历届高考数学真题汇编专题排列组合 二项式定理
排列组合与二项式定理(高考试题)
排列组合与二项式定理一、排列组合1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B. 3. （2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )．A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种答案：C 解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521⨯⋅=⨯=⨯种选法，选C. 5．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )．A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A.6．(2014辽宁，理6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )．A ．144B ．120C ．72D ．24答案：D 解析：插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为34A ＝24.故选D.7．(2014四川，理6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )．A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种答案：B 解析：(1)当最左端排甲的时候，排法的种数为55A ；(2)当最左端排乙的时候，排法种数为1444C A . 因此不同的排法的种数为514544A +C A ＝120＋96＝216.8．(2014重庆，理9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )．A ．72B ．120C ．144D ．168答案：B 解析：解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类33A ，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有3333A 2A 72⋅=.第二类也分两步，先排歌舞类33A ，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有122222C A A ，故不同的排法有32213222A A A C 48=，故共有120种不同排法，故选B. 9．(2014浙江，理14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案：60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有2234C A =36种；二是有三人各获得一张奖券，共有34A =24种．因此不同的获奖情况有36＋24＝60种．10．(2014北京，理13)把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种．答案：36解析：产品A ，B 相邻时，不同的摆法有2424A A =48种．而A ，B 相邻，A ，C 也相邻时的摆法为A 在中间，C ，B 在A 的两侧，不同的摆法共有2323A A =12(种)．故产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48－12＝36(种)．11．(2013山东，理10)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.12．(2013福建，理5) 满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．10B [解析] 当a ＝0时，2x ＋b ＝0，∴ x ＝－b 2，有序数对(0，b )有4个；当a ≠0时，Δ＝4－4ab ≥0，∴ ab ≤1，有序数对(－1，b )有4个，(1，b )有3个，(2，b )有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B.13．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)480 [解析] 先排另外四人，方法数是A 44，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A 25，根据乘法原理得不同排法共有A 44A 25＝24×20＝480种．14．(2013北京，理13) 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．96 [解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A 44种方法，所以不同的分法种数是4A 44＝96.解析：按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A 44＝96.15．(2013浙江，理14) 将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．480 [解析一] 先在6个位置找3个位置，有C 36种情况，A ，B 均在C 的同侧，有CAB ，CBA ，ABC ，BAC ，而剩下D ，E ，F 有A 33种情况，故共有4C 36A 33＝480种．解析二：本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力．“小集团”处理，特殊元素优先，C 36C 12A 22A 33＝480. 16．（2012·安徽卷）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或4D [解析] 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C 26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.17．（2012·辽宁卷）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!C [解析] 本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A 33·A 33·A 33·A 33＝(3！)4.18．(2011北京，理12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）【答案】14【解析】个数为42214-=.19．(2010山东，理8)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）（A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种【答案】B 【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有4424A =种，另一类甲排在第二位共有133318C A =种，故编排方案共有241842+=种，故选B.20.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 288C. 216D. 96解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有32223342A C A A 432=种，其中男生甲站两端的有1442223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有288解析2：由题意有2221122222322323242A (C A )C C +A (C A )A 288⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,选B.21.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901333143323=+C A C A C 种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23413332313143323=+C A C C C A C 种，所以共有32423490=+个.22.（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．答案：336 【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有2237C A 种，因此共有不同的站法种数是336种．23．(2009·宁夏、海南，12)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：法一：先从7人中任取6人，共有C 67种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有C 36C 33A 22种分法．最后排在周六和周日两天，有A 22种排法，∴C 67×C 36C 33A 22×A 22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140种．答案：14024．（2010浙江，10）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)． 解析：上午测试安排有A 44种方法，下午测试分为：(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C 13种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C 13种方法，其余两位只有一种方法，则共有C 13·C 13＝9种， 因此测试方法共有A 44·(2＋9)＝264种．答案：264 25．(2009·辽宁，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A ．70种B ．80种C ．100种D ．140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C 25×C 14＋C 15×C 24＝70种．答案：A26．（2013重庆，5）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．解析：本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力．直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C 33·C 14·C 15＋C 34·C 13·C 15＋C 35·C 13·C 14＋C 24·C 25·C 13＋C 23·C 25·C 14＋C 23·C 24·C 15＝590.答案：59027．（2012新课标全国，5）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C 12C 24＝12种安排方案．答案：A二、二项式定理1、（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.2、（2016年山东高考）若（a x 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-2 3、（2016年上海高考）在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】1124、（2016年四川高考）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4【答案】A5、（2016年天津高考）281()x x -的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-6、（2016年全国I 高考）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】10。
全国高考数学 试题分类汇编 排列、组合及二项式定理
2010排列、组合、二项式定理1．（2010·陕西高考理科·Ｔ4）5()ax x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ） （A ）-1 （B ）12(C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查二项式定理的通项公式的应用及运算能力，属保分题。
【思路点拨】5()ax x+⇒5215r r r r T a C x -+=⇒523r -=⇒11510 2.a C a =⇒= 【规范解答】选D 552155,(0,1,2,3,4,5)rr r r r r r a T C x a C x r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭Q ，令523r -=，所以1r =，所以11510 2.a C a =⇒=2．（2010·北京高考理科·Ｔ4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ） （A ）8289A A （B ）8289A C （C ）8287A A （D ）8287A C【命题立意】本题考查排列组合的相关知识。
所用技巧：有序排列无序组合、不相邻问题插空法。
【思路点拨】先排8名学生，再把老师插入到9个空中去。
【规范解答】选A 。
8名学生共有88A 种排法，把2位老师插入到9个空中有29A 种排法，故共有8289A A 种排法。
【方法技巧】解决排列组合问题常用的方法与技巧：（1）有序排列无序组合；（2）不相邻问题插空法：可以把要求不相邻的元素插入到前面元素间的空中；（3）相邻问题捆绑法。
3．（2010·山东高考理科·Ｔ8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） （A ）36种（B ）42种(C)48种（D ）54种【命题立意】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】根据甲的位置分类讨论.【规范解答】选B ，分两类：第一类：甲排在第一位，共有44A =24种排法；第二类：甲排在第二位，共有1333A A =18⋅种排法，所以共有编排方案241842+=种，故选B. 【方法技巧】排列问题常见的限制条件及对策1、有特殊元素或特殊位置，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置.2、元素必须相邻的排列，将必须相邻的的元素捆绑，作为一个整体，但要注意其内部元素的顺序.3、元素不相邻的排列，先排其他元素，然后“插空”.4、元素有顺序限制的排列.4．（2010·天津高考理科·Ｔ１0）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种【命题立意】本题考查分类计数原理，排列组合等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力。
高考数学试题汇编 排列组合二项式定理
2009届高考数学试题汇编 排列组合二项式定理一、选择题1（2009广东三校一模）设][x 表示不超过x 的最大整数(如2]2[=,1]45[=),对于给定的*N n ∈,定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ,),1[+∞∈x ,则当)3,23[∈x 时,函数x C 8的值域是 ]28,316.[A )56,316.[B )56,28[)328,4.(⋃C ]28,328(]316,4.(⋃D D2、（2009茂名一模）“2a =”是“6()x a -的展开式的第三项是604x ”的 条件A.充分不必要 B 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 A3、（2009汕头一模）在11(32的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则10p x dx ⎰＝（ ）A 、1B 、67 C 、76 D 、1113 B二、填空题1、（2009广州一模）在(1－x)n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n 中，若2a 2+a n-5=0， 则自然数n 的值是A.7B.8C.9D.10B2、（2009广东三校一模）621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是_______________;(用数字作答) 153、（2009东莞一模）在72⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，3x 的系数是 .（用数字作答） 844、（2009江门一模）设n n n n n x a x a x a a x x x ++++=++++++--11102)1()1()1( ，20091=-n a ，则=++++-n n a a a a 110 (表示为λβα-的形式)． 222009-5、（2009韶关一模）已知9)222(-x 展开式的第7项为421，则实数x 的值是______.－21 6、（2009深圳一模）已知n 为正偶数，且n xx )21(2-的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是 ．（用数字作答）25-。
高考数学试题分类汇编---- 排列组合二项式定理
高考数学试题分类汇编---- 排列组合二项式定理一． 选择题：1.（全国一3）512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ C ） A ．10 B ．5 C ．52 D ．12.（全国一12）将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ B ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种3.（全国二9）44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ A ）A ．4-B ．3-C ．3D ．44.（安徽卷7）设88018(1),x a a x a x +=+++则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.（安徽卷12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( C )A ． 2686C AB ． 2283C A C ．2286C AD ．2285C A6.（福建卷9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为AA.14B.24C.28D.487.（湖北卷9）从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为BA.100B.110C.120D.1808.（湖南卷8）某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( C )A ．15B ．45C ．60D ．759.（江西卷8）10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为 D A ．1 B ．1210()C C ．120C D ．1020C10.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）A ．13B ．12C ．23D ．3411.（辽宁卷10）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ B ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种12.(浙江卷6）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）27413.（重庆卷10)若(x +12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为B(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 二． 填空题：1.（全国二14）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）4202.（北京卷12）5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）10， 323.（福建卷13）（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答）84 4.（湖南卷13）记n x x )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________.55.（辽宁卷15）6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．356.（陕西卷14）72(1)x -的展开式中21x的系数为 84 ．(用数字作答) 7.（陕西卷16）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 96 种．（用数字作答）．8.（四川卷13）()()34121x x +-展开式中x 的系数为______2_________。
十年高考真题分类汇编 数学 专题 排列组合与二项式定理
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题13 排列组合与二项式定理一、选择题1.(2019·全国3·理T4)(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3的系数为( ) A.12B.16C.20D.24【答案】A【解析】(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3的系数为C 43+2C 41=4+8=12.故选A.2.(2018·全国3·理T5) (x 2+2x)5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由展开式知T r+1=C 5r (x 2)5-r(2x -1)r=C 5r2r x10-3r.当r=2时,x 4的系数为C 5222=40.3.(2017·全国1·理T6)(1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为( ) A.15B.20C.30D.35【答案】C【解析】(1+x )6的二项展开式通项为T r+1=C 6rx r,(1+1x2)(1+x )6的展开式中含x 2的项的来源有两部分,一部分是1×C 62x 2=15x 2,另一部分是1x 2×C 64x 4=15x 2,故(1+1x2)(1+x )6的展开式中含x 2的项为15x 2+15x 2=30x 2,其系数是30.4.(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】C【解析】(2x-y )5的展开式的通项公式T r+1=C 5r(2x )5-r(-y )r.当r=3时,x (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 53×22×(-1)3=-40;当r=2时,y (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 52×23×(-1)2=80.故展开式中x 3y 3的系数为80-40=40.5.(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A .12种B .18种C .24种D .36种 【答案】D【解析】先把4项工作分成3份有C 42C 21C 11A 22种情况,再把3名志愿者排列有A 33种情况,故不同的安排方式共有C 42C 21C 11A 22·A 33=36种,故选D .6.(2016·四川·理T2)设i 为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.-15x 4B.15x 4C.-20i x 4D.20i x 4【答案】A【解析】二项式(x+i)6展开的通项T r+1=C 6rx 6-r i r,则其展开式中含x 4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x 4的项为C 62x 4i 2=-15x 4,故选A .7.(2016·全国2·理T5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】由题意知,小明从街道的E 处出发到F 处的最短路径有6条,再从F 处到G 处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B .8.(2016·全国3·理T12)定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意k ≤2m ,a 1,a 2,…,a k 中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个【答案】C【解析】由题意知a 1=0,a 8=1,则满足题意的a 1,a 2,…,a 8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.9.(2016·四川·理T4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72【答案】D【解析】要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1,3,5中的一个,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.10.(2015·四川·理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【答案】B【解析】当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有C21A43个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有C31A43个.故满足条件的五位数共有C21A43+C31A43=(2+3)A43=5×4×3×2×1=120个.故选B.11.(2015·全国1·理T10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60【答案】C【解析】(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式通项为T r+1=C5r(x2+x)5-r y r(r=0,1,2,…,5).由题意,y的幂指数为2,故r=2.对应的项为C52(x2+x)3y2=10(x2+x)3y2.记(x2+x)3的展开式通项为T s+1=C3s(x2)3-s x s=C3s x6-s(s=0,1,2,3),由题意令6-s=5,得s=1.故所求项的系数为10C31=30.12.(2015·陕西·理T4)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n-2=C n2=15,解得n=6,故选B.13.(2015·湖北·理T3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.210D.29【答案】D【解析】由条件知C n3=C n7,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.14.(2014·大纲全国·理T5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,故共有C62·C51=6×5×5=75种选法,选C.2×115.(2014·辽宁·理T6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【答案】D【解析】插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A43=24.故选D.16.(2014·四川·理T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【答案】B【解析】(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A55;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C41A44.因此不同的排法的种数为A 55+C 41A 44=120+96=216.17.(2014·重庆·理T9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72B.120C.144D.168【答案】B【解析】第1步,先排歌舞类节目,有A 33=6种排法,排好后有4个空位.第2步,排另3个节目,因为3个歌舞节目不相邻,则中间2个空位必须安排2个节目.分两类情况:①中间两个空位安排1个小品类节目和1个相声节目,有C 21A 22=4种排法,最后一个小品类节目排两端,有2种方法.共有6×4×2=48种排法. ②中间两个空位安排2个小品类节目,有A 22=2种排法,排好后有6 个空位,选1个将相声类节目排上,有6种排法.共有6×2×6=72种排法. 所以一共有48+72=120种排法.18.(2014·四川·理T2)在x(1+x)6的展开式中,含x 3项的系数为( ) A.30B.20C.15D.10【答案】C【解析】含x 3的项是由(1+x)6展开式中含x 2的项与x 相乘得到,又(1+x)6展开式中含x 2的项的系数为C 62=15,故含x 3项的系数是15. 19.(2014·湖南·理T4) (12x -2y)5的展开式中x 2y 3的系数是( )A .-20B .-5C .5D .20【答案】A 【解析】由已知,得T r+1=C 5r (12x)5-r(-2y)r=C 5r(12)5-r(-2)r x 5-r y r(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T 4=C 53(12)2(-2)3x 2y 3=-20x 2y 3.20.(2014·浙江·理T5)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210【答案】C【解析】∵(1+x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6rx r ,(1+y )4展开式的通项公式为T h+1=C 4ℎy h,∴(1+x )6(1+y )4展开式的通项可以为C 6r C 4ℎx r y h. ∴f (m ,n )=C 6m C 4n .∴f (3,0)+f (2,1)+f (1,2)+f (0,3)=C 63+C 62C 41+C 61C 42+C 43=20+60+36+4=120.故选C .21.(2013·全国1·理T9)设m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B【解析】由题意可知,a=C 2m m ,b=C 2m+1m ,∵13a=7b,∴13·(2m )!m !m !=7·(2m+1)!m !(m+1)!, 即13=2m+1,解得m=6.故选B.22.(2013·山东·理T10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 【答案】B【解析】构成所有的三位数的个数为C 91C 101C 101=900,而无重复数字的三位数的个数为C 91C 91C 81=648,故所求个数为900-648=252,应选B .23.(2013·全国2·理T5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为5,则a=( ) A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】D【解析】因为(1+x)5的二项展开式的通项为C 5r x r(0≤r≤5,r∈Z),则含x 2的项为C 52x 2+ax·C 51x=(10+5a)x 2,所以10+5a=5,a=-1.24.(2013·辽宁·理T7)使(3x x √x )n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A.4B.5C.6D.7 【答案】B【解析】(3x +x √x )n 展开式中的第r+1项为C nr (3x)n-rx -32r =C n r 3n-rx n -52r ,若展开式中含常数项,则存在n ∈N *,r ∈N,使n-5r=0,故最小的n 值为5,故选B.25.(2013·大纲全国·理T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A.56B.84C.112D.168【解析】因为(1+x)8的展开式中x 2的系数为C 82,(1+y)4的展开式中y 2的系数为C 42,所以x 2y 2的系数为C 82C 42=168.故选D.26.(2012·湖北·理T5)设a ∈Z,且0≤a<13,若512 012+a 能被13整除,则a=( )A.0B.1C.11D.12 【答案】D 【解析】∵512 012可化为(52-1)2 012,其二项式系数为T r+1=C 2012r522 012-r·(-1)r .故(52-1)2 012被13除余数为C 20122012·(-1)2 012=1,则当a=12时,512 012+12被13整除.27.(2012·安徽·理T7)(x 2+2) (1x 2-1)5的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3【答案】D【解析】通项为T r+1=C 5r(1x 2)5-r(-1)r=(-1)rC 5r1x 10-2r.令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x 2+2)(1x 2-1)5的展开式的常数项是(-1)4×C 54+2×(-1)5×C 55=3.28.(2012·全国·理T2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 【答案】A【解析】将4名学生均分为2个小组共有C 42C 22A 22=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有A 22=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.29.(2012·辽宁·理T5)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A.3×3! B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!【答案】C【解析】完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有A 33种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,共有A 33A 33A 33种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有A 33A 33A 33A 33,故选C .30.(2012·安徽·理T10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( )A .1或3B .1或4C .2或3D .2或4【解析】6人之间互相交换,总共有C 62=15种,而实际只交换了13次,故有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间未交换时,甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到4份礼物,故选D . 31.(2011·全国·理T8) (x +a x )(2x -1x)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A.-40B.-20C.20D.40【答案】D【解析】令x=1得(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.原式=x·(2x -1x)5+1x (2x -1x)5,故常数项为 x·C 53(2x)2(-1x )3+1x ·C 52(2x)3(-1x )2=-40+80=40.32.(2010·山东·理T8)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 【答案】B【解析】若乙排在第二位,则有A 33种方案;若乙不排在第二位,则乙只能排在第三、四、五位,此时共有A 31A 21A 33种方案,故共有A 33+A 31A 21A 33=42(种).二、填空题1.(2019·天津·理T10)（2x-18x 3）8的展开式中的常数项为 【答案】28【解析】T r+1=C 8r (2x)8-r（1-8x3）r=C 8r ·28-r·（-18）r·x8-4r.需8-4r=0,r=2.常数项为C 8226（-18）2=C 8226126=C 82=28.2.(2018·天津·理T10)在(x 2√x )5的展开式中,x 2的系数为.【答案】52【解析】展开式的通项为T r+1=C 5r x 5-r(2x)r =(-12)r C 5r x 5-3r2.令5-3r 2=2,可得r=2.所以(x 2x )5的展开式中的x 2的系数为(-12)2C 52=52.3.(2018·浙江·T14)二项式(√x 3+12x)8的展开式的常数项是 .【答案】7 【解析】通项为T r+1=C 8r (x 13)8-r (12x -1)r =(12)r C 8r x 8-4r3,当r=2时,8-4r3=0. 故展开式的常数项为(12)2C 82=14×8×72=7.4.(2018·上海·T3)在(1+x)7的二项展开式中,x 2项的系数为 (结果用数值表示). 【答案】21【解析】由(1+x)7的二项展开式的通项,得(1+x)7的二项展开式的x 2项的系数为C 72=21.5.(2018·全国1·理T15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 【答案】16【解析】方法一:①恰有1位女生时,有C 21C 42=12种选法. ②恰有2位女生时,有C 22C 41=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有C 63种选法,3人全是男生时有C 43种选法,所以至少有1位女生入选时有C 63−C 43=16种选法.6.(2018·浙江·T16)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260 【解析】分两类:第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有C 31C 52A 31A 33=540;第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有C 32C 52A 44=720.所以没有重复数字的四位数共有540+720=1260种.7.(2017·山东·理T11)已知(1+3x)n的展开式中含有x 2项的系数是54,则n= .【答案】4【解析】二项展开式的通项T r+1=C n r (3x)r=3r·C n r ·x r,令r=2,得32·C n 2=54,解得n=4.8.(2017·浙江·T13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5,则a 4= ,a 5= . 【答案】16 4【解析】由二项式展开式可得通项公式为C 3r x 3-rC 2m x 2-m 2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a 4=4+12=16,令x=0可得a 5=13×22=4.9.(2017·天津·理T14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 【答案】1080【解析】①没有一个数字是偶数的四位数有A 54=120个;②有且只有一个数字是偶数的四位数有C 41C 53A 44=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.10.(2017·浙江·T16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 【答案】660【解析】由题意可得,总的选择方法为C 84C 41C 31种方法,其中不满足题意的选法有C 64C 41C 31种方法,则满足题意的选法有C 84C 41C 31−C 64C 41C 31=660种.11.(2016·全国1·理T14)(2x+√x )5的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】10【解析】二项式的通项公式T r+1=C 5r (2x)5-rx r 2=C 5r 25-rx 5-r2,令5-r2=3,解得r=4,故x 3的系数为C 54×25-4=10.12.(2016·天津·理T10) (x 2-1x )8的展开式中x 7的系数为 .(用数字作答)【答案】-56【解析】展开式通项为T r+1=C 8r (x 2)8-r(-1)r=(-1)rC 8r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以展开式中x 7的系数为(-1)3C 83=-56.13.(2015·广东·理T12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 【答案】1560【解析】共有A 402=40×39=1 560条毕业留言.14.(2015·天津·理T12)在(x -1)6的展开式中,x 2的系数为. 【答案】 1516【解析】由题意知T r+1=C 6r x 6-r ·(-14x )r =C 6r ·x 6-2r ·(-14)r .令6-2r=2,可得r=2. 故所求x 2的系数为C 62(-14)2=1516. 15.(2015·重庆·理T12)(x32√x )5的展开式中x 8的系数是(用数字作答). 【答案】52【解析】展开式的通项公式T r+1=C 5r ·(x 3)5-r ·(2√x )r =C 5r ·2-r ·x 15-72r (r=0,1,2,…,5). 令15-72r=8,得r=2,于是展开式中x 8项的系数是C 52·2-2=52. 16.(2015·全国2·理T15)(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .【答案】3【解析】∵(1+x)4=x 4+C 43x 3+C 42x 2+C 41x+C 40x 0=x 4+4x 3+6x 2+4x+1, ∴(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.17.(2014·安徽·理T13)设a ≠0,n 是大于1的自然数, (1+x a )n 的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n .若点A i (i,a i )(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .【答案】3 【解析】由题意得a 1=1a ·C n 1=n a =3,∴n=3a; a 2=1a 2C n 2=n (n -1)2a 2=4, ∴n 2-n=8a 2.将n=3a 代入n 2-n=8a 2得9a 2-3a=8a 2,即a 2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.18.(2014·北京·理T13)把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.【答案】36【解析】产品A,B 相邻时,不同的摆法有A 22A 44=48种.而A,B 相邻,A,C 也相邻时的摆法为A 在中间,C,B 在A的两侧,不同的摆法共有A 22A 33=12(种).故产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48-12=36(种).19.(2014·全国1·理T13)(x-y)(x+y)8的展开式中x 2y 7的系数为 .(用数字填写答案)【答案】-20【解析】(x+y)8的通项公式为T r+1=C 8r x 8-r y r (r=0,1,…,8,r ∈Z).当r=7时,T 8=C 87xy 7=8xy 7,当r=6时,T 7=C 86x 2y 6=28x 2y 6, 所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x 2y 7的项为x·8xy 7-y·28x 2y 6=-20x 2y 7,故系数为-20.20.(2014·全国2·理T13)(x+a)10的展开式中,x 7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)【答案】12【解析】设展开式的通项为T r+1=C 10r x10-r a r , 令r=3,得T 4=C 103x 7a 3,即C 103a 3=15,得a=12. 21.(2013·浙江·理T11)设二项式(√x -√x 3)5的展开式中常数项为A,则A= . 【答案】-10【解析】T r+1=C 5r (√x )5-r ·(-1√x 3)r =C 5r x 5-r 2·(-1)r ·x -r 3=(-1)r C 5r x 5-r 2-r 3=(-1)r C 5r x 15-5r 6. 令15-5r=0,得r=3,所以A=(-1)3C 53=-C 52=-10. 22.(2013·北京·理T12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 .【答案】96【解析】分给同一人的2张参观券连号的情况共有12,23,34,45四种情况,从4人中选一人得到连号参观券,有4C 41种方法.其余3张分给3人可以全排列,有A 33种方法,所以不同的分法有4C 41×A 33=96种.23.(2013·大纲全国·理T14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答)【答案】480【解析】先排除甲、乙外的4人,方法有A 44种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有A 52种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有A 44·A 52=480(种).24.(2013·浙江·理T14)将A ,B ,C ,D ,E ,F 六个字母排成一排,且A ,B 均在C 的同侧,则不同的排法共有 种(用数字作答).【答案】480【解析】按C 的位置分三类情况:①当C 在第一或第六位时,有A 55=120种排法;②当C 在第二或第五位时,有A 42A 33=72种排法;③当C 在第三或第四位时,有A 22A 33+A 32A 33=48种排法.所以共有2×(120+72+48)=480种排法.25.(2012·福建·理T11)(a+x)4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a= .【答案】2【解析】∵T r+1=C 4r a r x 4-r ,∴当4-r=3,即r=1时,T 2=C 41·a·x 3=4ax 3=8x 3.故a=2. 26.(2012·浙江·理T14)若将函数f(x)=x 5表示为f(x)=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+…+a 5(1+x)5,其中a 0,a 1,a 2,…,a 5为实数,则a 3= .【答案】10【解析】由x 5=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+…+a 5(1+x)5可得,{x 5=a 5·C 55x 5,0·x 4=a 4C 44x 4+a 5C 54x 4,0·x 3=a 3C 33x 3+a 4C 43x 3+a 5C 53x 3, 可解得{a 5=1,a 4=-5,a 3=10.27.(2012·大纲·理T15)若(x +1)n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中12的系数为 .【答案】56【解析】∵C n 2=C n 6,∴n=8.T r+1=C 8r x 8-r (1)r =C 8r x 8-2r ,当8-2r=-2时,r=5.∴系数为C 85=56.28.(2011·北京·理T12)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用数字作答)【答案】14【解析】可用排除法,这个四位数每一位上的数字只能是2或3,则共有24个,而这其中要求数字2或3至少出现一次,所以全是2和全是3不满足,即满足要求的四位数有24-2=14个.。
专题13 排列组合与二项式定理-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)
专题13 排列组合与二项式定理【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C【分析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C【分析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+. 故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【分析】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615r rr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【分析】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【详解】：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C. 5．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80【答案】C【详解】：：由题可得()5210315522rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C ⋅⋅==故选C.6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C. 7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：36363A ⨯=种．故选D.8．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 A ．10 B ．20 C ．30 D ．60【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【详解】：由题意可知221,m m m m C a C b +==,137a b =,221137m m m m C C +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+,211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确．10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））已知(1＋ax )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝ A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1【答案】D 【详解】由题意知：21555C aC +=，解得1a =-，故选D.11．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种【答案】A【详解】：第一步，为甲地选一名老师，有122C =种选法；第二步，为甲地选两个学生，有246C =种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有26112⨯⨯=种，故选A ．12．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】A【解析】:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.二、填空题13．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36【分析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C = 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36.14．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240【分析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.15．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【分析】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）5(2x 的展开式中，x 3的系数是_________.（用数字填写答案） 【答案】10【详解】：5(2x 的展开式的通项为555255(2)2rr r r r r C x C x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.17．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷））有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.18．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________． 【答案】3【解析】：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 【答案】20-【详解】：由题意，8()x y +展开式通项为818k k k k T C x y -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278()2820x xy y x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-．20．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 【答案】12【详解】因为10110r r rr T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =.。
专题26 排列组合、二项式定理(原卷版)
专题26 排列组合二项式定理 命题规律内 容 典 型 １求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8 ２求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14 ３求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12 ４利用计数原理计算组合问题 2020年高考山东卷3 ５ 利用计数原理计算排列组合的综合问题 2020年高考全国Ⅱ卷理数14 命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论.【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为 （ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数【解决之道】解决此类问题，设指定项为二项式展开式的第r 项，利用通项公式，列出关于r 的方程，解出r ，即可求出指定的系数.【三年高考】1.【2020年高考北京卷3】在)52的展开式中，2x 的系数为 （ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．102.【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 （用数字作答）． 3.【2020年高考天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．805.【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．6.【2018年高考浙江卷】二项式81)2x 的展开式的常数项是__________．7.【2018年高考天津卷理数】在5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．命题规律三 求二项式展开式中奇数项系数【解决之道】解决此类问题，要熟记二项式展开式的系数性质，利用赋值法，即可列出二项式系数的方程（组），系数和即赋值1x =，偶数项系数和减去奇数项系数和即赋值1x =-，通过解方程即可求出偶数项（奇数项）系数和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= ．命题规律四 利用计数原理计算组合问题【解决之道】排列组合问题常见解法:（1）元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
高考数学《排列组合二项式定理-解答题》专题复习
第十章 排列、组台、二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质．1.（2007四川理）(本小题满分14分)设函数),1,(11)(N x n N n n x f n∈∈⎪⎭⎫⎝⎛+= 且.(Ⅰ)当x =6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。
考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是335631201C n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）证法一：因()()22112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥11211nn n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121nn ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭1121ln 12nn ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'1121ln 12nf x n n ⎛⎫⎛⎫≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证法二：因()()22112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥11211nn n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而()'11221ln 1nf x n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故只需对11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和1ln 1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行比较。
令()()ln 1g x x x x =-≥，有()'111x g x x x-=-=由10x x-=，得1x =因为当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1 故当1x >时，()()11g x g >=，从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+>故有111ln 1n n ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立。
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历届高考数学真题汇编专题:排列组合 二项式定理
1、在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名。
并且日语和俄语都要求必须有男生参加。
学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有
（A ）20种 （B ）22种 （C ）24种 （D ）36种
2、从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为
（A ）300 （B ）216 （C ）180 （D ）162
3、如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有
A. 11
B. 20种
C. 21种
D. 12种
4、2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A ．18种
B ．36种
C ．48种
D ．72种
5、将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为
A ．6种
B ．12种
C ．18种
D ．24种
6、二项式6(2)x x -的展开式中的常数项为 （A ）120 （B ）120- （C ）160 （D ）160-
7、设22(13)40a x dx =-+⎰，则二项式26()a x x
+展开式中不含．．3x 项的系数和是 A ．160- B ．160 C ．161 D ．161-
8、61(2)x x -的展开式中2x 的系数为
A.240-
B. 240
C. 60-
D. 60
9、已知62)2(p x x
-的展开式中常数项为2720，那么正数p 的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
10、设6()x x
-的展开式中3x 的系数为A ,二项式系数为B ,则:A B = A.4 B. 4- C.62 D.62-
11. 二项式的展开式中的常数项是（ )
(A).第10项 （B).第9项 （C).第8项 （D):第7项
12.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是（ ）
A. 12
B. 24
C.36
13.某校一社团共有10名成员，从周一到周五每天安排两人值日，若甲、乙必须排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，则不同的安排方案共有（ ）
A ．21600
B ．10800
C ．7200
D ．5400
14.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的
选法种数为（用数字作答）＿＿＿
15、已知7270127(x m )a a x a x ...a x -=+++的展开式中5x 的系数是189，则实数m= ．
16、4
31⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 展开式中常数为 . 17.二项式622a x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为15,则实数a 的值为 ; 18.从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ; 19.(82x -展开式中含4x 项的系数为 .
20.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则0111a a a +++L 的值为 .
21.已知33331111()1234f n n
=++++L ，231()22g n n =-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系；
（2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．。