2020年中考数学专项训练：与圆有关的证明及计算(含答案)
提分专练与圆有关的证明及计算|类型1|平面直角坐标系中的圆1.[2019·无锡]如图T9-1,一次函数y=kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B,且,△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3.sin∠ABO=√32(1)求这个一次函数的表达式;(2)求图中阴影部分的面积.图T9-12.[2017·酒泉]如图T9-2,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.图T9-2|类型2|垂径定理与勾股定理联手⏜上的一点,过点P作PC⊥OA,垂足为C.PC与AB交于3.[2019·苏州]如图T9-3,扇形OAB中∠AOB=90°,P为AB点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为.图T9-3|类型3|与圆有关的图形的面积4.[2018·达州]已知,如图T9-4,以等边三角形ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证:DF是☉O的切线;⏜,DF,EF围成的阴影部分的面积.(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由DE图T9-4|类型4|与圆的切线有关的问题5.[2019·巴中]如图T9-5,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH 为半径的半圆交AC于点M.(1)求证:DC是☉O的切线;(2)若AC=4MC且AC=8,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.图T9-5|类型5|圆与四边形结合的问题6.[2019·温州]如图T9-6,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的☉O交AB于另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF.(1)求证:四边形DCFG是平行四边形;(2)当BE=4,CD=3AB时,求☉O的直径长.8图T9-6|类型6|圆与三角函数结合的问题7.如图T9-7,AB是☉O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB. (1)判断BD与☉O的位置关系,并说明理由;,求☉O的直径.(2)若CD=15,BE=10,tan A=512图T9-7|类型7|圆与相似三角形结合的问题8.[2019·滨州]如图T9-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:直线DF是☉O的切线;(2)求证:BC2=4CF·AC;(3)若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.图T9-8【参考答案】1.解:(1)作MN ⊥BO 于N ,由垂径定理得N 为OB 中点,∴MN=12OA ,∵MN=3,∴OA=6,即A (-6,0). ∵sin ∠ABO=√32,OA=6, ∴AB=4√3,OB=2√3,B (0,2√3), 将A ,B 点坐标代入y=kx +b , 得{b =2√3,-6k +b =0,解得{b =2√3,k =√33,∴y=√33x +2√3.(2)由(1)得∠ABO=60°,连接OM ,则∠AMO=120°,AM=MB=12AB=2√3.∴阴影部分面积为S=120π360×(2√3)2-12×6×√3=4π-3√3.2.解:(1)∵A 的坐标为(0,6),N 的坐标为(0,2),∴AN=4, ∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8, ∴由勾股定理可知:NB=4√3,∴B (4√3,2). (2)证明:连接MC ,NC.∵AN 是☉M 的直径, ∴∠ACN=90°, ∴∠NCB=90°,在Rt △NCB 中,D 为NB 的中点, ∴CD=12NB=ND , ∴∠CND=∠NCD.∵MC=MN ,∴∠MCN=∠MNC. ∵∠MNC +∠CND=90°, ∴∠MCN +∠NCD=90°, 即MC ⊥CD ,∴直线CD 是☉M 的切线.3.5 [解析] 连接OP ,∵∠AOB=90°,PC ⊥OA ,∴∠DCA=∠AOB=90°,又∠DAC=∠BAO ,∴△ACD ∽△AOB , ∴ACAO =CDOB ,∵OA=OB ,∴AC=CD=1, 又PD=2,∴CP=3, 设CO=x ,则OP=OA=x +1,∵∠PCO=90°,∴OP 2=OC 2+CP 2,∴x 2+32=(x +1)2,解得x=4,∴OA=x +1=5. 4.解:(1)证明:连接OD ,CD.∵BC 是直径,∴∠BDC=90°.∵△ABC 是等边三角形,∴点D 是AB 的中点. ∵点O 是BC 的中点,∴OD ∥AC. ∵DF ⊥AC ,∴OD ⊥DF .∵OD 是半径,∴DF 是☉O 的切线. (2)连接OD ,OE ,DE.∵同(1)可知点E 是AC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,△ADE 是等边三角形. ∵等边三角形ABC 的边长为8, ∴等边三角形ADE 的边长为4. ∵DF ⊥AC ,∴EF=2,DF=2√3.∴△DEF 的面积=12EF ·DF=12×2×2√3=2√3.△ADE 的面积=△ODE 的面积=4√3. 扇形ODE 的面积=60·π·42360=8π3.∴阴影部分的面积=△DEF 的面积+△ODE 的面积-扇形ODE 的面积=2√3+4√3−83π=6√3−8π3.5.[解析](1)过点O 作CD 的垂线,通过证明其与半径相等,得到CD 是切线;(2)通过三角函数计算边长和圆心角度数,得到三角形和扇形的面积,继而可得阴影部分面积;(3)根据轴对称的性质找到点P 的位置,进而计算最小值,利用三角函数求PD 的长度.解:(1)证明:过点O 作OG ⊥CD 于点G , ∵菱形ABCD 中,AC 是对角线, ∴CA 平分∠BCD , ∵OH ⊥BC ,∴OH=OG , ∵OH 是☉O 的半径, ∴OG 长等于☉O 的半径长, ∴CD 是☉O 的切线. (2)∵AC=4MC 且AC=8, ∴OC=2MC=4,MC=OM=2, ∴OH=OM=2.在Rt △OHC 中,OH=2,OC=4, ∴HC=√OC 2-OH 2=2√3, ∴tan ∠HOC=HCOH =√3,∴∠HOC=60°,∴S 阴影=S △OCH -S 扇形OHM =12CH ·OH -60π·OH 2360=12×2√3×2-60π·22360=2√3−23π.(3)作点M 关于BD 的对称点N ,连接HN 交BD 于点P ,此时PH +PM 的值最小. ∵ON=OM=OH ,∠MOH=60°, ∴∠MNH=30°,∠MNH=∠HCM , ∴HN=HC=2√3,即PH +PM 的最小值为2√3. 在Rt △NPO 中,OP=ON tan30°=2√33, 在Rt △COD 中,OD=OC tan30°=4√33, ∴PD=OP +OD=2√3.6.解:(1)证明:连接AE.∵∠BAC=90°, ∴CF 是☉O 的直径.∵AC=EC ,∴CF ⊥AE.∵AD 为☉O 的直径,∴∠AED=90°, 即GD ⊥AE ,∴CF ∥DG.∵AD 为☉O 的直径,∴∠ACD=90°, ∴∠ACD +∠BAC=180°,∴AB ∥CD , ∴四边形DCFG 为平行四边形.(2)由CD=38AB ,可设CD=3x ,AB=8x ,由(1)可知FG=CD=3x. ∵∠AOF=∠COD ,∴AF=CD=3x , ∴BG=8x -3x -3x=2x. ∵GE ∥CF ,∴BE EC =BG GF =23. 又∵BE=4,∴AC=CE=6, ∴BC=6+4=10,∴AB=√102-62=8=8x ,∴x=1. 在Rt △ACF 中,AF=3,AC=6, ∴CF=√32+62=3√5, 即☉O 的直径长为3√5.7.解:(1)BD 与☉O 相切.理由如下:连接OB , ∵OB=OA ,DE=DB ,∴∠A=∠OBA ,∠DEB=∠ABD , 又∵CD ⊥OA ,∴∠A +∠AEC=∠A +∠DEB=90°, ∴∠OBA +∠ABD=90°, ∴OB ⊥BD ,∴BD 是☉O 的切线.(2)如图,过点D 作DG ⊥BE 于G , ∵DE=DB ,∴EG=12BE=5,∵∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED , ∴△ACE ∽△DGE , ∴∠GDE=∠A , ∵tan A=512,∴sin A=513,∴sin ∠EDG=sin A=EGDE =513,∴DE=13, 在Rt △EDG 中,DG=√DE 2-EG 2=12,∵CD=15,DE=13,∴CE=2, ∵△ACE ∽△DGE ,∴ACDG =CEGE ,∴AC=CE GE·DG=245,∴☉O 的直径=2OA=4AC=965. 8.解:(1)证明:如图所示,连接OD ,∵AB=AC ,∴∠ABC=∠C , ∵OB=OD ,∴∠ODB=∠ABC=∠C , ∵DF ⊥AC ,∴∠CDF +∠C=90°, ∴∠CDF +∠ODB=90°, ∴∠ODF=90°,∴直线DF 是☉O 的切线. (2)证明:连接AD ,则AD ⊥BC , ∵AB=AC ,∴DB=DC=12BC.∵∠CDF +∠C=90°,∠C +∠DAC=90°, ∴∠CDF=∠DAC ,又∠DFC=∠ADC=90°,∴△CFD ∽△CDA , ∴CD AC =CFCD ,∴CD 2=AC ·CF ,∴BC 2=4CF ·AC.(3)连接OE ,作OG ⊥AE 于G.∵∠CDF=15°,∴∠C=75°,∠OAE=30°=∠OEA ,∴∠AOE=120°, ∴AE=2EG=2OE ·cos30°=2×4×√32=4√3. ∴S △OAE =12AE ·OE ·sin ∠OEA=12×4√3×4×12=4√3, ∴S 阴影部分=S 扇形OAE -S △OAE =120360×π×42-4√3=16π3-4√3.。
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
2020年中考数学试题《圆》试题精编含答案
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
24．（2020•临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以 O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
27．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
28．（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
1．【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，∵O Nhomakorabea＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
2020年中考总复习圆的经典题型汇总(含答案)
1、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O 交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．3、如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数．（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．5、如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．8、如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．9、如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．10、如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．12、如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB 交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．13、如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．14、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC 至F点，使CF＝CD，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．15、已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积16、如图在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接OD．（1）求证：OD∥BC；（2）过点D作⊙O的切线，交BC于点E，若∠A＝30°，求的值．17、如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．18、如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》1．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD 延长线于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．3．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK ＝9BK，若OL＝，求BD的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．5．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．6．如图，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．（1）求证：AI是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径是5．①若E是BI的中点，OE＝，则BI＝；②若BC＝16，求AI的长．7．[教材呈现]图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．[结论应用]（1）如图②，在Rt△ABC中，F是AD中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在BC上（点D不与B、C重合），DE⊥AB于点E，连结CE、CF、EF．当AD＝4时，S＝．△CEF（2）如图③，AD是⊙O直径，点C、E在⊙O上（点C、E位于直径AD两侧），在⊙O 上，且sin∠DAC＝，CD＝2．当四边形OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长．8．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若∠CAB＝36°，⊙O的半径为12，求的长．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；11．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．12．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．13．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．14．如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P 是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC 的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；（2）求⊙P的半径．15．已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；（3）如图3，在（2）的条件下，射线BG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为B的中点，MN＝，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．2．解：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，延长BC交AE的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CFD∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AD＝．3．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．4．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．5．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．6．（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI．∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．∴∠1＝∠3．∵AB＝AC，∴AD⊥BC．又∵OB＝OI，∴∠3＝∠2．∴∠1＝∠2．∴OI∥BD．∴OI⊥AI．∴AI为⊙O的切线．（2）①解：∵E是BI的中点，∴OE⊥BI．在直角△OBE中，OB＝5，OE＝，则由勾股定理知：BE＝＝＝2．∴BI＝2BE＝．故答案是：；②解：由（1）知OI∥BC，∴△AOI～△ABD．∴，∴＝．∴．∴．∴AI＝•AD＝×＝．7．解：[教材呈现]已知：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，求证：CD＝AB．证明：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则DF∥BC，DE∥AC，∵CD是中线，∴AF＝FC，BE＝EC，∴直线DE是线段AC的垂直平分线，直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DA＝DC，DB＝DC，∴CD＝DA＝DB＝AB；[结论应用]（1）CF、FE分别是Rt△ACD、Rt△ADE的中线，则CF＝EF＝AD＝2，设：∠CAF＝α＝∠ACF，∠FAE＝β＝∠AEF，∠CAB＝α+β＝60°，∠CFE＝∠FCA+∠FAC+∠FEA+∠FAE＝2α+2β＝120°，故△CEF为腰长为2，顶角为120°的等腰三角形，过点F作FH⊥CE，则S＝×CE×FH＝2×1＝，△CEF故答案为：；（2）设sin∠DAC＝＝sinα，CD＝2，则AD＝6，OC＝OE＝AD＝3，①当CD∥OE时，如图③（左侧图），则∠ADC＝∠DOE＝∠β，sin＝cosβ，过点D作DH⊥OE交OE于点H，OH＝OD cosβ＝3×＝1，则HE＝3﹣1＝2，同理DH＝2，DE＝＝2，AE＝＝＝2；②当OC∥DE时，如图③（右侧图），则∠COD＝∠ODE＝2α，过点O作ON⊥DE于点N，则DN＝EN，DE＝2DN＝2×OD cos2α＝2×3×＝（注：cos2α的求法见备注），AE＝＝＝；综上，AE＝2或；备注：等腰三角形ABC，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，设∠BAD＝∠CAD＝α，设sin，设BD＝CD＝a，则AB＝AC＝3a，则AD＝2a，S＝AD×BC＝AB×CE，△ABC即2a×2a＝3a×CE，则CE＝，sin2α＝＝，则cos2α＝．8．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．9．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵点C是的中点，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOC＝2∠CAB＝2×36°＝72°，∵，∴∠BOD＝2∠BOC＝144°，∴的长＝＝π．10．解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．11．解：（I）如图①，∵OA＝OC，∠OAC＝58°，∴∠OCA＝58°∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝90°﹣64°＝26°；（II）∵∠AOC＝64°，∴∠Q＝∠AOC＝32°，∵AQ＝CQ，∴∠QAC＝∠QCA＝74°，∵∠OCA＝58°，∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．12．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．13．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．14．（1）证明：连接CP，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA，∵AC平分∠OAB，∴∠PAC＝∠EAC，∴∠PCA＝∠EAC，∴PC∥AE，∵CE⊥AB，∴CP⊥EF，即EF是⊙P的切线；（2）∵AC平分∠OAB，∴∠BAC＝∠OAC，∵PA＝PC，∴∠BAC＝∠ACP，∴PC∥AB，∴△OPC∽△OAB，∴＝，∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，∴AB＝，∴＝，∴PC＝5，∴⊙P的半径为5．15．（1）证明：如图1，连接AC、BF、CF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠AEC＝∠BED，∠AEC＝∠BEF，∴∠BEF＝∠BED，∵ED⊥AB，∴∠BDE＝∠AFB＝90°，又∵BE＝BE，∴△BDE≌△BFE（AAS），∴∠ABC＝∠FBC，∵，∴∠ABC＝∠AFC，∵，∴∠CAF＝∠FBC，∴∠CAF＝∠AFC，∴AC＝CF，∴；（2）证明：如图2，连接OF、BF，作AS⊥AF于点A，交FG的延长线于点S，∵，∴AOC＝∠FOC，∵AO＝OF，∴OC⊥AF，∴AH＝HF＝AF，∵∠BAF＝45°，∴AF＝BF，∵FG⊥BH，AS⊥AF，∴∠S＝∠BHF，又∵∠SAF＝∠HFB＝90°，∴△FSA≌△BHF（AAS），∴AS＝HF＝AH，∵∠SAG＝∠GAH＝45°，AG＝AG，∴△SAG≌△HAG（SAS），∴∠SGA＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BGF；（3）解：如图3，过点O作OR⊥HP于点R，OT⊥BH于点T，∵△SAG≌△HAG，∴∠AHG＝∠S＝∠BHF，∵OH⊥AF，∴∠OHG＝∠OHB，∵∠ORH＝∠OTH＝90°，OH＝OH，∴△ORH≌△OTH（AAS），∴RH＝TH，OR＝OT，又∵OP＝OB，∠ORP＝∠OTB＝90°，∴Rt△ORP≌Rt△OTB（HL），∴PR＝BT，∴PR+RH＝BT+TH，即PH＝BH，∴∠HPB＝∠HBP，设∠OPR＝∠OBT＝α，∵∠AOH＝∠A＝45°，∴∠PHO＝∠BHO＝∠AOH﹣∠OBH＝45°﹣α，∴∠PHB＝90°﹣2α，∴∠HPB＝∠HBP＝45°+α，∴∠PBO＝45°，∵PO＝BO，∴∠OPB＝∠OBP＝45°，∴PO⊥AB，∵PK⊥BH，GF⊥BH，∴PK∥GF，∴∠PMG＝∠BGF，∵∠PGM＝∠AGH，∴∠PGM＝∠PMG，∴PG＝PM，∴OG＝OM，过点M作ML⊥BP于点L，∵∠PBH＝∠BHF＝45°+α，∴tan∠PBH＝tan∠BHF＝＝2，∵∠MPL＝∠BPK，∴∠PML＝∠PBH，∴tan∠PML＝tan∠PBH＝2，设BM＝4a，则BL＝ML＝2a，∴PL＝4a，∴PB＝6a，∴PO＝BO＝6a，∴OM＝OG＝2a，∴GM＝4a，∴GM＝BM，∵N为BH的中点，∴MN为中位线，∴GH＝2MN＝，过点G作GU⊥OH于点U，则tan∠GHO＝tan∠OHB＝tan∠FBH＝，在Rt△GUH中，设GU＝b，则UH＝2b，GH＝b，∴GU＝，∴GO＝2＝2a，∴a＝1，∴OB＝6a＝6，即⊙O的半径为6．。
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷(附答案)
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACD＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）解：连接OE，ED，∵∠BAC＝60°，OE＝OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠ADE＝30°，又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADE＝∠OAD，∴ED∥AO，∴四边形OAED是菱形，∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，∴S△AED ＝S△AOD，∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π．2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BAC＝∠BCE，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝4，∵BC＝3，∴AC＝＝＝．3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．（1）证明：连接OE ．∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，又∵∠DAE ＝∠OAE ，∴∠OEA ＝∠DAE ，∴OE ∥AD ，∴∠ADC ＝∠OEC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°，故∠OEC ＝90°．∴OE ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠C ＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE ＝OE ＝2，∠COE ＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝2×2﹣＝2﹣．4．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．解：（1）△FAG等腰三角形；理由：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，∴∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AGB＝90°∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，∴AF＝BF，又∵AF＝FG，∴F为BG的中点∵△BAG为直角三角形，∴AF＝BF＝BG＝13，∵DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BC＝，∴⊙O的直径BC＝．5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是∠QPB＝2∠AQP；②若BE＝BQ＝3，求BP的长；（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°，∴BE＝AE＝EQ，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠QEB＝2∠EBP，∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E，∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA，∴∠QPB＝2∠AQP，故答案为：∠QPB＝2∠AQP；②∵BE＝BQ，∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ，∴∠BPQ＝∠BQE，∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ，∴，∴，∴BP＝（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，∵AP＝3，AB＝6，∴BP＝3，∴PQ＝＝＝，∵OE⊥PQ，∴QE＝PE＝，∵cos∠PQB＝＝，∴＝∴OQ＝5，∴⊙O的半径为5；②如图2，若⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵BC是⊙O切线，∴OQ⊥BC，且AB⊥BC，∴OQ∥AB，∴∠OQP＝∠BPQ，∴cos∠OQP＝cos∠BPQ，∴，∴∴OQ＝；如图3，若⊙O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵AB是⊙O切线，∴OP⊥AB，且AB⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPQ＝∠PQB，∴cos∠OPQ＝cos∠PQB，∴∴，∴OP＝5；如图4，若⊙O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OH⊥AB于H 点，∴OM⊥AD，且BC∥AD，∴OF⊥BC，∵∠A＝∠B＝∠AMO＝∠OFB＝∠OHB＝90°，∴四边形AHOM，OHBF是矩形，∴OM＝AH，OH＝BF，∵OQ2＝OF2+FQ2，OP2＝OH2+PH2，∴OQ2＝（6﹣OQ）2+（BF﹣1）2，OQ2＝BF2+（OQ﹣3）2，∴OQ＝5﹣若图5，若⊙O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OH⊥BC于H 点，同理可得：OP2＝PE2+OE2，OQ2＝OH2+QH2，∴OQ2＝（3﹣OH）2+（4﹣OQ）2，OQ2＝OH2+（4﹣OQ﹣1）2，∴OQ＝35﹣6．6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB ＝6，BC＝，（1）求证：F是DC的中点．（2）求证：AE＝4CE．（3）求图中阴影部分的面积．（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，∴CF＝DC﹣DF＝3，∴DF＝FC，即F是CD的中点；（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，∴∠DAF＝30◦，∴∠BAF＝60◦，由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF，∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，∴EF＝2CE，∴AE＝4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∴OP∥DF，∵∠DAF＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA，∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2，∴AP＝＝2，∴DP＝AD﹣AP＝，∵∠OFH＝60°，OH＝OF，∴△OHF为等边三角形，∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2，∴DH＝DF﹣HF＝1，∵OP∥DF，∴∠POH＝∠OHF＝60°，∴∠POH＝∠HOF，∴＝，∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．（1）求证：∠A＝∠CBD．（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O 相切，并说明理由．（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD；（2）BM＝．理由如下：如图，连接OD，DM，∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝8，OA＝5，∵∠A＝∠CBD，∵Rt△CBD∽Rt△BAD，∴＝，即＝，解得BC＝取BC的中点M，连接DM、OD，如图，∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，∴DM＝BM，∵∠2＝∠4，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥DM，∴DM为⊙O的切线，此时BM＝BC＝．8．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．解：（1）连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE＝DE＝3，，∴∠AOE＝2∠B＝60°，∴∠CEO＝30°，OC＝OE，由勾股定理得OE＝2；（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，S＝π（2）2﹣（2）2＝3π﹣6．阴影11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．（1）证明：补全图形如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，∴OE＝OB．∴∠2＝∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE，∴EF是△ABC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，∴＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝12．∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，∴四边形C FEH是矩形．∴EF＝HC，∠EHC＝90°．∴EF＝HC＝AC＝6．12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为10 ，最小值为 6 ．（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∴AF＝BF＝4，DE＝CE，∴OF＝＝＝3，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°，∴四边形CEOF是矩形，∴CE＝OF＝3，∴CD＝6，∴CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，∵DH＝7，CH＝9，∴CD＝16，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝＝＝4，∵，＝，∴，∠ADH＝∠ADC，∴△ADH∽△CDA，∴∠AHD＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于N，∵∠ADC＝60°，AB⊥CD，∴AF＝DF，∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，∴四边形OEHF是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED，∴OF＝EH，∵OF＝＝＝3，∴EH＝3，∴ED＝CE＝3+DH，∴CF＝3+2DH，∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且AO＝CO＝5，ON⊥AC，∴∠CAO＝30°，AN＝CN，∴NO＝，AN＝，∴AC＝5，∵AH2+CH2＝AC2，∴75＝3DH2+（3+2DH）2，∴DH＝2﹣，∴CD＝2CE＝2（3+2﹣）＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为 4 ；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH＝＝2，∴y＝﹣×4×2+×4×x＝2x+π﹣4（0＜x≤2+4）．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．（1）解：结论：DE与⊙O相切证：连接OD在⊙O中，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝DC，∵AD＝DC，点O是AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵DE∥AC，∴∠DOA＝∠ODE＝90°，∵∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D，∴DE与⊙O相切．（2）解：连接BD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE，∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠CDE＝45°，在△ABD和△CDE中，∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴AD＝DC＝4，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，∴AC＝＝＝8，∴⊙O的半径为4．15．（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下：设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：∠BEC＝∠BDC+∠DBE，∴∠BEC＞∠BDC，∵∠A＝∠BEC，∴∠A＞∠BDC；（2）∠A＜∠BDC，理由如下：延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD，∴∠BDC＞∠BFC，又∵∠A＝∠BFC，∴∠A＜∠BDC；（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，∵M（1，0），N（4，0），∴OM＝1，MN＝3，∴MH＝HN＝MN＝，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，∴x﹣1＝，∴x＝，∴O′H＝＝＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（0，2）；②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：同理可得O′H＝OP＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）；综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．。
2020最新中考数学专项练习：与圆有关的证明与计算题
中考数学专项练习：与圆有关的证明与计算题本文档中含有大量公式，转换为网页过程中可能会出现公式位置错误的可能，但下载后均可正常显示，欢迎下载！一、单选题1．如图，AB 是O e 的弦，OC AB ⊥交O e 于点C ，点D 是O e 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D 【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC =∠OCA =∠AOC ，得出△OAC 是等腰三角形，得出∠BOC =∠AOC =60°即可．【详解】解：如图，∵30ADC ∠=︒，∴260AOC ADC ∠=∠=︒．∵AB 是O e 的弦，OC AB ⊥交O e 于点C ，∴»»AC BC=． ∴60AOC BOC ∠=∠=︒．故选：D ．2．如图，AB 为O e 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O e 交于点C ，延长BO 与O e 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为( )A ．54oB ．36oC ．32oD ．27o【答案】D 【分析】由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=o903654AOB ∴∠=-=o o oOD OA =QOAD ODA ∠=∠∴AOB OAD ODA ∠=∠+∠Q27ADC ADO ∴∠=∠=o故选D3．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为（ ）A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°【答案】A 【分析】根据题意连接OC ，COP ∆为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的COP ∠的度，再根据直角三角形可得P ∠的度数.【详解】根据题意连接OC .因为119A ∠=︒所以可得BC 所对的大圆心角为2119238BOC ︒︒∠=⨯=因为BD 为直径，所以可得23818058COD ︒︒︒∠=-=由于COP ∆为直角三角形所以可得905832P ︒︒︒∠=-=故选A .【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是这段弧所在圆的圆心，40AB m =，点C 是¶AB 的中点，且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A 【分析】根据题意，可以推出AD ＝BD ＝20，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣10，OB ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．【详解】解：OC AB ⊥Q ，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+，设半径为r 得：()2221020r r =-+，解得：25r m =， ∴这段弯路的半径为25m故选：A ．5．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC ∆沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB上的点D 处，且¼¼:1:3BD AD ''=（¼BD'表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1:3B ．1:πC ．1:4D ．2:9【答案】D 【分析】连接OD ，求出∠AOB ，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.【详解】解：连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：12OM OA =，90OMA ∠=︒， 30OAM ∴∠=︒，60AOM ∴∠=︒，Q 且¼¼:1:3BD AD ''=，80AOB ∴∠=︒设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，802180l r ππ=， :2:9r l ∴=．故选：D ．6．如图，边长为ABC ∆的内切圆的半径为( )A ．1B C ．2 D ．【答案】A 【分析】连接AO 、CO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，利用内心的性质得CH 平分∠BCA ，AO 平分∠BAC ，再根据等边三角形的性质得∠CAB =60°，CH ⊥AB ，则∠OAH =30°，AH =BH =1 2 AB =3，然后利用正切的定义计算出OH 即可．【详解】设ABC ∆的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，∵ABC ∆为等边三角形，∴CH 平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠，∵ABC ∆为等边三角形，∴60CAB ︒∠=，CH AB ⊥，∴30OAH ︒∠=，12AH BH AB ===在Rt AOH ∆中，∵OH tan tan30AHOAH ︒∠==，∴1OH ==， 即ABC ∆内切圆的半径为1．故选A ．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB=BC =2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A．42π- B．42π+ C．π D．2π【答案】A【分析】连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，则有AD =2AH ，∠AHO =90°，在Rt △ABC 中，利用∠A 的正切值求出∠A =30°，继而可求得OH 、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD 进行计算即可.【详解】连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，则有AD =2AH ，∠AHO =90°，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB=BC =2，tan ∠A=BC AB ==， ∴∠A =30°，∴OH =12OAAH =AO •cos ∠A32=，∠BOC =2∠A =60°， ∴AD =2AH =3，∴S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD=2601123222360π⨯⨯-⨯⨯-2π-，故选A.8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF 为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴11()22AB AC BC r AB AC++=⋅，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r ²=4，故选A .9．如图，AB 是O e 的直径，C ，D 是O e 上的两点，且BC 平分ABD ∠，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．OC BD PB ．AD OC ⊥ C ．CEF BED ∆≅∆ D ．AF FD =【答案】C 【分析】由圆周角定理和角平分线得出90ADB ∠=︒，OBC DBC ∠=∠，由等腰三角形的性质得出OCB OBC ∠=∠，得出DBC OCB ∠=∠，证出OC BD P ，选项A 成立；由平行线的性质得出AD OC ⊥，选项B 成立；由垂径定理得出AF FD =，选项D 成立；CEF ∆和BED ∆中，没有相等的边，CEF ∆与BED ∆不全等，选项C 不成立，即可得出答案．【详解】∵AB 是O e 的直径，BC 平分ABD ∠，∴90ADB ∠=︒，OBC DBC ∠=∠，∴AD BD ⊥，∵OB OC =，∴OCB OBC ∠=∠，∴DBC OCB ∠=∠，∴OC BD P ，选项A 成立；∴AD OC ⊥，选项B 成立；∴AF FD =，选项D 成立；∵CEF ∆和BED ∆中，没有相等的边，∴CEF ∆与BED ∆不全等，选项C 不成立，故选C ．10．如图，在Rt ABC ∆中，90304ACB A BC ∠=︒∠=︒=，，，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43πB ．232π-C ．132π-D ．13π【答案】A 【分析】根据三角形的内角和得到60B ∠︒＝，根据圆周角定理得到12090COD CDB ∠︒∠︒＝，＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，9030ACB A ∠︒∠︒＝，＝，60B ∴∠︒＝，120COD ∴∠︒＝，4BC Q ＝，BC 为半圆O 的直径，90CDB ∴∠︒＝，2OC OD ∴＝＝，CD ∴==图中阴影部分的面积2120214136023COD COD S S ππ∆⋅⨯-⨯=扇形＝﹣＝ 故选：A ．二、填空题11．如图，O e 的两条相交弦AC 、BD ，60ACB CDB ︒∠=∠=，AC =O e 的面积是_______．【答案】4π．【分析】由A BDC ∠=∠，而60ACB CDB ︒∠=∠=，所以60A ACB ︒∠=∠=，得到ACB ∆为等边三角形，又AC =O e 的面积．【详解】解：∵A BDC ∠=∠，而60ACB CDB ︒∠=∠=，∴60A ACB ︒∠=∠=，∴ACB ∆为等边三角形，∵AC =∴圆的半径为2，∴O e 的面积是4π，故答案为4π．12．如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)【答案】π－1【分析】延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ， 则图中阴影部分的面积＝14×（S 圆O −S 正方形ABCD ）＝14×（4π−4）＝π−1， 故答案为：π−1．13．如图，CD 为O e 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，»»AB BF=，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为______．【答案】485【分析】连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，利用垂径定理得到3AE BE ==，设O e 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =，根据勾股定理得到22231()r r +-=，解得=5r ，再利用垂径定理得到OB AF ⊥，AG FG =，则2225AG OG +=，222()56AG OG +-=，然后解方程组求出AG ，从而得到AF 的长．【详解】连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，∵AB CD ⊥，132AE BE AB ∴===， 设⊙O 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =， 在Rt OAE ∆中，22231()r r +-=，解得=5r ，∵»»AB BF=， OB AF ∴⊥，AG FG =，在Rt OAG ∆中，2225AG OG +=，①在Rt ABG ∆中，222()56AG OG +-=，② 解由①②组成的方程组得到245AG =， 4825AF AG ∴==． 故答案为485． 14．如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a ，则勒洛三角形的周长为__________．【答案】a π【分析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，计算弧长即可.【详解】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为：60πa 1πa.1803⋅= 则勒洛三角形的周长为：1πa 3πa.3⨯=故答案为：πa.15．如图，在平面直角坐标系中，已知D e 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为(0,，OC 与D e 交于点C ，30OCA ∠=︒，则圆中阴影部分的面积为_____．【答案】2π-【分析】由圆周角定理可得30OBA C ∠=∠=︒，在Rt △AOB 中，利用解直角三角形求出OA 、AB 的长，然后根据S 阴=S 半-S △ABO 求解即可.【详解】连接AB ，∵90AOB ∠=︒，∴AB 是直径，根据同弧对的圆周角相等得30OBA C ∠=∠=︒，∵OB =∴tan tan 302OA OB ABO OB ︒=∠===，sin 304AB AO ︒=÷=，即圆的半径为2，∴2212222ABO S S S ππ⨯=-=-⨯⨯=-△阴影半圆故答案为：2π-．16．如图，AB 是圆O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧¶AB 沿弦AB 折叠交于OC的中点D ，若AB =，则圆O 的半径为_____．【答案】【分析】连接OA ，设半径为x ，用x 表示OC ，根据勾股定理建立x 的方程，便可求得结果．【详解】解：连接OA ，设半径为x ，Q 将劣弧»AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ， 23OC x ∴=，OC AB ⊥， 1102AC AB ∴==， 222OA OC AC -=Q ，222()103x x ∴-=， 解得，32x =．故答案为32．17．如图，扇形OAB 中，90AOB ∠=︒.P 为弧AB 上的一点，过点P 作PC OA ⊥，垂足为C ，PC 与AB 交于点D ，若2,1PD CD ==，则该扇形的半径长为___________【答案】5【分析】连接OP ，设半径为r ，在直角三角形OCP 中利用勾股定理将CO 用r 表示，得到AC ，又有△ACD ∽△AOB ，利用AC DC AO BO=，解出r 即可 【详解】连接OP ，设半径为r ，则OP =OA =OB =r ，PC =PD +CD =3,在直角三角形OCP 中，222OC PC OP +=，即得OC 2=r 2-9，得到OC得到AC =r ACD ∽△AOB ，所以AC DC AO BO =1r =，得到r 1=，解出r =5；故填518．如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，2OB =，P 为»AB 上任意一点，过点P 作PE OB ⊥于点E ，设M 为OPE ∆的内心，当点P 从点A 运动到点B 时，则内心M 所经过的路径长为_____．【答案】2【分析】以OB 为斜边在OB 的右边作等腰/Rt P OB ∆，以/P 为圆心PB 为半径作⊙/P ，在优弧OB 上取一点H ，连接HB ，HO ，BM ，MP ．求出135OMP ︒∠=，证()OMB OMP SAS ∆≅∆，得135OMB OMP ︒∠=∠=，由180H OMB ︒∠+∠=，证,,,O M B H 四点共圆，故点M 的运动轨迹是»OB，由弧长公式可得. 【详解】如图，以OB 为斜边在OB 的左边作等腰/Rt P OB ∆，以/P 为圆心/P B 为半径作⊙/P ，在优弧OB 上取一点H ，连接HB ，HO ，BM ，MP ．∵PE OB ⊥，∴90PEO ∠=o ，∵点M 是内心，∴135OMP ︒∠=，∵OB OP =，MOB MOP ∠=∠，OM OM =，∴()OMB OMP SAS ∆≅∆，∴135OMB OMP ︒∠=∠=， ∵1452H BPO ︒∠=∠=， ∴180H OMB ︒∠+∠=，∴,,,O M B H 四点共圆，∴点M 的运动轨迹是»OB，∴内心M 所经过的路径长==，． 19．如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影部分的面积为_____.【答案】34π【分析】根据题意连接OC ，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC 所对的阴影部分面积等于弧AC 所对圆心角的面积减去OAC ∆的面积，而不规则图形BCD 的面积等于OBC ∆的面积减去弧DC 所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接OC,90903060OA OC OAB B ︒︒︒︒=∠=-∠=-=QACO ∴∆为等边三角形60AOC ︒∴∠=∴阴影部分面积1=26013333cos3036022ππ︒⨯⨯-⨯⨯=-∴阴影部分面积2=21330332236044ππ⨯-⨯⨯=- ∴阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=34π 故答案为34π。
2020届中考数学 几何专题：与圆有关的性质(含答案)
2020届中考数学 几何专题：与圆有关的性质（含答案）一、选择题1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°2.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB＝，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A.30°B.60° C.30°或150° D.60°或120°3.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．94.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53 96.如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o，那么sin ∠AEB 的值为( )A. B. C. D.8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．5米9.如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．213322233A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米11.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）12.如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ．D ．OD ＝DE13.如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的 长是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2OA AB BO --OP s t s t AE BE =O A ． B ．C ．D ．15．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O的半径为，则弦CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是上和点C 不重合的一点，则的度数为 .2.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，则 度． cm 33cm 23cm 9cm 12AC D ∠17040A ∠=∠=°，°，C ∠=4.在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为，弦AD 长为．则DC 2＝______5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.已知的直径为上的一点，，则＝ _ ．7.如图，的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是 cm ．8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA ＝，则∠ABD ＝°.9.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠A CO ＝32°，则∠COB 的度数等于 ． 32O ⊙8cm AB C =，O ⊙30BAC ∠=°BC cm O 5cm OA =，8cm AB =，P AB P O BC 28BABCD 1三、解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ＝BF ；（2）若AD ＝2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．2.已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为．求⊙O 1的半径．3.已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？5图2 BC CD DE ==4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：.【参考答案】选择题1. B2.DBF BG BC ⋅=23. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10. D11. C12. D13. D14. A15. A16. B填空题1. 30°2. 403. 304.5. 26. 47. 38. 289. 64º解答题1. 证明：（1） 连结AC ，如图。
人教版中考数学2020圆的有关计算及证明狂练29题,有答案可编辑
1 / 60专题07圆的有关计算及证明一.选择题（共 9小题）1 . （2020?丰台区一模）在。
中按如下步骤作图：（1）作。
O 的直径AD;（2）以点D 为圆心，DO 长为半径画弧，交 。
于B, C 两点； （3）连接 DB, DC, AB, AC, BC.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）DA. /ABD=90°B, /BAD = /CBD C. ADXBCD . AC = 2CD12. （2020?海淀区一模）如图，AB 与。
相切于点B, AO 的延长线交。
于点C,连结BC,若OC= 1OA,则/ C 等于（）A.BA. 15°B. 30°C. 45°D , 60°3. （2020?平谷区一模）已知锐角/ AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C,以点。
为圆心，OC 长为半彳5作弧 DE,交射线OB 于点F,连接CF;（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G;2 / 603 / 60（3）连接FG, CG.作射线 OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）B.若 CG=OC,则/ AOB = 30°D. CG=2FG4. （2020?石景山区一模）如图，点A, B, C, D 在。
上，弦AD 的延长线与弦BC 的延长线相交于点 E.用①AB 是。
O 的直径，②CB=CE,③AB = AE 中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 35. （2020?西城区一模）如图， AB 是。
的直径，C, D 是。
O 上的两点.若/ CAB=65° ,则/ ADC 的度数为（）A. / BOG=Z AOB C. OF 垂直平分CGA.65°B.35°C. 325D. 256.（2020?延庆区一模）如图，在。
中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)
圆的证明与计算1.如图，已知八ABC内接于AO, P是圆外一点，PA为40的切线, = PB,连接0P ,线段AB与线段0P相交于点D.(1)求证：PB为40的切线；- 4⑵ 若PA=4P0, z\0的半径为10,求线段PD的长.5(1)证明：△△△△△0Az\0Bz\ZSPA/SPBA0AA0BA0PA0PA△ 3APz\8BP(SSS) △A210APA210BPA/SPAA210AAAAA210APA90 △A210BPA90 △A0BA210AAAA/SPBA210AAAA_ _ 4_ _ ............(2)解：APA/VP0A210AAAA 10A PA第1题图第1题解图△ △ Rt AOP A Z1OA A A J P O22\21|P O^ A10A人人八人50人A/POA V A3AO OD△ cos AOP/^O P A A O AAODA6A人_ _____ 32APD APOAODA-y.32.AAAAABCA/iAB^CA/lDABCAAAAADADCA/lAAB/SDAAAzOA AEA21OAAAAADE.A 1AAAACA/1OAAAAA2AA C OSA32^C A 24 A A A AE A A.第2题图(1)证明：AABAACAAD ADC △Az^CAz^BAz^DACA^CA△RAC△2△AAZEA21BA△RAC△任△Z^EA/IOAAAAA21ADEA90 △△任△21EAD"0° △A/DACA21EADA90 △△任AC490° △AOAA21OAAAAAACAODAAAA(2)解：AAAAADA DF 丛C△任△第2题解图DAADCCA…1… 人△CF A2ACA12ACF 3ARtzCDFAAA G(C/\C D A5A△DC A 20 △AAD A 20 △ARtzCDFAAAAAAA DF ,CD2-CF216 △A21ADEA21DFCA90 AEA21CAA21ADEA21DFCA噬噜△AE 20A— A20 AA Z^EA25A20 16A21OAA/AEA 25.3.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径作AO,交BC于点D,交AC 于点E,过点E作AO的切线EF,交BC于点F.(1)求证：EFABC;(2)若 CD=2, tan C=2,求 AO 的半径.第3题图(1)证明：如解图，连接BE, OE.第3题解图AAB为AO的直径，△MEB=90 .AAB=BC,△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，AOEABC,△EF是AO的切线，△EF4E.△EFABC;(2)解：如解图，连接AD,八AB为AO的直径，△ AADB=90 ,△CD=2, tan C=AD 2CDAAD=4.设 AB=x,贝U BD=x-2.在 RtAABD 中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,即 x2=42+ (x— 2) 2, 解得x=5,即AB=5,△ 8的半径为5 .24.AAAAZOWZ1ABAAAAABCAAADA21BCAAAAAE.A 1AAA/SDACA21DCEA..................1人人人人A2A ABA 2A siD △不△ AAE4/X.第4题图(1)证明：Z^DA/IOAAAA△PAB A90 .Z^BA/IOAAAAA21ACBA90 .A/DACA21CABA90 2ICABA/^ABCA 90 △A/DACA/^BC.AOCAOBAA.BCBCOCOCBAAAZDCEAz^OCBAA21DACA21DCEA(2)解：AABA2 △AAOA1.△sinD A ODAODA3ZDC A2 △ARtzDAOAA△△△△△AD △ OD2AOA2A2 2 △A21DACA21DCEA21DA/1DAA21DECA21DCAA A DC A DE A DA A DC 人2人DEA2 ,2 A2△RE △ ,2 △AAEAAD ADE △ 2.5.AAABA21OAAZDAA/DAAAAAADACDAOAA21ABA21EAA/OA1AAACEACBAA2AAAFABFAA/ABFAAAA人人-人人人 DE人5人人…人人人A3A/CDA 15ABE4 1OZ A E A13AAZ O AA A-(:第5题图(1)证明：△△△△△OB4A第5题解图BBCAOJAAAAAOBABCA AzOBCA 90 △A21OBAA21CBEA90 △AOAAOBAA21OABA21OBAAA21OAB+ACBEA 90 △A21CDAOAAA21OABA21DEAA90 △AA/CEBA21DEAAA21CBEA21CEBAACEACBA(2)解：△△△△△/△ADA ADO ACD AOAA AAF AOF △Az^OAAOFAA21AOFAAAAAAA/AOF=60O△」_1 _____ ____ _A21ABFA2^AOFA30 △(3)解：△△△△△C\CG》B△工△△CD AOAAA21ADEA21CGEA900△AA/AEDA21CEGAA21ADEA21CGEA人DE人EG人5人A AE A CE A13AACEABCAACEA13A人 (26)△DE -旌.-------- 24△ △•■△△△△△△" ..AE DE△石△486.AAAA/lABCDAAAzO^BA/lOAAAADADCAAAABAACDAAA EA/®FAECA21ECAAAAA/W\AZBD.△ 1 △△△ ABFC△2DAAA2AAE/^OAA cosADEAA3AAA 2AAAA/BCA6AzBFAA.第6题图(1)证明：Z^BA/IOAAAAA21BDAA90 .ABF /SECAA21BFCA90 △AAAABCDA/1OAAAAAAAA21BCFA21BADAA21BFCA21BDAA(2)解：△△△△△OD3C4A21BFCA21BDAABF BC△BD'^A B'AODA/lOAAAzADACDA AODAAAACAZ^BA/IOAAAA△ AACB=90 △AODABCA △任OD△心X OE ODA BE A BC AZ^E^OA21OEA2OB/SBEA3OBAOD OE 2△■占M—— -ABC BE 3ABC Z^ODA3瑞瑞舄△:△△ 21ADB A 90 △A21ADEA21BDFA90 △A21BDFA21DBFA90 △A21ADEA21DBFAR第6题解图/SRt/SBDFAA cosDBF 混率△ cos ADE2^A4(3)解：ABCz^ODABCA6AAODA4A /^EA4ZBEA12 △ △任OD△心CA 人DE人OD人A CE A BC A…人3 人ACEA2DEA △ △/EDA△八EBC△任△小£△A21AEDA21CEBA 人AE人DE人A C E A BE AADE CEAAE BEAADE 3D E A4X 12 △ /SDEA4V2( AAAA )△ACDA2V2A/^DA2V2AA21BFCA21BDAA 人CF 人AD 人A CF A2_J A△BC△母△造△ 8 △… 3 2ACF A^AARtzBCFAAAAAAAAAABFA . BC2A CF2Z^3~214.7.AAABAA OAAA/ICD^BAAAzHAAAAC△△知作EG3C交CD的延长线于点 G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.(1)求证：z\ECF△&CE;(2)求证：EG是AO的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tan工=3 ,AH=3,4求EM的值.第7题图(1)证明：3cAEG,△8=3CG,「AB是AO的直径，ABACD,△A D = A C ,△3EF=AACD,△8=MEF,△任CF=4ECG,△任CF△&CE;(2)证明：如解图，连接OE,第7题解图△GF=GE,△&FE=^GEF=AAFH,△OA=OE,△3AE=4OEA,△AAFH+^FAH=90 ,△&EF+AAEO=90 ,△&EO=90 ,AGEAOE,VOEMAO的半径，△EG是AO的切线；(3)解：如解图，连接OC,设AO的半径为r.在 Rt「AHC 中，一一AH 3tan zACH=tan 应=空=± , HC 4AAH=3,AHC=4.在 Rt^HOC 中，△OC=r, OH=r—3, HC=4, △ (r —3) 2+42=r2,解得r= 25 ,6△GM AAC,△ 3AH=2\M,△ 3EM=AAHC=90 △ AAHC/XNEO,AH HCEM OE ，即高8.如图，AB 为AO 的直径，C 、G 是AO 上两点，过点 C 的直线CD^BG 交BG 的延长线于点D,交BA 的延长线于点E,连接BC,交OD 于点F, 且BC 平分4ABD.(1)求证：CD 是AO 的切线；⑵若OF 2,求4E 的度数； FD 3⑶连接AD,在(2)的条件下，若CD=2V3,求AD 的长.H第8题图(1)证明：如解图，连接OC,△ EM 25 8△OC=OB, BC 平分 AABD, △3CB=z\OBC, AOBC=ADBC,AzX)BC=AOCB,AOC ABD,Az^BDC=AECO,△CD ABD,△ z!BDC=90 ,△任CO=90 ,△OC 是AO 的半径，△CD 是AO 的切线；(2)解：由(1)知，OC^BD, △8CF=4DBF, △COFMBDF,A21OCFA21DBF, △.史FD△器AOC ABD, △任OC △任BD,△如 FD3,设 OE=2a,则 EB=3a,△OB=a,△OC=a,△3CE=90 , OC=1OE, 2△任=30 ;(3)解：△任=30 , ABDE=90 ,△任BD=60 ,VBC 平分 ADBE,/. AOBC=ADBC=1 EBD=30 , 2△CD=2 .3 ,ABC=4 3, BD=6,△空2 , DB 3△OC=4,如解图，过点D作DM3B于点M ,△RMB=90 ,ABD=6, ADBM=60 ,ABM=3, DM=3 3 ,△OC=4,△AB=8,AAM=AB—BM=5,△ RMA=90 , DM=3J3,AAD= VDM 2 AM 2 2V13 .9.如图，在3BC中，八ACB=90°,。
2020中考数学专项强化训练附答案解析 圆的证明与计算
(1)证明：如解图，连接 OB，
第 5 题图
第 5 题解图 ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°， ∴∠OBA＋∠CBE＝90°， ∵OA＝O 又∵CD⊥OA， ∴∠OAB＋∠DEA＝90°， 又∵∠CEB＝∠DEA，
5
第 2 题图 (1)证明：∵AB＝AC，AD＝DC， ∴∠C＝∠B，∠DAC＝∠C， ∴∠DAC＝∠B， 又∵∠E＝∠B， ∴∠DAC＝∠E， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE＝90°，
∴∠E＋∠EAD＝90°， ∴∠DAC＋∠EAD＝90°， 即∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，
CD
∴AD=4． 设 AB=x，
则 BD=x－2．
在 Rt△ABD 中，
由勾股定理得 AB2=AD2+BD2， 即 x2=42+（x－2）2， 解得 x=5，即 AB=5， ∴⊙O 的半径为 5 ．
2
4.如图，已知⊙O 是以 AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点 A 作⊙O 的切线 交 OC 的延长线于点 D，交 BC 的延长线于点 E. （1）求证：∠DAC＝∠DCE； （2）若 AB＝2， sin D＝1，求 AE 的长.
第 3 题图 （1）证明：如解图，连接 BE，OE．
∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°． ∵AB=BC， ∴点 E 是 AC 的中点， ∵点 O 是 AB 的中点， ∴OE∥BC， ∵EF 是⊙O 的切线，
第 3 题解图
∴EF⊥OE． ∴EF⊥BC； （2）解：如解图，连接 AD， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∵CD=2，tan C= AD 2，