方程组迭代解法
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
计算方法3_线性方程组迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
方程组的迭代解法
x
k 1
Bx g
k
定理 1
对任何 A Rnn ，都有 A
A
，这里 A 是
矩阵 A 的任何算子范数。 证明 设 i 和 xi 是矩阵 A 的任一特征值和对应的 特征向量，则有 Axi i xi ，两边取范数，有
i xi i xi Axi A xi
以 B 1 ，必要性得证。
反过来，假设 B 1 ，则矩阵 I B 是非奇异
I B x g 矩阵，于是可知方程组 有唯一解 x ，从
x Bx g ，利用关系式（1）及（2） 而得到关系式
x x ，充分性得证。 可得 lim k
k 1
x
m1
1 x
m
x
m1
m k , k 1,
其中实参数 称为松弛因子， x Seidel 迭代值，即 x 式x
m1
m1
是由 x 产生的
m
m1
BS x
m1
m
gS 。
1 x
赋范线性空间 R n 中的任何一组点列都有收敛与发散 的问题。因此，由 Jacobi 迭代格式或 Seidel 迭代格式 产生的点列也有这样的问题，当点列收敛时，可以成功 地逼近所求解，若点列发散，将不能逼近解；此时应该 及时终止迭代过程而转向用其它方法求解。讨论 Jacobi 迭代和 Seidel 迭代的收敛条件。 为此，先把这两种迭代 格式写成统一的形式
m
g
收敛最快。目前对少数特殊类型的矩阵，已找到最 佳松弛因子的理论公式，但实际使用仍有一定的困 难。因此，通常是采用试算的方法来寻求近似的最 佳松弛因子。例如在区间 0, 2 中依次选择几个松弛 因子，通过比较相应的收敛速度来确定其中最快的 一个 即可。
高斯牛顿迭代法解方程组
高斯牛顿迭代法解方程组高斯牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，用于解决非线性方程组。
本文将介绍高斯牛顿迭代法的基本原理、步骤和应用场景。
一、高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法是利用泰勒展开式对非线性方程组进行近似线性化处理，然后通过迭代逼近的方法求解方程组的解。
其基本思想是通过线性化的近似，将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后利用线性方程组的解逐步逼近非线性方程组的解。
二、高斯牛顿迭代法的步骤1. 初始化：给定初值向量x0和迭代误差精度ε。
2. 迭代计算：根据当前的估计解xk，计算出近似的雅可比矩阵Jk 和残差向量rk。
3. 判断终止条件：若rk的范数小于等于设定的误差精度ε，则停止迭代，输出近似解xk；否则，进行下一步迭代。
4. 更新迭代：根据当前的估计解xk和雅可比矩阵Jk，计算更新量Δxk。
5. 更新解向量：更新当前的估计解xk+1 = xk + Δxk。
6. 回到步骤2，继续迭代计算，直到满足终止条件。
三、高斯牛顿迭代法的应用场景高斯牛顿迭代法广泛应用于科学和工程领域的各种问题求解，特别适用于非线性最小二乘问题的求解。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据拟合：在实际问题中，常常需要根据一组观测数据拟合出一个数学模型。
高斯牛顿迭代法可以通过最小化观测数据与模型之间的误差，来确定最优的模型参数。
2. 图像处理：高斯牛顿迭代法可以用于图像处理中的图像恢复、图像去噪、图像分割等问题的求解。
例如，在图像恢复中，可以利用高斯牛顿迭代法求解出最佳的恢复图像。
3. 机器学习：高斯牛顿迭代法可以用于机器学习中的参数估计和模型训练。
例如，在逻辑回归中，可以使用高斯牛顿迭代法来求解最优的模型参数。
4. 无线通信：高斯牛顿迭代法在无线通信系统中的信道估计、自适应调制等问题的求解中得到广泛应用。
通过迭代计算信道的状态信息，可以提高通信系统的性能。
高斯牛顿迭代法是一种强大的数值计算方法，可以有效地求解非线性方程组。
解线性方程组的迭代法
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
数值分析第六章线性方程组迭代解法
数值分析第六章线性方程组迭代解法线性方程组是数值分析中的重要内容之一，其求解方法有很多种。
其中一种常用的方法是迭代解法，即通过不断迭代逼近方程组的解。
本文将介绍线性方程组迭代解法的基本思想和常用方法。
线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。
线性方程组的解可以是唯一解，也可以是无穷多个解。
迭代解法的基本思想是通过不断迭代，并利用迭代序列的极限，逼近线性方程组的解。
迭代解法适用于大型的线性方程组，而直接求解法则适用于小型的线性方程组。
常用的迭代解法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。
雅可比迭代法是最简单的线性方程组迭代解法之一、它的基本思想是将线性方程组的每个方程都单独表示为未知数x的显式函数，然后通过不断迭代求解。
雅可比迭代法的迭代公式为：x(k+1)=D^(-1)(b-(L+U)x(k))其中，D是A的对角元素构成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵，U 是A的上三角矩阵，x(k)是第k次迭代的解。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版。
它的基本思想是将每个方程的解带入到下一个方程中，而不是等到所有方程都迭代完毕后再计算下一组解。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-L)^(-1)(b-Ux(k))其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），x(k)是第k次迭代的解。
逐次超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的改进。
它引入了松弛因子w，通过调节松弛因子可以加快收敛速度。
逐次超松弛迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-wL)^(-1)[(1-w)D+wU]x(k)+w(D-wL)^(-1)b其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），w是松弛因子，x(k)是第k次迭代的解。
线性方程组迭代解法需要设置迭代停止准则，通常可以设置迭代次数上限或者设置一个精度要求。
数值计算方法第三章 线性方程组迭代法
0,1,2,
取x1(0) 0, x2(0) 0,计算结果如下：
k0
x (k) 1
0
x (k) 2
0
1
2
3
4
0.66667 0.50000 0.61111 0.58333
0.50000 0.16667 0.25000 0.19445
5
6
7
8
9
0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.6005
从而得迭代式 x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1 b, (k 0,1,2, )
上式中矩阵 M (D L)1U 为Gauss-Seidel迭代矩阵。
输入：A,b, n,
置初值： k 0; xi 0(i 1,L , n)
k k 1;e 0
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,L
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
0
101
0
1
10
2
1 0 0 101 1 1 5
0 0.1 0.2 0.1 0 0.2
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
第6章 解线性方程组的迭代法
有 lim || Ak x || 0.所以就有定理的右边成 立。
k
反之，若定理的右边成 立，取x为第j个坐标向量e j， 则 lim Ak e j 0, 表示Ak的第j列元素极限均为零，当
k
j 1,2, , n时就证明了lim Ak 0，证毕。
k
给出的迭代法
( ( x1( k 1) (3x2k ) 2 x3k ) 20) / 8 ( k 1) (k ) (k ) x2 (4 x1 x3 33) / 11 的收敛性。 ( ( x3k 1) (6 x1( k ) 3x2k ) 36) / 12
第6章
解线性代数方程组的迭代法
§1 引言
考虑线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
(1.4)
即
x(k+1)=B0x(k)+f， (k=0,1,2,„)
x (10 ) (3.0000321.999838 0.9998813T , , , ) ε
(10 )
0.000187其中ε ,
(k )
(10 )
x
(10 )
x *.
从此例可以看出，由迭 代法产生的向量 序列x 逐步逼近此方程的精确 解。
3 8
0
3 12
2 8 1 11 0
20 x1 8 x 33 . 2 11 x3 36 12
任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,代入(1.3)得到x(1)= (2.5,3,3)T. 反复迭代
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若 f(x)(xx*)mg(x)
其中， g(x*)0,m为正整数，则当m=1时，称 x为* 方程（3.1.1）
的单根或函数 f (的x) 单零点。 当 m时2， 称 x为* 方程（3.1.1）
的 m重根或函数f (x的) m重零点。
2. 根的搜索
(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) (2) 扫描法（逐步搜索法） (3) 二分法*
后来伽罗华命运不佳，投考名校巴黎工科大学 落榜，屈就高等师院，并卷入政事两次入狱， 被开除学籍，又决斗受伤，死于1832年。决斗 前，他把关于五次代数求解的研究成果写成长 信，留了下来。
十四年后，法国数学家刘维尔(J·Liouville)整理并 发表了伽罗华的遗作，人们才意识到这项近代数学 发展史上的重要成果的宝贵。
（1） (描)做图法
画出 y=f(x) 的草图, 由f(x)与横轴交点的大概位置
来确定隔根区间; 或者利用导函数f(x)的正、负与函
数f(x)的单调性的关系确定根的大概位置.
若f(x)比较复杂, 还可将方程f(x)=0化为一个等价
方程(x)=(x), 则曲线y=(x)与y=(x)之交点A(x*,y*)
38年后，即1870年，法国数学家若当(C·Jordan) 在专著《论置换与代数方程》中阐发了伽罗华的思 想，一门现代数学的分支 — 群论诞生了。
在前几个世纪中，曾开发出一些求解代数方程的 有效算法，它们构成了数值分析中的古典算法。至 于超越方程则不存在一般的求根方式。
1.根的存在性
f (x) 0 （3.1.1）
误差
分析：
第1步产生的
x1
a
2
b
有误差
|x1
x*| ba 2
第 k 步产生的 xk 有误差 |xk x*| b2ka
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
b 2 k a ε
k l n b a ln ε
ln 2
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f(x0)f(x0h)0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
例1：考察方程
f(x)x3x10
x
[ a , b ] [ a 1 , b 1 ] [ a n , b n ]
由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间 [an , bn]的长度为
bnan21n(ba) 若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将 无限进行下去. 当 n→∞ 时，区间必将最终收缩为一 点x* ，显然x*就是所求的根.
•1700年的古巴比伦人就已有关于一、二次方程的 解法。
•《九章算术》(50~100年)其中“”有联立一次方 程组的一般解法。
•1535年意大利数学家尼柯洛冯塔纳找到了一元三 次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几 次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但 是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世.
定义： 如果存在 x使* 得 f (x*，) 则0称 为方程x * （3.1.1）
的根或函数 f (x的) 零点。
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
m重根
f (x) 0 （3.1.1）
1828年17岁的法国数学家伽罗华(E·Galois 18111832)写出了划时代的论文“关于五次方程的代数 解法问题”，指出即使在公式中容许用n次方根， 并用类似算法求五次或更高次代数方程的根是不可 能的
文章呈交法兰西科学院后，因辈份太低遭到冷 遇，且文稿丢失。1830年伽罗华再进科学院递 稿，得到泊松院士的判词“完全不能理解”。
的横坐标 x*即为原方程之根, 据此也可通过作图求得 x*的隔根区间.
如求解方程 xx 10 的近似根
方法1: 将方程同解变换成 然后画两条曲线
lg x 1 x
y lg x
y
1 x
y y 1 x
ygx
0
2 3
x
这两条曲线的交点的横座标大致为x=2.5
(2) 扫描法（逐步搜索法）
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
0
0.5
f (x) 的符号 －
－
1.0
1.5
－
＋
（3） 二分法*（对分法）
设f(x)在区间[a, b]上连续, f(a)·f(b)<0, 则在[a, b]
1
内有方程的根. பைடு நூலகம்[a, b]的中点
x0
(ab), 2
将区间一分为二. 若 f (x0)=0, 则x0就是方程的根,
否则判别根 x*在 x0 的左侧还是右侧.
• 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对 冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请 教，希望获得冯塔纳的求根公式。
•后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语 言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。 冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可 是卡尔丹诺通过解三次方程的对比实践，很快就 彻底破译了冯塔纳的秘密。
若f(a) ·f(x0)<0, 则x*∈(a, x0), 令 a1= a, b1=x0; 若f(x0) ·f(b)<0, 则x*∈(x0 , b), 令 a1=x0, b1=b.
不论出现哪种情况, (a1, b1)均为新的有根区间, 它 的长度只有原有根区间长度的一半, 达到了压缩有根
区间的目的.
对压缩了的有根区间, 又可实行同样的步骤, 再压 缩. 如此反复进行, 即可的一系列有根区间套
注： 1.用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根 的大概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小 区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二 分法程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必 要求 f (a)·f (b) < 0 。
•卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了 自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的 名字。
• 由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡 尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹 诺公式”。
后来，卡尔丹诺的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了 四次方程的解法。
但对于五次方程求根，求索工作始终没有成效， 导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。