第二节 迭代法 2
GaussSeidel迭代法
定理4 对 于 任 意 右 端 向 量 F 初 始 向量 X 0， Gauss Seidel 迭代法收敛的充分条件是
n
1
B max
1
j i1
bij
1;
n
2
B
max i
bij
j 1
1.
由此定理可知，条件(1）或(2）被满足时，则 Gauss Seidel 迭代法与 Jacobi 迭代法都收敛。
x (1) 1
b11
x (0) 1
b12
x (0) 2
L
b1n
x (0) n
f1
显然，迭代格式收敛的话，则 x11 比 x10 更接近于 X 的第一个分量 x1* 所以在计算x21时，我们不再像 Jacobi
迭代法那样以 x10 , x20 ,L xn0 代入(2.1)中第二式的右边 ， 而是把新算出的 x11 及 x20 , x30 ,L xn0 代入该式右边，得
例5 设方程组 AX b 的系数矩阵为
1 2 2
பைடு நூலகம்
A
1 2
1 2
1 1
试证明 Jacobi 迭代法收敛 ，而 Gauss Seidel 迭代法不收敛。
证明 显然， Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
因为
0 2 2
B
2 2
0 2
01
2 2 I B 1 1 3
22
令 I B 0 ，则有
x2(k
1)
b21x1(k 1)
b22 x2(k)
b2n xn(k) f2 ,
xn
(
k
1)
bn1x1(k 1)
b x (k1) nn1 n1
bnn xn(k)
2.2 迭代法
= ϕ ' (ξ )( x * − x * *) ≤ L x * − x * *
又， L < 1
⇒ x* = x * *
计算方法
② ∀x0 ∈ [a, b] 则 xk +1 − x *= ϕ ( xk ) − ϕ ( x*) = ϕ ' (ξ )( xk − x*)
≤ L xk − x * ≤ L2 xk −1 − x * x k +1 − x *
计算方法
二、收敛性分析
定理2.1 （全局收敛定理） 全局收敛定理） 定理
在区间[a,b]上可导 上可导 设ϕ ( x )在[a, b] 在区间
a （1）当a ≤ x ≤ b时， ≤ ϕ ( x ) ≤ b;
( 2) ∀x ∈ [a, b], | ϕ ' ( x ) |≤ L < 1 ( L为常数） 为常数）
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
x n +1 = ϕ ( x n )
Remark1：全局与局部收敛定理中的条件都是充分 Remark1： 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。
p! p!
由迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ) 及 x * = ϕ ( x * ) 有 ϕ ( p ) (ξ ) * * p
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
迭代法f1,f2=f2,f1+f2讲解
迭代法f1,f2=f2,f1+f2讲解【原创实用版】目录1.迭代法的基本概念2.迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 的含义3.迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 的实际应用4.迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 的优点与局限性正文迭代法是一种求解方程或优化问题的数学方法，它通过不断接近真实的解，逐步改善近似解。
在迭代过程中，先取一个近似解，然后根据这个近似解计算出一个新的近似解，如此循环往复，直到满足某种停止条件。
迭代法在许多领域都有广泛的应用，如数值计算、物理学、经济学等。
迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 是一种特殊的迭代法，它的含义是：用 f1 和 f2 表示某个变量，然后通过 f2,f1+f2 的迭代关系来不断更新 f1 和 f2 的值，从而逐步接近真实的解。
这种迭代法在数学和物理学中经常出现，特别是在求解常微分方程的数值解时，可以使用迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 来提高计算精度。
迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 的实际应用举例如下：假设我们要求解如下常微分方程：dx/dt = x + 2ydy/dt = -x + y我们可以使用迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 来求解这个方程。
首先，我们取 f1=x，f2=y 作为初始近似解，然后根据迭代关系 f2,f1+f2 来更新 f1 和 f2 的值，如此循环往复，直到满足某种停止条件，例如计算到足够多的时间步或者达到预设的误差范围。
迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 的优点在于其简单易行，适用于许多实际问题。
然而，它也存在一些局限性，例如在处理某些非线性问题时，迭代过程可能收敛到错误的解，或者收敛速度较慢，需要较长的计算时间。
因此，在实际应用中，我们需要根据问题的具体情况选择合适的迭代法，并结合其他优化技巧，以提高计算效率和精度。
总之，迭代法 f1,f2=f2,f1+f2 是一种实用的数学方法，它有助于我们解决许多实际问题。
第四章 迭代法4.1 2迭代过程的收敛性 迭代加速
(x*) = x*
简证： f(a) = a - (a) 0 , f(b) = b - (b) 0 x* = (x*) y* = (y*)
x * y * ( x*) ( y*) | '( ) | x * y * L x * y * 矛盾！
收敛性分析
xk 1 '( xk ) xk x* 1 '( xk )
设： '( ) '( xk )
( k ) '( k ) x k x x k 1 x 1 '( k ) x
x 缺点：每次迭代需计算 '( k )
如何避免计算导数？
( x*) x*, '( x*) ''( x*) ( p 1) ( x*) 0, ( p ) ( x*) 0
ek 1 1 ( p) lim p ( x*) k e p! k 证明：充分性. 根据泰勒展开有 ( p ) ( k ) xk 1 ( xk ) ( x*) '( x*)( xk x*) ... ( xk x*) p
后验估计: 先验估计:
1 | xk x* | | xk 1 xk | 1 L Lk | xk x* | | x1 x0 | 1 L
可用| x k+1-xk | 来 控制收敛精 度, L 越小收敛越快.
证: (a) 由压缩映像定理可知，不动点 x* 存在且唯一。
| xk x* | ( xk 1 ) ( x*) | '( ) | | xk 1 x* | L | xk 1 x* |
1 2.375 3 1904
第二章 迭代法的一般原理
第二章 迭代法的一般原理非线性方程组无论从理论上还是计算方法上，都比线性方程组复杂得多。
一般的非线性方程组很难求出解析解，往往只能求出其数值解，且往往只能借助于迭代法。
本章我们将讨论迭代法的一般原理、迭代法的一般构造及迭代收敛速度的衡量标准。
2-1 迭代法与不动点定理设n n R R D →⊂:f ，考虑方程()0=x f (2-1)若存在D *∈x ，使()0=*x f ，则称*x 为方程(2-1) 的解。
用迭代法求解(2-1) ，先将(2-1)化为等价的方程()x g x = (2-2)这里映象n n R R D →⊂:g 。
方程(2-2)的解*x (即()**x g x =)称为映象g 的不动点。
因此用迭代法解方程(2-1)，就是求(2-2)中映象g 的不动点。
这样以及g 是否存在不动点自然就是我们关心的问题。
定理2-1 若n n R R D →⊂:g 为有界闭集D D ⊂0上的严格非膨胀映象，()00D D ⊂g ，则g 在0D 内有唯一不动点。
证 唯一性 设g 在0D 内至少有两个不动点1x ，2x ，则()()2121x x x g x g x x 21-≤-=-α 因1<α，所以由上式推得21x x =。
唯一性得证。
记()()x g x x -=ϕ，由g 及泛数的连续性可知1:R R D n →⊂ϕ连续。
因0D 为有界闭集，故ϕ在0D 上有最小值。
设0D *∈x 为最小点，即()()x g x x -=∈min 0D x *ϕ则*x 为g 的不动点。
因为若不然，则有()**x g x ≠，再由g 严格非膨胀，可得()()()()()***x g g x g x g -=ϕ()()***x x g x ϕ=-<这与*x 为ϕ的最小点相矛盾，故*x 为g 的不动点。
注 定理中0D 的有界闭性、g 的压缩性和g 映0D 入自身，此3个条件缺一不可。
例如，()xx x g 1+=在[)+∞=,D 10上严格非膨胀，但它在0D 中却没有不动点。
2.2 迭代法的一般形式与收敛性定理
a11 a12 a a 21 22 an1 an 2
a1n x1 b1 x b a2 n 2 2 ann xn bn
Ax=b
怎样设计迭代格 式? Ax=b x=Hx+f
kk 1 ， ， k
lim k lim
k k k
k
k
lim
k
1 k
k 1
0.
x 是线性方程组Ax=b的解
x* Hx* g
x
k 1
*
Hx
k
f
0 引理2.1：迭代法对任何初始近似 x 均收敛的 充分必要条件是 H k 0 k
即
A=D-L-U
a11 a 21 A a n1 0 a L 21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann 0
a11 D
a22
ann
0 an 2
设aii0 (i=1,2,,n)，并将A写成三部分
0 a11 a 21 0 a 22 A a n 1 ,1 a n 1 , 2 0 a nn a n 2 a n , n 1 a n1 0 a12 a1,n1 a1n 0 a 2 , n 1 a 2 n 0 a n 1, n 0 D LU. 0
H k 0 k 的充要条件是 ( H ) 1 引理2.2：
定理2.4：迭代法对任何初始近似均收敛的充分 必要条件是迭代矩阵H的谱半径 ( H ) 1
计算方法第六章(迭代法)
3、插值加速法
由线性插值公式：
x xk x xk 1 y xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
x xk x xk 1 x xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
xk 1 xk 1 xk 2 x xk 1 2 xk xk 1
2.102599958448522 2.094749937881704 2.094556446501749 2.094551657513653 2.094551538972266 2.094551536038016
x=2.5 10 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 15 endif 15 x=2.5 goto 10 20 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) x=1.15*x+(1.0-1.15)*y if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 30 endif goto 20 30 end
1 2 f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk ) f ( xk )( xk ) 2! 1 (n) 1 n f ( xk )( xk ) f ( n 1) ( k )( xk ) n 1 n! (n 1)!
f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk )
f ( xk ) f ( xk ) 2 改进牛顿法： xk 1 xk f ( xk ) 3 f ( xk ) 2 f ( xk )
牛顿迭代法的收敛性： 牛顿迭代法二阶收敛，两种改进牛顿迭代法三阶收敛
1 0 f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk ) f ( xk )( xk ) 2 2!
数值分析2 迭代法
§2简单迭代法——不动点迭代(iterate)迭代法是数值计算中的一类典型方法，被用于数值计算的各方面中。
一、简单迭代法设方程f(x)=0 (3)在[a,b]区间内有一个根*x ，把(3)式写成一个等价的隐式方程x=g(x) (4)方程的根*x 代入(4)中，则有)(**=x g x (5)称*x 为ｇ的不动点（在映射ｇ下，象保持不变的点），方程求根的问题就转化为求(5)式的不动点的问题。
由于方程(4)是隐式的，无法直接得出它的根。
可采用一种逐步显式化的过程来逐次逼近，即从某个[a,b]内的猜测值0x 出发，将其代入(4)式右端，可求得)(01x g x =再以1x 为猜测值，进一步得到)(12x g x =重复上述过程，用递推关系——简单迭代公式求得序列}{k x 。
如果当k →∞时*→x x k ,}{k x 就是逼近不动点的近似解序列，称为迭代序列。
称(6)式为迭代格式，g(x)为迭代函数，而用迭代格式(6)求得方程不动点的方法，称为简单迭代法，当*∞→=x x k k lim 时，称为迭代收敛。
构造迭代函数g(x)的方法：(1)=x a x x -+2，或更一般地，对某个)(,02a x c x x c -+=≠；(2)x a x /=； (3))(21xa x x +=。
取a=3,0x =2及根*x =1.732051，给出三种情形的数值计算结果见表表 032=-x 的迭代例子问题：如何构造g(x)，才能使迭代序列}{k x 一定收敛于不动点？误差怎样估计？通常通过对迭代序列}{k x 的收敛性进行分析，找出g(x)应满足的条件，从而建立一个一般理论，可解决上述问题。
二、迭代法的收敛性设迭代格式为),2,1,0()(1 ==+k x g x k k而且序列}{k x 收敛于不动点*x ，即∞→→-*k x x k (0时）因而有)3,2,1(1 =-≤-*-*k xx x x k k (7)由于),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ当g(x)满足中值定理条件时有),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ (8)注意到(8)式中只要1)(<<'L g ξ时，(7)式成立.经过上述分析知道,迭代序列的收敛性与g(x)的构造相关,只要再保证迭代值全落在[a,b]内，便得：假定迭代函数g(x)满足条件(1) 映内性：对任意x ∈[a,b]时，有a ≤g(x) ≤b ；(2) 压缩性：g(x)在[a,b]上可导，且存在正数Ｌ<1，使对任意 x ∈[a,b]，有L x g <')( （9）则迭代格式)(1k k x g x =+对于任意初值0x ∈[a,b]均收敛于方程x=g(x)的根，并有误差估计式011x x LL x x kk --≤-*（10）证明 ：收敛性是显然的。
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( k , c 0)
则称迭代格式 xk 1 ( xk ) 是 p 阶收敛的.
特别地, p = 1时称为线性收敛, p = 2 时称为二阶(平方)收敛, , 收敛阶越大, 收敛越快 1<p<2时称为超线性收敛显然 . 利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3.
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3 2 f ( x ) x 4 x 10 0 在 例2 用迭代法求方程
[1,2] 内的一个近似根，取初始近似值 x0 1.5
解
原方程的等价方程可以有以下不同形式
(1) ( 2) ( 3) ( 4) x x x 3 4 x 2 10 10 x 4x x 1 x 10 x 3 2 10 x 4 x
1 x 2 x 2 )4
x 4 1
x 3 ( x) x4 2x2 3
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分别按以上三种形式建立迭代格式，并取x0=1进行 迭代计算，结果如下：
xk 1 1 ( xk ) (3 xk 2 x ) x26 x27 1.124123
x x ( x ) 在[a , b]上有唯一根 ;
(2) 对任意迭代初值 x0∈[a , b],迭代序列 xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,) 收敛于 x 。
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证 (1) 先证方程 x ( x ) 之解存在且唯一. 由于 ( x ) 在[a , b]上存在, 所以 ( x ) 连续。
由定理2知 ( x0 ) 值越小，收敛速度就越快
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取 x0 1.5 , 列表计算如下 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (1) 1.5 -0.875 6.732 -469.7
1.03 108
(2) 1.5 0.8165 2.9969
( 8.65)1 2
( k 0,1, 2,)
如果这个数列有极限 lim xk x
k
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x 当(x) 连续时,显然 就是方程 x=(x) 之根。
于是可以从ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ列{ xk }中求得满足精度要求的近似根。
这种求根方法称为迭代法。
xk 1 ( xk )
数列 { xk } 称为迭代序列。
可见迭代格式不同, 收敛情况也不同。 第二种格式比第一种格式收敛快得多,而第三种格式 不收敛。
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三、迭代法的收敛条件
定理 1 设 ( x ) 在[a , b]上存在,且满足条件：
(1) 当x∈[a , b]时， ( x ) [a , b];
(2) 存在正数L<1，使对任意的 x∈[a , b], ( x ) L 1。 则 (1) 方程
x xk ( x ) ( xk 1 ) ( )( x xk 1 ) L x xk 1
反复用此不等式，并注意 0 < L < 1 , 因此
x x k Lk x x0 0 ( k )
k
即迭代过程收敛， 且
lim xk x 。 证毕。
(1) ( x ) x x 3 4 x 2 10
( x ) 1 3 x 2 8 x (1.5) 17.75 1
10 ( 2) ( x ) 4x x
不收敛
1 10 10 2 ( x ) ( 4 x ) ( 2 4 ) 2 x x 不收敛 (1.5) 5.128 1
数学学院 信息与计算科学系 第二节 迭代法
一、迭代法的基本思想
迭代法是一种重要的逐次逼近法,其基本思想是： 将方程 f (x)= 0 化为等价方程 x ( x ) , 然后在隔根区间内取一点 x0 ，按下式计算
xk 1 ( xk )
计算结果生成数列 x0 , x1 ,, xk ,
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接上图
n
9
(1)
(2)
(3)
1.36487822
(4)
1.36523001
10
15 20
1.36541006
1.36522368 1.36523024
23
25
1.36522998
1.36523001
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四、迭代法的收敛速度
e x x , k 令 k 若 e k 1 c p ek
且有下列误差估计式
L < 1，使 ( x ) L 1,
L x xk xk xk 1 1 L k L x xk x1 x0 1 L
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x 反之，若在根 的邻域 U 内
( x ) 1
则迭代必发散。 提示：定理的证明利用定理1以及微分中值定理。
e k 1 1 1 lim lim ( a ) 3 3 k k ( e ) 3! 4a ( a xk ) k
a xk 1
(3) 1.5 1.28695377 1.40254080 1.34545838 1.37517025 1.36009419 1.36784697 1.36388700 1.36591673
(4) 1.5 1.34839973 1.36737637 1.36495701 1.36526475 1.36522559 1.365223058 1.36522994 1.36523002
3 4
1.2 0.25 ( 3 1 2 1.22 )
3 4
0.87 1
x 2 ( x)
x 4 1
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( x) 4 2
x 4 1 x 4
4
1
5 1 5
1
0.11
x 3 ( x) x4 2 x2 3
1 2 4 k
xk 1 2 ( xk )
4 2 xk 1 3 ( xk ) xk 2 xk 3
x6 x7 1.124123
x3 96, x4 8.495307 107
xk 4 1
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x 准确根 = 1.124123029 。
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例1 用迭代法求方程 x4+2x2-x-3=0 在区间[1, 1.2]内的 实根。 解 对方程进行如下三种变形：
x 1 ( x ) ( 3
x4 2x 2 x 3 0 x 2 ( x)
x ( x ) ( ) ( )( x ) L x
此式仅当 x 0 才能成立， 因此 x 。 （2） 再证迭代格式 xk 1 ( xk ) 收敛 任取 x0∈[ a, b ]，由微分中值定理，有
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定理 3 设 x 为x ( x ) 之根,在x 的邻域 U内
( x ) 有连续的 p 阶导数，则
(1) 若 0 ( x ) 1 , 则迭代过程在 x 的邻近
为线性收敛；
( p1) ( p) (2) 若 ( x ) ( x ) ( x ) 0 , ( x ) 0 ,
3 3 ( x) 4 x 4 x 8
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定理 2 若方程 x ( x ) 之根的某邻域
U x | x x
内 ( x ) 存在,且存在正常数
x U 则任取 x0∈ U , 迭代格式 xk 1 ( xk ) 均收敛于 x ,
( k 0,1, 2,)
称为迭代格式, (x) 称为迭代函数, x0 称为迭代初值,
如果迭代序列收敛,则称迭代格式收敛,否则称为发
散。
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二、 迭代法的几何意义
一般来说从 f ( x ) 0 , 构造 ( x )不止一种，有的 收敛，有的不收敛，这取决于 ( x )的性态。 方程 x ( x ) 的根，在几何上就是直线 y x y ( x ) x 与曲线 的横坐标 。 如图2-3所示
1
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1 ( 3) ( x ) 10 x 3 2 1 3 2 ( x) x (10 x 3 ) 2 4 (1.5) 0.656 1 收敛 10 ( 4) ( x ) 4 x 1 10 2 1 ( x ) 5( ) 4 x ( 4 x )2 (1.5) 0.122 1 收敛
x 则迭代过程在 的邻近为 p 阶收敛。
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例 2 证明迭代公式 xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a) ，试求
a (a 0) 的三阶方法。假设 x0 充分靠近 x , 求
a xk 1 lim k ( a x ) 3 k
解 由泰勒展式可得
作函数
f ( x) x ( x),
则 f (x) 在[a , b]上连续。 由条件 (1) f (a) ≤0 , f (b) ≥0 , 故存在
x [a , b ,]
即 x ( x )。 f ( x ) 0 使
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设方程 x ( x ) 还有一根 , 则由微分中值定理及条件(2) 有 则由微分中值定理及条件值定理及条件(2)有
此定理在理论上十分重要, 但是条件(1)却不容易判 别. 如果仅在根的邻域中考察迭代格式, 则下述定 理可避免条件(1)的判别。