2020年广东中考数学压轴题：动点问题
中考数学压轴题二次函数动点问题
中考数学压轴题二次函数动点问题题目：一个二次函数的抛物线图象如下，过y轴的点为A(x,0)，过x 轴的点为B(0,y)，请问点A、B的坐标分别是多少？解答：首先，我们先观察题目给出的抛物线图象。
由于抛物线图象是一个二次函数的图象，所以我们设函数的一般式为y=ax^2+bx+c。
接下来，我们需要寻找点A(x,0)的坐标。
根据题目给出的图象，我们可以看出点A是与x轴交于一点的坐标，也就是说y=0，即我们需要找到满足y=ax^2+bx+c=0的x的值。
考虑到点A位于y轴上，所以x=0。
代入方程y=ax^2+bx+c=0中，我们得到c=0。
因此，点A的坐标是A(0,0)。
接下来，我们寻找点B(0,y)的坐标。
根据题目给出的图象，我们可以看出点B是与y轴交于一点的坐标，也就是说x=0，即我们需要找到满足y=ax^2+bx+c=0的y的值。
考虑到点B位于x轴上，所以y=0。
代入方程y=ax^2+bx+c=0中，我们得到c=0。
因此，点B的坐标是B(0,0)。
综上所述，点A的坐标是A(0,0)，点B的坐标是B(0,0)。
然而，这个解答是不正确的。
为了解决这个问题，我们需要重新分析题目给出的二次函数的抛物线图象。
首先，我们观察到抛物线经过y轴的点，那么通过y轴的点的横坐标一定是0，即x=0。
因此，点A的横坐标是0。
接着，我们观察到抛物线经过x轴的点，那么通过x轴的点的纵坐标一定是0，即y=0。
因此，点B的纵坐标是0。
接下来，我们需要寻找点A的纵坐标。
根据题目给出的抛物线图象，我们可以看出点A的纵坐标即为抛物线的顶点的纵坐标。
我们将顶点的纵坐标记为k。
由于抛物线的对称轴是与y轴垂直的，所以顶点的横坐标为x=0。
代入一般式y=ax^2+bx+c中，我们得到k=0^2*a*0+b*0+c=c。
因此，点A的坐标是A(0,c)。
接下来，我们需要寻找点B的横坐标。
根据题目给出的抛物线图象，我们可以看出点B的横坐标即为抛物线与x轴的交点的横坐标。
2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案
2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案中考数学压轴题专题动点产生的定值与最值问题中考数学压轴题——动点产生的定值与最值问题目录第1 讲角为定值的常规解法第2 讲角为定值的高级解法第3 讲边为定值的动点问题第4 讲线段的和或差为定值的动点问题第5 讲比值为定值的动点问题第6 讲乘积为定值的动点问题第7 讲面积为定值的动点问题第8 讲动点产生的几何最值问题【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理第 1 讲 角为定值的常规解法（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点 O,∠MON=90°，点 A 、B 分别在射线 OM 、 ON 上移动，AC 是△BAO 的角平分线，BD 为∠ABN 的角平分线，AC 与 BD 的反向延长线交于 点 P.试问：随着点 A 、B 位置的变化，∠APB 的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。
、【例】如图所示,O 的直径 AB=4,点 P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作 O 的切线,切点为 C ， 连接 AC.(1)若∠CPA=30°，求 PC 的长；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交 AC 于点 M ，你认为∠CMP 的大小是否发 生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
中考数学常见题型几何动点问题
中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题例1：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。
如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC 的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P ,Q 两点之间的距离是多少？例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B → C →E 运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，（1）写出y 与x 的关系式 (2)求当y ＝13时，x 的值等于多少？例3：如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）A ．32B ．18C ．16D ．10ACB By例4：直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．例6：如图（3），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；图（3）BC PQBA MN（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
2020年广东中考数学压轴题：动点
2020年广东省中考数学压轴题：动点问题如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,图1 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-． 解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=． 因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6。
2020年广东省中考数学压轴题专题训练(含解析)
2020年（广东）中考数学压轴题专题训练1．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．2．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接BD，点E在⊙O上，连接BE交AD于点F，∠BDC+45°＝∠BFD，连接ED．（1）如图1，求证：∠EBD＝∠EDB；（2）如图2，点G是AB上一点，过点G作AB的垂线分别交BE和BD于点H和点K，若HK＝BG+AF，求证：AB＝KG；（3）如图3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接CN分别交BD和AD于点M和点P，连接OP，∠APO＝∠CPO，若MD＝8，MC＝3，求线段GB的长．3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，交⊙O于C、D两点，交AB点E、F是弧BD上一点，过点F作一条直线，交CD的延长线于点G，交AB的延长线于点M．连结AF，交CD于点H，GF＝GH．（1）求证：MG是⊙O的切线；（2）若弧AF＝弧CF，求证：HC＝AC；（3）在（2）的条件下，若tan G＝，AE＝6，求GM的值．4．如图，已知AC是半径为2的⊙O的一条弦，且AC＝2，点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点，（1）请计算△ABC的面积的最大值；（2）当点B在优弧上，∠BAC＞∠ACB时，∠ABC的平分线交AC于D，且OD⊥BD，请计算AD的长；（3）在（2）条件下，请探究线段AB、BC、BD之间的数量关系．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝°；②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的弦，AD＝BC，AD与BC相交于点E．（1）求证：CB平分∠ACD；（2）过点B作BG⊥AC于G，交AD于点F．①猜想AC、AG、CD之间的数量关系，并且说明理由；②若S△ABG＝S△ACD，⊙O的半径为15，求DF的长．7．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D 三点的⊙O交AB于另一点E，连结AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连结EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．10．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接P A，PC，试问△P AC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．11．如图，二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）求a与m的关系式；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+4ax+与x轴交于点A、B（A在B的左侧），过点A的直线y＝kx+3k交抛物线于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，过点B作BD⊥BC，交直线AC于点D，若BC＝5BD，求k的值；（3）将直线y＝kx+3k向上平移4个单位，平移后的直线交抛物线于E、F两点，求△AEF的面积的最小值．13．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH ⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．15．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值．16．二次函数y＝x2﹣x﹣与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D 为抛物线的顶点，连接BD．（1）如图1，点P为抛物线上的一点，且在线段BD的下方（包括线段的端点），连接P A，PC，AC．求△P AC的最大面积；（2）如图2，直线l1过点B、D．过点A作直线l2∥l1交y轴于点E，连接点A、E，得到△OAE，将△OAE绕着原点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△OA1E1，旋转过程中直线OE1与直线l1交于点M，直线A1E1与直线l1交于点N．当△E1MN为等腰三角形时，直接写出点E1的坐标并写出相应的α值．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．（1）求点D和点M的坐标；（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q 是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．18．如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B 两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；（2）求△AOD的面积；（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．20．笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y＝kx+b（k≠0）上的任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1≠x1≠x3），满足＝＝＝k，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点的坐标M（x1，y1）N（x2，y2）（x1≠x2），都有的值为k，其中k叫直线y＝kx+b的斜率．如，P（1，3），Q（2，4）为直线y＝x+2上两点，则k PQ＝＝1，即直线y＝x+2的斜率为1．（1）请你直接写出过E（2，3）、F（4，﹣2）两点的直线的斜率k EF＝．（2）学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图1，直线GH⊥GI于点G，G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6）．请求出直线GH 与直线GI的斜率之积．（3）如图2，已知正方形OKRS的顶点S的坐标为（6，8），点K，R在第二象限，OR 为正方形的对角线．过顶点R作RT⊥OR于点R．求直线RT的解析式．参考答案一．解答题（共20小题）1．（1）证明：连接OC，OE，∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵E是的中点，∴＝，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠E+∠ODE＝90°，∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠ODE，∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACP＝∠BCO，∵∠BCO＝∠CBO，∴∠ACP＝∠PBC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2＝PB•P A＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∵PC＝PD，∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，∴CD•DE＝2OD•PD；（3）解：∵AB＝8，∴OA＝4，由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；∵CD•DE＝15，∴15＝42﹣OD2，∴OD＝1（负值舍去），∴AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，∴PD＝＝，∴P A＝PD﹣AD＝．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠BDC＝∠DBA，BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠BFD＝∠BDC+45°，∴∠ABF+90°＝∠DBA+45°，∴∠DBA﹣∠ABF＝45°，∴∠EBD＝45°，∴△BED是等腰直角三角形，∴∠EBD＝∠EDB；（2）证明：过点K作KS⊥BE，垂足为R，交AB于S，如图2所示：∵KG⊥AB，∴∠BGH＝∠KRH＝∠SRB＝∠KGS＝90°，∴∠SBR＝∠HKR，∵∠BED＝90°，∴∠RBK＝∠RKB＝45°，∴BR＝KR，在△SRB和△HRK中，，∴△SRB≌△HRK（ASA），∴SB＝HK，∵SB＝BG+SG，HK＝BG+AF，∴BG+SG＝BG+AF，∴SG＝AF，在△ABF和△GKS中，，∴△ABF≌△GKS（AAS），∴AB＝KG；（3）解：过点O分别作AD与CN的垂线，垂足分别为Q和T，连接OC，如图3所示：∵∠APO＝∠CPO，∴OQ＝OT，在Rt△OQD和Rt△OTC中，，∴Rt△OQD≌Rt△OTC（HL），∴DQ＝CT，∴AD＝CN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝CN＝BC，连接ON，在△NOC和△BOC中，，∴△NOC≌△BOC（SSS），∴∠BCO＝∠NCO，设∠OBC＝∠OCB＝∠NCO＝α，∴∠MOC＝2α，过点M作MW⊥OC于W，在OC上取一点L，使WL＝OW，连接ML，∴MO＝ML，∴∠MOL＝∠MLO＝2α，∴∠LCM＝∠LMC＝α，∴ML＝CL，设OM＝ML＝LC＝a，则OD＝a+8＝OC，∴OL＝8，OW＝WL＝4，∴CW＝4+a，由勾股定理得：OM2﹣OW2＝MW2＝MC2﹣CW2，即a2﹣42＝（3）2﹣（4+a）2，整理得：a2+4a﹣45＝0，解得：a1＝﹣9（不合题意舍去），a2＝5，∴OM＝5，∴MW＝3，WC＝9，∴OB＝OC＝OD＝13，BD＝26，∵∠GKB＝∠CBD＝∠ADB＝∠BCO＝∠MCW，tan∠MCW＝＝＝，∴tan∠GKB＝tan∠CBD＝tan∠ADB＝tan∠BCO＝tan∠MCW＝，设AB＝b，则AD＝3b，由勾股定理得：b2+（3b）2＝262，解得b＝，∴CD＝GK＝AB＝，在Rt△GKB中，tan∠GKB＝＝，∴GB＝GK＝×＝．3．（1）证明：连接OF．∴AB⊥CD，∴∠AEH＝90°，∴∠EAH+∠AHE＝90°，∵GF＝GH，∴∠GFH＝∠GHF＝∠AHE，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠OF A+∠GFH＝90°，∴OF⊥GM，∴MG是⊙O的切线．（2）证明：∵＝，∴OF垂直平分线段AC∵OF⊥MG，∴AC∥GM，∴∠CAH＝∠GFH，∵∠CHA＝∠GHF，∠HGF＝∠GFH，∴∠CAH＝∠CHA，∴CA＝CH．（3）解：∵AC∥GM，∴∠G＝∠ACH，∴tan∠CAH＝tan∠G＝＝，∵AE＝6，∴EC＝8，AC＝＝＝10，设GF＝GH＝x，则CG＝CH+GH＝AC+GH＝10+x，∵CD＝2EC＝16，∴GD＝10+x﹣16＝x﹣6，∵GF2＝GD•GC，∴x2＝（x﹣6）（x+10），解得x＝15，∴EG＝CG﹣CE＝25﹣8＝17，∵tan∠G＝＝，∴EM＝，∴GM＝＝＝．4．解：（1）如图1中，当点B在优弧AC的中点时，△ABC的面积的最大，连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．∵＝，∴BH⊥AC，∴AH＝HC＝，∴OH＝＝1，∴BH＝OB+OH＝2+1＝3，∴△ABC的最大面积＝×AC×BH＝×2×3＝3．（2）如图2中，延长BD交⊙O于E，连结OE交AC于F，连结OC．由BD平分∠ABC可得，E为弧AC中点，∴OE⊥AC，∴AF＝CF＝∴OF＝＝＝1＝EF，∴DF垂直平分OE，又∵OD⊥BD，∴△ODE是等腰直角三角形，∴DF＝OE＝1，∴AD＝．（3）如图3，连结AE、CE，由已知得AE＝CE，∠AEC＝120〫，将△EAB绕点E顺时针旋转120〫得△ECF，∵∠BAE＝∠ECF，∠BAE+∠BCE＝180〫，∴∠ECF+∠BCE＝180〫，∴BF＝BC+CF，∵AB＝CF，∴BF＝AB+BC，∵BE＝FE，∠BEF＝∠AEC＝120〫，∴BF＝BE，∵OD⊥BD，∴BE＝2BD，∴BF＝2BD，∴BA+BC＝2BD．5．（1）证明：连接OA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCA+∠DEC＝90°，∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，∴∠OAC+∠GAE＝90°，∴∠OAG＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为60．②如图3中，当AB＝4时，△AGE是等腰直角三角形．理由：连接OA．∵△AGE是等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，∵OB＝OC，∴AO⊥OC，∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，∴四边形AODG是矩形，∴AG＝OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝2OC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案为4．6．（1）证明：如图1中，∵AD＝BC，∴＝，∴＝，∵AB＝AC，∴＝，∴＝，∴∠ACB＝∠BCD，∴CB平分∠ACD．（2）①结论：AC﹣2AG＝CD．理由：如图2中，连接BD，在GC上取一点H，使得GH＝GA．∵BG⊥AH，GA＝GH，∴BA＝BH，∴∠BAH＝∠BHA，∵∠BAH+∠BDC＝180°，∠BHG+∠BHC＝180°，∴∠BDC＝∠BHC，∵∠BCH＝∠BCD，CB＝CB，∴△BCH≌△BCD（AAS），∴CD＝CH，∴AC﹣2AG＝AC﹣AH＝CH＝CD．②如图3中，过点G作GN⊥AB于G，过点D作DM⊥AC交AC的延长线于M，连接AO，延长AO交BC于J，连接OC．∵＝，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD，∴S△ACD＝S△BCD，∵△BCH≌△BCD，∴S△BCH＝S△BCD，∵AG＝GH，∴S△ABG＝S△BGH，∵S△ABG＝S△ACD，∴S△ABG＝S△BGH＝S△BCH，∴AG＝GH＝CH，设AG＝GH＝HC＝a，则AB＝AC＝3a，BG＝＝＝2a，∵BG⊥AC，∴•BG•AG＝•AB•GN，∴GN＝＝a，在Rt△BGC中，BC＝＝＝2a，∵AB＝AC，∴＝，∴AJ⊥BC，∴BJ＝JC＝a，∴AJ＝＝＝a，在Rt△OJC中，∵OC2＝OJ2+JC2，∴152＝（a﹣15）2+（a）2，∴a＝，∵S△ABG＝S△ACD，AB＝AC，GN⊥AB，DM∠AC，∴DM＝GN＝a＝，∵BC＝AD＝2a＝20，∴AM＝＝＝，∵FG∥DM，∴＝，∴＝，∴AF＝6，∴DF＝AD＝AF＝20﹣6＝14． 7．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DBQ＝45°，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．10．解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点P（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点P（，）；故点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．11．解：（1）将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣3am2＝3，解得：am2＝﹣1；（2）对于二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2），令y＝0，则x＝m或﹣3m，∴函数的对称轴为：x＝﹣m，∵CD∥AB，∴点D、C的纵坐标相同，故点D（﹣2m，3），故点A、B的坐标分别为：（m，0）、（﹣3m，0），设点E（x，y），y＝a（x2+2mx﹣3m2），分别过点D、E作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵AB平分∠DAE，∴∠DAM＝∠EAN，∴RtADM△∽Rt△ANE，∴，即，解得：y＝，故点E（x，），将点E的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝＝﹣4m，则y＝＝﹣5，故点E（﹣4m，﹣5），故＝＝＝为定值；（3）存在，理由：函数的对称轴为x＝﹣m，当x＝﹣m时，y＝a（x2+2mx﹣3m2）＝4，即点F（﹣m，4），由点F、C的坐标得，直线FC的表达式为：y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3m，即点G（3m，0），GF2＝（3m+m）2+42＝16m2+16，同理AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，故AE2＝AD2+GF2，GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，点G的横坐标为3m．12．解：（1）∵直线y＝kx+3k过点A，∴y＝0时，0＝kx+3k，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝ax2+4ax+，得9a﹣12a+＝0，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝x2+x+；（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CG⊥x轴于G，∴∠DFB＝∠CGO＝90°＝∠DBC，∴∠DBF+∠BDF＝90°，又∵∠DBF+∠CBG＝90°，∴∠BDF＝∠CBG，∴△BDF∽△CBG，∴，∵CB＝5BD，∴CG＝5BF，BG＝5DF，联立方程组，解得：，（舍去），∴点C（4k﹣1，4k2+2k），∴CG＝4k2+2k，OG＝4k﹣1，设BF＝m，则CG＝5m，DF＝2k﹣km，BG＝5（2k﹣km），∴，解得k＝﹣（舍去）或k＝0（舍去）或k＝1，∴k的值为1；（3）∵将直线y＝kx+3k向上平移4个单位，∴平移后解析式为y＝kx+3k+4，∴kx+3k+4＝x2+x+，∴x E+x F＝4k﹣4，x E•x F＝﹣12k﹣13，∴|x F﹣x E|＝＝，∵△AEF的面积＝×4×，∴当k＝﹣时，△AEF的面积的最小值为16．13．解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．14．解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝4，则CD＝4，∵四边形ABDC为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DC＝AB＝4，∴A（2，0），B（6，0），把点A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，如图2，∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），∴点E的坐标为（3，﹣）；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，∴tan∠HGM＝2，∴，∴HG＝HM＝1，∴点G（5，0），∵M（4，﹣2），∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，联立①②解得，（舍）或，∴Q（8，6），∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，∴∠DQP+∠QPD＝90°，∵∠EPQ＝90°，∴∠DPQ+∠FPE＝90°，∴∠DQP＝∠FPE，∵∠PDQ＝∠EFP，∴△PDQ∽△EFP，∴，由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2，∵EF＝1，∴＝，∴DP＝，PF＝2QD，设Q（n，n2﹣4n+6），∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，∴DQ＝4﹣n＝2+，即点Q到对称轴的距离为4或2+．15．解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上，∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴a＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣．（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0，）．连接CD，BC．∵S△BDC＝××9＝10，∴S△P AB＝10，∴×6×|y P|＝10y P＝±，当y＝时，＝x2﹣x﹣，解得x＝1±，∴P（，）或（，），当﹣＝x2﹣x﹣，方程无解，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）．（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，∵D（﹣5，3），B（4，0），∴tan∠DBA＝＝，∴∠DBA＝30°∴∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，则有sin30°＝，∴HF＝，∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值为＝．16．解：（1）∵y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣2x﹣3）＝（x﹣1）2﹣2，∴顶点D的坐标为（1，﹣2），令y＝0，则（x2﹣2x﹣3）＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣），∴AC是定值，要△ACP的面积最大，则点P到AC的距离最大，即当点P在点B位置时，点P到AC的距离最大，∴S△ACP最大＝S△ABC＝AB•OC＝（3+1）•＝3；（2）由（1）知，B（3，0），D（1，﹣2），∴直线l1的解析式为y＝x﹣3，∵l1∥l2，且l1过点A，∴直线l2的解析式为y＝x+，∴E（0，），∴OE＝，在Rt△AOE中，OA＝1，∴tan∠AEO＝＝，∴∠AEO＝30°，∵l1∥l2，∴∠DBO＝60°，由旋转知，OE1＝OE＝，∠A1E1O＝∠AEO＝30°，∴∠ME1N＝30°如图，∵△E1MN为等腰三角形，∴①当E1N1＝M1N1时，∴∠E1M1N1＝∠A1E1O＝30°，∴α＝∠BOM＝60°﹣30°＝60°，过点E1作E1F⊥x轴于F，∴E1F＝OE1＝，∴OF＝E1F＝，∴E1（，），②当E2M2＝E2N2时，∠E2N2M2＝∠E2M2N2＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠BOM2＝75°﹣60°＝15°，∴α＝105°，过点E2作E2H⊥x轴，在OH上取一点Q，使OQ＝E2Q，∴∠E2QH＝30°，设E2H＝a，则E2Q＝2a，HQ＝a，∴OQ＝E2Q＝2a，OH＝（2+）a，在Rt△OHE2中，根据勾股定理得，[（2+）a]2+a2＝3，∴a＝（舍去负值），∴E2（，﹣）．③当E3M3＝M3N3时，∠E3N3M3＝∠M3E3N3＝30，∴∠E3M3N3＝120°，∴∠BOM3＝60°，∴α＝150°，∵∠OBM3＝60°，∠E3N3M3＝30°，∴∠N3GB＝90°，∴OG＝，E3G＝，∴E3（，﹣）．17．解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），∴点A（﹣12，0），如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），由中点公式得，点M（﹣4，2）；（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），∵点D′M′都在函数上，∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，解得：a＝12，则k＝（12﹣8）×4＝16，故反比例函数的表达式为＝；（3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2），点B′、C′的坐标分别为（6，0）、（10，4），设点P（m，2），点Q（s，t）；①当B′C′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′，过点C′作C′H⊥l交于点H，C′H＝4﹣2＝2，直线B′C′的倾斜角为60°，则∠M′PC′＝30°，PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝故点P的坐标为（16，2），由题意得：点P、Q′关于点C′对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，﹣4）；同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6）；故点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；②当B′C′是矩形的对角线时，∵B′C′的中点即为PQ的中点，且PQ＝B′C′，∴，解得：，，故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．18．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S△AEO＝S△ACE＝，∴AE＝DE，∴S△AOD＝2S△AOE＝3；（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，则EF∥AH，∵AD＝2DE，∴DE＝EA，∵EF∥AH，∴＝＝1，∴DF＝FH，∴EF是△DHA的中位线，∴EF＝AH，∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，∴OF•EF＝OH•HA，∴OH＝OF，∴OH＝HF，∴DF＝FH＝HO＝DO，∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．19．解：（1）理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB；（2）如图，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴NF⊥x轴，由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴点N（﹣，3），∵设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当∠CDP＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线，∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝3，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝3，当∠CPD＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDH，∴，∴∴x＝∵点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，△DPC为直角三角形．20．解：（1）∵E（2，3）、F（4，﹣2），∴k EF＝＝﹣，故答案为﹣．（2）∵G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6），∴k GH＝＝，k GI＝＝﹣，∴k GH•k GI＝﹣1．（3）如图2中，过点K作KM⊥x轴于M，过点S作SN⊥x轴于N，连接KS交OR于J．∴S（6，8），∴ON＝6，SN＝8，∵四边形OKRS是正方形，∴OK＝OS，∠KPS＝∠KMO＝∠SNO＝90°，KJ＝JS，JR＝JO，∴∠KOM+∠SON＝90°，∠SON+∠OSN＝90°，∴∠KOM＝∠OSN，∴△OMK≌△SNO（AAS），∴KM＝ON＝6，OM＝SN＝8，∴K（﹣8，6），∵KJ＝JS，∴J（﹣1，7），∵JR＝OJ，∴R（﹣2，14），∵k OR＝＝﹣7，∵RT⊥OR，∴k RT＝﹣＝，设直线RT的解析式为y＝x+b．。
2020中考数学-动点问题专题训练(含答案)
中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥Q ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC =Q ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<<g g ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD Q ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD Q ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD Q ，∴EM BM AD BD=，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD Q ，∴FN CN AD CD=，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD = )cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，CB →方向运动，当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒Q ，4AB BC cm ==，AC ∴== 90ADC ∠=︒Q ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==AD ∴==故答案为：，（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒Q ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sin FC FNC NC∠=Q ，NC x =，4FC x ∴=，4NE DF x ∴==+ ∴点N 到ADx +； （3）sin FN NCF NC∠=Q ，FN x ∴=， P Q 为DC 的中点，PD CP ∴==4PF x ∴=+ PMN ∴∆的面积y =梯形MDFN 的面积PMD -∆的面积PNF -∆的面积111))222x x x =++-2784x x =++ 即y 是x 的二次函数，Q 08<， y ∴有最大值，当7x ==时，y=例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =剟，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥Q ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯g ，即211(1)44y x =+-， 又02x Q 剟， ∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯g ，即211(1)44y x =--+， 又02x Q 剟， ∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C 0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB = ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1）Q 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA =Q ，OC =tan AO ACO OC ∠==Q 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =， 30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒Q ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A Q 和C 0)，∴直线AC 的解析式为23y x =-+，设(,2)3D a a -+，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒Q ，90BDM NDE∴∠+∠=︒，90BDM DBM∠+∠=︒，DBM EDN∴∠=∠，90BMD DNE∠=∠=︒Q，BMD DNE∴∆∆∽，∴23DE DNBD BM+===．②如图 2 中，作DH AB⊥于H．在Rt ADH∆中，AD x=Q，30DAH ACO∠=∠=︒，1122DH AD x∴==，AH x==，2BH x∴=，在Rt BDH∆中，BD==，DE∴==∴矩形BDEF的面积为22612)y x x==-+，即2y=-+23)3y x∴=-+Q03>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB =Q ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=g gBOC ∆Q 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==27AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒=g ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯g g ，28y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <„时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60(8 1.5)2MH BM x =︒=-g，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <„时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，122y MN OG x ∴==g g ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。
广东省-2020年中考数学二轮复习高分突破 特色专题 第40讲 动点或动线问题
第40讲动点或动线问题方法点拨：动点问题(或动线问题)一般出现在中考的最后一题，广东省近几年考查的难度并不是太大，图形也不是十分复杂，考查的知识点主要集中在(1)证三角形全等；(2)证特殊的四边形；(3)求线段长度或求图形面积；(4)求最值；(5)存在性问题(分类讨论思想)．解动点类综合试题，其主要思路有(1)关注动点的起始位置，把动点走过的距离在图形上表示出来；(2)化整为零，找准解题突破口；(3)大胆画草图，平时注重各种存在性问题解题方法的积累．1．(2019·湖南衡阳)如图，在等边三角形ABC中，AB＝6 cm，动点P从点A出发以1 cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t(s)．过点P作PE⊥AC于点E，连接PQ交AC边于点D．以CQ，CE为边作平行四边形CQFE.(1)当t为何值时，△BPQ为直角三角形？(2)是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)求DE的长．(4)取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？请求出最小值．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形的顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM，MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD 的值．。
中考数学压轴题专题解析---直角三角形中的动点问题
中考数学压轴题专题解析---直角三角形中的动点问题这节课我们学什么1.动点直角三角形一线三直角问题2.动点直角三角形SAS问题3.动点直角三角形三角比问题4.动点直角三角形勾股定理问题知识点梳理动点直角三角形问题，一般都需要讨论哪个角是可能构成直角，然后根据题型，运用不同的方法．如下为总结的四种方法：1.先讨论哪个角是直角，然后第一类用一线三直角构造相似求解，分别用未知数的式子表示出一线三直角模型的边长；2.用边角边，即两边对应成比例夹角相等，一般是动点构成的直角三角形与已知的直角三角形相似，需要求出已知直角三角形的边长，以及用未知数的式子求出动点直角三角形的边长，通过对应边成比例建立等式；3.利用三角比来求解，实际上这个和上面一种情况类似，但是动点构成的直角三角形中，某个锐角的三角比已知，这样，直接在动点三角形中运用三角比直接可以建立等式；4.第四种方法就比较简单粗暴了，就是把动点直角三角形三边的长度用未知数的式子，或者直接是数字表示出来，用勾股定理建立等式，求解出未知数．典型例题分析1、动点直角三角形一线三直角问题； 例1.已知如图在平面直角坐标系xoy 中，抛物线与轴分别交于点(2,0)A 、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，1tan 2CBA ∠=． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ABCD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，BCE ∆是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．【答案：（1）∵当时，，∴(0,3)C在Rt COB ∆中，∵∴∴∴点(6,0)B把(2,0)A (6,0)B 分别代入，得：得解得：∴该抛物线表达式为（2）∵∴顶点41D -（，） ∴（3）点E 的坐标是108（，）或1635（，）】2、动点直角三角形SAS 问题 例2.已知：如图，抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足4OC OA =．设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ． （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）联接CM ，点Q 是射线CM 上的一个动点，当QMB ∆与COM ∆相似时，求直线AQ 的解析式．【答案：（1）根据题意：04C （，）∵4OC OA = ∴0A （-1，） 把点A 代入得4045m =--+ 解得∴抛物线的解析式∴（2）根据题意得：3BM =，2tan CMO ∠=，直线CM ：4y x =+ （i ）当90COM MBQ ∠=∠=︒时，COM QBM ∆∆∽ ∴2BQtan BMQ BM∠== ∴6BQ =即5,6Q -（）∴AQ ：（ii ）当90COM BQM ∠=∠=︒时，COM BQM ∆∆∽ 同理Q （） ∴AQ ：】例3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，5=AB ，43tan =B ，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F ． （1）求AC 和BC 的长；（2）当EF BC //时，求BE 的长；（3）联结EF ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长．【答案：解：（1）在中，∠C ∵43tan ==BC AC B ，∴设k AC 3=，k BC 4= ∴55==k AB ，∴1=k ∴3=AC ，4=BC（2）过点E 作BC EH ⊥，垂足为H ．A C易得EHB ACB ∆∆∽设k CF EH 3==，k BH 4=，k BE 5=∵EF BC //∴FDC EFD ∠=∠∵︒=∠=∠90C FDE ∴EFD FDC ∆∆∽ ∴CDFDFD EF =∴CD EF FD ⋅=2 即)44(2492k k -=+化简，得04892=-+k k 解得91324±-=k （负值舍去）∴92013105-==k BE（3）过点E 作BC EH ⊥，垂足为H ．易得EHB ACB ∆∆∽ 设k EH 3=，k BE 5=∵︒=∠+∠90HDE HED ︒=∠+∠90HDE FDC ∴FDC HED ∠=∠∵︒=∠=∠90C EHD ∴EHD DCF ∆∆∽∴DFDECD EH =当DEF ∆和ABC ∆相似时，有两种情况：①43==BC AC DF DE ；∴43=CD EH 即4323=k 解得21=k ∴255==k BE②34==AC BC DF DE ；∴34=CD EH 即3423=k 解得98=k∴9405==k BE综合①、②，当DEF ∆和ABC ∆相似时，BE 的长为25或940．】3、动点直角三角形三角比问题例4.已知：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2BC =，4AC =，P 是斜边AB 上的一个动点，PD AB ⊥，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且EPD A ∠=∠．设A 、P 两点的距离为x ，BEP ∆的面积为y ． （1）求证：2AE PE =；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BEP ∆与ABC ∆相似时，求BEP ∆的面积．【答案：（1）∵90APD C ∠=∠=︒，A A ∠=∠，∴ADP ABC ∆∆∽．∴21==AC BC AP PD ． ∵EPD A ∠=∠，PED AEP ∠=∠，∴EPD EAP ∆∆∽． ∴21==AP PD AE PE ． ∴2AE PE =．（2）由EPD EAP ∆∆∽，得21==AP PD PE DE ，∴2PE DE =． ∴24AE PE DE ==． 作EHAB ⊥，垂足为点H ．∵AP x =，∴x PD 21=．∵PD HE //，∴34==AD AE PD HE ．∴x HE 32=． 又∵52=AB ，∴x x y 32)52(21⋅-=，即x x y 352312+-=．定义域是5580<<x ．另解：由EPD EAP ∆∆∽，得21==AP PD PE DE ，∴2PE DE =． ∴24AE PE DE ==．ABD E∴x x AE 3522534=⨯=．∴12233ABE S x x ∆⋅⨯==．∴AB BP S S ABE BEP =∆∆，即5252352x xy-=．∴x x y 352312+-=．定义域是5580<<x ． （3）由PEH BAC ∆∆∽，得AC AB HE PE =，∴x x PE 352532=⋅=．当BEP ∆与ABC ∆相似时，只有两种情形：90BEP C ∠=∠=︒或90EBP C ∠=∠=︒．（i ）当90BEP ∠=︒时，AB BC PB PE =，∴515235=-x x．解得453=x ． ∴1625453352516931=⨯+⨯⨯-=y ． （ii ）当90EBP ∠=︒时，同理可得253=x ，45=y ．】PGABCDFPGABCD例5.已知ABC ∆为等边三角形，6AB =，P 是AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在ABC ∆内作正方形DEFG ，其中D 、E 在BC 上，F 在AC 上，（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域；（2）当2BP =时，求CF 的长；（3）GDP ∆是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由.【答案：（1）∵ABC ∆为等边三角形， ∴60B C ∠=∠=︒，6AB BC AC ===. ∵DP AB ⊥，BP x =，∴2BD x = 又∵四边形DEFG 是正方形， ∴EF BC ⊥，EF DE y ==， ∴y EC 33=. ∴6332=++y y x ， ∴339)33(-+-=x y .（≤<3）（2）当2BP =时，3392)33(-+⨯-=y 33-=.DEFBC23232-==y CF .（3）GDP ∆能成为直角三角形. ①90PGD ∠=︒时，y y x +=-36，61)3)9x x -=⋅+-得到：113630-=x . ②90GPD ∠=︒时，y x x 234+=， ⋅+=234x x ]339)33[(-+-x ， 得到：336-=x .∴当GDP ∆为直角三角形时，BP 的长为113630-或者336-=x .】DABCGP EF4. 二动点直角三角形勾股定理问题例6.如图，AOB ∆的顶点A 、B 在二次函数21332y x bx =-++的图像上，又点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，tan 1ABO ∠=．（1）求此二次函数的解析式；（2）过点A 作AC BO //交上述函数图像于点C ，点P 在上述函数图像上，当POC ∆与ABO ∆相似时，求点P【答案：（1）∵点A 在二次函数23312++-=bx x y 的图像上，)23,0(A 在Rt AOB ∆中，︒=∠90AOB ∵1tan ==∠BO AO ABO ，∵23==AO BO ，∴)0,23(-B ∵点B 在二次函数23312++-=bx x y 的图像上 ∴02323)23(312=+--⨯-b ∴21=b ∴2321312++-=x x y （2）∵AC BO //交上述函数图像于点C ，∴设)23,(x C ∴232321312=++-x x ，解得23,021==x x ∵)23,23(C ∴23==AO AC ，223=OC 设抛物线2321312++-=x x y 与x 轴的另一交点为D 可得，)0,3(D∴223)230()233(22=-+-=CD ，3=OD ∴222OD CD OC =+，∴︒=∠90OCD易得，Rt OCA Rt ABO ∆∆∽，Rt ODC Rt ABO ∆∆∽ ∴)23,0(P 或)0,3(P 】课后练习练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C -，点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一点；（1）求这个二次函数2y x bx c =++的解析式；（2）联结PO 、PC ，并将POC ∆沿y 轴对折，得到四边形POP C '，如果四边形POP C '为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，能使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与AOC ∆相似，请求出此时点P 的坐标．【答案：】练2．如图，直角坐标平面内的梯形OABC ，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，//OA BC ，点E 在对角线OB 上，点D 在OC 上，直线DE 与x 轴交于点F ，已知2OE EB =，3CB =，6OA =，BA =5OD =．（1）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式：（2）求证：ODE OBC ∆∆∽：（3）在y 轴上找一点G ，使得OFG ODE ∆∆∽，直接写出点G 的坐标．【答案：（1）2163y x x =-++或者436)23(312+--=x y（2）24E （，），OE =，OB =OE OC OD OB==，DOE BOC ∠=∠ 故得证 （3）05（，）、05-（，）、020（，）、020-（，）】练3．已知：如图，二次函数22416333y x x =--的图像与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为Q ，直线QB 与y 轴交于点E ．（1）求点E 的坐标；（2）在x 轴上方找一点C ，使以点C 、O 、B 为顶点的三角形与BOE ∆相似，请直接写出点C 的坐标．【答案：（1）令0y =，得224160333x x --= 解方程得122,4x x =-=(4,0)B 又22(1)63y x =-- ∴(1,6)Q -设直线BQ ：(0)y kx b k =+≠406k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得28y x =-(0,8)E ∴-（2）12345616848(0,2),(0,8),(4,2),(4,8),(,),(,)5555C C C C C C 】练4．已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点长，沿PE 翻折BPE ∆得到FPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ．（1）如图，当 1.5BP =时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP x =，DG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE FHG ∆∆∽，求BP 的长．【答案：（1）由题意，得,90,BE EF PFE B BEP FEP =∠=∠=︒∠=∠ ∵点E 为BC 的中点22BE EC EF EC ∴==∴== 又90,EFQ C EQ EQ ∠=∠=︒=∴EFQ ECQ ∆∆≌,90FEQ CEQ BEP CEQ ∴∠=∠∴∠+∠=︒又90BPE BEP BPE CEQ ∠+∠=︒∴∠=∠90B C ∠=∠=︒∴BPE CEQ ∆∆∽ 1.522BP BE EC QC CQ ∴==即83CQ ∴= （2）由（1）知：BPE CEQ ∆∆∽，BP BE EC CQ ∴= 242x CQ CQ x ∴=∴=44DQ x ∴=- ∵QD AP //4,4DG DQ AP x AG y AG AP∴==-=+又 4444y x y x -∴=+-21616(12)4x y x x -∴=<<-（3）由题意知：90C GFH ∠︒∠＝＝①当点G 在线段AD 的延长线上时，由题意知：G CQE ∠∠＝∵CQE FQE ∠∠＝∴22DQC FQC CQE G ∠∠∠∠＝＝＝∴90DQG G ∠+∠︒＝∴30G ∠︒＝∴30BQP CQE G ∠∠∠︒＝＝＝tan30BP BE ∴=⋅︒=②当点G 在线段DA 的延长线上时，由题意知：G QCE ∠=∠同理可得：30G ∠=︒30BPE G ∴∠=∠=︒cot30BP BE ∴=⋅︒=综上所述，BP 】课后小测验1.如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和点(2,0)A ，直线AB 与抛物线交于点B ，且45BAO ∠=︒．（1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；（2）在直线AB 上是否存在点D ，使得BCD ∆为直角三角形．若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由．【答案：（1）（2）由可以知道直线AB 的一次项系数为-1,从而可求得直线AB 的解析式为.当时.根据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD 的解析式为,将与联立可求得点D 的坐标为;当时.将与联立得求得点B 的坐标为,然后根据待定系数法求得直线BC 的解析式为直线BC 的解析式为,根据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD 的解析式为,将与联立可求得点D 的坐标为。
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2020年广东省中考数学压轴题：动点问题
如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；
（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；
（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =
-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62
x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484
y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.
x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．
在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．
由于
3
tan
4
GAF
∠=，tan
5
DQ t
PQD
QP t
∠==
-
，所以
3
45
t
t
=
-
．解得
20
7
t=．
图3 图4。