2020届二轮(理科数学) 函数概念 与基本初等函数 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）函数概念与基本初等函数专题卷（全国通用）
1.(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A.因为a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，b＝log38＞1，c＝0.30.2＜1，所以c＜b＜a.故选A.
2.(2019·河南平顶山模拟)函数f(x)＝log a|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则()
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
解析：选D.由题意，函数f(x)＝log a|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0 3.已知函数y＝log a(x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________． 解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1. 答案：－1 4.若函数f(x)＝log a x(0 解析：因为0 ＝log a2a，所以1＝3log a2a?a＝(2a)3?8a2＝1?a＝ 2 4. 答案： 2 4 5.已知函数f(x－3)＝log a x 6－x (a>0，a≠1)． (1)求f(x)的解析式； (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由． 解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u 3－u (a >0，a ≠1，－3 所以f (x )＝log a 3＋x 3－x (a >0，a ≠1，－3 (2)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x 3－x ＝log a 1＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3，3)关于原点对称． 所以f (x )是奇函数． 6.已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求出a 的值． 解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1 则g (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)因f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有???a >0， 3a －1a ＝1， 解得a ＝1 2. 故实数a 的值为1 2 . [综合题组练] 1．(2019·广东汕头金山中学期中)已知当0 2 时，不等式log a x <－2恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(1，2) C.??? ? 22，1 D ．(0，2) 解析：选B.当0 2，所以a >1， 因此y ＝log a x 是增函数，故x 2 故选B. 2．已知函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，1) C.??? ?0，13 D ．(3，＋∞) 解析：选D.由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数， 所以若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 所以a >1. 又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >1. 1.若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间????0，1 2上恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是____________． 解析：函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间????0，1 2上恒有f (x )>0， 由x ∈????0，1 2，得2x 2＋x ∈(0，1)， 故有a ∈(0，1)． 又f (x )的定义域为????－∞，－1 2∪(0，＋∞)， 根据复合函数的单调性的判断规则知， 函数的单调递增区间为????－∞，－1 2. 答案：? ???－∞，－1 2 2.函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________． 解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝????log 2x ＋122－14≥－14， 当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝2 2时等号成立， 所以函数f (x )的最小值为－1 4. 答案：－1 4 3.已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)由a x －1>0，得a x >1，当a >1时，x >0； 当0 所以当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当01时，设0 所以log a (a x 1－1)