海伦公式的几种证明与推广(简洁)

海伦公式的几种证明与推广

高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得：

))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(2

1

c b a p ++=

，称为半周长。

图1

C

为了证明该公式，海伦公式有多种变形，如：S=

))()((c p b p a p p ---

=

))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441

c b a b a -+- =4442222222224

1

c b a c b c a b a ---++ （方法一）：利用三角形面积公式C ab s sin 2

1=和余弦定理C ab b a c cos 22

22-+=

C ab s sin 21==C n ab 2

cos 121-=2222)2(121ab

c b a ab -+-下略。

（方法二）：利用三角形最基本的面积公式a ABC ah S 2

1

=

∆入手，并利用勾股定理，如图2。

图2

B

C

在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+a

z y b z x c y x 2

22222解方程，得a b c a y 2222-+=，

a c

b a z 2222-+=，2222222222222)(421)2(b

c a c a a

a b c a c y c x -+-=-+-=-=下略。

（方法三）：利用三角形内切圆

图3

z C

如图3,在△ABC 中，内切圆⊙O 的半径是r,则x r A =2tan

, y r B =2tan ,z

r

C =2tan ,代入恒等式

2tan 2tan

B A ⋅+2tan 2tan

C A ⋅+2

tan 2tan C

B ⋅=1，(考虑三角形内角和之半为九十度，并考虑和角正切公式) 得

1222=++yz

r xz r xy r ，两边同乘xyz ，有等式 xyz z y x r =++)(2

………①

又，x z y y x z x a c b 2)()()(=+-+++=-+ ，所以，2a c b x -+=

，同理2

b

c a y -+=，2c b a z -+=

。………②于是△ABC 的面积r c b a S )(21++==r y x z x z y )(2

1

+++++=r z y x )(++ =22)(r z y x ++，把①、②式代入，即得xyz z y x S )(++=

=

))()()((4

1

b c a a c b c b a c b a -+-+-+++。

三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设四条边长分别为d c b a ,,,，且2

d

c b a p +++=

,则S 四边形=))()()((d p c p b p a p ----

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA ，CB 交于点E 。设EA = e EB = f

∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○

∴∠1 =∠3 ∴△EAB ～△ECD

∴e a f + = c f e + = d b ， ABCD

EAB S S 四边形∆ = 222b d b -

解得： e =22)(b d cd ab b -+ ③ f =2

2)

(b d bc ad b -+ ④由于S 四边形ABCD =222b b d -S △EAB 将③，④跟b =2222)

(b d b d b -+代入海伦公式公式变形，得：

∴S 四边形ABCD =

22

24b b d -222222)(4f b e b e -+-

=2

2

24b b d -22222222222222222242222224)]

)()()()()()([()()()(4b d bc ad b b d b d b b d cd ab b b d b d cd ab b -+---+-+---+

=2

2

2

4b

b

d -{}

2

2222222224

224])()()[()()(4)

(bc ad b d cd ab b d cd ab b d b +--++--+-

=

)(4122b d -2222222222]}{}{}[{)()(4bc ad b d cd ab b d cd ab +--++--+ =

)(41

22b d -)2()()(42222224422222222c b d a b d b d d c b a b d cd ab ---+++--+ =

)(41

22b d -)()([)()(422222222222222c a b d d c d b a b b d cd ab +--+--+--+