中考数学压轴题动点

中考专题——动点问题详细分层解析（一）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是

GH=32NH=2132⋅OP=2. (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:

①GP=PH 时,x x =+23363

1,解得6=x .经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363

12=+x ,解得0=x .经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x .

综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式

例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .

(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

H M N G P

O A B

图1 x y

例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90

°

,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆

心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.

作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.

(1)求证: △ADE ∽△AEP. (2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例3 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,

△AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.

∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2

1BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆2

1, ∴4+-=x y (40<

在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=

x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-

. ②当⊙O 与⊙A 内切时,

在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=

x . 此时,△AOC 的面积y =2

1274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为

617或21.

A E D C

B 图2 A 3(2) A 3(1 A B C

O 图8

H

C A B C

D

E O l A ′ 中考专题——动点问题（二）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题

（一）点动问题．

1．如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ．

（1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，

求BE 的长；

（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．

[题型背景和区分度测量点] 本题典型的一线三角(三等角)问题,试题在原

题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动

时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系

(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分

度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法]

1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．

2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：

利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. （二）线动问题

在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE

沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求

BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝4

1AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；