解析几何_第四版_课后答案(吕林根_许子道)(第一章—第五章)(免费交流)
解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章
第一章向量与坐标§1.1 向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、、OC、、、OF、、BC、CD、、EF和FA中，哪些向量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的向量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与AC方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1) AB、; (2) AE、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-E（5=[解]：（1）,-=+（2）,+=+（3≥且,=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘向量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从向量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出向量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线向量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线向量CN BM AL ,,构成一个三角形。
1-5解析几何吕林根第四版
因为M1为P2 P3的中点,故M1(
x2
+ 2
x3
，y2
+ 2
y3 ，z2
+ 2
z3
),又因为G为重心，
故有P1G 2= GM1，即重心G把中线分成定比λ 2，
P1
利用定比分点坐标公式可得
x x= 1 + x2 + x3 ，y y= 1 + y2 + y3 ，z
3
3
z1 + z2 + z3 . G 3
e1, e2 , e3 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；
在一般情况下，叫做仿射标架.
P
e3 r
e1 O
e2
e3 e1 O e2
e3 e1 O e2
注: (1) 标架{O; e1, e2 , e3}中的向量 e1, e2, e3 是有顺序的，交换它们
的次序将会得到另一标架.
(2) 空间标架有无穷多个.
e3
e1 O
e2
e3
e2 O
e1
右手（旋）标架
左手（旋）标架
二、坐标
{ } 定义 1.5.2 （1）式中的 x, y, z 叫做向量 r 关于标架 O;e1, e2, e3 的
坐标或称为分量，记做 r{x, y, z} 或{x, y, z} .
{ } 定义 1.5.3 对于取定了标架 O;e1,e2,e3 的空间中任意点 P ，向量 OP { } 叫做点 P 的向径，或称点 P 的位置向量，向径 OP 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐 { } 标 x, y, z 叫做点 P 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐标，记做 P ( x, y, z) 或 ( x, y, z).
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==解析几何第四版答案篇一：解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章第三章平面与空间直线3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面（2）通过点M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。
求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。
解：（1）? M1M2?{?2,?2,1}，又矢量{?1,0,2}平行于所求平面，故所求的平面方程为：?x?3?2u?v??y?1?2u?z??1?u?2v?一般方程为：4x?3y?2z?7?0（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：?x?1?2u??y??5?7u ?z?1?3u?v?一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。
（3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： ?{?4,5,?1}，?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：?x?5?4u?v??y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。
（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面? ?{?4,5,?1}， ??{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}均与??平行，所以??的参数式方程为：?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?一般方程为：2x?y?3z?2?0.2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，xyz???1. ?4?24所以，它的截距式方程为：又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，? 所求平面的参数式方程为：?x??4?2u?v??y??u?z?v?3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：AX?BY?CZ?0. 证明：不妨设A?0，则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：DBC?x???u?v?AAA??y?u?z?v??BC故其方位矢量为：{?,1,0},{?,0,1}，AA从而平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：v，{?BC,1,0},{?,0,1}共面? AAXYB?1AC?0A? AX?BY?CZ?0.Z0?0 14. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B 点的z坐标.解： ??{?3,2,5?z} 而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.5. 求下列平面的一般方程.⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.x?2解:平行于x轴的平面方程为y?1z?1?1000?0.即z?1?0.11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c?? ?2?3c19故一般方程为12x?8y?19z?24?0.⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,x?0∴点法式方程为y?0z?010?2?0 051∴一般方程为2y?z?0.同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n??因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0.??. (5) op??2,9,?6?p?op????4?81?36?11.op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?. 296,cos??,cos???. 111111296y?z?11?0. 则该平面的法式方程为:x?111111∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.1,?8,3?，M1M2??（6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n??1,6,1?，点从?4,1,2? ?x?4写出平面的点位式方程为y?1z?2?863111?83?0，则A???26,61B?313?2,C??14,D??26?4?2?28??74， 111则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0. 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
《解析几何》(第四版)吕林根许子道编第一章向量与坐标1.8两向量的向量积
j
i
a
bYX(1XX1X12i(2(jiY1kiji))ZY1X1kY1)2Y(2j((iXk2ji)j) YY21XZj
(a
b)
c
a
c
b
c.
(1.8-5)
证
若
a,
b,
c中至少有一个是零矢
,
或a,
b,
c为一组
共线矢, (1.8 5)成立.
现假设不是上述情况.
设c 为c的单(a位矢b )，先c 证
a
c
b
c
.
证明向量积的分配律: (a+b)c=(a c)+(b c)
引理 a c a2
证明 两矢方向: 一致；引入
成立;
若
a
//
b ，则
a
b
a
b
b
sin (a, b )
a
ba
b a sin (a, b ),
即
a
b 与b
a模相等.
又由向量积定义，a
b 与b
a同时垂直于
a与b,
所其以次, a因 从 b与abba的共终线点. 来看
a,
b 决定的平面
,
顺序
b,
a,
b
a构成右手标架
o; b, a,b a
,
所以a
b与
b
a的方向相反 ,
从而得
a b b a.
定理1.8.4 向量积满足数因子的结 合律,即
为数，(a,ab)为 b任 意a向(量b.)
(a
b ).
(1.8-3)
推论 , 为任意实数，则
(a) (b ) ( )(a b ).
解析几何_吕林根_许子道_第四版_课后习题解答
解析几何_吕林根 许子道_第四版_课后习题解答第一章 矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为2的两点2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在矢量OA 、OB 、 OC 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、EF 和FA 中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中，相等的矢量对是： 图1-1 .DE OF CD OE AB OC FA OB EF OA 和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC , 则在∆BAC 中，21AC. KL 与AC 方向相同；在∆DAC 中，21AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB 、CD ; (2) AE 、CG ; (3) AC 、EG ;(4) AD 、GF ; (5) BE、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？E（1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5=[解]：（1）b a ,-=+（2）b a ,+=+（3≥且b a ,-=+ （4）b a ,+=（5）b a ,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,CN 可 以构成一个三角形.[证明]： )(21AC AB AL +=)(21BC BA BM +=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
解析几何 第四版 课后答案
由上题结论知： AL + BM + CN = 0
∴OA + OB + OC = OL + OM + ON
4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. [证明]：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点
∵ AD = OD − OA
BC = OC − OB
但 AD = BC
BM = 1 (BA + BC) 2
CN = 1 (CA + CB) 2
∴ AL + BM + CN = 1 ( AB + AC + BA + BC + CA + CB) = 0 2
从而三中线矢量 AL, BM ,CN 构成一个三角形。
3. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明
第 1 章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1Байду номын сангаас单位球面； （2）单位圆
＝3 PiGi ,
从而 OPi
＝ OAi + 3OGi 1+ 3
，
设 Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则
G1
⎜⎛ ⎝
x2
+
x3 3
+
x4
,
y2 + y3 + y4 , 3
解析几何课件(吕林根- 许子道第四版)
那么这一组向量就线性 相关.
推论 一组向量如果含有零向 量，那么这组向量必
线性相关 .
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定理1.4.6 两向量共线的充要条件 是它们线性相关 . 定理1.4.7 三个向量共面的充要条 件是它们线性相关 . 定理 1.4.8 空间任何四个向量总是 线性相关 .
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§1.5 标架与坐标
a就
是n个
矢
量a1
,
a2
,,
a
的
n
和
，
即
OA OA1 A1 A2 An1 An .
A1
A4
A3
A2
An-1
O
An
这种求和的方法叫做多边形法则
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定义1.2.2 当矢量b与矢量c的和等于矢量a，即b c a
时，我们把矢量c叫做矢量a与b的差，并记做c a b.
向量减法
叫 做 矢 量a1, a2 ,, an的 线 性 组 合. 定理1.4.1 如果矢量e 0，那么矢量r与矢量e共
线 的 充 要 条 件 是r可 以 用 矢 量e线 性 表 示 ， 或 者 说r
是e的 线 性 组 合 ， 即r＝xe，
(1.4 1)
并且系数x被e, r唯一确定.
这时e称为用线性组合来表示共线矢量的基底.
所以 2AM ( AB AC) (BM CM ), A 但 BM CM BM MB 0,
因而 2AM AB AC
即
AM 1 (AB AC) 2
C
B
M
(图1.11)
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例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点 的线段平行于第三边且等于第三边的一半.
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
解析⼏何第四版吕林根课后习题答案第五章第五章⼆次曲线⼀般的理论§5.1⼆次曲线与直线的相关位置1. 写出下列⼆次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .（1）22221x y a b +=；（2）22221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++=（5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）22100100001a A b ?? ?= - ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b=3(,)1F x y =-；（2）22100100001a A b ?? ?=- -；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -??= ? ?-??；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020305022A ?? ?=-；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+；（5）1232171227342A ??-- ? ? ?=---；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342F x y x y =-+-. 2. 求⼆次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550x y --=（2）220x y ++=；（3）410x y +-=；（4）30x y -=；（5）2690x y --=.提⽰：把直线⽅程代⼊曲线⽅程解即可，详解略（1）15(,),(1,0)22-；（2??，??；（3）⼆重点(1,0)；（4）11,26??；（5）⽆交点.3. 求直线10x y --=与222210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线⽅程得1x y =+代⼊曲线⽅程并解⽅程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与⼆次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点；（2）直线1,{x kt y k t=+=+与⼆次曲线22430x xy y y -+-=交于⼀点；（3）10x ky --=与⼆次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点；（4）1,{1x t y t=+=+与⼆次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k >. §5.2⼆次曲线的渐进⽅向、中⼼、渐进线1. 求下列⼆次曲线的渐进⽅向并指出曲线属于何种类型的（1）22230xxy y x y ++++=；（2）22342250x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=.解：（1）由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进⽅向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物型的；（2）由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进⽅向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的；（3）由(,)20X Y XY φ==得渐进⽅向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的.2. 判断下列曲线是中⼼曲线，⽆⼼曲线还是线⼼曲线.（1）22224630x xy y x y -+--+=；（2）22442210x xy y x y -++--=；（3）2281230y x y ++-=；（4）2296620x xy y x y -+-+=.解：（1）因为2111012I -==≠-，所以它为中⼼曲线；（2）因为212024I -==-且121241-=≠--，所以它为⽆⼼曲线；（3）因为200002I ==且004026=≠，所以它为⽆⼼曲线；（4）因为293031I -==-且933312--==-，所以它为线⼼曲线； 3. 求下列⼆次曲线的中⼼.（1）225232360x xy y x y -+-+-=；（2）222526350x xy y x y ++--+=；（3）22930258150x xy y x y -++-=.解：（1）由510,3302x y x y --=-++=??得中⼼坐标为313(,)2828-；（2）由5230,2532022x y x y ?+-=+-=??得中⼼坐标为(1,2)-；（3）由91540,15152502x y x y -+=??-+-=知⽆解，所以曲线为⽆⼼曲线. 4. 当,a b 满⾜什么条件时，⼆次曲线226340x xy ay x by ++++-=（1）有唯⼀中⼼；（2）没有中⼼；（3）有⼀条中⼼直线.解：（1）由330,2302x y b x ay ?++=++=??知，当9a ≠时⽅程有唯⼀的解，此时曲线有唯⼀中⼼；（2）当9,9a b =≠时⽅程⽆解，此时曲线没有中⼼；（3）当9a b ==时⽅程有⽆数个解，此时曲线是线⼼曲线.5. 试证如果⼆次曲线22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 有渐进线，那么它的两个渐进线⽅程是Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为⼆次曲线的中⼼.证明：设(,)x y 为渐进线上任意⼀点，则曲线的的渐进⽅向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.6. 求下列⼆次曲线的渐进线.（1）226310x xy y x y --++-=；（2）2232340x xy y x y -++-+=；（3）2222240x xy y x y ++++-=.解：（1）由1360,2211022x y x y ?-+=--+=??得中⼼坐标13(,)55-.⽽由2260X XY Y --=得渐进⽅向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线⽅程分别为210x y -+=与30x y += （2）由310,22332022x y x y ?-+=-+-=??得中⼼坐标13(,)55-.⽽由22320X XY Y -+=得渐进⽅向为:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线⽅程分别为20x y -+=与210x y --=（3）由10,10x y x y ++=??++=?知曲线为线⼼曲线，.所以渐进线为线⼼线，其⽅程为10x y ++=.7. 试证⼆次曲线是线⼼曲线的充要条件是230I I ==，成为⽆⼼曲线的充要条件是230,0I I =≠. 证明：因为曲线是线⼼曲线的充要条件是131112122223a a a a a a ==也即230I I ==；为⽆⼼曲线的充要条件是131112122223a a a a a a =≠也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线⽅程总能写成111()()0A x By C Ax By C D +++++=. 证明：设以1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线为 22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=，其中00(,)x y 为曲线的中⼼，从⽽有Φ00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++= ，⽽Φ00(,)x x y y --=0 因为00(,)x y 为曲线的中⼼，所以有11012013a x a y a +=-，12022023a x a y a +=- 因此Φ000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-，令0033(,)x y a D φ-=-，代⼊上式得即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++，所以以1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.9.求下列⼆次曲线的⽅程.（1）以点（0，1）为中⼼，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）；（2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10x y +-=为渐进线. 解：利⽤习题8的结论即可得：（1）40xy x --=；（2）2223570x xy y x ---+=.§5.3⼆次曲线的切线1. 求以下⼆次曲线在所给点或经过所给点的切线⽅程.（1）曲线223457830x xy y x y ++---=在点（2，1）；（2）曲线曲线223457830x xy y x y ++---=在点在原点；（3）曲线22430x xy y x y +++++=经过点（-2，-1）；（4）曲线225658x xy y ++=经过点()；（5）曲线222210x xy y x y -----=经过点（0，2）.解：（1）910280x y +-=；（2）20x y -=；（3）10,30y x y +=++=；（4）1150,0x y x y +-=-+=；（5）0x =.2. 求下列⼆次曲线的切线⽅程并求出切点的坐标.（1）曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平⾏于直线40x y +=；（2）曲线223x xy y ++=的切线平⾏于两坐标轴.解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-；（2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--. 3. 求下列⼆次曲线的奇异点.（1）22326410x y x y -+++=；（2）22210xy y x +--=；（3）2222210x xy y x y -+-++=.解：（1）解⽅程组330,220x y +=??-+=?得奇异点为(1,1)-；（2）解⽅程组10,0y x y -=??+=?得奇异点为(1,1)-.4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的⼆次曲线⽅程. 解：利⽤（5.3-5）可得226320x xy y x y +-+-=.5.设有共焦点的曲线族2222221x y a h b h+=++，这⾥h 是⼀个变动的参数，作平⾏于已知直线y mx =的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹⽅程. 解：设切点坐标为00(,)x y ，则由（5.3-4）得曲线的切线为0022221x x y ya hb h+=++，因为它平⾏与y m x =，所以有2220000x b my a h x my +=-+，代⼊220022221x y a h b h +=++整理得222220000(1)()0m x m x y m y m a b +----=，所以切点的轨迹为22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.§5.4⼆次曲线的直径1. 已知⼆次曲线223754510x xy y x y +++++=.求它的（1）与x 轴平⾏的弦的中点轨迹；（2）与y 轴平⾏的弦的中点轨迹；（3）与直线10x y ++=平⾏的弦的中点轨迹.解：（1）因为x 轴的⽅向为:1:0X Y =代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程6740x y ++=；（2）因为y 轴的⽅向为:0:1X Y =代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程71050x y ++=；（3）因为直线10x y ++=的⽅向为:1:1X Y =-代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程310x y ++=. 2.求曲线224260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径⽅程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代⼊(2)(21)0X x Y y -+-= 得:1:6X Y =，再代⼊上式整理得直径⽅程为1280x y +-=，其共轭直径为122230x y --=.3.已知曲线22310xy y x y --+-=的直径与y 轴平⾏，求它的⽅程，并求出这直径的共轭直径. 解：直径⽅程为10x -=，其共轭直径⽅程为230x y -+=.4.已知抛物线28y x =-，通过点（-1，1）引⼀弦使它在这点被平分. 解：430x y ++=.5. 求双曲线22164x y -=⼀对共轭直径的⽅程，已知两共轭直径间的⾓是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为',k k ，则'23kk =.⼜因为它们交⾓45度，所以''11k k kk -=+，从⽽13k =-或2，'2k =-或13，故直径和共轭直径的⽅程为30x y +=和20x y -=或20x y +=和30x y -=.6.求证：通过中⼼曲线的直线⼀定为曲线的直径；平⾏于⽆⼼曲线渐进⽅向的直线⼀定为其直径. 证明：因为中⼼曲线直径为中⼼线束，因此过中⼼的直线⼀定为直径；当曲线为⽆⼼曲线时，它们的直径属于平⾏直线束，其⽅向为渐进⽅向，所以平⾏于⽆⼼曲线渐进⽅向的直线⼀定为其直径. 7．求下列两条曲线的公共直径.（1）223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=；（2）220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解：（1）210x y -+=；（2）5520x y ++=.8.已知⼆次曲线通过原点并且以下列两对直线 320,5540x y x y --=??--=?与530,210y x y +=??--=?为它的两对共轭直径，求该⼆次曲线的⽅程. 解：设曲线的⽅程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a=+++++=，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得1112221323331111,,1,,,0222a a a a a a ==-=-=-=-=，所以曲线的⽅程为220x xy y x y ----=.§5.5⼆次曲线的主直径与主⽅向1.分别求椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=，抛物线22y px =的主⽅向与主直径.解：椭圆的主⽅向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；双曲线的主⽅向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y==；抛物线的主⽅向分别为0：1和1：0，主直径分别为0y =. 2.求下列⼆次曲线的主⽅向与主直径. （1）22585181890x xy y x y ++--+=；（2）22210xy x y -+-=；（3）229241618101190x xy y x y -+--+=.解：（1）曲线的主⽅向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为0,20x y x y -=+-=；（2）其主⽅向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为0,20x y x y +=-+=；（3）其主⽅向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3470x y -+=；（4）任何⽅向都是其主⽅向，过中⼼的任何直线都是其主直径.3.直线10x y ++=是⼆次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的⽅程.解：设⼆次曲线⽅程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代⼊上⾯⽅程同时利⽤直线10x y ++=为其主直径可得111222132333774,,4,,4,022a a a a a a ==-==-==，所以所求曲线⽅程为22474780x xy y x y -+-+=.4.试证⼆次曲线两不同特征根确定的主⽅向相互垂直.证明：设12,λλ分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主⽅向分别为11:X Y 与22:X Y 则1111211112122111,,a X a Y X a X a Y Y λλ+=??+=?与1121222212222222,a X a Y X a X a Y Y λλ+=??+=?，所以11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++11212211222221221221()(),a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+从有121212()()0X X YY λλ-+=，因为12λλ≠，所以12120X X YY +=，由此两主⽅向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.§5.6⼆次曲线⽅程的化简与分类1. 利⽤移轴与转轴，化简下列⼆次曲线的⽅程并写出它们的图形.（1）225422412180x xy y x y ++--+=；（2）222410x xy y x y ++-+-=；（3）25122212190x xy x y +---=；（4）222220x xy y x y ++++=. 解（1）因为⼆次曲线含xy 项，我们先通过转轴消去xy ，设旋转⾓为α，则324ctg α=，即21324tg tg αα-=，所以12tg α=或-2.取2tg α=-，那么sin α=，cos α=，所以转轴公式为''''2),2).x x y y x y ?=+??=-+代⼊原⽅程化简再配⽅整理得新⽅程为''2''26120x y +-=；类似的化简可得（2）''2''250y +=；（3）''2''294360x y --=；（4）''2210x -=.2.以⼆次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列⽅程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图（1）22845816160x xy y x y +++--=；（2）22421040x xy y x y --++=；（3）22446830x xy y x y -++-+=；（4）2244420x xy y x y -++-=. 解：（1）已知⼆次曲线的距阵是 8242584816?? ?- ? ?--??， 18513I =+=，2823625I ==，所以曲线的特征⽅程为213360λλ-+=，其特征根为14λ=，29λ=，两个主⽅向为11:1:2X Y =-，22:2:1X Y =；其对应的主直径分别为8200x y -+=，7740x y +-=. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式'''')1,2) 2.x x y y x y ?=--??=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为 '2'294360x y +-=.（2）已知⼆次曲线的距阵是 225222520-?? ?- ? ???坐标变换公式''''2)1,) 2.x x y y x y ?=--??=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系⽅程为'2'23210-+-=. （3）已知⼆次曲线的距阵是423214343----，坐标变换公式''''92),101).5 x x yy x y=--=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为'2' 50-=. （4）坐标变换公式''''22),51).5x x yy x y=--=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为'2510y-=.3.试证在任意转轴下，⼆次曲线的新旧⽅程的⼀次项系数满⾜关系式'2'222 13231313a a a a+=+.证明：设旋转⾓为α，则''131323cos sina a aαα=-，''231323sin cosa a aαα=+，两式平⽅相加得'2'22213231313a a a a+=+.4.试证⼆次曲线222ax hxy ay d++=的两条主直径为220x y-=，曲线的两半轴的长分别为. 证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.§5.7应⽤不变量化简⼆次曲线的⽅程1. 利⽤不变量与半不变量，判断下列⼆次曲线为何种曲线，并求出它的化简⽅程与标准⽅程. （1）22 66210x xy y x y++++-=；（2）223234440x xy y x y-+++-=；（3）2243220x xy y x y-++-=；（4）22442210x xy y x y-++--=；（5）222246290x xy y x y-+--+=；（6）；（7）22 22240x xy y x y++++-=；（8）22 4412690x xy y x y-++-+=.解：（1）因为12I=，213831I==-，13331116311=-，322II=-，⽽特征⽅程2280λλ--=的两根为124,2λλ==-，所以曲线的简化⽅程（略去撇号）为224220x y --=曲线的标准⽅程为 2221012x y --=，曲线为双曲线；类似地得下⾯：（2）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 222480x y +-=，曲线的标准⽅程为 22142x y +=，曲线为椭圆；（3）曲线的简化⽅程（略去撇号）为22(2(20x y +=，曲线的标准⽅程为22011x y -=，曲线为两相交直线；（4）曲线的简化⽅程（略去撇号）为250y -=，双曲线的标准⽅程为2y =，曲线为抛物线；（5）曲线的简化⽅程（略去撇号）为2233((022x y +=，曲线的标准⽅程为220x y +=，曲线为⼀实点或相交与⼀实点的两虚直线；（6）曲线的简化⽅程（略去撇号）为220,0,0)y x a y a -=≤≤≤≤（，曲线的标准⽅程为2y =，0,0)x a y a ≤≤≤≤（曲线为抛物线的⼀部分；（7）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 2250y -=，曲线的标准⽅程为 252y =，曲线为两平⾏直线；（8）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 250y =，曲线的标准⽅程为 20y =，曲线为两重合直线.2. 当λ取何值时，⽅程 2244230x xy y x y λ++---= 表⽰两条直线.解：⽅程 2244230x xy y x y λ++---=表⽰两条直线当且仅当3222110213I λ-=-=---，即4λ=.3. 按实数λ的值讨论⽅程2222250x xy y x y λλ-+-++= 表⽰什么曲线.解：因为12I λ=，2(1)(1)I λλ=-+，3(53)(1)I λλ=+-，12(51)K λ=-，所以当λ的值变化时，1231,,,I I I K 也随着变化，它们的变化关系如下表：4. 设221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 表⽰两条平⾏直线，证明这两条直线之间的距离是d = . 证明：曲线的⽅程可简化为：这⾥当曲线表⽰两条平⾏的实直线时，10K <.所以这两条直线之间的距离是d =5. 试证⽅程 221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 确定⼀个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.证明：当曲线 221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表⽰⼀个实圆的充要条件是其特征⽅程2120I I λλ-+=有相等实根且120I I <，即21240I I ?=-=且120I I <，从⽽⽅程确定⼀个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.6. 试证如果⼆次曲线的10I =，那么20I <. 证明：因为111220I a a =+=即1122a a =-，所以1112222211221211121222()a a I a a a a a a a==-=-+，⽽11122,,a a a 不全0，所以有20I <. 7. 试证如果⼆次曲线的230,0I I =≠，那么10I ≠，⽽且120I I <.证明：当230,0I I =≠时，由5.2节习题7知，曲线为⽆⼼曲线，从⽽有10I ≠，⽽且120I I <.。