计算方法_4方程求根的迭代法
计算方法4方程求根的迭代法
计算方法4方程求根的迭代法四方程求根的迭代法是一种用于解决非线性方程的数值方法。
在计算方法中，非线性方程指的是形如f(x)=0的方程，其中f(x)包含x的非线性项。
在实际中，非线性方程的求解是非常常见的问题，因此有很多不同的迭代法可以用于解决这些问题。
以牛顿迭代法为例，它是一种基于线性近似的迭代方法。
该方法的基本思想是将非线性方程转化为线性方程，通过不断迭代来逼近方程的根。
具体而言，牛顿迭代法的步骤如下：1.选择初始估计值x0作为方程的根，并计算f(x0)的值。
2.计算f(x)的导数f'(x)，并计算方程的线性近似式x-x0=-f(x0)/f'(x0)。
3.计算下一个近似值x1，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
4.判断，x1-x0，是否小于给定的收敛条件，如果是则停止迭代，否则转到步骤55.将x1作为新的近似值x0，转到步骤2牛顿迭代法具有快速收敛的特点，尤其适用于具有单根的方程。
然而，该方法也存在一些限制，如在计算f'(x)时需要知道方程的导数，当方程的导数不易计算时，该方法可能不适用。
除了牛顿迭代法，还有其他一些常用的四方程迭代方法，如割线法、弦截法等。
每种方法都有其特点和适用范围，选择合适的方法对于求根问题的解决至关重要。
总结起来，四方程求根的迭代法是一种用于解决非线性方程的数值方法。
牛顿迭代法是其中一种常用的方法，通过不断迭代来逼近方程的根。
根据方程的特点和计算条件，选择合适的迭代方法是解决求根问题的关键。
希望以上的介绍可以帮助您更好地理解和应用这一方法。
第4章 非线性方程求根的迭代法
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18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
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19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
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20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
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30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
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31
简单迭代收敛情况的几何解释
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32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
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48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
第四章 方程求根的迭代法
例5 已知方程 e − x = 0 在 x0 = 0.5 附近有一实根， 讨论迭代 x0 = 0.5 , xn+1 =ϕ(xn) = e−x 的敛散性.并计算结 ε = 10−5 果，取 .
−x
n
f (x) = e−x − x ，则 f (0.4) = 0.27 > 0, f (0.6) =−0.05 < 0 解：令
（c）
ϕ ′( x* ) < −1
（d）
定理2 定理 设函数 ϕ ( x ) 在[a,b]上具有连续的一阶导 上具有连续的一阶导 数, 且满足 对所有的x∈ （1）封闭性条件 ） 对所有的 ∈[a,b] 有 ) ] 推论: 若方程 x = ϕ ( x在区间 [ a, b内有根 x * ϕ ( x) ∈[a,b] 且 ϕ ′( x) ≥ 1 , ∀x ∈ [ a, b ] （2）压缩性条件 ） 存在 0 < L< 1 ,使所有的 使所有的 则迭代 xk +1 = ϕ ( xk ) , ∀x0 ∈ [ a, b ]均发散 x∈[a,b]有 ∈ 有
（1）一个迭代若是整体收敛的，则一 ）一个迭代若是整体收敛的， 定局部收敛；反之则不成立． 定局部收敛；反之则不成立． 对初值的要求比较高， （2）定理 对初值的要求比较高，一般 ）定理3对初值的要求比较高 用对分法找出较满意的初值，定理2对初 用对分法找出较满意的初值，定理 对初 值的要a ) xk +1 − a = 2 xk
x k +1 +
x k +1 − x k +1 +
2
( xk + a ) 2 a = 2 xk
a xk − =( a xk + a 2 ) a
数值分析10-方程求根的迭代法
压缩映像定理证明
(a) 由压缩映像定理可知，不动点 x* 存在且唯 一。
| xk − x* | = ϕ ( xk −1 ) − ϕ ( x*) =| ϕ '(ξ ) | ⋅ | xk −1 − x* |≤ L | xk −1 − x* |
| xk − x* | ≤ L | xk −1 − x* |≤ L2 | xk −2 − x* |≤
lim x n = x *
存在 等价于 几何 意义
ϕ ( x* ) = x*
* f ( x * ) = 0 x 为ϕ ( x )的不动点
⎧ y= x ⎨ ⎩ y = ϕ ( x)
转换例子
已知方程 x3-6x2+9x-2=0 在 [3,4] 内有一根，考虑迭代 例： (1) x = ϕ1(x) = x3-6x2+10x-2 ; (2) x = ϕ 2 ( x ) = ( x 3 + 9 x − 2 ) 6 ;
lim | xk − x* | = 0
k →∞
≤ Lk | x0 − x* |
压缩映像定理证明
(b) | xk +1 − x* | ≤ L | xk − x* |
| xk +1 − xk | =| ( xk +1 − x*) − ( xk − x*) |≥ xk − x * − xk +1 − x * ≥ (1 − L) xk − x *
ϕ ( x k ) − ϕ '( x k ) x k 1 − ϕ '( x k )
缺点：每次迭代需计算 ϕ '( x k )
埃特金算法
xk +1 − x* = ϕ '(ξ k )( xk − x*) xk + 2 − x* = ϕ '(ξ k +1 )( xk +1 − x*)
迭代法求方程根
迭代法是求解方程根的一种重要方法，它是以某种特定的搜索路径，通过不断迭代更新搜索解的值，最终求得方程的根的一种方法。
迭代法的核心思想是迭代的方法，通俗理解就是不断重复，不断迭代，不断改变，最终找到满足条件的解。
迭代法求解方程根的步骤大致如下：
首先，选定迭代法求解方程的初始值和迭代步长，然后设定迭代次数，并进行初始化。
其次，开始对迭代解进行更新。
在这一步中，根据方程的性质，以及初始值和迭代步长，通过计算求出新的迭代解，然后将新的迭代解更新到原来的迭代解中。
接着，计算迭代解的误差，并根据误差的大小，来判断迭代解是否收敛。
如果迭代解收敛，则将其作为方程的根；如果迭代解不收敛，则重复前面的步骤，继续迭代，直到解收敛为止。
最后，根据迭代解的误差，判断迭代解是否准确，即判断迭代解是否符合方程的性质。
如果误差满足要求，则将迭代解作为方程的根；如果误差过大，则需要重新调整迭代步长，并重复迭代，直到误差满足要求为止。
总之，迭代法求解方程根是一种重要的方法，它可以解决复杂的方程，在求解方程根方面有很大的帮助。
它的基本思想是：以某一特定搜索路径，通过迭代不断改变搜索解，最终得到解。
方程求根的迭代法
方程求根的迭代法一、考核知识点：区间二分法，弦位法（单点弦法、双点弦法）、切线法、一般迭代法，收敛性。
二、考核要求：1．熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。
2．熟练掌握用单点弦法、双点弦法求方程近似根的方法。
了解其收敛性。
3．熟练掌握用切线性求方程近似根的方法。
了解其收敛性。
4．掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。
了解其收敛性。
三、重、难点分析例1 证明计算)0(>a a 的切线法迭代公式为：,1,0),(211=+=+n x a x x nn n 并用它求2的近似值（求出1x 即可）解 （1）因计算a 等于求02=-a x 正根，a x x f -=2)(，x x f 2)(=' 代入切线法迭代公式得)(21221nn n n n n x a x x x x x +=-=+ ,1,0=n (2) 设2)(2-=x x f ，因,0121)1(2<-=-=f 025.1)5.1(2>-=f 所以 []5.1,12*∈=x在[]5.1,1上 02)(>='x x f 02)(>=''x f由 0)()(0≥''x f x f ，选5.10=x用上面导出的迭代公式计算得 4167.11217)2(21001≈=+=x x x例2用单点弦法求方程 0153=+-x x 的最小正根(计算出1x ) 解：由于0375.1)5.0(,01)0(<-=>=f f 则]5.0,0[*∈x 在[0，0.5]，,06)(,053)(2≥=''<-='x x f x x f 由,0)()(≥''x f c f 取5.0,00==x c 则单点弦法迭代公式 ,1,0)15(51),15(151032331=+--+=+--+---=+n x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n n n 计算得 21.075.4375.15.01≈-=x 例3 用双点弦法，一般迭代法求0243=-+x x 的最小正根（求出2x 即可）。
方程求根的迭代法
§4.1 引 言绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。
§4.1.1迭代法的思想迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。
迭代法求根分两步： 1） 猜测初值 2）迭代如求解初值问题00')(),,(y x y y x f y ==用梯形公式111[(,)(,)2n n n n n n h y y f x y f x y +++≈++ （1）看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),()0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得)],(),([2)0(11)1(1+++++=n n n n n n y x f y x f h y y若)1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值)2(1+n y ，写成迭代公式)],(),([2)(11)1(1k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++= （2）一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式()x x ϕ= （3）式（3）中连续函数()x ϕ称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。
先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ϕ=+1。
如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞→=lim *就是方程（3）的根。
几何意义P127图4-1为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ϕ满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=ϕ，可以看出收敛的充分必要条件()1'<=k x ϕ。
几何意义P127图4-2,3,4,5。
§4.1.3 压缩映像原理设*x 是方程()x x ϕ=的根，则由微分中值定理))(()()(*'*1*k k k x xx x x x-=-=-+εϕϕϕ，如果存在10<≤L ，使得],[b a x ∈有()k k x x L x x L x -≤-⇒≤+*1*'ϕ，则迭代误差0e L e kk ≤，由于10<≤L ，故0→k e ，即迭代收敛。
计算方法 4方程求根的迭代法
是所求方程(5―1)的根x。
我们把每次二分后的有根区间(ak,bk)的中点
1 xk ( ak bk ) 2
作为所求根x的近似值,这样获得一个近似根的序列
x0,x1,x2,…,xk,… 该序列必以根x为极限,即
lim xk x
k
1 x xk (bk ak ) bk 1 ak 1 2
表 5―1
§2
迭代法的基本思想是 : 首先将方程 (5―1) 改写成某 种等价形式,由等价形式构造相应的迭代公式,然后选取 方程的某个初始近似根x0,代入迭代公式反复校正根的 近似值,直到满足精度要求为止。迭代法是一种数值计 算中重要的逐次逼近方法。 例如,求方程 x3-x-1=0
在x=1.5附近的一个根(用六位有效数字计算)。
为下列等价形式 x=g(x) 然后按(5―7)构造迭代公式 (5―7)
xk 1 g ( xk ), k 0,1,2,
从给定的初始近似根 x0 出发 , 按迭代公式 (5―8) 可
以得到一个数列 x0,x1,x2,…,xk,… 若这个数列｛xk｝有极限,则迭代公式(5―8)是收敛 的。此时数列的极限
x y g(x ) g( y ) q x y
* * * * *
*
因为q＜1,所以上式矛盾,故必有
x y
亦即方程在(a,b)内有唯一的根。
再考虑迭代公式 x k+1=g(xk) , 由李普希茨条件 k=0,1,2,…
xk 1 x g ( xk ) g ( x ) qk x0 x
收敛。
②对于收敛的迭代过程,误差估计式(5―11)说明迭代值的 偏差｜xk-xk-1｜相当小,就能保证迭代误差｜x-xk｜足够小。
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