中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题)

（2014•济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M

，是否存在这样的点P，

使四边形PACM是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本

问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标；

（3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解．

解

答：

解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，

∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．

（2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D，

∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10）

∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD．

∵OA =5，AC =10，

∴OC ===．∵S△OAC=OC •AD=OA•AC，∴AD=．∴AA′=，

在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°，

∴Rt △A′EA∽Rt△OAC．∴，即．

∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4），

当x =﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A ′在该抛物线上．

（3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b，

则，解得∴直线CA′的解析式为y =x +…（9分）设点P 的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）．

∵PM∥AC，

∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=

AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10．

解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）

当x=2时，y=﹣．

∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形．

点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、

勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．

．（2014•贵州黔西南州, 第26题16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c

经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不

与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自

变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF

沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

第1题图

分

析：

（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．

（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=•PE•y P，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．

（3）由最值时，P为（﹣，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将x P'坐标代入

解析式，判断是否为y P'即可．

解

答：

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，

∴，解得，∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．

（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴设AD为解析式为y=kx+b，有，解得，∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，∴P（x，2x+6），

∴S△APE=•PE•y P=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x （﹣3＜x＜﹣1），

当x=﹣=﹣时，S取最大值．

（3）如图1，设P′F与y轴交于点

N，过P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，

∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE，∴EN=FN，

设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，∵（3﹣m）2+（）2=m2，∴m=．

∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，∴P ′M=．

在Rt△EMP′中，∵EM==，∴OM=EO﹣EM=，

∴P′（，）．

当x =时，y=﹣（）2﹣2•+3=≠，

∴点P′不在该抛物线上．

点评：

本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固．