与ｙ轴　交于点Ｂ．已知Ａ、曰两点的坐标分　别为（３，０），（０，４）．　（１）求抛物线的解析式；　（２）设Ｍ（ｍ，ｎ）（ｍ、ｎ为正整数）　是抛物线上的一点，且它位于对称轴　的右侧．若以　、Ｂ、Ｏ、Ａ四点为顶　

／　｜　Ｂ＼　Ｄ　Ａ　图３　点的四边形四条边的长度是４个连续的正整数，求点　的坐标；　（３）在（２）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一　点Ｐ，ＰＡ　＋ＰＢ　＋ｐＭ２＞２８是否总成立？说明理由．　

解：（１）Ｙ：　（　一３）　．　（２）Ｍ（６，４）．　（３）设Ｐ（３，　），ＭＢ与对称轴的交点为点Ｄ，　贝０　ＰＡ＝ｌｔ　Ｉ，ＰＤ＝ｌ４一ｔ　ｌ，ｐＭ２＝ｐＢ２＝（４一　）。＋９．　所以　４　＋　日　＋ＰＭ：＝ｔ　＋２［（４一ｔ）　＋９］＝３ｄ一１６ｔ＋５０＝　

｝）　＋孚．　

故当ｆ：｝时，　＋ｐＢ２＋　有最小值　．　所以　＋ＰＢ　＋　＞２８总是成立．　【评析】这是一道压轴题，第（３）小题要判断一个不等式是否　总成立，需将左边三条线段的平方和巧妙地用含一个变量的关　系式表示出来，转化为函数问题，然后用配方法求出最小值，　使问题迎刃而解．　通过上述几道题的解答，我们看到配方法在中考解题中的　作用不言而喻，当需要解决的问题涉及平方和或问题能转化为　二次函数，一般用配方法及非负数的性质可有效求解．配方法在　日常教学及中考复习中应引起我们　足够的重视．下面几道练习题可供　参考．　练习１：（２００８年江苏・镇江卷）　如图４，奥运圣火抵达某市奥林匹　克广场后，沿图中直角坐标系中的　一段反比例函数图象传递．动点　ｍ，　

８０　

图４　

ｎ）表示火炬位置，火炬从　

离北京路１Ｏ米处的点Ｍ开始传递，到离北京路１　０００米的点Ⅳ　处时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点０（北京路　与奥运路的十字路口），ＯＡＴＢ为少先队员鲜花方阵，方阵始终　保持矩形形状且面积恒为１００００平方米（路宽度均不计）．　（１）求图中反比例函数的关系式（不需要写出自变量的取值　范围）；　（２）当鲜花方阵的周长为５００米时，确定此时火炬的位置　（用坐标表示）；　（３）设ｔ　ｍ—ｎ，用含ｆ的代数式表示火炬到指挥部的距　

（１）在线段ＡＤ上是否存在不同于点Ｐ的点Ｑ，使得ＱＣ＿ＬＱＥ？　若存在，求线段ＡＰ与ａＱ之间的数量关系；若不存在，说明　理由；　（２）当点Ｐ在ＡＤ上运动时，对应的点Ｅ也随之在ＡＢ上运　动，求ＢＥ的取值范围．　练６　０３

０：　Ａ广Ｂ　２‘　

如图，　的直径　＝，Ａ　和　／　Ｉ　删是它的两条切线，ＤＥ￣）－ＪＯ０于　／　０Ｊ　

点Ｅ，交ＡＭ于点Ｄ，交ＢＮ于点ｃ　＼　Ｉ　／＼　Ｊ，９￣ＡＤ＝　，ＢＣ＝　＼＼、ｌ　＾，　（１）求证：ＡＭｆｆＢＮ；　Ｂ图６　（２）求Ｙ关于　的关系式；　

（３）求四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ，并证明：Ｓ≥２．　练习４：（２Ｏｌ１年江苏－泰州卷）已知二次函数Ｙ＝　ｚ＋ｂｘ一３　的图象经过点Ｐ（一２，５）．　（１）求ｂ的值，并写出当１＜　≤３时，＇，的取值范围；　（２）设Ｐｌ（ｍ，Ｙ１），Ｐ２（ｍ＋１，Ｙ２），ｅ（ｍ＋２，　）在这个二　次函数的图象上．　①当ｍ＝４时，Ｙ　，ｙ２，ｙｓ能否作为同一个三角形三边的　长？说明理由；　②当ｍ取不小于５的任意实数时，Ｙ　，Ｙ２，Ｙ　一定能作为同　

一个三角形三边的长，说明理由．　练习５：（２０１１年江苏・南京卷）问题情境　已知矩形的面积为ｏ　为常数，ｏ＞０），当该矩形的长为　多少时，它的周长最小？最小值为多少？　

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