高考数学提分专练绝对值函数最值问题(含答案)

绝对值函数最值问题

一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的

距离之和最小，问医院应该建

在何处？

来证明一个引理：

引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。

将上式的y y -换成可得

||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立

定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时

()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等

于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12

n x a +=时有最小值，

即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112)

||||n n n x a x a f a -+⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝

⎭

当n 为偶数时

()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属

于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即1

2

2

,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣

⎦

时有最

小值。此时

()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……

1122||||n n n n x a x a f a or f a -+⎛⎫⎛⎫

+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。

二、求下列函数的最小值：

1、()|2||1|-+-=x x x f

()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x

也即是[]2,1∈x 时等号成立。 1)(≥∴x f

2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f

()()[]时等号成立。

当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x

()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f

2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数（12年北约自招试题）

对于绝对值函数（也称“折线函数”）问题，主要有两种解决思路：1、利用绝对值的几何意义（求最值时非常方便），2、找零点直接去绝对值，转化为分段函数。

()[)[)[)[)

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧-∞-∈---∈+-∈++∞∈+=2,130,231,03,11

3x x x x x x x x x f 由函数解析式易得函数()x f 的单调递增区间为[)+∞,0

其函数图象如下：

3、 ()|124||63||22|-+-+-=x x x x f

()|3|4|2|3|1|2|124||63||22|-+-+-=-+-+-=x x x x x x x f

由定理可知，当x 取1,1,2,2,2,3,3,3,3的中位数时，函数有最小值，也即是x=2时，()()6422min =+==f x f

4、()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f （北京高考试题） ()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f

由定理可知，当x 取1,2,3……19的中位数时，函数有最小值，也即是x=10时，()()9010min ==f x f

5、 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角

坐标系，现有下述格点)22(，

-，)13(，，)43(，，)32(，-，)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. （09年上海高考）