高考文科数学真题汇编解三角形高考题学生版(最新整理)
2025 届高考数学复习：历年高考真题、模拟题专项(解三角形的实际应用)阶梯练习 (附答案)
2025 届高考数学复习：历年高考真题、模拟题专项（解三角形的实际应用）阶梯练习基础巩固练1.(2024ꞏ河北高三学业考试)如图,一艘船沿正北方向航行,航行速度为每小时30海里,在A处看灯塔S 在船的北偏东30°的方向上.1小时后,船航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东75°的方向上,则船航行到B处时与灯塔S的距离为()A.15√2海里B.15√6海里C.30√2海里D.10√6海里2.(2024ꞏ河南驻马店模拟)如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N 间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度MC=100√3 m,NB=50√2 m,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为()A.100√2 mB.120 mC.100√3 mD.200 m3.(2024ꞏ宁夏银川模拟)某社区为了美化社区环境,欲建一块休闲草坪,其形状如图所示为四边形ABCD,AB=2√3,BC=4(单位:百米),CD=AD,∠ADC=π,且拟在A,C两点间修建一条笔直的小路(路的宽3度忽略不计),则当草坪ABCD的面积最大时,AC=()A.2√7百米B.2√10百米C.2√13百米D.2√19百米4.(2024ꞏ安徽合肥模拟)如图,某地需要经过一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的三点A,B,C,设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为45°,C处的俯角为30°,且测得AB=1.4 km,BD=0.2 km,CE=0.5 km,则拟修建的隧道DE的长为km.5.(2024ꞏ河北沧州模拟)汾阳文峰塔建于明末清初,位于山西省汾阳市建昌村,该塔共十三层,雄伟挺拔,高度位于中国砖结构古塔之首.如图,某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB,选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C,D,E,现测得∠BCD=30°,∠BDC=70°,∠BED=120°,BE=17.2 m,DE=10.32 m,在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据:tan 62°≈1.88,sin70°≈0.94,√144.9616=12.04.(1)求BD;(2)估算塔高AB(结果精确到1 m).综合提升练6.(2024ꞏ江西南昌模拟)八一广场是南昌市的心脏地带,八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑,塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文,东、西、南三门各有一幅反映武装起义的人物浮雕,塔身正面为“八一起义纪念塔”铜胎鎏金大字,塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成.现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为纪念塔最顶端,B为纪念塔的基座(B在A的正下方),在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D 两点,测得CD的长为m.已知兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据,不能计算出纪念塔高度AB的是()A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDCB.m,∠ACB,∠BCD,∠ACDC.m,∠ACB,∠ACD,∠ADCD.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC7.(2024ꞏ河北衡水中学校考)据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带,测定台风中心位于某市南偏东60°,距离该市400千米的位置,台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动,在距离台风中心350千米的范围内都会受到台风影响,则该市从受到台风影响到影响结束,持续的时间为小时.8.(2024ꞏ湖南邵阳模拟)人类从未停止对自然界探索的脚步,位于美洲大草原点C处正上空100√3 m 的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45°,拍摄羚羊的俯角为60°,假设A,B,C三点在同一水平面上.(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度;(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以25 m/s的速度出击,与此同时机警的羚羊以20 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑600 m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因.创新应用练9.某市民活动中心内有一块以O为圆心,半径为20米的半圆形区域,为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:如图,在半圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分,别在圆周上,观众席为等腰梯形ABQP内且在半圆O外的区域,其中AP=AB=BQ,∠PAB=∠QBA=2π3且AB,PQ在点O的同侧,为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超).过60米(即要求PO≤60),设∠OAB=α,α∈(0,π3(1)当α=π时,求舞台表演区域的面积及AB的长;6(2)对于任意α,上述设计方案是否均能符合要求?请说明理由.参考答案1.A 答案解析 由题意得,在△ABS 中,∠BAS=30°,AB=30,∠BSA=75°-30°=45°,由正弦定理得AB sin∠BSABS sin∠BAS ,即30sin45°BSsin30°,解得BS=15√2(海里).2.A 答案解析 由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100√3 m,NB=50√2 m,∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°,在Rt △ACM 中,可得AM=MCsin60°=200 m,在Rt △ABN 中,可得AN=NBsin30°=100√2 m,在△AMN 中,由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM ꞏAN cos ∠MAN=20 000,所以MN=100√2 m .3.C 答案解析 设∠ABC=θ,0<θ<π,在△ABC 中,AC 2=42+(2√3)2-2×4×2√3cos θ=28-16√3cos θ.由CD=AD ,∠ADC=π3,所以△ABC 为等边三角形.所以S 四边形ABCD =S 三角形ABC +S 三角形DAC =124×2√3sin θ+√34AC 2=4√3sin θ+√34(28-16√3cos θ)=7√3+8√3sin(θ-π3),当θ-π3 π2,即θ=5π6时,草坪ABCD 的面积最大,此时AC=√28 24=2√13.4.0.7 答案解析 由题意知,∠PAD=15°,∠PBD=45°,∠PCE=30°,∠APB=30°.在△PAB 中,由正弦定理得AB sin∠APBPB sin∠PAB ,即1.4sin30°PBsin15°,所以PB=2.8sin 15°.在△PBC 中,因为∠BPC=180°-∠PBD-∠PCE=180°-45°-30°=105°,由正弦定理得PB sinCBC sin∠BPC ,即PBsin30°BCsin105°,所以BC=PBsin30°sin 105°=2PB×sin 105°=5.6×sin 15°×sin 105°=5.6×sin 15°×cos 15°=2.8sin 30°=1.4(km),所以DE=BC-BD-EC=1.4-0.2-0.5=0.7(km),即拟修建的隧道DE 的长为0.7 km . 5.解 (1)在△BDE 中,由余弦定理得BD 2=BE 2+DE 2-2BE ꞏDE ꞏcos ∠BED , 则BD= 17.2 10.32 -2 17.2 10.32 cos120° √579.846 4=2√144.961 6=2×12.04=24.08 m .(2)在△BCD 中,由正弦定理得BD sin∠BCDBCsin∠BDC, 则BC=BD ꞏsin∠BDC sin∠BCD24.08 0.941245.27 m,在Rt △ABC 中,∠ACB=62°,所以AB=BC ꞏtan ∠ACB ≈45.27×1.88≈85.11≈85 m,故塔高AB 约为85 m .6.B 答案解析 对于A,由m ,∠BCD ,∠BDC 可以解△BCD ,又AB=BC ꞏtan ∠ACB ,可求塔高度AB ,故选项A 能计算出纪念塔高度AB ;对于B,在△BCD 中,由CD=m ,∠BCD 无法解三角形,在△ACD 中,由CD=m ,∠ACD 无法解三角形,在△BCA 中,已知两角∠ACB ,∠ABC 无法解三角形,所以无法解出任意三角形,故选项B 不能计算出纪念塔高度AB ;对于C,由CD=m ,∠ACD ,∠ADC 可以解△ACD ,可求AC ,又AB=AC ꞏsin ∠ACB ,即可求塔高度AB ,故选项C 能计算出纪念塔高度AB ;对于D,如图,过点B 作BE ⊥CD 于点E ,连接AE ,由题意知,AB ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,所以AB ⊥CD ,因为BE ∩AB=B ,BE ,AB ⊂平面ABE ,所以CD ⊥平面ABE ,AE ⊂平面ABE ,所以CD ⊥AE ,则cos ∠ACE=EC AC,由cos ∠ACB=BC AC,cos ∠BCD=EC BC,cos ∠ACE=EC AC,知cos ∠ACE=cos ∠ACB ꞏcos ∠BCD ,故可知∠ACD 的大小,由∠ACD ,∠ADC ,m 可解△ACD ,故可求出AC ,又AB=AC ꞏsin ∠ACB ,即可求塔高度AB ,故选项D 能计算出纪念塔高度AB.7. 52答案解析 如图,假设A 点为某市的位置,B 点是台风中心在向正北方向移动前的位置.设台风移动t 小时后的位置为C ,则BC=40t.又∠ABC=60°,AB=400,在△ABC 中,由余弦定理,得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ꞏBC cos 60°=4002+(40t )2-2×400×40t 12=1 600t 2-16 000t+160 000,令AC ≤350,则1 600t 2-16 000t+160 000≤3502,整理可得16t 2-160t+375≤0,解得154t254,又254 15452,所以该市从受到台风影响到影响结束,持续的时间为52小时.8. 解 (1)由题意作图如右,则∠PAC=45°,∠CBP=60°,∠BAC=45°-15°=30°,AC=PCtan∠PAC=100√3m,BC=PCtan∠CBP=100 m .由正弦定理得AC sin∠ABCBCsin∠BAC, 即sin ∠ABC=AC ꞏsin∠BACBC√32.因此∠ABC=60°或120°,当∠ABC=60°时,∠ACB=90°,猎豹与羚羊之间的距离AB=√AC BC =200 m,当∠ABC=120°时,∠ACB=∠BAC=30°,猎豹与羚羊之间的距离AB=BC=100 m .(2)猎豹这次捕猎不成功.理由如下,由题意知AC<AB ,所以结合(1)知AB=200 m .由题意作图如右,设捕猎成功所需的最短时间为t ,在△ABQ 中,BQ=20t ,AQ=25t ,AB=200,∠ABQ=120°.由余弦定理得AQ 2=BQ 2+AB 2-2BQ ꞏAB cos ∠ABQ , 即625t 2=400t 2+2002-2×20t×200×(-12). 整理得9t 2-160t-1 600=0.设f (t )=9t 2-160t-1 600,显然f (0)<0,f (809)<0,因为猎豹能坚持奔跑最长时间为60025=24 s,且f (24)=-256<0,所以猎豹不能捕猎成功.9.解 (1)由题意知OA=OB=20,又α=π6,∴∠AOB=π-2 π62π3, ∴S 扇形AOB =122π3 202=400π3, AB= OA OB -2OA ꞏOBcos 2π3=20√3, 即舞台表演区域的面积为400π3平方米;AB 的长为20√3米.(2)均能符合要求.理由如下, ∵α∈(0,π3),∴cos α>0.在△AOB 中,由余弦定理得AB= OA OB -2OA ꞏOBcos (π-2α)=40cos α,即PA=40cos α, 又∠OAP=2π3+α,∴PO 2=OA 2+PA 2-2OA ꞏPa cos(2π3+α)=400+1 600cos 2α-1 600cosαcos(2π3+α)=400(6cos 2α+2√3sin αcos α+1)=400(3cos 2α+√3sin 2α+4)=800√3sin(2α+π3)+1 600. ∵0<α<π3,∴π3<2α+π3<π, ∴0<sin(2α+π3)≤1,∴P O=1 600+800√3, ∴PO max =20√3+20<60,即观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离都不超过60米, ∴对于任意α,上述设计方案均能符合要求。
专题19 解三角形大题综合(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题19解三角形大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1求面积的值及范围或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷2022·浙江卷、2019·全国卷、2017·全国卷2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·全国卷2015·山东卷掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
考点2求边长、周长的值及范围或最值（10年8考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·山东卷2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷2015·山东卷考点3求角和三角函数的值及范围或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷2019·北京卷、2019·全国卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山东卷、2016·四川卷2016·江苏卷、2015·江苏卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全国卷考点4求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长（10年几考）2023·全国新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全国卷2015·安徽卷、2015·全国卷考点5三角形中的证明问题（10年4考）2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山东卷、2016·四川卷2015·湖南卷考点01求面积的值及范围或最值1．（2024·北京·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023·全国甲卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023·全国乙卷·高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．5．（2019·全国·高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．6．（2017·全国·高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,22A A a +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.7．（2016·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =332ABC S ∆=ABC ∆的周长.8．（2015·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积.9．（2015·全国·高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B （2）若90B = ，且2,a =求ABC ∆的面积．10．（2015·山东·高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.考点02求边长、周长的值及范围或最值1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 32A A +=．(1)求A ．(2)若2a =2sin sin 2b C c B =，求ABC 的周长．2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2C B =，2222a b c ab+-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为33c ．3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 3D 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ；(2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．5．（2022·全国乙卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 2C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．8．（2020·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C，求C .9．（2020·全国·高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.10．（2018·全国·高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .11．（2017·全国·高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.12．（2017·山东·高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .13．（2017·全国·高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ．14．（2016·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.15．（2015·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.16．（2015·山东·高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.考点03求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．3．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.4．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．9．（2019·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin(2B π+的值．10．（2019·北京·高考真题）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．11．（2019·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．12．（2018·天津·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.13．（2017·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.14．（2017·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.15．（2016·四川·高考真题）在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC ；（Ⅱ）若，求tanB ．16．（2016·浙江·高考真题）在 ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c .已知b+c =2ac os B .（Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．17．（2016·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．18．（2016·天津·高考真题）在ABC 中，内角所对的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若1cos 3A =，求sinC 的值.19．（2016·北京·高考真题）在△ABC 中，222a c b +=+(1)求B 的大小；(2)A ＋cos C 的最大值．20．（2016·山东·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．21．（2016·四川·高考真题）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B Ca b c+=.（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .22．（2016·江苏·高考真题）在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==，（1）求AB 的长；（2）求(6cos A π-的值.23．（2015·江苏·高考真题）在中，已知.（1）求的长；（2）求的值.24．（2015·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为12,cos 4b c A -==-．(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos(2)6A π+的值．25．（2015·四川·高考真题）如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.26．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（Ⅰ）证明：sin cos B A =；（Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .27．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.28．（2015·全国·高考真题）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.考点04求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．2．（2018·北京·高考真题）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===-．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．3．（2018·全国·高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4．（2015·安徽·高考真题）在ABC 中，3,6,4A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.5．（2015·全国·高考真题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC BD 和AC 的长．考点05三角形中的证明问题1．（2022·全国乙卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.3．（2016·四川·高考真题）在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC ；（Ⅱ）若，求tanB ．4．（2016·浙江·高考真题）在 ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c .已知b+c =2ac os B .（Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．5．（2016·山东·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．6．（2016·四川·高考真题）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B Ca b c+=.（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .7．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（Ⅰ）证明：sin cos B A =；（Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
解三角形高考真题(带解析)
解三角形高考真题（带解析）1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.2．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ．3．在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．4．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+5．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-． (1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．7．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：根据表中数据，求： （1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.9．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC11．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.12．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．参考答案：1．(1)1c =(2)sin B =(3)sin(2)A B -=【分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出； （2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出． （1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A ==，又sin sin a b A B =，所以2sin sin b AB a===．（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A ==所以1sin 22sin cos 24A A A ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 2．(2)12【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由123S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB A C=，即可求解.（1）由题意得22221231,,2S a S S =⋅===，则222123S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos B1cos ac B ==1sin 2ABCS ac B ==（2）由正弦定理得：sin sin sin b a cB A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.3．(1)6π(2)663【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长. （1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABCSab C a ===a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=. 4．(1)5π8； (2)证明见解析．【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． （1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．5．(1)见解析 (2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. （1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； （2）解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6． (2)22．【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin A C ==（2）因为4a =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．7．(1)π6；(2)5．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出．（1） 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-== ()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5．8．（1）3A =，2ω=，3πϕ=；（2）最大值是3，最小值是32-. 【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A ，ω，ϕ的值即可.（2）首先根据（1）知：3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得到11172636x πππ≤+≤，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知max 3y =，则3A =，因为566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2T πω=，所以2ππω=，解得2ω=，即3sin(2)y x ϕ=+， 因为函数图象过点,312π⎛⎫⎪⎝⎭，则33sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即πsinφ16， 所以262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得23k πϕπ=+，k ∈Z ，又因为2πϕ<，所以3πϕ=.（2）由（1）可知3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为3544x ππ≤≤，所以11172636x πππ≤+≤， 因此，当11236x ππ+=时，即34x π=时，32y =-， 当5232x ππ+=时，即1312x π=时，3y =.所以该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3，最小值是32-.9．（1（2）存在，且2a =. 【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值. 【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则sin C ==因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈，故2a =. 10．（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin 21sin 2c Cb B===与c =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++==+ 解得2R=，则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 2224ABCSab C a ==⨯=，解得3a =， 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 33223422a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯=++⨯= ⎪⎝⎭. 11．（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理， 得sin sin ,22b cR ABC C R==∠， 因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b cBD a R R⋅=⋅，即BD b ac ⋅=． 又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，①在BCD △中，222()3cos 23ba b b a C +-=⋅．② 由①②得2222223()3b a b c a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3ca =或32c a =，当22,33c c a b ac ===时，33c ca b c +=<（舍去）． 当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△， 即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠， 故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠． 由2b ac =，即b ca b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽， 故AD ABAB AC=，即23bc c b =，又2b ac =，所以23c a =， 则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==．在ADB △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD A=∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b A b=，化简得2sin sin 3C A =． 在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =． 在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a c b ABC ac a +--⨯∠+===． 故7cos 12ABC ∠=． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a aDE EC BE ===．在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c ba cb ac ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=， 即3ca =或32a c =． 下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理 因为2AD DC =，所以2AD DC =． 以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+． 所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+， 即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++， 又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③ 由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠， 所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④ 联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c =． 下同解法1． [方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动． 设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤ 由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=， 2222(2)(1)9x y x y ++-+．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||||6,3a BC c BA b =====， 由余弦定理得2227cos 212a cb ABC ac +-∠==． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.12．（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ） [方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=， 即444222222220a b c a c a b b c +++--=， 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=， 即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==， 又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤. 由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.。
2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)
2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 必刷大题9 解三角形
(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsin B，求S.
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由 S＝6bsin B，根据面积公式得 6bsin B＝12acsin B＝3asin B， 所以a＝2b. 由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝12， 整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36， 所以 b＝2 3，a＝4 3. 所以△ABC 的面积 S＝12absin C＝12×4 3×2 3sin π3＝6 3.
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(2)若△ABC是锐角三角形，且AB＝4 km，求养殖区△ABC面积(单位： km2)的取值范围.
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因为AB＝4，∠BAC＝60°， 所以△ABC 的面积 S＝12AB·ACsin∠BAC＝ 3AC. 在△ABC 中，由正弦定理可得sin∠ABACB＝sin∠ACABC， 则 AC＝ABsisni∠n∠ACABBC＝4sin1si2n0∠°－AC∠BACB＝tan∠ 2 A3CB＋2. 因为△ABC 是锐角三角形，所以00°°<<∠ 12A0°C－B<∠9A0°C，B<90°，
1－2
5
52＝
55，
sin∠ADC＝sin∠ACB－4π
＝ 22(sin∠ACB－cos∠ACB)＝ 22×255－ 55＝ 1100，
在△ACD 中，由正弦定理得sin∠CDDAC＝sinπ－A∠D ACB＝sin∠ACADC，
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即CD2 ＝ A1C0＝2105＝5 5，解得 CD＝5 210，AC＝522， 2 10 5
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2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，4 5 a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C).
解三角形(学生版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
解三角形一、单选题1(全国甲卷数学(理)(文))在△ABC 中内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，若B =π3，b 2=94ac ，则sin A +sin C =()A.32B.2C.72D.32二、填空题2(新高考上海卷)已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC =CD ,存在点A 满足∠BAC =16.5°,∠DAC =37°，则∠BCA =(精确到0.1度)三、解答题3(新课标全国Ⅰ卷)记△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C =2cos B ，a 2+b 2-c 2=2ab (1)求B ；(2)若△ABC 的面积为3+3，求c ．4(新课标全国Ⅱ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =2．(1)求A ．(2)若a =2，2b sin C =c sin2B ，求△ABC 的周长．5(新高考北京卷)在△ABC 中，a =7，A 为钝角，sin2B =37b cos B ．(1)求∠A ；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①b =7；②cos B =1314；③c sin A =523．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．6(新高考天津卷)在△ABC中，cos B=916，b=5，ac=23．(1)求a；(2)求sin A；(3)求cos B-2A．一、单选题1(2024·江西赣州·二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a2-1=c c-1，则A=()A.π3B.2π3C.π6D.5π62(2024·山西太原·三模)已知△ABC中，A=120°，D是BC的中点，且AD=1，则△ABC面积的最大值()A.3B.23C.1D.23(2024·贵州遵义·三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，D为AC的中点，已知c=2，BD =72，且a cos B+b cos A=-2c cos B，则△ABC的面积为()A.23B.32C.3 D.3324(2024·宁夏银川·三模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，sin C=14，若△ABC有两解，则c的取值可能为()A.3B.4C.5D.65(2024·河北秦皇岛·二模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cos Aa+cos Bb=sin Cc，13b2+13c2=10bc+13a2，则tan B的值为()A.712B.34C.127D.436(2024·北京东城·二模)在△ABC中，A=π4，C=7π12，b=2，则a=()A.1B.2C.3D.27(2024·海南海口·二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2-3c2，则tan A tan B=()A.32B.-12C.23D.-28(2024·河南·三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ba+c=1-sin Csin A+sin B，a=3，b=22，则sin B的值为()A.12B.35C.32D.639(2024·青海·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a cos B+b sin A=c,a=210，a2 +b2-c2=ab sin C，则()A.tan C=1B.A=π3C.b=62D.△ABC的面积为12210(2024·安徽合肥·二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2,1tan A+1tan B+1tan A tan B=1．则△ABC面积的最大值为()A.1+2B.1+3C.22D.2311(2024·广东韶关·二模)在△ABC中，tan A=14,tan B=35．若△ABC的最长边的长为17．则最短边的长为()A.2B.3C.2D.512(2024·湖北黄石·三模)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B+C=60°，a=3，则sin A+sin B-sin Ca+b-c=()A.23B.36C.16D.6二、多选题13(2022·广东佛山·一模)在△ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a=23，b2+c2=24，下列选项正确的是()A.若A=π3，则S=33 B.S的最大值为33C.AM=3D.角A的最小值为π314(2024·广东广州·二模)在梯形ABCD中，AB⎳CD,AB=1,CD=3,cos∠DAC=24,cos∠ACD=34，则()A.AD=322B.cos∠BAD=-24C.BA⋅AD=-34D.AC⊥BD15(2024·浙江·三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且23a⋅sin2A+C2=b⋅sin A，下列结论正确的是()A.B=π3B.若a=4，b=5，则△ABC有两解C.当a-c=33b时，△ABC为直角三角形D.若△ABC为锐角三角形，则cos A+cos C的取值范围是32,116(2024·贵州黔南·二模)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为34a2+c2-b2.则下列说法正确的是()A.B=π3B.A的取值范围为π6,π2C.若b=3，则△ABC的外接圆的半径为2D.若a=3，则△ABC的面积的取值范围为338,33 217(2024·新疆·二模)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=sin B，且3a cos B+b cos A=2c sin C，D是△ABC外一点且B、D在直线AC异侧，DC=2，DA=6，则下列说法正确的是()A.△ABC是等边三角形B.若AC=213，则A，B，C，D四点共圆C.四边形ABCD面积的最小值为103-12D.四边形ABCD面积的最大值为103+1218(2024·河北·三模)已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，A=2B，则()A.a 2=c b +cB.b c +a 2b 2的最小值为3C.若△ABC 为锐角三角形，则cb∈1,2 D.若a =26，b =3，则c =5三、填空题19(2024·湖南长沙·三模)在△ABC ，已知2AB ⋅AC =3AB AC =3BC2，∠B <∠C .则sin ∠C =.20(2024·四川雅安·三模)已知四边形ABCD 中，AB =BC =CD =2,DA =23，设△ABD 与△BCD 的面积分别为S 1,S 2，则S 21+S 22的最大值为.21(2024·江西·二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a sin B =b 2+cos A ，若△ABC 的面积等于43，则△ABC 的周长的最小值为．22(2024·河南·三模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C =60°，c =7，若a -b =3,D 为AB 中点，则CD =．23(2024·四川成都·三模)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若b 2=2ac 且sin C =2sin A ，则cos A 的值为24(2024·江苏·二模)设钝角△ABC 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若a =2，b sin A =3，c =3，则b =.四、解答题25(2024·北京·三模)在△ABC 中，b a =105,cos A =1010.(1)求证△ABC 为等腰三角形;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求b 的值.条件①：∠B =π6; 条件②：△ABC 的面积为152;条件③：AB 边上的高为3.26(2024·湖南衡阳·三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且c cos B+2a cos A+b cos C=0．(1)求A；(2)如图所示，D为平面上一点，与△ABC构成一个四边形ABDC，且∠BDC=π3，若c=b=2，求AD的最大值．27(2024·天津·二模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cos B c cos B+b cos C+1 2 a=0.(1)求角B的大小；(2)若b=7,a+c=8,a<c，①求a,c的值：②求sin2A+C的值.28(2024·湖南长沙·三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=2,b=4.(1)若cos B+2cos A=c cos C，求C的值；(2)若D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB,cos∠ACB=-19，求CD的长.29(2024·湖北武汉·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2a-ccos B-b cos C= 0.(1)求B；(2)已知b=3，求12a+2c的最大值.30(2024·福建漳州·三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π3,b=23.(1)若a,b,c成等差数列，求△ABC的面积；(2)若sin A-sin C=312b，求a.31(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为1 2a c sin C+b sin B-a sin A．(1)求A；(2)若a=2，且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD.32(2024·河北保定·二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知a cos B-b cos A=-a-c.(1)求B；(2)若a=2,b=27,D为AC边的中点，求BD的长.33(2024·江苏南通·三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2b-ccos A=a cos C．(1)求A；(2)若△ABC的面积为3,BC边上的高为1，求△ABC的周长．34(2024·江西鹰潭·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足1-sin Acos A=sin Bcos B.(1)求证：A+2B=π2；(2)求a2+b2c2的最小值.。
(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题10 解三角形(学生版)
专题10 解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则bc= A ．6 B ．5 C ．4D ．32．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β3．【2018年高考全国Ⅲ文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3πC ．4πD ．6π4．【2018年高考全国Ⅱ文数】在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．5．【2017年高考全国Ⅰ文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π36．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.7．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．8．【2018年高考北京卷文数】若ABC △的面积为)222a c b +-，且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________.9．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．10．【2018年高考全国Ⅰ文数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．11．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．12．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.14．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．15．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．16．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值．17．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．20．【2018年高考天津卷文数】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A=a cos(B–π)．6（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．21．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．22．【2017年高考山东卷文数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =3，6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，3ABC S =△，求A 和a .23．【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．。
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8 /8
2 3 . 5
→→ (1)求 cos A 的值； (2)若 a＝4 2，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．
33.（2017 新课标 1 理） △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 △ABC 的面积为 a2 3sin A
．（1）求 sin B sin C ；（2）若 6 cos B cos C 1 ， a 3 ，求 △ABC 的周长． 5 /8
（1）求角 C 的大小；（2）已知 b 4 ， ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
30.（2013 湖北理）在△ ABC 中，角 A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c . 已知 cos 2A 3cos(B C) 1 . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ ABC 的面积 S 5 3 ， b 5 ，求 sin B sin C 的值. 4 /8
28.(2013 浙江文)在锐角△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2asin B＝ 3b. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝6，b＋c＝8，求△ABC 的面积．
29.(2014 浙江文)在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a,b,c ，已知
4sin2 A B 4sin Asin B 2 2 2
（1）求 cos B ；（2）若 a c 6 ， ABC 的面积为 2 ，求 b ．
7 /8
3 41、 (2017 年北京卷理) 在△ABC 中， A =60°，c= 7 a.（Ⅰ）求 sinC 的值；（Ⅱ）若 a=7，求△ABC 的
面积.
42、 (2017 年 天 津 卷 文 )在 △ABC 中 ， 内 角 A, B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ． 已 知 a sin A 4b sin B ， ac 5(a2 b2 c2 ) ．
18、2016 年高考北京卷文)在△ABC 中， A 2 3
，a=
3 c，则 b =_________. c
19（、2016 年高考新课标Ⅱ卷文）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A 4 ， cos C 5 ，a=1，
5
13
则 b=____________.
20．（2013 安徽）设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a,b, c 。若 b c 2a ，则 3sin A 5sin B,
学员姓名 授课老师
授课日期及时段
学科教师辅导教案
年级
高三
辅导科目
课时数
2h
第次课
2018 年月日 ：—：
数学
历年高考试卷集锦（文）——解三角形
1．（2017 新课标Ⅲ文）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60°，b= 6 ，c=3，则 A=___。 2．(2012 广东文)在 ABC 中，若 A 60, B 45, BC 3 2 ，则 AC ( )
4
10 10 3 10 5
A. B. C. D.
10
5
10 5
ππ 10.(2013 新标 2 文)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b＝2，B＝ ，c＝ ，则△ABC
64
的面积为( )
A．2 3＋2 B. 3＋1C．2 3－2 D 已知锐角 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， 23cos2 A cos 2A 0 ，
形状为
(A) 锐角三角形
(B) 直角三角形
(C) 钝角三角形 (D) 不确定
15、（2016 年新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a 5 ， c 2 ， cos A 2 ， 3
则 b=
（A） 2 （B） 3 （C）2（D）3
16、（2016 年新课标Ⅲ卷文）在 △ABC 中， B = π ，BC 边上的高等于 1 BC ,则 sin A =
31．(2013 江西理)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 cos C＋(cos A－ 3sin A)cos B＝0. (1)求角 B 的大小； (2)若 a＋c＝1，求 b 的取值范围．
A－B 32.（2013四川在）△ABC中角，AB，C，的对边分别为ab，c，且，2cos2 cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－
36、（2015 年新课标 2 文）△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 BAC,BD=2DC. （I）求 sin B ；（II）若 BAC 60 ,求 B .
sin C
6 /8
37、（2016 年四川文）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 cos A cos B sin C 。
a=2，c= 2 ，则 C=
1 /8
π
A．
12
π
B．
6
π
C．
4
π
D．
3
8．（2012 上海）在 ABC 中，若 sin 2 A sin 2 B sin 2 C ，则 ABC 的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
π 9.（2013 天津理）在△ABC 中，∠ABC＝ ，AB＝ 2，BC＝3，则 sin ∠BAC 等于( )
a 7 ， c 6 ，则 b （ ）
（A）10
（B） 9 （C） 8
（D） 5
1 12．（2013 辽宁）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝ b，
2
且 a＞b，则∠B＝( )
π π 2π 5π A. B. C. D.
（）
2
A. 或 33
3
B. 或 44
C. 3
2
D. 3
5．(2014 江西理) 在 ABC 中，内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b, c, ，若 c2 (a b)2 6,C , 则 3
ABC 的面积（ ）
A.3
93 B.
33 C.
D. 3 3
2
2
6．（2014
江西文）在在
ABC
（Ⅰ）求角 A 的大小；（II） 若 b 2 ， c 1， D 为 BC 的中点，求 AD 的长。
25.（2012 山东文）在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 sin B(tan A tan C) tan A tan C . (Ⅰ)求证： a,b,c 成等比数列； (Ⅱ)若 a 1,c 2 ，求△ ABC 的面积 S.
中，内角
A,B,C
所对应的边分别为
a,b, c,
，若 3a
5b
，则
2sin2 B sin2 sin2 A
A
的值为（ ）
A. 1
1 B.
C.1 D.
7
93
25
7．（2017 新课标 1 文）11．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。已知 sin B sin A(sin C cos C) 0 ，
26.(2012 新标文)已知 a ， b ， c 分别为 ABC 三个内角 A , B , C 的对边， c 3a sin C c cos A 。. (Ⅰ)求 A ； (Ⅱ)若 a =2， ABC 的面积为 3 ，求 b ， c .
3 /8
27.(2014 新标 2 文) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补， AB 1, BC 3,CD DA 2 . （1）求 C 和 BD ； （2）求四边形 ABCD 的面积.
23、(2017 年山东卷理)在 AC 中，角 A ， ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 AC 为锐角三角形，
且满足 sin 1 2 cos C 2sin A cos C cos A sin C ，则下列等式成立的是
（A） a 2b （B） b 2a （C） A 2 （D） 2A 24、（2012 安徽）设 ABC 的内角 A, B,C 所对的边为 a,b, c ，且有 2sin B cos A sin Acos C cos Asin C
则 角 C _____. 21.(2014 新标 1 理) 已知 a,b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,C 的对边， a =2，且
(2 b)(sin A sin B) (c b) sin C ，则 ABC 面积的最大值为.
22.(2017 年新课标Ⅱ文)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosB＝acosC＋ccosA,则 B＝.
34、（2014 山东文） ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b, c . 已知 a 3, cos A 6 , B A .
3
2
（Ｉ）求 b 的值；（II）求 ABC 的面积.
35、(2015 新标 1 文) 已知 a,b, c 分别是 ABC 内角 A, B,C 的对边， sin2 B 2sin Asin C . （I）若 a b ，求 cos B; （II）若 B 90 ，且 a 2, 求 ABC 的面积.
39、 (2017 年新课标Ⅲ卷理)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ 3 cosA=0，a=2 7 ,b=2． （1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC,求△ABD 的面积．
40、( 2017 年新课标Ⅱ卷理) ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b, c ，已知 sin( A C) 8sin2 B ， 2
( A) 4 3 (B) 2 3 (C) (D)